1.5克莱姆法则

内容提要

 逆序数与对换

 行列式的定义

 行列式的性质

 行列式按行或列展开定理

 克莱姆法则

2014年9月9日9时45分

1

§5 克莱姆法则

一、非齐次与齐次线性方程组的概念

 a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1 a x  a x   a x  b  21 1 22 2 2n n 2 设线性方程组     an1 x1  an 2 x2    ann xn  bn

若常数项b1 , b2 ,, bn不全为零, 则称此方程组为非

齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零,

此时称方程组为齐次线性方程组.

2014年9月9日9时45分 2

二、克莱姆法则

a11 a12  a1 n a 21 a 22  a 2 n 0 的系数行列式D不等于零，即 D   a n1 a n 2  a nn

如果线性方程组  a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1 a x  a x    a x  b  21 1 22 2 2n n 2     a n1 x1  a n 2 x 2    a nn x n  bn

(1)

那么线性方程组 1有唯一解，可以表示为

2014年9月9日9时45分 3

Dn D1 D2 D2 x1  , x2  , x3  , , x n  . D D D D

其中D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即

a11  a1 , j 1 b1 a1 , j 1  a1 n D j   a n1  a n , j 1 bn a n , j 1  a nn

2014年9月9日9时45分

4

三、重要定理 定理1 如果非齐次线性方程组的系数行列式 D 则方程组一定有唯一的非零解. 定理2 如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式 D = 0 .

 0，

定理3

定理4

如果齐次线性方程组的系数行列式 D

则方程组仅有零解.

 0，

如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行 列式

D=0 .

2014年9月9日9时45分 5

总

非齐次线性方程组

结

唯一解

D0

D0

无解或无穷多解 仅有零解 齐次线性方程组 无穷多解

D0

D0

6

2014年9月9日9时45分

例1： 用克莱姆法则解方程组

 2 x1  x2  5 x3  x4  8,  x  3 x  6 x  9,  1 2 4   2 x 2  x 3  2 x 4   5,   x1  4 x2  7 x3  6 x4  0.

解： 2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6

r1  2r2 r4  r2

0 7  5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7  7 12

7

2014年9月9日9时46分

7  5 13  2 1 2 7  7 12

c1  2c2

c 3  2c 2

3 5 3  0 1 0 7 7 2

3 3   27  0 7 2

2 8 5 1 8 1 5 1 1 9 0 6 9 3 0 6  108,  81, D2  D1  0  5 1 2  5 2 1 2 1 0 7 6 0 4 7 6 2 1 8 1 2 1 5 8 1 3 9 6 1 3 0 9  27, D3   27, D4  0 2 5 2 0 2 1  5 1 4 0 6 1 4 7 0

2014年9月9日9时46分 8

D1 81  x1    3, D 27

D3  27 x3    1, D 27

D2  108 x2  

 4, D 27

D4 27 x4    1. D 27

例2: 问  取何值时，齐次方程组

1    x1  2 x2  4 x3  0,   2 x1  3    x2  x3  0,  x  x  1    x  0,  1 2 3

有非零解？

2014年9月9日9时46分 9

解：

1  D 2 1

3

2 3 1

4 1  1  2 1  1

3 1  0

4 1 1 

 1       3   41     21    3     1     21       3

3 2

由于齐次方程组有非零解，则 D  0

所以   0 ,   2 或   3 时齐次方程组有非零解.

2014年9月9日9时46分 10

例3：证明：若平面上三条不同的直线ax  by  c  0, bx  cy  a  0, cx  ay  b  0相交于一点，则 a  b  c  0.

证明： 设所给三条直线交于一点M ( x 0, y 0)

则x  x 0, y  y0, z  1可视为齐次线性方程组

 ax  by  cz  0   bx  cy  az  0 的非零解，从而有系数行列式  cx  ay  bz  0 

2014年9月9日9时46分 11

a b c 1 2 2 2 b c a  (  )(a  b  c )[(a  b)  (b  c )  (c  a ) ] 2 c a b

0

又三条直线互不相同, 所以a , b, c也不全相同

故a  b  c  0.

2014年9月9日9时46分

12

内容提要

 逆序数与对换

 行列式的定义

 行列式的性质

 行列式按行或列展开定理

 克莱姆法则

2014年9月9日9时45分

1

§5 克莱姆法则

一、非齐次与齐次线性方程组的概念

 a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1 a x  a x   a x  b  21 1 22 2 2n n 2 设线性方程组     an1 x1  an 2 x2    ann xn  bn

若常数项b1 , b2 ,, bn不全为零, 则称此方程组为非

齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零,

此时称方程组为齐次线性方程组.

2014年9月9日9时45分 2

二、克莱姆法则

a11 a12  a1 n a 21 a 22  a 2 n 0 的系数行列式D不等于零，即 D   a n1 a n 2  a nn

如果线性方程组  a11 x1  a12 x 2    a1n x n  b1 a x  a x    a x  b  21 1 22 2 2n n 2     a n1 x1  a n 2 x 2    a nn x n  bn

(1)

那么线性方程组 1有唯一解，可以表示为

2014年9月9日9时45分 3

Dn D1 D2 D2 x1  , x2  , x3  , , x n  . D D D D

其中D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即

a11  a1 , j 1 b1 a1 , j 1  a1 n D j   a n1  a n , j 1 bn a n , j 1  a nn

2014年9月9日9时45分

4

三、重要定理 定理1 如果非齐次线性方程组的系数行列式 D 则方程组一定有唯一的非零解. 定理2 如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式 D = 0 .

 0，

定理3

定理4

如果齐次线性方程组的系数行列式 D

则方程组仅有零解.

 0，

如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行 列式

D=0 .

2014年9月9日9时45分 5

总

非齐次线性方程组

结

唯一解

D0

D0

无解或无穷多解 仅有零解 齐次线性方程组 无穷多解

D0

D0

6

2014年9月9日9时45分

例1： 用克莱姆法则解方程组

 2 x1  x2  5 x3  x4  8,  x  3 x  6 x  9,  1 2 4   2 x 2  x 3  2 x 4   5,   x1  4 x2  7 x3  6 x4  0.

解： 2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6

r1  2r2 r4  r2

0 7  5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7  7 12

7

2014年9月9日9时46分

7  5 13  2 1 2 7  7 12

c1  2c2

c 3  2c 2

3 5 3  0 1 0 7 7 2

3 3   27  0 7 2

2 8 5 1 8 1 5 1 1 9 0 6 9 3 0 6  108,  81, D2  D1  0  5 1 2  5 2 1 2 1 0 7 6 0 4 7 6 2 1 8 1 2 1 5 8 1 3 9 6 1 3 0 9  27, D3   27, D4  0 2 5 2 0 2 1  5 1 4 0 6 1 4 7 0

2014年9月9日9时46分 8

D1 81  x1    3, D 27

D3  27 x3    1, D 27

D2  108 x2  

 4, D 27

D4 27 x4    1. D 27

例2: 问  取何值时，齐次方程组

1    x1  2 x2  4 x3  0,   2 x1  3    x2  x3  0,  x  x  1    x  0,  1 2 3

有非零解？

2014年9月9日9时46分 9

解：

1  D 2 1

3

2 3 1

4 1  1  2 1  1

3 1  0

4 1 1 

 1       3   41     21    3     1     21       3

3 2

由于齐次方程组有非零解，则 D  0

所以   0 ,   2 或   3 时齐次方程组有非零解.

2014年9月9日9时46分 10

例3：证明：若平面上三条不同的直线ax  by  c  0, bx  cy  a  0, cx  ay  b  0相交于一点，则 a  b  c  0.

证明： 设所给三条直线交于一点M ( x 0, y 0)

则x  x 0, y  y0, z  1可视为齐次线性方程组

 ax  by  cz  0   bx  cy  az  0 的非零解，从而有系数行列式  cx  ay  bz  0 

2014年9月9日9时46分 11

a b c 1 2 2 2 b c a  (  )(a  b  c )[(a  b)  (b  c )  (c  a ) ] 2 c a b

0

又三条直线互不相同, 所以a , b, c也不全相同

故a  b  c  0.

2014年9月9日9时46分

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