识别分段函数, 解决收费问题 刘运明 李晓
一、话费中的分段函数
例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x （分钟）与相应话费y （元）之间的函数图象如图1所示：
（１）月通话为100分钟时，应交话费 元； （２）当x ≥100时，求y 与x 之间的函数关系式； （3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？
图1
二、水费中的分段函数
例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y (元) 与用水量x (吨) 的函数关系如图2.
(1) 分别写出当0≤x ≤15和x ≥15时, y 与x 的函数关系式; (2)若某户该月用水21吨, 则应交水费多少元?
图2 三、电费中分段函数
例3 (广东) 今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x （度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x ≤100和x ≥100时，y 与x 的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；
（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？
图3
1.1正比例函数与一次函数构成的分段函数
例1某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元．
（1）完成此房屋装修共需多少天？
（2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？
解析：设正比例函数的解析式为：y=k1x ， 图象经过点（3，
14），所以，14= k×3，所以k 1111=12，所以y=12
x ，0＜x ＜3 设一次函数的解析式（合作部分）是y=k2x+b，（k ≠0，
k b ，是常数） ⎧
1
因为图象经过点（3，11⎪k 2⨯3+b =4
14），（5，⎪
2），得：⎨
⎪1
，解得：k 12=8, b =-8．
⎪⎩
k 2⨯5+b =
2
∴一次函数的表达式为y =
18x -18
，所以，当y =1时，18x -1
8=1，解得x =9
∴完成此房屋装修共需9天。
（2）由正比例函数的解析式：y=
112
x ，可知：甲的工作效率是1
12 ，
所以，甲9天完成的工作量是：9⨯
112=34，∴甲得到的工资是：3
4
⨯8000=6000（元） 例2、一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的
1
4
，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图2所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（ ）A ．20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D．26分钟
设正比例函数的解析式为：y=k11x ，图象经过点（10，
4），所以，14= k，所以k 11×101=40
，所以y=11
40x ，（0＜x ＜10 由正比例函数解析式可知：甲的效率是40
，
所以，步行前往考场需要的时间是：1÷1
40
=40（分钟），
所以，设一次函数的解析式是y=k2x+b，（k ≠0，k b ，是常数），
⎧
1
因为图象经过点（10，11⎪⎪k 2
⨯10+b =4
4），（12，2），得：⎨
1 解得：k 1⎪2=8, b =-1， ⎪⎩
k 2⨯12+b =
2
∴一次函数的表达式为：y =
1318x -1，所以，乘出租车赶往考场用的时间是：x=4÷8
， 解得：x=6分钟，
所以，先步行前往考场，后乘出租车赶往考场共用时间为：10+6=16分钟， 所以，他到达考场所花的时间比一直步行提前了：40-16=24（分钟）， 1.2一次函数与一次函数构成的分段函数 例4、为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动
时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x 小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y 元，则y （元）和x （小时）之间的函数图像如图5所示．
（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖 励小强家务劳动的？
（2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？ 解：（1）从图象上可知道，小强父母给小强的每月基本生活费为150元 ； 当0≤x ≤20时，y （元）是x （小时）的一次函数，不妨设y=k1x+150， 同时，图象过点（20，200），所以，200=k1×20+150， 解得：k 1=2.5，所以，y=2.5x+150，
当20＜x 时，y （元）是x （小时）的一次函数，不妨设y=k2x+b， 同时，图象过点（20，200），（30，240）， 所以，⎨
⎧20k 2+b =200
⎩
30k 2+b =240，
解得：k 2=4，b=120，所以，y=4x+120，
所以，如果小强每月家务劳动时间不超过20小时，每小时获奖励2.5元；
如果小强每月家务劳动时间超过20小时，那么20小时按每小时2.5元奖励，超过部分按每小时4元奖励
（2）从图象上可知道，小强工作20 小时最多收入为200元，而5月份得到的费用为250元，
大于200元，所以说明4月小强的工作时间一定超过20小时，所以应选择分段函数中当20＜x 时的一段，所以，由题意得，4x +120=250， 解得：x=32.5
答：当小强4月份家务劳动32.5小时，5月份得到的费用为250元． 1.3常数函数与一次函数构成的分段函数
例5、有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示．
（1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是 元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为 元；
（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？
解析：1）从图6，可以看出，这是常数函数与一次函数构成的分段函数， 当0≤t ≤100时，话费金额y=20；
当t ＞100时，话费金额y 是通话时间t 的一次函数，不妨设y=kt+b， 且函数经过点（100，20）和（200，40），
所以，⎧⎨100k +b =20⎩
200k +b =40, 解得：k=0.2，b=0,所以，y=0.2t,
所以, 甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是20元；当甲公司用户通话100
分钟以后，每分钟的通话费为0.2元；
2) 仔细观察表1, 可以知道乙公司每月通话收费y=0.15t+2.5,
当0≤t ≤100时，甲公司的话费金额y=20；乙公司通话收费y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5, 所以, 李女士如果月通话时间不超过100分钟，她选择乙通迅公司更合算； 因为，0.15t+2.5=0.2t，所以，t=500，
所以，当通话时间t=500分钟时，选择甲、乙两家公司哪一家都可以； 因为，0.15t+2.5＞0.2t ，所以，t ＜500，
所以，当通话时间100＜t ＜500分钟时，选择甲公司； 因为，0.15t+2.5＜0.2t ，所以，t ＞500，
所以，当通话时间t ＞500分钟时，选择乙公司； 2、三段型分段函数
例6 如图7，矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，M 是CD 的中点，点P 在矩形的边上沿A →B →C →M 运动，则△APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
解析： 1）、当0≤x ≤1，y=
1
2×x ×2=x；如图8所示； 2）、当1＜x ≤3，y=1×2-11111
2×2×2-2×（x-1）×1-2×2
×（3-x ）
=54-1
4
x ；如图9所示； 3）当3＜x ≤3.5，y=12×（72-x ）×2=7
2
-x ；如图10所示；
所以C 、D 两个选项
是错误的，又因为函数y=
54-14x 中的k=-1
4
＜0，所以直线整体应该是分布在二、一、四象限，所以选项B 也是错误的，所以选A 。
3、四段型分段函数
例7、星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发2小时到达目的地，游玩3小时
后按原路以原速返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图11，是他们离家的路程y(千米) 与时间x(时) 的函数图像。已知小强骑车的速度为15千米/时，妈妈驾车的速度为60千米/时。 (1)小强家与游玩地的距离是多少？ (2)妈妈出发多长时间与小强相遇？
解析： 1）
当0≤x ≤2，路程y(千米) 是时间x(时) 的正比例函数，且k=15，所以y=15x； 所以，当x=2时，y=2×15=30，所以，小强家与游玩地的距离是30千米。
2）
当2＜x ≤5，路程y(千米) 是时间x(时) 的常数函数，所以y=30；
当5＜x ，路程y(千米) 是时间x(时) 的一次函数，且k=-15，所以，设y=-15x+b， 又图象过点（5，30），所以30=-75+b，所以b=105，所以直线BD 的解析式为：y=-15x+105； 仔细观察图象，可知道点C 的坐标为（
14
3
，0），且k=60，所以，设y=60x+b， 所以0=280+b，所以b=-280，所以直线CD 的解析式为：y=60x-280； 设妈妈出发t 小时出与小强相遇，所以，60 t -280=-15t+105， 解得，t=
7715
， 所以，妈妈出发经过：
7715-1473=15
小时与小强相遇。
4、五段型分段函数
例8、小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y （千米）与所用的时间x （小时）之间关系的函数图象.
（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？
（2）求小明出发两个半小时离家多远？ （3）求小明出发多长时间距家12千米？
解：（1）由图象可知小明到达离家最远的地方需3小时；此时，他离家30千米
（2）设直线CD 的解析式为y=k1x+b1, 由C （2，15）、D （3，30），
代入得：y=15x-15（2≤x≤3） 当x=2.5时，y=22.5（千米）
答：出发两个半小时，小明离家22.5千米. （3）设过E 、F 两点的直线解析式为y=k2x+b2， 由E （4，30）、F （6，0），代入得y=-15x+90,(4≤x≤6)， 过A 、B 两点的直线解析为y=k3x ，
∵B（1，15）∴y=15x.(0≤x≤1)
分别令y=12，得x=
265（小时），x=45
（小时） 答：小明出发经过45小时或26
5
小时，离家12千米。
识别分段函数, 解决收费问题 刘运明 李晓
一、话费中的分段函数
例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x （分钟）与相应话费y （元）之间的函数图象如图1所示：
（１）月通话为100分钟时，应交话费 元； （２）当x ≥100时，求y 与x 之间的函数关系式； （3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？
图1
二、水费中的分段函数
例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y (元) 与用水量x (吨) 的函数关系如图2.
(1) 分别写出当0≤x ≤15和x ≥15时, y 与x 的函数关系式; (2)若某户该月用水21吨, 则应交水费多少元?
图2 三、电费中分段函数
例3 (广东) 今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x （度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x ≤100和x ≥100时，y 与x 的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；
（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？
图3
1.1正比例函数与一次函数构成的分段函数
例1某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元．
（1）完成此房屋装修共需多少天？
（2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？
解析：设正比例函数的解析式为：y=k1x ， 图象经过点（3，
14），所以，14= k×3，所以k 1111=12，所以y=12
x ，0＜x ＜3 设一次函数的解析式（合作部分）是y=k2x+b，（k ≠0，
k b ，是常数） ⎧
1
因为图象经过点（3，11⎪k 2⨯3+b =4
14），（5，⎪
2），得：⎨
⎪1
，解得：k 12=8, b =-8．
⎪⎩
k 2⨯5+b =
2
∴一次函数的表达式为y =
18x -18
，所以，当y =1时，18x -1
8=1，解得x =9
∴完成此房屋装修共需9天。
（2）由正比例函数的解析式：y=
112
x ，可知：甲的工作效率是1
12 ，
所以，甲9天完成的工作量是：9⨯
112=34，∴甲得到的工资是：3
4
⨯8000=6000（元） 例2、一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的
1
4
，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图2所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（ ）A ．20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D．26分钟
设正比例函数的解析式为：y=k11x ，图象经过点（10，
4），所以，14= k，所以k 11×101=40
，所以y=11
40x ，（0＜x ＜10 由正比例函数解析式可知：甲的效率是40
，
所以，步行前往考场需要的时间是：1÷1
40
=40（分钟），
所以，设一次函数的解析式是y=k2x+b，（k ≠0，k b ，是常数），
⎧
1
因为图象经过点（10，11⎪⎪k 2
⨯10+b =4
4），（12，2），得：⎨
1 解得：k 1⎪2=8, b =-1， ⎪⎩
k 2⨯12+b =
2
∴一次函数的表达式为：y =
1318x -1，所以，乘出租车赶往考场用的时间是：x=4÷8
， 解得：x=6分钟，
所以，先步行前往考场，后乘出租车赶往考场共用时间为：10+6=16分钟， 所以，他到达考场所花的时间比一直步行提前了：40-16=24（分钟）， 1.2一次函数与一次函数构成的分段函数 例4、为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动
时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x 小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y 元，则y （元）和x （小时）之间的函数图像如图5所示．
（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖 励小强家务劳动的？
（2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？ 解：（1）从图象上可知道，小强父母给小强的每月基本生活费为150元 ； 当0≤x ≤20时，y （元）是x （小时）的一次函数，不妨设y=k1x+150， 同时，图象过点（20，200），所以，200=k1×20+150， 解得：k 1=2.5，所以，y=2.5x+150，
当20＜x 时，y （元）是x （小时）的一次函数，不妨设y=k2x+b， 同时，图象过点（20，200），（30，240）， 所以，⎨
⎧20k 2+b =200
⎩
30k 2+b =240，
解得：k 2=4，b=120，所以，y=4x+120，
所以，如果小强每月家务劳动时间不超过20小时，每小时获奖励2.5元；
如果小强每月家务劳动时间超过20小时，那么20小时按每小时2.5元奖励，超过部分按每小时4元奖励
（2）从图象上可知道，小强工作20 小时最多收入为200元，而5月份得到的费用为250元，
大于200元，所以说明4月小强的工作时间一定超过20小时，所以应选择分段函数中当20＜x 时的一段，所以，由题意得，4x +120=250， 解得：x=32.5
答：当小强4月份家务劳动32.5小时，5月份得到的费用为250元． 1.3常数函数与一次函数构成的分段函数
例5、有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示．
（1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是 元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为 元；
（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？
解析：1）从图6，可以看出，这是常数函数与一次函数构成的分段函数， 当0≤t ≤100时，话费金额y=20；
当t ＞100时，话费金额y 是通话时间t 的一次函数，不妨设y=kt+b， 且函数经过点（100，20）和（200，40），
所以，⎧⎨100k +b =20⎩
200k +b =40, 解得：k=0.2，b=0,所以，y=0.2t,
所以, 甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是20元；当甲公司用户通话100
分钟以后，每分钟的通话费为0.2元；
2) 仔细观察表1, 可以知道乙公司每月通话收费y=0.15t+2.5,
当0≤t ≤100时，甲公司的话费金额y=20；乙公司通话收费y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5, 所以, 李女士如果月通话时间不超过100分钟，她选择乙通迅公司更合算； 因为，0.15t+2.5=0.2t，所以，t=500，
所以，当通话时间t=500分钟时，选择甲、乙两家公司哪一家都可以； 因为，0.15t+2.5＞0.2t ，所以，t ＜500，
所以，当通话时间100＜t ＜500分钟时，选择甲公司； 因为，0.15t+2.5＜0.2t ，所以，t ＞500，
所以，当通话时间t ＞500分钟时，选择乙公司； 2、三段型分段函数
例6 如图7，矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，M 是CD 的中点，点P 在矩形的边上沿A →B →C →M 运动，则△APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
解析： 1）、当0≤x ≤1，y=
1
2×x ×2=x；如图8所示； 2）、当1＜x ≤3，y=1×2-11111
2×2×2-2×（x-1）×1-2×2
×（3-x ）
=54-1
4
x ；如图9所示； 3）当3＜x ≤3.5，y=12×（72-x ）×2=7
2
-x ；如图10所示；
所以C 、D 两个选项
是错误的，又因为函数y=
54-14x 中的k=-1
4
＜0，所以直线整体应该是分布在二、一、四象限，所以选项B 也是错误的，所以选A 。
3、四段型分段函数
例7、星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发2小时到达目的地，游玩3小时
后按原路以原速返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图11，是他们离家的路程y(千米) 与时间x(时) 的函数图像。已知小强骑车的速度为15千米/时，妈妈驾车的速度为60千米/时。 (1)小强家与游玩地的距离是多少？ (2)妈妈出发多长时间与小强相遇？
解析： 1）
当0≤x ≤2，路程y(千米) 是时间x(时) 的正比例函数，且k=15，所以y=15x； 所以，当x=2时，y=2×15=30，所以，小强家与游玩地的距离是30千米。
2）
当2＜x ≤5，路程y(千米) 是时间x(时) 的常数函数，所以y=30；
当5＜x ，路程y(千米) 是时间x(时) 的一次函数，且k=-15，所以，设y=-15x+b， 又图象过点（5，30），所以30=-75+b，所以b=105，所以直线BD 的解析式为：y=-15x+105； 仔细观察图象，可知道点C 的坐标为（
14
3
，0），且k=60，所以，设y=60x+b， 所以0=280+b，所以b=-280，所以直线CD 的解析式为：y=60x-280； 设妈妈出发t 小时出与小强相遇，所以，60 t -280=-15t+105， 解得，t=
7715
， 所以，妈妈出发经过：
7715-1473=15
小时与小强相遇。
4、五段型分段函数
例8、小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y （千米）与所用的时间x （小时）之间关系的函数图象.
（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？
（2）求小明出发两个半小时离家多远？ （3）求小明出发多长时间距家12千米？
解：（1）由图象可知小明到达离家最远的地方需3小时；此时，他离家30千米
（2）设直线CD 的解析式为y=k1x+b1, 由C （2，15）、D （3，30），
代入得：y=15x-15（2≤x≤3） 当x=2.5时，y=22.5（千米）
答：出发两个半小时，小明离家22.5千米. （3）设过E 、F 两点的直线解析式为y=k2x+b2， 由E （4，30）、F （6，0），代入得y=-15x+90,(4≤x≤6)， 过A 、B 两点的直线解析为y=k3x ，
∵B（1，15）∴y=15x.(0≤x≤1)
分别令y=12，得x=
265（小时），x=45
（小时） 答：小明出发经过45小时或26
5
小时，离家12千米。