四个一工程-试卷

高一数学

命题：刘云

一选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。请将所选答案代号填入题后的答题卡中。 1．sin690°＋tan765°＝（）

A ．－

-→

B ．1

1C ．

-→

3D ．2

2. 点A 分BC 所成的比为2，则下列结论正确的是 ( ) 。

A. 点A 分CB 的比为2 C. 点C 分BA 的比为3

→

-→

2 3

-→1

D. 点C 分AB 的比为-

B. 点B 分AC 的比为

→

3. 按向量a 将点(2, -3) 平移到点(1, -2) ，则按向量a 将点(-2, 3) 平移到 ( ) 。

A. (-3, 4) C. (4, -3)

B. (-1, 2) D. (2, -1)

4．函数f （x ）＝2sinωx在[0]上递增，且在这个区间上有最大值3，那么ω可以是（）

A ．2

8B ．

2C ．

4D ．3

45．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝2，b ＝，则A ＝（）

A ．60°

B ．75°

C ．15°或75°

D ．75°或105°

6．函数f (x ) =2sin(kx +值为 ( ) 。

则正实数k 的) 与函数g (x ) =3tan(kx -) 的周期之和为2π，

A ．1．5 B ．2 C ． 2．5 D ．3 7．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB ＝2CD ，M 、N 分别→＝→→＝→→是CD 、AB 的中点，设AB e ，AD e ，以→e 、→e 为基底表示的MN

是（）

A ． →e 1＋→e

421

C ．→e 1－e

1B ．－→e 1＋→e 2

41D. e 1－→e 2

8．已知sin x =-, x ∈[π, π]，则x 等于 ( ) 。

B. π-arcsin

-→

131

A. arcsin(-)

C. π+arcsin

-→

D. 2π-arcsin

9．已知平行四边形ABCD 满足条件(AB +AD ) ⋅(AB -AD ) =0，则该四边形是 ( ) 。

A. 矩形

B. 菱形

C. 正方形

→

→→

D. 任意平行四边形

→

10．已知向量a =(2, x ), b =(x , 8) ，若a ⋅b =|a |⋅|b |，则x 的值是 ( ) 。

A. -4 B. 4 C. 0 D. 16 11．已知函数y =A sin(ϖx +ϕ) +B 的一部分图象如右图所示，如果A >0, ϖ>0, |ϕ|

B. ϖ=1

，则（）

D. B =4

12．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大

边长与最小边长的比为m 则m 的取值范围是（） A ．（1，2） B ．（2，+∞） C ．[3，+∞] 二、填空题：(每小题4分，4个小题共计16分)

D ．（3，+∞）

13．已知m =（4，2），n =（x ，－3），且m ∥n ，则x 的值为 . 14．已知向量→a ＝（2，x ），→b ＝（3，4），且向量→a 与→b 夹锐角，则x 的取值范围是__ 15．如图所示，它是由四个大小相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，

若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形面积为1，小正方形的面积为，则cos 2θ

＝。

16给出下列命题：

5ππππ

②函数y =sin(x +) 在闭区间[-, ]上是增函数；-2x ) 是偶函数；

4222

5πππ

③直线x =是函数y =sin(2x +) 图象的一条对称轴；④将函数y =cos(2x -) 的图

348

象向左平移单位，得到函数y =cos 2x 的图象；其中正确的命题的序号

①函数y =是 .

二．填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。请将答案填在题后的横线上。

。

。三、解答题：（本大题共6个小题，74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

x x x x 3sin 2-2sin cos +cos 2

的值. （I ）求sin x －cos x 的值；（Ⅱ）求

tan x +cot x

17、（本大题满分12分）已知-

18、（本大题满分12分）. 已知∆ABC 三个顶点的坐标分别为A (4, 1) 、B (0, 2) 、C (-8, 10) （Ⅰ）若AD 是BC 边上的中线，求向量AD 的坐标；（Ⅱ）若点E 在AC 边上，且S ∆ABE =

-→

S ∆ABC ，求E 的坐标； 3

19、. （本大题满分12分）知向量a =(cosα,sin α) ，b =(cosβ,sin β) ，a -b =．

（Ⅰ）求cos(α-β) 的值；

ππ5

（Ⅱ）若0

2213

20、（本大题满分12分）已知向量=（，2），向量=(sin2ωx, －cos 2ωx) （ω>0）。（1）若f(x)= a ·b ，且f(x)的最小正周期为π，求f(x)的最大值，并求f(x)取得最大值时x 的集合。

（2）在（1）的条件下，f(x)沿向量c 平移可得到函数y=2sin2x，求向量c 。

21（、本大题满分12分）已知i,j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，设a =(m +1) i -3j ，

b =i ＋(m -1) j

(1)若((a +b ) ⊥(a -b ) , 求m 的值.

(2)当m =3时，求a 与b 的夹角θ的余弦值.

(3)是否存在实数m ，使a //b ？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.

22 .(本大题满分14) 如图，我市某学校准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花. 若BC=a ，∠ABC=θ，设△ABC 的面积为S 1，正方形的面积为S 2．

（１）用a ，θ表示S 1和S 2；

（２）当a 固定，θ变化时，求

S 1

取最小值时的角θ． S 2

参考答案

13．-6 14. x ＞二、解答题：

387且 x ≠ 15. 16 . ①③ 2325

124

⇒2sin x cos x =-

525

（1）(sinx -cos x ) 2=1-2sin x cos x =

π7

由已知-

17. 解：sin x +cos x =

2sin 2x -sin x +12-(cosx +sin x )

=(2)原式= 22

sin x +cos x +

cos x sin x sin x cos x

sin 2x (cosx +sin x ) 21124108=(2-) ⋅⋅(-) =- ………… (12分)

5225125

=sin 2x -

18. 解、

(1) 设D (x , y ) , 则AD =(x -4, y -1) BC =(-8, 8 )

∵ AD ⊥BC ∴-8(x +4) +8(y -1) =0即x -y -3=0…………(1)

又∵BD ∥BC BD =(x , y -2) ∴8x +8(y -2) =0即x +y -2=0……(2)。

5133

由⑴, ⑵得x =, y =- ∴AD =(-, -) ………… (6分)

2222

(2)设点E 分AC 的比为λ

111111S ABC ∴⋅AB ⋅AE ⋅sin A =⋅⋅AB ⋅AC ⋅sin A 即AE =AC ∴λ= 323232

114+⨯(-8) 1+⨯10由定比分点坐标公式得x E ==0,y E ==4 111+1+22

∵S ABE =

∴E (0,4) ………… (12分) 19

sin α-sin β). …………1分解（Ⅰ） ∴a -b =(cos α-cos β，

a -b =

…………2分, 即 2-2c o (αs -β)=（Ⅱ） 0

. ∴cos (α-β)=. …………4分 55

2234

c o s (α-β)=，∴sin (α-β)=.

55512

s i n β=-，∴cos β=. …………8分

1313

∴s i n α=s i ⎡n α-β⎤)+β⎣(⎦

, -

=s i n s +(α-β)c o βc -s (o α)β

s βi n

…………10分

4123⎛5⎫33

…………12分 =⋅+⋅ -⎪=

5135⎝13⎭65

20.

解：=（3，2）, =(sin2ωX, —cos 2ωx),(w＞0),

(1)f（x ）==sin2ωX —2cos 2ωx =3sin2ωx —cos2ωx —1=2sin（2ωx —T=π=

）—1 6

2ππ

，∴ω=1，f （x ）=2sin(2x—) —1 2ω6πππ

当2x —=2kπ+，即x=kπ+,(k∈Z) 时，Y 最大=1，……..6

623

∴x 的集合为{x|x=kπ+,k ∈Z}

(2)因为f （x ）的图角向左平移所以向量c 可以是：=（—21.

，再向上平移1个单位，可得到y=2sin2x的图象，12

，1） 12

. 解：由已知得，a =(m +1, -3), b =(1,m -1)

a +b =(m +2, m -4), a -b =(m , -m -2)

(1)由a +b ⊥a -b ，得（a +b ）（⋅a -b ）＝0

…………4分

所以（m +2）⋅m +(m -4) ⋅(-m -2) =0⇒m =-2

(2)m=3时，a =(4,-3), b =(1,2)

a ⋅b 所以cos θ==4分 =a b

(3)假设存在m, 使a //b ，则(m+1)(m-1)-(-3)×1=0

m+2=0,无实数解

所以不存在m, 使a //b …………4分

22.

解: （１）∵AC =a sin θ, AB =a cos θ. ∴S 1=1a 2sin θcos θ=1a 2sin 2θ.

设正方形边长为x .

则BQ=xctg θ, RC =xtg θ ∴x c t θg +x +x t g θ=a .

x =

a a sin θcos θa sin 2θ

ctg θ+tg θ+11+sin θcos θ2+sin 2θ

a sin 2θ2a 2sin 22θ

∴S 2=() =. …………6分 2

2+sin 2θ4+sin 2θ+4sin 2θ

121a sin 2θ(1+sin 2θ) 2（２）当a 固定，θ变化时，S 1 142=4==(+sin 2θ+4). 2S 2sin 2θ4sin 2θa sin 2θ4(1+sin 2θ) 2

令sin 2θ=t , 则S 1=1(t +4+4).

S 2

, ∴0

任取t 1, t 2∈(0, 1]，且t 1

f (t 1) -f (t 2) =t 1-t 2+

4(t -t ) (t t -4) 44

-=(t 1-t 2) -12=(t 1-t 2)(12) ． t 1t 2t 1⋅t 2t 1t 2

t 1-t 2

∴f (t ) =t +在(0, 1]是减函数．

∴f (t 1) -f (t 2) >0，

∴t =1时,

S 1π

取最小值，此时θ=. …………14分 S 24