物理
特别策划
高考物理中数学工具的作用解读
□王
数学是学习和研究物理学的重要工具，运用数学工具解决物理问题的能力是中学物理教学大纲和高考说明中要求的一项重要能力. 能熟练应用数学工具是学好物理学科的前提. 高考物理中数学工具作用主要体现在以下三个方面.
一、语言工具
物理是客观世界的抽象，数学是一种特殊的语言，是最让人信服的语言，物理需要它来表达. 物理内容的表述有两种语言形式，一种是文字语言，一种是数学语言. 物理中概念、规律、物理事物的因果关系及物理问题的演算等除了文字叙述外，一般都通过数学符号、数学式子和几何图像等数学语言来进行表达. 数学是定义物理量、表述物理规律最简洁、概括、精确、深刻的语言.
（1）定义物理量
许多物理量都是用比值法来定义的，常称之为“比值定义”，正是通过数学式子把物理量表达出来导体的电阻R ＝U ，电容器的电容的，如密度ρ＝m ，
C ＝Q ，电场强度E ＝F 等．它们的共同特征是：被定
义的物理量是反映物体或物质的属性和特征的，它和定义式中的物理量无关．
（2）表述物理规律
物理中的许多概念和规律，都是在实验的基础上，通过观察和分析实验数据，经过科学抽象，最后利用数学语言表示为物理公式的. 例如，牛顿第二定律公式是在实验的基础上，通过对实验数据和相应的图线的分析和归纳，得出两个关系式为a ∝F 和a ∝1，然后综合这两个比例式，通过比例系数法分析研究，最后导出表达式F =ma .
几乎所有的物理规律，都是通过量化的方法用数学公式进行描述的，数学给物理规律的描述提供了最简洁、最准确的表达方式. 我们在研究物理规律时，对量与量之间的关系、量的变化以及在量与量之
高
间进行分析、比较、推导和运算时，都是运用简明的数学公式、数学符号系统、形式化的语言来表达，进行定量描述和理论概括.
再如，用数学的矢量法可以表示力等矢量的大小和方向；用数学方程来表示不同物理量之间的依赖与制约关系；用数学的导数来表示各种物理量的变化率等等.
二、推理工具
数学能带来新规律的发现和新理论的建立. 牛顿在开普勒观察得到的行星运动规律的数据基础上，利用数学的方法，导出了万有引力定律; 麦克斯韦从电磁现象已有的实验规律出发，建立了电磁场理论.
数学方法是进行推理、论证的有效工具和抽象手段，在物理学中，有些公式反映了基本定义和实验规律，而有一些则是导出公式，这些导出公式是从实验规律和基本定义出发，运用数学方法进行推导、演算和论证，从而得到的.
数学推理具有严格性和逻辑性. 严格性表现在:一是推理过程的严格、可靠; 二是推理结论的精确、确定. 数学都是以逻辑推理的形式表达量的关系或空间形式的，物理中的许多结论是由严格的逻辑推理得出. 因此，一切数学结论都具有逻辑上的必然性和量的确定性. 正因为这样，数学方法才给予精密的自然科学以某种程度的可靠性；没有数学，物理是达不到这种可靠性的
.
例1如图1所示，由粗细均匀的电阻丝绕成的矩形导线框abcd 固定于水平面上，导线框边长=2L ，=L 整个线框处于竖直方向的匀强磁场中，导磁场的磁感应强度为B ，线框上各段导线的电阻与其长度成正比，已知该种电阻丝单位长度上的电阻为λ，λ的单位是Ω/m．
今在导
图1
···················································
4
物理
线框上放置一个与ab 边平行且与导线框接触良好的金属棒MN ，MN 的电阻为r ，其材料与导线框的材料不同．金属棒MN 在外力作用下沿x 轴正方向做速度为v 的匀速运动，在金属棒从导线框最左端（该处x =0）运动到导线框最右端的过程中：
（1）请写出金属棒中的感应电流I 随x 变化的函数关系式；
（2）试证明当金属棒运动到bc 段中点时，MN 两点间电压最大，并请写出最大电压U m 的表达式；
（3）试讨论在此过程中，导线框上消耗的电功率可能的变化情况
．
BLv （1）I =E ==
r +特别策划
非函数问题转化为函数问题，通过对函数的研究，使问题得以解决. 物理学中研究物理问题最常用的方法是忽略问题中的次要因素，将具体问题转化为物理问题，定义物理量、建立物理模型，根据物理概念、规律和原理，建立物理量之间的函数关系，运用函数函数方程是求解物理问题的的性质解决问题. 可见，一种有力的数学工具
.
例2一根轻绳一端固定在O 点，另一端拴一个小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速释放，如图2所示. 小球在运动至轻绳达竖直位置的过程中，
小球所受重力的瞬时功率在何处取最大值？
解析
解析解法1（物理思维分析）
设小球的质量为m ，轻绳长为L ，绳的拉力为T . 小球在运动过程中某一时刻的情境如图2所示，重力的瞬时功率为P =mgv y ，v y 为该时刻速度v 的竖直分量.
在起点和最低点v y =0，故在小球向下摆动过v y 应先增大后减程中，
小，v y 取最大值之处必在小球竖直方向的加速度
2
6BL 2v .
（2）M 、N 两点间电压U =E R =E ，当外
R +r 1+电路电阻最大时，U 有最大值U m .
（L+2x ）（5L-2x ），当L +因为外电路电阻R =λ
2x =5L -2x ，即x =L 时，R 有最大值，所以x =L 时，即金N 两点间电压有最大值，即属棒在bc 中点时M 、U m =3BL v λ.
2r+3λL
2
图2
a y =0的位置，则在该处有T y =mg ，即T cos θ=mg .
由向心力公式得，T -mg cos θ=m v .
又根据机械能守恒定律得，mgL cos θ=1mv 2，
解得cos θ=，
即绳与竖直方向成θ=arccos时重力的瞬
时功率最大.
解法2（函数方程思想）
小球在运动过程中某一时刻的重力的瞬时功率为P =mgv y =mgv sin θ，
根据机械能守恒定律：mgL cos θ=1mv 2，
P =m 姨，可得：
显然，当cos θsin 2θ取最大值时，P 最大. 而cos θsin 2θ=
（3）外电路电阻R min =λL ·5L =5L λ，R max =
·3L =3L λ. λ3L
当r
率先变小，后变大；当R min
时，导线框上消耗的电功率先变大，后变小，再变大，再变小；当r >R max ，即r >3L λ时，导线框上消耗的电
功率先变大，后变小．
三、思维工具
数学是“物理学家的思想工具”，它使物理学家能“有条理地思考”，并能想象出更多的东西．可以说，正是有了数学与物理学的有机结合，才使物理学日臻完善．物理学的严格定量化，使得数学思想方法成为物理思维中一个不可或缺的工具．
1. 函数与方程思想
函数思想就是用函数的观点、方法研究问题，将
姨
=
2
姨
，
因为2cos 2θ+sin 2θ+sin 2θ=2
，
···················································
5
物理
特别策划
由数学均值不等式a+b+c≥姨可知，
3
对其空中运动轨迹定量描述. 如图3所示，选取炸开点为坐标原点建立三维坐标系，设炮弹炸开瞬间某一小块速度v 在x 、y 、z 坐标的分量分别为
图3
P 有最大值，当2cos 2θ=sin2θ时，
即3cos 2θ=1，cos θ=时，P 有最大值
.
一些物理问题一旦被点评需要注意的是，
数学化之后，就抽掉了原本的物理意义，不再反映事物的一般规律，更加侧重于数学逻辑关系或数量关系，甚至只剩下单纯的数量关系，不一定与原题条件完全相符，这样，符合数学量关系的解就不一定适合原题，所以要舍去，这就需要对舍去的解进行物理判断.
2. 数形结合的思想
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而数学研究总是围绕着数与形进行的“. 数”就函数、不等式及表达式，代数中的一切内容; 是方程、
“形”就是图形、图像、曲线等. 数形结合的本质是数量关系决定了几何图形的性质，几何图形的性质反映了数量关系. 数形结合就是抓住数与形之间的内在联系，以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究就是把物体的空间形式和数量形. 数形结合的思想，
关系结合起来进行考察，通过数与形之间的对应和转化来解决问题的思想.
（1）以数解形
将有些涉及图形的物理问题转化为数量关系来研究，对图形作精细的分析，从而对直观图形有更精确、理性的理解. 有的物理问题，已知的是一个图形，但只靠图形是无法解决问题的，必须将图形问题转化为代数问题，从而找出所求物理量与已知物理量间的关系，建立方程进行求解；有些物理问题，用图像来表示已知的信息，只有充分挖掘图像的信息，根据图形及物理量之间的关系，寻找有关的物理规律，把图像问题转化为代数问题
.
例3
一礼花弹竖直向上飞到最高点时炸成若
v x 、v y 、v z ，由物理知识可知，小碎片在x 、y 轴方向上做匀速直线运动，在z 轴方向上做匀变速直线运动且加速度为重力加速度g .
为简便起见，选取自由落体运动的物体为参照系，则某一小块在选定的参照系中，在z 轴方向依然做匀速运动. 由此得到在时刻t ，某一小块相对于参照系在各坐标方向的位移分别为x =v ·y =v ·z =v ·x t ，y t ，z t ；
（v x 2+v y 2+v z 2）t 2=v 2t 2=R 2，可得x 2+y 2+z 2=其中R =vt .
（*）式就是在空中飞行的某一小块相对于所选定参照系的轨迹方程.
轨迹是一个半径为R 的球面方程. 表明礼花弹在空中炸开后，任一时刻每一小片相对于参照系都落在同一球面上，其球面半径大小与时间成正比. 又因选取的是自由落体参照系，故对地面观察者而言，该球面的球心从炸开点开始竖直向下做自由落体运动，整个球面也同时在做自由落体运动. 这就定量地描述出了礼花弹炸开后每一小块在空中的运动情况.
（2）以形助数
有的物理问题，较难直接找出未知量与已知量之间的关系，通常需要借助诸如受力分析图、运动过程图等示意图来寻找未知量与已知量之间的关系，建立方程进行求解; 有些物理问题，用代数运算比较繁杂，可以将代数运算转化成图形，利用图形来求解问题
.
例4
如图4所示，平直木板AB 倾斜放置，板
（*）
上的P 点距A 端较近，小物块与木板间的动摩擦因数由A 到B 逐渐减小，先让物块从A 由静止开始滑将A 着地，抬高B ，使木板的倾角与前一到B . 然后，
过程相同，再让物块从B 由静止开始滑到A . 上述两过程相比较，下列说法中一定正确的有（动能，
前一过程较小
）
图4
A ．物块经过P 点的
干小块，设炸开时每一小块以相同的速率，向各个不同方向飞出，且不计空气阻力，试定量描述此后每一小块在空中的运动情况
.
各小块碎解析礼花弹在空中最高点炸开后，片在空中一般做的是曲线运动. 要定量描述其空中运动情况，可利用物理规律先写出其空中运动轨迹的数学方程，再通过对相应数学方程的定量研究来
···················································
6
物理
B ．物块从顶端滑到P 点的过程中因摩擦产生的热量，前一过程较少
C ．物块滑到底端的速度，前一过程较大D ．物块从顶端滑到底端的时间，
前一过程较长小物块与木板间的动摩擦因解析由题意知，
数由A 到B 逐渐减小，物块在木板AB 上由静止开始滑到另一端的过程中，所受到的滑动摩擦力f =μmg cos θ是变力，加速度a =g sin θ-μg cos θ是变值，因此，物块做的是变加速运动，摩擦力做功是变力做功. 根据两个运动过程的受力分析知：甲（从A 到B ）是加速度越来越大的变加速运动，乙（从B 到A ）是加速度越来越小的变加速运动，（见图5），而且滑到底端时的速度相等，据此画出两种情况的速度图像，如图6所示. 由图像知，它们从顶端滑到底端的位移相等，可见，t ＞t ，所以D 选甲乙
项正确. 利用图像可以直接比较出从顶端下滑相同距离的
图6
P 和P ′点的速度大小，v P ′＞v P ，就容易得到t 甲P ＞t 乙P ，所根据能量转化与守恒可知，Q =△E p 减-E k ，因为△E p 甲＜△E p 乙，而到P 点的动能E k 甲＜△E k 乙，所以无法判断物块从顶端滑到P 点的过程中因摩擦产生的热量，B 选项错误.
图
5
图7. 拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图8所示，图线为半圆．则小物块运动到x 0处时的动能为多大
.
特别策划
图
7
图
8
水平拉力F 对小物块做功，它的动能就
解析
有W F =E k x . 由图8可知，F 是随增加, 根据动能定理，
x 变化而变化的，对于变力做功问题，我们常采用微元法来处理，即在x 处取一位移元△x （如图9），在△x 上F 可视为恒定的，F 做的功为△W =F ·△x =△S ，在整个过程中力F 做的功为ΣW =Σ△S ，即W F =S 半圆，半圆的半径是x 0还是F m ，或者都可
图9
以？从数学上看，图线为半圆，应该有x =F m ，因此
2有S 半圆=πx 0或者S 半圆=F m π，但从物理角度看，x
2
2
与F 分别表示的是位移和力，它们的大小不具有可比性，本题中的x 与F 之间的关系图像是一半圆，所以S 半圆=πF m x 0，因此，小物块到达x 0处的动能为π44F m x 0
.
当其点评同样的F 与x 之间的函数关系，标度的大小选择不同时，图线就会从圆变为椭圆，这时椭圆的长短轴分别为2F m 和x 0，其面积为：S =1π·F m ×x =1πF m x 0，可见，物理图像中的圆与椭圆
224具有相对性，计算面积时要注意面积的物理意义.
4. 数列思想
有些物理问题具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，而是一种变化了的重复．随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着前后有联系的变化．这些问题常用数列的思想方法进行求解
.
例6制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为d 的两平行极板，如图10甲所示. 加
以物块经过P 点的动能，前一过程较小，A 选项正确.
答案AD
3. 微分与积分思想
微积分思想的精妙之处在于通过有限向无限的转化实现由近似到精确的分析过程. 实际中的复杂物理问题，可以在时间、空间等范围内分割成相应的局部问题，这些局部范围内的问题可以近似为简单基本的问题来研究，所有局部范围研究结果的累积即为实际复杂物理问题的结果
.
例5
静置于光滑水平面上坐标原点处的小
物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴正方向运动，见
··················································
·
7
物理
特别策划
在极板A 、B 间的电压U AB 作周期性变化，其正向电压为U 0，反向电压为-kU 0（k >1），电压变化的周期为2T ，如图乙所示. 在t =0时，极板B 附近的一个电子，质量为m 、电荷量为e ，受电场作用由静止开始运动. 若整个运动过程中，电子未碰到极板A ，且不考虑重力作用. 求：
乙图10甲
4T ＜t ≤5T ，v 5=2（a 1-a 2）T +a 2×4T +a 1×（t -4T ）=［t -2（k +1）T ］a 1；
5T ＜t ≤6T ，v 6=2（-a 1+a2）T +a 1×5T +a （）=［3（k +2t -5T ）T -kt ］a 1；1
……归纳可得：
当2nT ＜t ≤（2n +1）T 时，v =［t -（k +1）nT eU n =
0，1，2，3…99）；
）T ＜t ≤（2n +2）T 时，v ′=［（n +1）（k +1）T-当（2n+1
kt eU n =0，1，2，3…99）.
（3）第N 个周期内位移为0，三个时刻对应的速度如图11所示. 即：
x 1+x 2=0，v +v T +v +v T=0，
所以有v 1+v 3+2v 2=0.根据第2问结论有：
v 3=［N （k +1）T -k ×2NT eU 0=（1-k eNU 0T ，
v 1=［（N-1）（k +1）T -k ×（2N-2）T eU =（N +Nk +k -eU T ，1
v 2=［（2N-1）T-（k +1）（N -1）T ］eU 0=（N-Nk+k）
eU 0T ，代入解得：k =4N -1.
图
11
（1）若k =5，电子在0~2T 时间内不能到达极
板A ，求d 应满足的条件；
）若电子在0~200T 时间内未碰到极板B ，求（2
此运动过程中电子速度v 随时间t 变化的关系；
（3）若电子在第N 个周期内的位移为零，求k 的值
.
解析（1）电子在0~T 时间内做匀加速运动，
位移x 1=1a 1T 2；加速度大小为a 1=eU ，
2
在T ~2T 时间内先做匀减速运动后反向做匀加速运动，加速度的大小为a 2=5eU ，
4md
初速度的大小为v 1=a 1T ，匀减速运动阶段的位
2
移x 2=v ；
2a 2
依据题意d ＞x 1+x 2，解得：d ＞
姨
T .
马克思有一句名言，“一种科学只有成功地运用数学时，才算真正达到完善的程度”. 物理学研究正是不满足于定性分析问题，总设法借助数学思想方法对问题进行定量分析，从中引出更普遍性的结论，才取得了如今辉煌的成就.
（2）电子做匀加速运动的加速度大小为a 1=eU ，
做匀减速运动后加速度的大小为a 2=-keU 0
=-ka 1，则：
0＜t ≤T ，v 1=a 1t ；
T ＜t ≤2T ，v 2=a 1T +a （）=［（k +1）T -kt ］a 1；2t -T 2T ＜t ≤3T ，v 3=（a 1-a 2）T +a 2×2T +a 1（t -2T ）=［t -（k +1）T ］a 1；
3T ＜t ≤4T ，v 4=（-a 1+a2）T +a 1×3T +a （）=［2（k +2t -3T 1）T -kt ］a 1；
···················································
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高考物理中数学工具的作用解读
□王
数学是学习和研究物理学的重要工具，运用数学工具解决物理问题的能力是中学物理教学大纲和高考说明中要求的一项重要能力. 能熟练应用数学工具是学好物理学科的前提. 高考物理中数学工具作用主要体现在以下三个方面.
一、语言工具
物理是客观世界的抽象，数学是一种特殊的语言，是最让人信服的语言，物理需要它来表达. 物理内容的表述有两种语言形式，一种是文字语言，一种是数学语言. 物理中概念、规律、物理事物的因果关系及物理问题的演算等除了文字叙述外，一般都通过数学符号、数学式子和几何图像等数学语言来进行表达. 数学是定义物理量、表述物理规律最简洁、概括、精确、深刻的语言.
（1）定义物理量
许多物理量都是用比值法来定义的，常称之为“比值定义”，正是通过数学式子把物理量表达出来导体的电阻R ＝U ，电容器的电容的，如密度ρ＝m ，
C ＝Q ，电场强度E ＝F 等．它们的共同特征是：被定
义的物理量是反映物体或物质的属性和特征的，它和定义式中的物理量无关．
（2）表述物理规律
物理中的许多概念和规律，都是在实验的基础上，通过观察和分析实验数据，经过科学抽象，最后利用数学语言表示为物理公式的. 例如，牛顿第二定律公式是在实验的基础上，通过对实验数据和相应的图线的分析和归纳，得出两个关系式为a ∝F 和a ∝1，然后综合这两个比例式，通过比例系数法分析研究，最后导出表达式F =ma .
几乎所有的物理规律，都是通过量化的方法用数学公式进行描述的，数学给物理规律的描述提供了最简洁、最准确的表达方式. 我们在研究物理规律时，对量与量之间的关系、量的变化以及在量与量之
高
间进行分析、比较、推导和运算时，都是运用简明的数学公式、数学符号系统、形式化的语言来表达，进行定量描述和理论概括.
再如，用数学的矢量法可以表示力等矢量的大小和方向；用数学方程来表示不同物理量之间的依赖与制约关系；用数学的导数来表示各种物理量的变化率等等.
二、推理工具
数学能带来新规律的发现和新理论的建立. 牛顿在开普勒观察得到的行星运动规律的数据基础上，利用数学的方法，导出了万有引力定律; 麦克斯韦从电磁现象已有的实验规律出发，建立了电磁场理论.
数学方法是进行推理、论证的有效工具和抽象手段，在物理学中，有些公式反映了基本定义和实验规律，而有一些则是导出公式，这些导出公式是从实验规律和基本定义出发，运用数学方法进行推导、演算和论证，从而得到的.
数学推理具有严格性和逻辑性. 严格性表现在:一是推理过程的严格、可靠; 二是推理结论的精确、确定. 数学都是以逻辑推理的形式表达量的关系或空间形式的，物理中的许多结论是由严格的逻辑推理得出. 因此，一切数学结论都具有逻辑上的必然性和量的确定性. 正因为这样，数学方法才给予精密的自然科学以某种程度的可靠性；没有数学，物理是达不到这种可靠性的
.
例1如图1所示，由粗细均匀的电阻丝绕成的矩形导线框abcd 固定于水平面上，导线框边长=2L ，=L 整个线框处于竖直方向的匀强磁场中，导磁场的磁感应强度为B ，线框上各段导线的电阻与其长度成正比，已知该种电阻丝单位长度上的电阻为λ，λ的单位是Ω/m．
今在导
图1
···················································
4
物理
线框上放置一个与ab 边平行且与导线框接触良好的金属棒MN ，MN 的电阻为r ，其材料与导线框的材料不同．金属棒MN 在外力作用下沿x 轴正方向做速度为v 的匀速运动，在金属棒从导线框最左端（该处x =0）运动到导线框最右端的过程中：
（1）请写出金属棒中的感应电流I 随x 变化的函数关系式；
（2）试证明当金属棒运动到bc 段中点时，MN 两点间电压最大，并请写出最大电压U m 的表达式；
（3）试讨论在此过程中，导线框上消耗的电功率可能的变化情况
．
BLv （1）I =E ==
r +特别策划
非函数问题转化为函数问题，通过对函数的研究，使问题得以解决. 物理学中研究物理问题最常用的方法是忽略问题中的次要因素，将具体问题转化为物理问题，定义物理量、建立物理模型，根据物理概念、规律和原理，建立物理量之间的函数关系，运用函数函数方程是求解物理问题的的性质解决问题. 可见，一种有力的数学工具
.
例2一根轻绳一端固定在O 点，另一端拴一个小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速释放，如图2所示. 小球在运动至轻绳达竖直位置的过程中，
小球所受重力的瞬时功率在何处取最大值？
解析
解析解法1（物理思维分析）
设小球的质量为m ，轻绳长为L ，绳的拉力为T . 小球在运动过程中某一时刻的情境如图2所示，重力的瞬时功率为P =mgv y ，v y 为该时刻速度v 的竖直分量.
在起点和最低点v y =0，故在小球向下摆动过v y 应先增大后减程中，
小，v y 取最大值之处必在小球竖直方向的加速度
2
6BL 2v .
（2）M 、N 两点间电压U =E R =E ，当外
R +r 1+电路电阻最大时，U 有最大值U m .
（L+2x ）（5L-2x ），当L +因为外电路电阻R =λ
2x =5L -2x ，即x =L 时，R 有最大值，所以x =L 时，即金N 两点间电压有最大值，即属棒在bc 中点时M 、U m =3BL v λ.
2r+3λL
2
图2
a y =0的位置，则在该处有T y =mg ，即T cos θ=mg .
由向心力公式得，T -mg cos θ=m v .
又根据机械能守恒定律得，mgL cos θ=1mv 2，
解得cos θ=，
即绳与竖直方向成θ=arccos时重力的瞬
时功率最大.
解法2（函数方程思想）
小球在运动过程中某一时刻的重力的瞬时功率为P =mgv y =mgv sin θ，
根据机械能守恒定律：mgL cos θ=1mv 2，
P =m 姨，可得：
显然，当cos θsin 2θ取最大值时，P 最大. 而cos θsin 2θ=
（3）外电路电阻R min =λL ·5L =5L λ，R max =
·3L =3L λ. λ3L
当r
率先变小，后变大；当R min
时，导线框上消耗的电功率先变大，后变小，再变大，再变小；当r >R max ，即r >3L λ时，导线框上消耗的电
功率先变大，后变小．
三、思维工具
数学是“物理学家的思想工具”，它使物理学家能“有条理地思考”，并能想象出更多的东西．可以说，正是有了数学与物理学的有机结合，才使物理学日臻完善．物理学的严格定量化，使得数学思想方法成为物理思维中一个不可或缺的工具．
1. 函数与方程思想
函数思想就是用函数的观点、方法研究问题，将
姨
=
2
姨
，
因为2cos 2θ+sin 2θ+sin 2θ=2
，
···················································
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特别策划
由数学均值不等式a+b+c≥姨可知，
3
对其空中运动轨迹定量描述. 如图3所示，选取炸开点为坐标原点建立三维坐标系，设炮弹炸开瞬间某一小块速度v 在x 、y 、z 坐标的分量分别为
图3
P 有最大值，当2cos 2θ=sin2θ时，
即3cos 2θ=1，cos θ=时，P 有最大值
.
一些物理问题一旦被点评需要注意的是，
数学化之后，就抽掉了原本的物理意义，不再反映事物的一般规律，更加侧重于数学逻辑关系或数量关系，甚至只剩下单纯的数量关系，不一定与原题条件完全相符，这样，符合数学量关系的解就不一定适合原题，所以要舍去，这就需要对舍去的解进行物理判断.
2. 数形结合的思想
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而数学研究总是围绕着数与形进行的“. 数”就函数、不等式及表达式，代数中的一切内容; 是方程、
“形”就是图形、图像、曲线等. 数形结合的本质是数量关系决定了几何图形的性质，几何图形的性质反映了数量关系. 数形结合就是抓住数与形之间的内在联系，以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究就是把物体的空间形式和数量形. 数形结合的思想，
关系结合起来进行考察，通过数与形之间的对应和转化来解决问题的思想.
（1）以数解形
将有些涉及图形的物理问题转化为数量关系来研究，对图形作精细的分析，从而对直观图形有更精确、理性的理解. 有的物理问题，已知的是一个图形，但只靠图形是无法解决问题的，必须将图形问题转化为代数问题，从而找出所求物理量与已知物理量间的关系，建立方程进行求解；有些物理问题，用图像来表示已知的信息，只有充分挖掘图像的信息，根据图形及物理量之间的关系，寻找有关的物理规律，把图像问题转化为代数问题
.
例3
一礼花弹竖直向上飞到最高点时炸成若
v x 、v y 、v z ，由物理知识可知，小碎片在x 、y 轴方向上做匀速直线运动，在z 轴方向上做匀变速直线运动且加速度为重力加速度g .
为简便起见，选取自由落体运动的物体为参照系，则某一小块在选定的参照系中，在z 轴方向依然做匀速运动. 由此得到在时刻t ，某一小块相对于参照系在各坐标方向的位移分别为x =v ·y =v ·z =v ·x t ，y t ，z t ；
（v x 2+v y 2+v z 2）t 2=v 2t 2=R 2，可得x 2+y 2+z 2=其中R =vt .
（*）式就是在空中飞行的某一小块相对于所选定参照系的轨迹方程.
轨迹是一个半径为R 的球面方程. 表明礼花弹在空中炸开后，任一时刻每一小片相对于参照系都落在同一球面上，其球面半径大小与时间成正比. 又因选取的是自由落体参照系，故对地面观察者而言，该球面的球心从炸开点开始竖直向下做自由落体运动，整个球面也同时在做自由落体运动. 这就定量地描述出了礼花弹炸开后每一小块在空中的运动情况.
（2）以形助数
有的物理问题，较难直接找出未知量与已知量之间的关系，通常需要借助诸如受力分析图、运动过程图等示意图来寻找未知量与已知量之间的关系，建立方程进行求解; 有些物理问题，用代数运算比较繁杂，可以将代数运算转化成图形，利用图形来求解问题
.
例4
如图4所示，平直木板AB 倾斜放置，板
（*）
上的P 点距A 端较近，小物块与木板间的动摩擦因数由A 到B 逐渐减小，先让物块从A 由静止开始滑将A 着地，抬高B ，使木板的倾角与前一到B . 然后，
过程相同，再让物块从B 由静止开始滑到A . 上述两过程相比较，下列说法中一定正确的有（动能，
前一过程较小
）
图4
A ．物块经过P 点的
干小块，设炸开时每一小块以相同的速率，向各个不同方向飞出，且不计空气阻力，试定量描述此后每一小块在空中的运动情况
.
各小块碎解析礼花弹在空中最高点炸开后，片在空中一般做的是曲线运动. 要定量描述其空中运动情况，可利用物理规律先写出其空中运动轨迹的数学方程，再通过对相应数学方程的定量研究来
···················································
6
物理
B ．物块从顶端滑到P 点的过程中因摩擦产生的热量，前一过程较少
C ．物块滑到底端的速度，前一过程较大D ．物块从顶端滑到底端的时间，
前一过程较长小物块与木板间的动摩擦因解析由题意知，
数由A 到B 逐渐减小，物块在木板AB 上由静止开始滑到另一端的过程中，所受到的滑动摩擦力f =μmg cos θ是变力，加速度a =g sin θ-μg cos θ是变值，因此，物块做的是变加速运动，摩擦力做功是变力做功. 根据两个运动过程的受力分析知：甲（从A 到B ）是加速度越来越大的变加速运动，乙（从B 到A ）是加速度越来越小的变加速运动，（见图5），而且滑到底端时的速度相等，据此画出两种情况的速度图像，如图6所示. 由图像知，它们从顶端滑到底端的位移相等，可见，t ＞t ，所以D 选甲乙
项正确. 利用图像可以直接比较出从顶端下滑相同距离的
图6
P 和P ′点的速度大小，v P ′＞v P ，就容易得到t 甲P ＞t 乙P ，所根据能量转化与守恒可知，Q =△E p 减-E k ，因为△E p 甲＜△E p 乙，而到P 点的动能E k 甲＜△E k 乙，所以无法判断物块从顶端滑到P 点的过程中因摩擦产生的热量，B 选项错误.
图
5
图7. 拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图8所示，图线为半圆．则小物块运动到x 0处时的动能为多大
.
特别策划
图
7
图
8
水平拉力F 对小物块做功，它的动能就
解析
有W F =E k x . 由图8可知，F 是随增加, 根据动能定理，
x 变化而变化的，对于变力做功问题，我们常采用微元法来处理，即在x 处取一位移元△x （如图9），在△x 上F 可视为恒定的，F 做的功为△W =F ·△x =△S ，在整个过程中力F 做的功为ΣW =Σ△S ，即W F =S 半圆，半圆的半径是x 0还是F m ，或者都可
图9
以？从数学上看，图线为半圆，应该有x =F m ，因此
2有S 半圆=πx 0或者S 半圆=F m π，但从物理角度看，x
2
2
与F 分别表示的是位移和力，它们的大小不具有可比性，本题中的x 与F 之间的关系图像是一半圆，所以S 半圆=πF m x 0，因此，小物块到达x 0处的动能为π44F m x 0
.
当其点评同样的F 与x 之间的函数关系，标度的大小选择不同时，图线就会从圆变为椭圆，这时椭圆的长短轴分别为2F m 和x 0，其面积为：S =1π·F m ×x =1πF m x 0，可见，物理图像中的圆与椭圆
224具有相对性，计算面积时要注意面积的物理意义.
4. 数列思想
有些物理问题具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，而是一种变化了的重复．随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着前后有联系的变化．这些问题常用数列的思想方法进行求解
.
例6制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为d 的两平行极板，如图10甲所示. 加
以物块经过P 点的动能，前一过程较小，A 选项正确.
答案AD
3. 微分与积分思想
微积分思想的精妙之处在于通过有限向无限的转化实现由近似到精确的分析过程. 实际中的复杂物理问题，可以在时间、空间等范围内分割成相应的局部问题，这些局部范围内的问题可以近似为简单基本的问题来研究，所有局部范围研究结果的累积即为实际复杂物理问题的结果
.
例5
静置于光滑水平面上坐标原点处的小
物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴正方向运动，见
··················································
·
7
物理
特别策划
在极板A 、B 间的电压U AB 作周期性变化，其正向电压为U 0，反向电压为-kU 0（k >1），电压变化的周期为2T ，如图乙所示. 在t =0时，极板B 附近的一个电子，质量为m 、电荷量为e ，受电场作用由静止开始运动. 若整个运动过程中，电子未碰到极板A ，且不考虑重力作用. 求：
乙图10甲
4T ＜t ≤5T ，v 5=2（a 1-a 2）T +a 2×4T +a 1×（t -4T ）=［t -2（k +1）T ］a 1；
5T ＜t ≤6T ，v 6=2（-a 1+a2）T +a 1×5T +a （）=［3（k +2t -5T ）T -kt ］a 1；1
……归纳可得：
当2nT ＜t ≤（2n +1）T 时，v =［t -（k +1）nT eU n =
0，1，2，3…99）；
）T ＜t ≤（2n +2）T 时，v ′=［（n +1）（k +1）T-当（2n+1
kt eU n =0，1，2，3…99）.
（3）第N 个周期内位移为0，三个时刻对应的速度如图11所示. 即：
x 1+x 2=0，v +v T +v +v T=0，
所以有v 1+v 3+2v 2=0.根据第2问结论有：
v 3=［N （k +1）T -k ×2NT eU 0=（1-k eNU 0T ，
v 1=［（N-1）（k +1）T -k ×（2N-2）T eU =（N +Nk +k -eU T ，1
v 2=［（2N-1）T-（k +1）（N -1）T ］eU 0=（N-Nk+k）
eU 0T ，代入解得：k =4N -1.
图
11
（1）若k =5，电子在0~2T 时间内不能到达极
板A ，求d 应满足的条件；
）若电子在0~200T 时间内未碰到极板B ，求（2
此运动过程中电子速度v 随时间t 变化的关系；
（3）若电子在第N 个周期内的位移为零，求k 的值
.
解析（1）电子在0~T 时间内做匀加速运动，
位移x 1=1a 1T 2；加速度大小为a 1=eU ，
2
在T ~2T 时间内先做匀减速运动后反向做匀加速运动，加速度的大小为a 2=5eU ，
4md
初速度的大小为v 1=a 1T ，匀减速运动阶段的位
2
移x 2=v ；
2a 2
依据题意d ＞x 1+x 2，解得：d ＞
姨
T .
马克思有一句名言，“一种科学只有成功地运用数学时，才算真正达到完善的程度”. 物理学研究正是不满足于定性分析问题，总设法借助数学思想方法对问题进行定量分析，从中引出更普遍性的结论，才取得了如今辉煌的成就.
（2）电子做匀加速运动的加速度大小为a 1=eU ，
做匀减速运动后加速度的大小为a 2=-keU 0
=-ka 1，则：
0＜t ≤T ，v 1=a 1t ；
T ＜t ≤2T ，v 2=a 1T +a （）=［（k +1）T -kt ］a 1；2t -T 2T ＜t ≤3T ，v 3=（a 1-a 2）T +a 2×2T +a 1（t -2T ）=［t -（k +1）T ］a 1；
3T ＜t ≤4T ，v 4=（-a 1+a2）T +a 1×3T +a （）=［2（k +2t -3T 1）T -kt ］a 1；
···················································
8