第十三章 微积分在经济学中的经济应用 (数三）
《考试要求》
1. 掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。 2. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。 3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。
4. 会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。
一、. 极限及级数在经济学中的应用
(一) 复利：
设某银行年利率为r ，初始存款为A 0元，
（1）一年支付一次利息（称为年复利），则t 年后在银行的存款余额为A t =A 0(1+r ); （2）若一年支付n 次，则t 年后在银行的存款余额为A =A 0(1+) nt
t n ;
t
r
n
r
（3）由于lim [(1+) r ]rt =e rt ，所以当每年支付次数趋于无穷时，t 年后得到的存款
n n →∞
余额为A t =A 0e rt
，
称为t 年后按计算得到的存款余额。
(二) 将来值与现值：
上述结论中，称A t 是A 0的将来值，而A 0是A t 的现值。现值与将来值的关系为： A t =A 0(1+r ) t ⇔A 0=A t (1+r ) -t 或 A t =A 0(1+r ) t ⇔A 0=A t (1+r ) -t
例 1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相同, 10年付清,
年利率 为6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？
例2（08）设银行存款的年利率为r 0.05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？ 、
二. 经济学中的常用函数
需求函数：Q =Q (P ) , 通常Q =Q (P ) 是P 的减函数； 供给函数：Q =Q (P ) , 通常Q =Q (P ) 是P 的增函数；
成本函数：C (Q ) =C 0+C 1(Q ) , 其中C 0=C (0)为固定成本, C 1(Q ) 为可变成本； 收益函数：R =PQ ;
利润函数：L (Q ) =R (Q ) -C (Q ) .
例 1 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为p 1和p 2, 销售量分别为q 1和q 2, 需求函数分别为q 1=24-02p 1, q 2=10-0.05p 2, 总成本函数为
C =35+40(q 1+q 2) , 试问：厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大？最
大的总利润为多少？
设生产某种产品必须投入两种要素, x 1和x 2分别为两种要素的投入量, Q 为例 2（99）
αβ
产出量；若生产函数为Q =2x 1x 2, 其中α, β为正常数, 且α+β=1, 假设两种要素的价
格分别为p 1和p 2试问：当产出量为12时, 两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？
αβ
解 需要在产出量2x 1x 2=12的条件下, 求总费用p 1x 1+p 2x 2的最小值, 为此作拉格
朗日函数
αβ
F (x 1, x 2, λ) =p 1x 1+p 2x 2+λ(12-2x 1x 2) .
⎧∂F α-1β
=p -2λαx x 2=0, 11⎪∂x ⎪1⎪∂F αβ-1
=p 2-2λβx 1x 2=0, ⎨⎪∂x 2⎪∂F αβ
=12-2x 1x 2=0. ⎪⎩∂λ
x 2=6(
(1)
(2) 由(1)和(2), 得 (3)
p 1βαp α
) , x 1=(2) β；因驻点唯一, 且实际问题存在最小值, 故当p 2αp 1β
x 1=(
p 2αβp β
) , x 2=6(1) α时, 投入总费用最小. p 1βp 2α
三. 利用导数求解经济应用问题
（一）、边际量：
当某经济量y =y (x ) 的自变量x 增加一个单位时经济量的改变量称为该经济量的边际量, 如边际成本、
边际收益、边际利润等, 由于y (x +1) -y (x ) ≈y '(x ) , 且对于大数而言, 一个单位可以看成是微小的, 习惯
上将y '(x ) 视为y =y (x ) 的边际量.
1、 定义 ： 设y =f (x )或y =f (x , t )，则称
2、经济学含义：
(二）、弹性函数：
dy ∂y y 或为关于x 的边际函数。 dx ∂x
dy
表示自变量x 增加一个单位时经济量y (x )的改变量。 dx
Ey 1、定义：设某经济量y =y (x ) ，称η==
Ex
dy y x
=
x dy 为 y =y (x ) 的弹性函数。
y dx
2、经济学含义：当自变量x 增加1%时, 经济量y =y (x ) 增加（η>0时）或减小（η
3、需求弹性：由于一般情况下需求函数Q =Q (P ) 是P 的减函数, 因此定义需求对
价格的
弹性 E p =E Q P d Q
=（恒正，表示价格增加1%时需求减小E p %） E P Q d P
12
, 其中x x ,
而需求函数为P =
2例1 设某产品的成本函数为C (x ) =400+3x +为产量(假定等于需求量), P 为价格, 试求
(1)边际成本； (2)边际收益；(3)边际利润；（4）收益的价格弹性 ；
例2设某商品的需求函数为Q =f (P ) =12-
1p 2
（1）求需求弹性函数及P=6时的需求弹性，并给出经济解释。 （2）当P 取什么值时，总收益最大？最大总收益是多
例3（15）为了实现利润最大化，厂商需要对某种商品确定其定价模型。设Q 为需求量，P 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性（正数），
P =（1）证明定价模型
MC
11-
(2)若成本函
η
C (Q ) =1600+Q 2, 需求函数Q =40-P , 试由（）中的定价模型确定此商品的价格。1
例4(04)某商品的需求函数为Q = 100 - 5P，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量.
(I) 求需求量对价格的弹性E d (E d > 0)；
(II) 推导
dR
=Q (1-E d ) (其中R 为收益) ，并用弹性E d 说明价格在何范围内变化时，降dP
低价格反而使收益增加.
例5(12)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000(万元) ，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x (件) 和y (件) ，且固定两种产品的边际成本分别为20+
x
(万元/件) 与6+y (万元/件). 2
(I)求生产甲乙两种产品的总成本函数..(万元).
(II)当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本. (III)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意 义。
例6（09） 设某产品的需求量函数为Q =Q (P ) , 其对价格P 的弹性εP =0.2, 则当需求量为 10000件时, 价格增加1元, 会使产品收益增加 元.
例 7 已知某商品的需求量x 对价格p 的弹性η=3p , 而市场对该产品的最大需求量为1 (万件), 求需求量函数.
3
例8 设生产某产品的固定成本为10, 当产量为x 时的边际成本为
MC =3x 2-20x -40, 边际收益为MR =10x +32. 试求
(1) 总利润函数；(2) 使总利润最大的产量.
例9 设产品的需求函数为Q =Q (p ) ，收益函数R =pQ ，其中p 为产品价格，Q 为需求量（产品的产量），Q (p ) 是单调减少函数。如果当价格为p 对应产量为Q 时，边际收
00
益
dR dR
=a >0，收益对价格的边际效应 =c
dQ Q =Q 0dp p =p 0
E =b >1，求p , Q 。
00p
四、差分方程及其在经济学中的应用
（一）、差分与差分方程的概念及性质
定义：若记y =y (t ) 为y t ，则称差y t +1-y t 为函数y t 的一阶差分，记为∆y t =y t +1-y t ；
含有y t +1, y t 或∆y t 的 等式叫一阶差分方程。
定理：线性差分方程的性质：
1、若Y =Y (t )为线性齐次差分方程y t +1+p (t )y t =0的解，则通解y =cY (t )； 2、若y *为线性非齐次差分方程y t +1+p (t )y t =f (t )的一个特解，y =cY (t )为对应的
*
线性齐次差分方程y t +1+p (t )y t =0的通解，则y =cY +y 为y t +1+p (t )y t =f (t )的
通解。
**
3、若y 1为y t +1+p (t )y t =f 1(t )的特解，y 2为y t +1+p (t )y t =f 2(t )的特解，
则 y 1*+y 2*为y t +1+p (t )y t =f 1(t )+f 2(t )的特解。 4、若y 1, y 2均为y t +1+p (t )y t =f (t )的解，则 y 1-y 2为y t +1+p (t )y t =0的解；
1
(y 1+y 2) 仍为 y t +1+p (t )y t =f (t )的解。 2
（二）一阶线性常系数差分方程的解法
1、一阶线性常系数齐次差分方程 y t +1-ay t =0的解法： 特征方程：r -a =0, 特征值:r =a , 通解:y t =Ca . 2、 一阶线性常系数非齐次差分方程y t +1-ay t =f (t ) 的解法:
方程的通解为y t =Ca +y t ，其中y t 为原非齐次方程的特解。当f (t ) =P m (t ) d 时，
t
*
*
t
t
⎧0, d ≠a *设特解形式为y =t Q m (t ) d , 其中k =⎨. ，y t 可用待定系数法求之：
⎩1, d =a
*t
k
t
（三）、典型例题
例1 (01,I) 某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元，若以W t 表示第t 年的工资总额(单位：百万元), 则W t 满足的差分方程是
例2 (98)差分方程2y t +1+10y t -5t =0的通解为。
例3 差分方程y t +1-2y t =3的通解为
t 例4 （97）差分方程 y t +1-2y t =t 2 的通解为 t
例5 求y t +1-2y t =3t +t 2t 的通解。
t t 例6 已知Y 1(t ) =2, Y 2(t ) =2-3t 为y t +1+p (t ) y t =f (t ) . 的解，求 p (t ), f (t ) 。
例7 设某养鱼池一开始有某种鱼A 0条，鱼的平均年净繁殖率为R ，每年捕捞x 条，要使n 年后鱼池仍有鱼可捞，应满足什么条件？
第十三章 微积分在经济学中的经济应用 (数三）
《考试要求》
1. 掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。 2. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。 3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。
4. 会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。
一、. 极限及级数在经济学中的应用
(一) 复利：
设某银行年利率为r ，初始存款为A 0元，
（1）一年支付一次利息（称为年复利），则t 年后在银行的存款余额为A t =A 0(1+r ); （2）若一年支付n 次，则t 年后在银行的存款余额为A =A 0(1+) nt
t n ;
t
r
n
r
（3）由于lim [(1+) r ]rt =e rt ，所以当每年支付次数趋于无穷时，t 年后得到的存款
n n →∞
余额为A t =A 0e rt
，
称为t 年后按计算得到的存款余额。
(二) 将来值与现值：
上述结论中，称A t 是A 0的将来值，而A 0是A t 的现值。现值与将来值的关系为： A t =A 0(1+r ) t ⇔A 0=A t (1+r ) -t 或 A t =A 0(1+r ) t ⇔A 0=A t (1+r ) -t
例 1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相同, 10年付清,
年利率 为6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？
例2（08）设银行存款的年利率为r 0.05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？ 、
二. 经济学中的常用函数
需求函数：Q =Q (P ) , 通常Q =Q (P ) 是P 的减函数； 供给函数：Q =Q (P ) , 通常Q =Q (P ) 是P 的增函数；
成本函数：C (Q ) =C 0+C 1(Q ) , 其中C 0=C (0)为固定成本, C 1(Q ) 为可变成本； 收益函数：R =PQ ;
利润函数：L (Q ) =R (Q ) -C (Q ) .
例 1 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为p 1和p 2, 销售量分别为q 1和q 2, 需求函数分别为q 1=24-02p 1, q 2=10-0.05p 2, 总成本函数为
C =35+40(q 1+q 2) , 试问：厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大？最
大的总利润为多少？
设生产某种产品必须投入两种要素, x 1和x 2分别为两种要素的投入量, Q 为例 2（99）
αβ
产出量；若生产函数为Q =2x 1x 2, 其中α, β为正常数, 且α+β=1, 假设两种要素的价
格分别为p 1和p 2试问：当产出量为12时, 两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？
αβ
解 需要在产出量2x 1x 2=12的条件下, 求总费用p 1x 1+p 2x 2的最小值, 为此作拉格
朗日函数
αβ
F (x 1, x 2, λ) =p 1x 1+p 2x 2+λ(12-2x 1x 2) .
⎧∂F α-1β
=p -2λαx x 2=0, 11⎪∂x ⎪1⎪∂F αβ-1
=p 2-2λβx 1x 2=0, ⎨⎪∂x 2⎪∂F αβ
=12-2x 1x 2=0. ⎪⎩∂λ
x 2=6(
(1)
(2) 由(1)和(2), 得 (3)
p 1βαp α
) , x 1=(2) β；因驻点唯一, 且实际问题存在最小值, 故当p 2αp 1β
x 1=(
p 2αβp β
) , x 2=6(1) α时, 投入总费用最小. p 1βp 2α
三. 利用导数求解经济应用问题
（一）、边际量：
当某经济量y =y (x ) 的自变量x 增加一个单位时经济量的改变量称为该经济量的边际量, 如边际成本、
边际收益、边际利润等, 由于y (x +1) -y (x ) ≈y '(x ) , 且对于大数而言, 一个单位可以看成是微小的, 习惯
上将y '(x ) 视为y =y (x ) 的边际量.
1、 定义 ： 设y =f (x )或y =f (x , t )，则称
2、经济学含义：
(二）、弹性函数：
dy ∂y y 或为关于x 的边际函数。 dx ∂x
dy
表示自变量x 增加一个单位时经济量y (x )的改变量。 dx
Ey 1、定义：设某经济量y =y (x ) ，称η==
Ex
dy y x
=
x dy 为 y =y (x ) 的弹性函数。
y dx
2、经济学含义：当自变量x 增加1%时, 经济量y =y (x ) 增加（η>0时）或减小（η
3、需求弹性：由于一般情况下需求函数Q =Q (P ) 是P 的减函数, 因此定义需求对
价格的
弹性 E p =E Q P d Q
=（恒正，表示价格增加1%时需求减小E p %） E P Q d P
12
, 其中x x ,
而需求函数为P =
2例1 设某产品的成本函数为C (x ) =400+3x +为产量(假定等于需求量), P 为价格, 试求
(1)边际成本； (2)边际收益；(3)边际利润；（4）收益的价格弹性 ；
例2设某商品的需求函数为Q =f (P ) =12-
1p 2
（1）求需求弹性函数及P=6时的需求弹性，并给出经济解释。 （2）当P 取什么值时，总收益最大？最大总收益是多
例3（15）为了实现利润最大化，厂商需要对某种商品确定其定价模型。设Q 为需求量，P 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性（正数），
P =（1）证明定价模型
MC
11-
(2)若成本函
η
C (Q ) =1600+Q 2, 需求函数Q =40-P , 试由（）中的定价模型确定此商品的价格。1
例4(04)某商品的需求函数为Q = 100 - 5P，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量.
(I) 求需求量对价格的弹性E d (E d > 0)；
(II) 推导
dR
=Q (1-E d ) (其中R 为收益) ，并用弹性E d 说明价格在何范围内变化时，降dP
低价格反而使收益增加.
例5(12)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000(万元) ，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x (件) 和y (件) ，且固定两种产品的边际成本分别为20+
x
(万元/件) 与6+y (万元/件). 2
(I)求生产甲乙两种产品的总成本函数..(万元).
(II)当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本. (III)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意 义。
例6（09） 设某产品的需求量函数为Q =Q (P ) , 其对价格P 的弹性εP =0.2, 则当需求量为 10000件时, 价格增加1元, 会使产品收益增加 元.
例 7 已知某商品的需求量x 对价格p 的弹性η=3p , 而市场对该产品的最大需求量为1 (万件), 求需求量函数.
3
例8 设生产某产品的固定成本为10, 当产量为x 时的边际成本为
MC =3x 2-20x -40, 边际收益为MR =10x +32. 试求
(1) 总利润函数；(2) 使总利润最大的产量.
例9 设产品的需求函数为Q =Q (p ) ，收益函数R =pQ ，其中p 为产品价格，Q 为需求量（产品的产量），Q (p ) 是单调减少函数。如果当价格为p 对应产量为Q 时，边际收
00
益
dR dR
=a >0，收益对价格的边际效应 =c
dQ Q =Q 0dp p =p 0
E =b >1，求p , Q 。
00p
四、差分方程及其在经济学中的应用
（一）、差分与差分方程的概念及性质
定义：若记y =y (t ) 为y t ，则称差y t +1-y t 为函数y t 的一阶差分，记为∆y t =y t +1-y t ；
含有y t +1, y t 或∆y t 的 等式叫一阶差分方程。
定理：线性差分方程的性质：
1、若Y =Y (t )为线性齐次差分方程y t +1+p (t )y t =0的解，则通解y =cY (t )； 2、若y *为线性非齐次差分方程y t +1+p (t )y t =f (t )的一个特解，y =cY (t )为对应的
*
线性齐次差分方程y t +1+p (t )y t =0的通解，则y =cY +y 为y t +1+p (t )y t =f (t )的
通解。
**
3、若y 1为y t +1+p (t )y t =f 1(t )的特解，y 2为y t +1+p (t )y t =f 2(t )的特解，
则 y 1*+y 2*为y t +1+p (t )y t =f 1(t )+f 2(t )的特解。 4、若y 1, y 2均为y t +1+p (t )y t =f (t )的解，则 y 1-y 2为y t +1+p (t )y t =0的解；
1
(y 1+y 2) 仍为 y t +1+p (t )y t =f (t )的解。 2
（二）一阶线性常系数差分方程的解法
1、一阶线性常系数齐次差分方程 y t +1-ay t =0的解法： 特征方程：r -a =0, 特征值:r =a , 通解:y t =Ca . 2、 一阶线性常系数非齐次差分方程y t +1-ay t =f (t ) 的解法:
方程的通解为y t =Ca +y t ，其中y t 为原非齐次方程的特解。当f (t ) =P m (t ) d 时，
t
*
*
t
t
⎧0, d ≠a *设特解形式为y =t Q m (t ) d , 其中k =⎨. ，y t 可用待定系数法求之：
⎩1, d =a
*t
k
t
（三）、典型例题
例1 (01,I) 某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元，若以W t 表示第t 年的工资总额(单位：百万元), 则W t 满足的差分方程是
例2 (98)差分方程2y t +1+10y t -5t =0的通解为。
例3 差分方程y t +1-2y t =3的通解为
t 例4 （97）差分方程 y t +1-2y t =t 2 的通解为 t
例5 求y t +1-2y t =3t +t 2t 的通解。
t t 例6 已知Y 1(t ) =2, Y 2(t ) =2-3t 为y t +1+p (t ) y t =f (t ) . 的解，求 p (t ), f (t ) 。
例7 设某养鱼池一开始有某种鱼A 0条，鱼的平均年净繁殖率为R ，每年捕捞x 条，要使n 年后鱼池仍有鱼可捞，应满足什么条件？