湖南科技大学
高等代数选讲小论文
题 目： 线性方程组的解法及常见问题
学生姓名： 黄蝶
指导老师： 蔡永裕老师
学 院： 数学与计算科学学院
专业班级： 数学与应用数学三班
2015年7月4日
小论文（设计）内容要求
1、 要求结合实例总结高等代数中某一问题的解题思想方法或探
讨高等代数中某一理论问题
2、 标题自拟，篇幅大约在4-6个版面
3、 格式：参照大学生本科毕业生论文格式，用A4纸排版打印
正文
一、我们来讨论一般线性方程组的解法，形式为： a11X1+a12X2+a13X3+„+a1nXn=b1
a21X1+a22X2+a23X3+„+a2nXn=b2
a31X1+a32X2+a33X3+„+a3nXn=b3 （1）
„„
as1X1+as2X2+as3X3+„+asnXn=bn
①像这种一般的线性方程组，可以采用“消元法”：反复地对方程进行初等变换。即：
当X1的系数全为0时，方程组对X1没有任何限制，X1可以取任意值；若X1的系数不全为0，假设a11≠0.利用初等变换，分别把第一个方程的-ai1/a11倍加到第i个方程（i=1、2、3„s）,变成
11X1+a12X2+a13X3+„+a1nXn=b1
a＇22X2+„+a＇2nXn=b＇2
„„„„ （2）其中a＇（ai1/a11）·a1j ij=aij-
a＇s2X2+„+a＇snXn=b＇n
一直作下去，可以得到一个阶梯形方程组：
c11X1+c12X2+c13X3+„+c1nXn=d1,
c22X2+c23X3+„+c2nXn=d2,
„„„„
crrXr+„+crnXn=dr, (3)
0=dr+1,
0=0,
„
0=0
若（3）中dr+1≠0，则方程组无解；
若dr+1=0：⒈ r=n ：由最后一个方程开始，Xn，Xn-1，„，X1已经唯一确定，方程组有唯一解。
⒉ r＜n：则有n-r个自由未知量，而r＞n不可能出现。
总结：从消元法的构造过程可以看出，对方程进行一次一次地初等变换显得繁琐，而我们观察到，方程进行初等变换是为了使各方程系数也发生相应的变换从而达到消元目的。因而我们可以对一般线性方程组的增广矩阵进行初等“行变换”，将其化为上三角再解题就会变得简单了。
②cramer法则也是解线性方程组的一种方法，但是用这种方法的前提是方程的个数s=未知量的个数n，且当其系数矩阵A的行列式 ｜A｜≠0时才可用。具体叙述如下：若线性方程组
a11X1+a12X2+a13X3+„+a1nXn=b1
a21X1+a22X2+a23X3+„+a2nXn=b2
„„
an1X1+an2X2+an3X3+„+annXn=b2 的系数矩阵A的行列式d=｜A｜≠0，
则
线性方程组有唯一解，为X1=d1/d，X2=d2/d，„，Xi=di/d，„，Xn=dn/d
其中di=
a11 „ a1，j-1 b1 a1，j+1 „ a1n
a12 „ a2，j-1 b2 a2，j+1 „ a2n
„ „ „ „ „
an1 „ an,j-1 bn an,j+1 „ ann
③除了用一般解表示外，我们还找到了用基础解系和特殊解的表示方法。这里我们举一例：
X1+ 3X2 +5X3 -4X4 =1,
X1+ 3X2 +2X3 -2X4 +X5 =-1,
X1 -2 X2 +X3 -2X4 -X5 =3,
X1-4X2 +X3 +3X4 -X5 =3,
X1+2X2 +X3 -X4 +X5 =-1.
对增广矩阵进行初等行变换，得 1 0 0 0 0.5 0
0 1 0 0 0.5 -1
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0.5 -1
0 0 0 0 0 0
求出一般解 X1=-0.5X5，
X2=-1-0.5X5，
X3=0， X5为任意常数
X4=-1-0.5X5.
取X5=-2,则原方程组的一个特解为γ0=（1，0，0，0，-2） 到出组的基础解系为η=（-0.5，-1.5，0，-1.5，1）
二、如何判定线性方程组有解，若有解，解唯一还是有无数多个 ①若为齐次线性方程组，则必有零解。从而只需要考虑有没有无数多个解。判定方法：系数矩阵所对的行列式｜A｜=0，则有非零解，反之只有零解。或者说若该方程组的系数矩阵的秩r＜未知数的个数n，则有非零解，若r=n，则只有零解。
②第一种是判定齐次线性方程组的解的情况，对于一般的齐次线性方程组解的个数，则可以根据：
1°当此线性方程组增广矩阵的秩s＝系数矩阵的秩r，矩阵有唯一解，解可以根据Cramer法则计算或者对增广矩阵进行行变换消元法计算。
2°当此线性方程组增广矩阵的秩s＜系数矩阵的秩r，则有无穷多个解。
3 º当此线性方程组增广矩阵的秩s＞系数矩阵的秩r，则此一般线性方程组无解。
三、下面介绍一下线性方程组和向量组线性相关性联系起来的典型问题 证明：方程组a11X1+a12X2+a13X3+„+a1nXn=b1
a21X1+a22X2+a23X3+„+a2nXn=b2
„„„„„
an1X1+an2X2+an3X3+„+annXn=bn
对任何b1，b2，„，bn都有解的充要条件是系数行列式｜aij｜≠0。 分析：此题将行列式与线性方程组联系，解题时可以考虑到向量组的
线性无关性与其个元素构成的行列式的关系。 令αi= a1i b1 a2i b2 „ （i=1，2，„，n），β= „ ani bn 则线性方程组等价于向量方程x1α1+x2α2+„+xnαn=β. 又因为任一n维向量β能被α1，α2，„，αn线性表出的充要条件是α1，α2，„，αn线性无关，而α1，α2，„，αn线性无关的充要条件是｜aij｜≠0，因此对任何b1，b2，„，bn都有解的充要条件是系数行列式｜aij｜≠0。
参考文献：
1.《高等代数》北京大学数学系编王萼芳，石生明修订，高等教育出版社
2.《高等代数解题精粹》钱吉林编著，中央名族大学出版社
3.《高等代数辅导及习题精解》北大三版，李刚编，延边大学出版社
湖南科技大学
高等代数选讲小论文
题 目： 线性方程组的解法及常见问题
学生姓名： 黄蝶
指导老师： 蔡永裕老师
学 院： 数学与计算科学学院
专业班级： 数学与应用数学三班
2015年7月4日
小论文（设计）内容要求
1、 要求结合实例总结高等代数中某一问题的解题思想方法或探
讨高等代数中某一理论问题
2、 标题自拟，篇幅大约在4-6个版面
3、 格式：参照大学生本科毕业生论文格式，用A4纸排版打印
正文
一、我们来讨论一般线性方程组的解法，形式为： a11X1+a12X2+a13X3+„+a1nXn=b1
a21X1+a22X2+a23X3+„+a2nXn=b2
a31X1+a32X2+a33X3+„+a3nXn=b3 （1）
„„
as1X1+as2X2+as3X3+„+asnXn=bn
①像这种一般的线性方程组，可以采用“消元法”：反复地对方程进行初等变换。即：
当X1的系数全为0时，方程组对X1没有任何限制，X1可以取任意值；若X1的系数不全为0，假设a11≠0.利用初等变换，分别把第一个方程的-ai1/a11倍加到第i个方程（i=1、2、3„s）,变成
11X1+a12X2+a13X3+„+a1nXn=b1
a＇22X2+„+a＇2nXn=b＇2
„„„„ （2）其中a＇（ai1/a11）·a1j ij=aij-
a＇s2X2+„+a＇snXn=b＇n
一直作下去，可以得到一个阶梯形方程组：
c11X1+c12X2+c13X3+„+c1nXn=d1,
c22X2+c23X3+„+c2nXn=d2,
„„„„
crrXr+„+crnXn=dr, (3)
0=dr+1,
0=0,
„
0=0
若（3）中dr+1≠0，则方程组无解；
若dr+1=0：⒈ r=n ：由最后一个方程开始，Xn，Xn-1，„，X1已经唯一确定，方程组有唯一解。
⒉ r＜n：则有n-r个自由未知量，而r＞n不可能出现。
总结：从消元法的构造过程可以看出，对方程进行一次一次地初等变换显得繁琐，而我们观察到，方程进行初等变换是为了使各方程系数也发生相应的变换从而达到消元目的。因而我们可以对一般线性方程组的增广矩阵进行初等“行变换”，将其化为上三角再解题就会变得简单了。
②cramer法则也是解线性方程组的一种方法，但是用这种方法的前提是方程的个数s=未知量的个数n，且当其系数矩阵A的行列式 ｜A｜≠0时才可用。具体叙述如下：若线性方程组
a11X1+a12X2+a13X3+„+a1nXn=b1
a21X1+a22X2+a23X3+„+a2nXn=b2
„„
an1X1+an2X2+an3X3+„+annXn=b2 的系数矩阵A的行列式d=｜A｜≠0，
则
线性方程组有唯一解，为X1=d1/d，X2=d2/d，„，Xi=di/d，„，Xn=dn/d
其中di=
a11 „ a1，j-1 b1 a1，j+1 „ a1n
a12 „ a2，j-1 b2 a2，j+1 „ a2n
„ „ „ „ „
an1 „ an,j-1 bn an,j+1 „ ann
③除了用一般解表示外，我们还找到了用基础解系和特殊解的表示方法。这里我们举一例：
X1+ 3X2 +5X3 -4X4 =1,
X1+ 3X2 +2X3 -2X4 +X5 =-1,
X1 -2 X2 +X3 -2X4 -X5 =3,
X1-4X2 +X3 +3X4 -X5 =3,
X1+2X2 +X3 -X4 +X5 =-1.
对增广矩阵进行初等行变换，得 1 0 0 0 0.5 0
0 1 0 0 0.5 -1
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0.5 -1
0 0 0 0 0 0
求出一般解 X1=-0.5X5，
X2=-1-0.5X5，
X3=0， X5为任意常数
X4=-1-0.5X5.
取X5=-2,则原方程组的一个特解为γ0=（1，0，0，0，-2） 到出组的基础解系为η=（-0.5，-1.5，0，-1.5，1）
二、如何判定线性方程组有解，若有解，解唯一还是有无数多个 ①若为齐次线性方程组，则必有零解。从而只需要考虑有没有无数多个解。判定方法：系数矩阵所对的行列式｜A｜=0，则有非零解，反之只有零解。或者说若该方程组的系数矩阵的秩r＜未知数的个数n，则有非零解，若r=n，则只有零解。
②第一种是判定齐次线性方程组的解的情况，对于一般的齐次线性方程组解的个数，则可以根据：
1°当此线性方程组增广矩阵的秩s＝系数矩阵的秩r，矩阵有唯一解，解可以根据Cramer法则计算或者对增广矩阵进行行变换消元法计算。
2°当此线性方程组增广矩阵的秩s＜系数矩阵的秩r，则有无穷多个解。
3 º当此线性方程组增广矩阵的秩s＞系数矩阵的秩r，则此一般线性方程组无解。
三、下面介绍一下线性方程组和向量组线性相关性联系起来的典型问题 证明：方程组a11X1+a12X2+a13X3+„+a1nXn=b1
a21X1+a22X2+a23X3+„+a2nXn=b2
„„„„„
an1X1+an2X2+an3X3+„+annXn=bn
对任何b1，b2，„，bn都有解的充要条件是系数行列式｜aij｜≠0。 分析：此题将行列式与线性方程组联系，解题时可以考虑到向量组的
线性无关性与其个元素构成的行列式的关系。 令αi= a1i b1 a2i b2 „ （i=1，2，„，n），β= „ ani bn 则线性方程组等价于向量方程x1α1+x2α2+„+xnαn=β. 又因为任一n维向量β能被α1，α2，„，αn线性表出的充要条件是α1，α2，„，αn线性无关，而α1，α2，„，αn线性无关的充要条件是｜aij｜≠0，因此对任何b1，b2，„，bn都有解的充要条件是系数行列式｜aij｜≠0。
参考文献：
1.《高等代数》北京大学数学系编王萼芳，石生明修订，高等教育出版社
2.《高等代数解题精粹》钱吉林编著，中央名族大学出版社
3.《高等代数辅导及习题精解》北大三版，李刚编，延边大学出版社