§22.3（2）矩形和菱形的性质应用教学设计：
教学内容
矩形和菱形的复习习题课
二、教学目标
（一）认知目标：
1. 通过在有关证明和计算中的应用让学生掌握矩形和菱形的性质定理 2.从证明与计算中掌握矩形与菱形的区别 （二）思想目标：
1.通过练习，让学生体验几何中“从一般到特殊”的思想方法，并锻炼学生分类讨论的能力和殊途同归的思想 （三）情感目标：
1.在解题中培养学生的逻辑思维，并激发学生对几何的探究兴趣
三、教学重点与教学难点
1.能够在掌握矩形和菱形性质定理的基础上培养学生逻辑推理能力 2.锻炼和培养学生分类讨论的思想和一题多解的探究精神
3.学生能够体验“一般到特殊”的几何思想的同时很好的将其运用于题目之中
四、教学过程：
（一）复习回顾：
1.对于前两天学习的矩形与菱形的性质定理的复习
（1）强调矩形和菱形是特殊的平行四边形，因而它们都具有平行四边形所具有的性质： 两对边分别平行；对边平行且相等；两对角分别相等；对角线互相平分。 （2）复习矩形和菱形的定义：
矩形：有一个角为直角的平行四边形 菱形：有一组邻边相等的平行四边形 （3）复习矩形和菱形具有的特殊性质：
既 矩形的四个角都是直角
是
轴对 矩形的两条对角线相等 称
又（
是共
中性
心）（特性）
对
称
菱形的四条边都相等
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分每
一组对角
在对矩形和菱形的复习基础上，让学生从定义到性质，在矩形和菱形的差异中体会一般到特殊的思想，从情感上培养学生对几何证明的兴趣，从思维上培养学生逻辑能力。
{
（二）习题操练： 1.概念题训练：
（1）.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是 （ C ） 等边三角形，平行四边形，菱形，矩形
A.4 B.3 C.2 D.1
（2）.菱形具有而矩形不一定具有的性质是 （ C ） A.对边平行且相等 B.对角相等
C.对角线垂直且平分一组对角 D.既是轴对称图形又是中心对称图形 【教学说明】：
通过简单的概念选择来巩固对矩形菱形的区别，在学生对定义熟知的基础上，深入运用概念来解决较简单的题目，为后面的题目做准备。
2.填空计算训练：
（1）菱形的周长是20cm，则菱形的边长是___5cm____ 此题运用了菱形四边相等的性质
（2）如果一个菱形的内角为120度，较短的对角线为6厘米，这个菱形的面_3cm2__
此题运用了菱形对角线互相垂直且分别平分两组对角的性质，以及菱形的面积等于对角线乘积的一半的面积公式
（3）如果一个菱形内角为120度，有一对角线为6cm，此菱形的周长_24cm,8
cm___
此题运用了菱形四条边都相等的性质以及菱形对角线互相垂直且平分两组对角的性质，此题还需要运用到分类讨论的思想来解决题目。
【教学说明】：其中第三题有两解，学生容易遗漏，单位也容易遗漏，这里要提醒学生。在进一步的题目中，让学生体会菱形两个性质，一个面积公式来熟悉菱形求解题目的一些过程和思维方法，并以两题看似相同的题目来激发学生对于分类讨论的思想。
3.证明与计算：
（1）菱形ABCD中，E,F分别是BC，CD上的点，∠B＝∠EAF＝60度，∠BAE＝18度，求证△AEF是等边三角形。 证明：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=AD=CD，∠B=∠D=60° ∴△ABC和△ADC是等边三角形 ∴AB=AC，∠B=∠ACF=60°
D ∵∠BAC=60°，∠EAF=60°，∠BAC-∠EAC=∠BAE，∠∠E ∴∠BAE=∠CAF
F
∵∠BAE=∠CAF，AB=AC，∠B=∠ACF
C
∴△ABE≌△ACF
∴AE=AF ∵∠EAF=60° ∴△AEF是等边三角形
此题综合运用了平行四边形的性质和菱形的性质
（2）.如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=6，P是BC上一点，PE∥AC交BD于E，PF∥BD交AC于F，求四边形PEOF的周长 解：
∵四边形ABCD是矩形 ∴BO=CO
∴∠DBC=∠OCB
D ∵PE∥OC
∴∠OCB=∠EPB
∴∠DBC=∠OCB=∠EPB∴BE=EP ∵PE∥OF，PF∥OE
C
∴四边形PEOF是平行四边形 P ∴PF=EO
∵EP=EB，PF=OE
∴2（EP+PF）=2（BE+OE）=2BO=BD ∵AB=3，BC=6 ∴AC=BD=∴C
平行四边形PEOF=2（EP+PF）=BD=
此题运用了矩形对角线相等的性质
（3）.如图点P是矩形ABCD的对角线BD证明：过点P作HG∥AB交AD于H，交BC于G 过点P作EF∥BC交AB于E，交CD于F
∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠ADC=∠DCB=90° AB=CD AB∥CD ∵E，F在AB，CD上 ∴EB CF， AEDF ∵HGAB，EFBC
∴四边形AEFD是平行四边形，四边形BCFE是平行四边形∵∠EBC=∠BAD=90°
∴四边形AEFD和四边形BCFE是矩形
∴∠DFP=∠PFC=90°，∠PEB=∠PEA=90°，BE=CF，PA2=PE+AE，PD=DF+PF，PC=PF+CF，PB=PE+EB PB+PD=PE+EB+DF+PF=PE+PF+EB+DP PA+PC=PE+AE+PF+CF=PE+PF+CF+AE ∵BE=CF，AE=DF
∴PA²＋PC²＝PD²＋PB
[***********][1**********]22
此题运用了矩形四个角都是直角以及平行四边形的判定和矩形的判定
（4）.如图，矩形ABCD中，P是AD上任意一点，PE⊥AC，PF⊥BD， 则求证PE+PF是定值。
提示：方法一：过A作AG⊥BD，联结OP
方法二：过O作ON⊥AD，联结OP 证明：
方法一：过A作AG⊥BD，联结OP
∵S△APO=
D
11
PE*AO,S△POD=PF*OD 22
1
S△AOD=OD*AG,S△AOD=S△APO+S△POD
2
∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=DO ∴S△APO+S△POD=
1111
PE*AO+PF*OD=OD(PE+PF)=S△AOD=OD*AG 2222
∴PE+PF=AG是定值
方法二：过O作ON⊥AD，联结OP
1
∵S△AOD=S△APO+S△POD＝ON*AD
2
11
S△APO=PE*AO,S△POD=PF*OD
22
∵四边形ABCD是矩形
∴AO=DO
D
11
OD(PE+PF)＝ON*AD 22ON*AD
∴PE+PF＝是定值
OD
∴S△APO+S△POD=
此题运用的是矩形对角线相等且平分的性质，并让学生体会殊途同归的解题思路。
【教学说明】：通过证明和计算的解答与思考，让学生能够在思维锻炼的过程中想到多种解法解题，并且通过作业反映的情况提示学生如何解决问题，以及让他们认识到可以用殊途同归的方法来解决证明与计算。
五、课后反思
由于题目量较大，所以安排最后一道题目作为一道要求比较高的思考题，同学对于基本的知识运用已经能够掌握，但是在某些复杂的计算和证明中还出现了劣势，所以要强化对矩形和菱形性质的认识，并能够让他们在题目中快速找出矩形，菱形条件所可以求得的一系列关系，总之通过这节课，学生认识到了几何题目中的分类讨论以及做几何题目画图的重要性，
学生能够通过老师的解答和自己的笔记，来纠正自己逻辑上不够完善的地方，为今后学习几何逻辑证明题打下扎实的基础。
六、板书设计
§22.3（2）矩形和菱形的性质应用教学设计：
教学内容
矩形和菱形的复习习题课
二、教学目标
（一）认知目标：
1. 通过在有关证明和计算中的应用让学生掌握矩形和菱形的性质定理 2.从证明与计算中掌握矩形与菱形的区别 （二）思想目标：
1.通过练习，让学生体验几何中“从一般到特殊”的思想方法，并锻炼学生分类讨论的能力和殊途同归的思想 （三）情感目标：
1.在解题中培养学生的逻辑思维，并激发学生对几何的探究兴趣
三、教学重点与教学难点
1.能够在掌握矩形和菱形性质定理的基础上培养学生逻辑推理能力 2.锻炼和培养学生分类讨论的思想和一题多解的探究精神
3.学生能够体验“一般到特殊”的几何思想的同时很好的将其运用于题目之中
四、教学过程：
（一）复习回顾：
1.对于前两天学习的矩形与菱形的性质定理的复习
（1）强调矩形和菱形是特殊的平行四边形，因而它们都具有平行四边形所具有的性质： 两对边分别平行；对边平行且相等；两对角分别相等；对角线互相平分。 （2）复习矩形和菱形的定义：
矩形：有一个角为直角的平行四边形 菱形：有一组邻边相等的平行四边形 （3）复习矩形和菱形具有的特殊性质：
既 矩形的四个角都是直角
是
轴对 矩形的两条对角线相等 称
又（
是共
中性
心）（特性）
对
称
菱形的四条边都相等
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分每
一组对角
在对矩形和菱形的复习基础上，让学生从定义到性质，在矩形和菱形的差异中体会一般到特殊的思想，从情感上培养学生对几何证明的兴趣，从思维上培养学生逻辑能力。
{
（二）习题操练： 1.概念题训练：
（1）.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是 （ C ） 等边三角形，平行四边形，菱形，矩形
A.4 B.3 C.2 D.1
（2）.菱形具有而矩形不一定具有的性质是 （ C ） A.对边平行且相等 B.对角相等
C.对角线垂直且平分一组对角 D.既是轴对称图形又是中心对称图形 【教学说明】：
通过简单的概念选择来巩固对矩形菱形的区别，在学生对定义熟知的基础上，深入运用概念来解决较简单的题目，为后面的题目做准备。
2.填空计算训练：
（1）菱形的周长是20cm，则菱形的边长是___5cm____ 此题运用了菱形四边相等的性质
（2）如果一个菱形的内角为120度，较短的对角线为6厘米，这个菱形的面_3cm2__
此题运用了菱形对角线互相垂直且分别平分两组对角的性质，以及菱形的面积等于对角线乘积的一半的面积公式
（3）如果一个菱形内角为120度，有一对角线为6cm，此菱形的周长_24cm,8
cm___
此题运用了菱形四条边都相等的性质以及菱形对角线互相垂直且平分两组对角的性质，此题还需要运用到分类讨论的思想来解决题目。
【教学说明】：其中第三题有两解，学生容易遗漏，单位也容易遗漏，这里要提醒学生。在进一步的题目中，让学生体会菱形两个性质，一个面积公式来熟悉菱形求解题目的一些过程和思维方法，并以两题看似相同的题目来激发学生对于分类讨论的思想。
3.证明与计算：
（1）菱形ABCD中，E,F分别是BC，CD上的点，∠B＝∠EAF＝60度，∠BAE＝18度，求证△AEF是等边三角形。 证明：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=AD=CD，∠B=∠D=60° ∴△ABC和△ADC是等边三角形 ∴AB=AC，∠B=∠ACF=60°
D ∵∠BAC=60°，∠EAF=60°，∠BAC-∠EAC=∠BAE，∠∠E ∴∠BAE=∠CAF
F
∵∠BAE=∠CAF，AB=AC，∠B=∠ACF
C
∴△ABE≌△ACF
∴AE=AF ∵∠EAF=60° ∴△AEF是等边三角形
此题综合运用了平行四边形的性质和菱形的性质
（2）.如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=6，P是BC上一点，PE∥AC交BD于E，PF∥BD交AC于F，求四边形PEOF的周长 解：
∵四边形ABCD是矩形 ∴BO=CO
∴∠DBC=∠OCB
D ∵PE∥OC
∴∠OCB=∠EPB
∴∠DBC=∠OCB=∠EPB∴BE=EP ∵PE∥OF，PF∥OE
C
∴四边形PEOF是平行四边形 P ∴PF=EO
∵EP=EB，PF=OE
∴2（EP+PF）=2（BE+OE）=2BO=BD ∵AB=3，BC=6 ∴AC=BD=∴C
平行四边形PEOF=2（EP+PF）=BD=
此题运用了矩形对角线相等的性质
（3）.如图点P是矩形ABCD的对角线BD证明：过点P作HG∥AB交AD于H，交BC于G 过点P作EF∥BC交AB于E，交CD于F
∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠ADC=∠DCB=90° AB=CD AB∥CD ∵E，F在AB，CD上 ∴EB CF， AEDF ∵HGAB，EFBC
∴四边形AEFD是平行四边形，四边形BCFE是平行四边形∵∠EBC=∠BAD=90°
∴四边形AEFD和四边形BCFE是矩形
∴∠DFP=∠PFC=90°，∠PEB=∠PEA=90°，BE=CF，PA2=PE+AE，PD=DF+PF，PC=PF+CF，PB=PE+EB PB+PD=PE+EB+DF+PF=PE+PF+EB+DP PA+PC=PE+AE+PF+CF=PE+PF+CF+AE ∵BE=CF，AE=DF
∴PA²＋PC²＝PD²＋PB
[***********][1**********]22
此题运用了矩形四个角都是直角以及平行四边形的判定和矩形的判定
（4）.如图，矩形ABCD中，P是AD上任意一点，PE⊥AC，PF⊥BD， 则求证PE+PF是定值。
提示：方法一：过A作AG⊥BD，联结OP
方法二：过O作ON⊥AD，联结OP 证明：
方法一：过A作AG⊥BD，联结OP
∵S△APO=
D
11
PE*AO,S△POD=PF*OD 22
1
S△AOD=OD*AG,S△AOD=S△APO+S△POD
2
∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=DO ∴S△APO+S△POD=
1111
PE*AO+PF*OD=OD(PE+PF)=S△AOD=OD*AG 2222
∴PE+PF=AG是定值
方法二：过O作ON⊥AD，联结OP
1
∵S△AOD=S△APO+S△POD＝ON*AD
2
11
S△APO=PE*AO,S△POD=PF*OD
22
∵四边形ABCD是矩形
∴AO=DO
D
11
OD(PE+PF)＝ON*AD 22ON*AD
∴PE+PF＝是定值
OD
∴S△APO+S△POD=
此题运用的是矩形对角线相等且平分的性质，并让学生体会殊途同归的解题思路。
【教学说明】：通过证明和计算的解答与思考，让学生能够在思维锻炼的过程中想到多种解法解题，并且通过作业反映的情况提示学生如何解决问题，以及让他们认识到可以用殊途同归的方法来解决证明与计算。
五、课后反思
由于题目量较大，所以安排最后一道题目作为一道要求比较高的思考题，同学对于基本的知识运用已经能够掌握，但是在某些复杂的计算和证明中还出现了劣势，所以要强化对矩形和菱形性质的认识，并能够让他们在题目中快速找出矩形，菱形条件所可以求得的一系列关系，总之通过这节课，学生认识到了几何题目中的分类讨论以及做几何题目画图的重要性，
学生能够通过老师的解答和自己的笔记，来纠正自己逻辑上不够完善的地方，为今后学习几何逻辑证明题打下扎实的基础。
六、板书设计