含参导数问题常见的分类讨论
学生
1. 求导后, 需要判断导数等于零是否有实根, 从而引发讨论:
例1.(11全国Ⅱ文21) 已知函数f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4 (a∈R).
(1)证明:曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2):
(2)若f(x)在x=x0处取得极小值,x 0∈(1,3),求a 的取值范围.
2. 求导后, 需要比较导数等于零的不同实根的大小, 从而引发讨论:
例2.(09辽理) 已知函数f(x)=0.5x2-ax+(a-1)lnx,a>1.(1)讨论函数f(x)的单调性;
（2）证明：若a
解：（1）f (x ) 的定义域为(0,+∞) ，f (x 1) -f (x 2) >-1。 x 1-x 2
a -1x 2-ax +a -1(x -1)[x -(a -1)]f '(x ) =x -a +==--------------2分 x x x
(x -1) 2
（i ）若a -1=1，即a=2，则f '(x ) =，故f (x ) 在(0,+∞) 上单调增加。 x
（ii ）若a -11，故1
当x ∈(0,a -1) 及x ∈(1,+∞) 时，f '(x )>0。
故f (x ) 在(a -1,1) 上单调减少，在(0,a -1) ，(1,+∞) 上单调增加。
（iii ）若a -1>1，即a >2， 同理可得f (x ) 在(a -1,1) 上单调减少，在(0,a -1) ，(1,+∞) 上单调增加。 -----------------6分
（2）考虑函数g (x ) =f (x ) +x =12x -ax +(a -1)ln x +x ，
2
则g '(x ) =x -(a -1) +a -1≥(a -1) =1-1) 2， x 由于10，即g (x ) 在(0,+∞) 上单调增加，从而当00，即f (x 1) -f (x 2) +x 1-x 2>0，故f (x 1) -f (x 2) >-1； x 1-x 2
当0-1。----------------12分 x 1-x 2x 2-x 1
3. 求导后, 对于导数大于或小于零的不等式, 两边同除一个代数式, 需考虑代数式的正负, 从而引发讨论:
例3.(10辽文21) 已知函数f(x)=(a+1)lnx +ax2+1.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)设a ≤-2, 证明:对任意x 1,x 2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x 2|
4. 求导后, 导函数等于零有实根, 需要判断实根是否在定义域内, 从而引发讨论: 例4.(10天津文20) 已知函数f(x)=ax3-2x 2+1 (x∈R), 其中a>0.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程:
(2)若在区间[-, ]上f(x)>0,恒成立, 求a 的取值范围.
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1. 求导后, 需要判断导数等于零是否有实根, 从而引发讨论:
例1.(11全国Ⅱ文21) 已知函数f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4 (a∈R).
(1)证明:曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2):
(2)若f(x)在x=x0处取得极小值,x 0∈(1,3),求a 的取值范围.
2. 求导后, 需要比较导数等于零的不同实根的大小, 从而引发讨论:
例2.(09辽理) 已知函数f(x)=0.5x2-ax+(a-1)lnx,a>1.(1)讨论函数f(x)的单调性;
（2）证明：若a
解：（1）f (x ) 的定义域为(0,+∞) ，f (x 1) -f (x 2) >-1。 x 1-x 2
a -1x 2-ax +a -1(x -1)[x -(a -1)]f '(x ) =x -a +==--------------2分 x x x
(x -1) 2
（i ）若a -1=1，即a=2，则f '(x ) =，故f (x ) 在(0,+∞) 上单调增加。 x
（ii ）若a -11，故1
当x ∈(0,a -1) 及x ∈(1,+∞) 时，f '(x )>0。
故f (x ) 在(a -1,1) 上单调减少，在(0,a -1) ，(1,+∞) 上单调增加。
（iii ）若a -1>1，即a >2， 同理可得f (x ) 在(a -1,1) 上单调减少，在(0,a -1) ，(1,+∞) 上单调增加。 -----------------6分
（2）考虑函数g (x ) =f (x ) +x =12x -ax +(a -1)ln x +x ，
2
则g '(x ) =x -(a -1) +a -1≥(a -1) =1-1) 2， x 由于10，即g (x ) 在(0,+∞) 上单调增加，从而当00，即f (x 1) -f (x 2) +x 1-x 2>0，故f (x 1) -f (x 2) >-1； x 1-x 2
当0-1。----------------12分 x 1-x 2x 2-x 1
3. 求导后, 对于导数大于或小于零的不等式, 两边同除一个代数式, 需考虑代数式的正负, 从而引发讨论:
例3.(10辽文21) 已知函数f(x)=(a+1)lnx +ax2+1.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)设a ≤-2, 证明:对任意x 1,x 2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x 2|
4. 求导后, 导函数等于零有实根, 需要判断实根是否在定义域内, 从而引发讨论: 例4.(10天津文20) 已知函数f(x)=ax3-2x 2+1 (x∈R), 其中a>0.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程:
(2)若在区间[-, ]上f(x)>0,恒成立, 求a 的取值范围.
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