高一数学常用公式及结论
必修1：
一、集合1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性
（2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法
2、集合间的关系：子集：对任意x ∈A ，都有 x ∈B ，则称A 是B 的子集。记作A ⊆B 真子集：若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集，
记作A ⊂B 集合相等：若：A ⊆B , B ⊆A , 则A =B
≠
3. 元素与集合的关系：属于∈ 不属于：∉ 空集：φ
4、集合的运算：并集：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为 A B
交集：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B
补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，
记为C U A 5．集合{a 1, a 2, , a n }的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1个； 6.常用数集：自然数集：N 正整数集：N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 二、函数的奇偶性
1、定义： 奇函数 f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 f (–x ) = f ( x ) （注意定义域） 2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形；
（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 二、函数的单调性
1、定义：对于定义域为D 的函数f ( x )，若任意的x 1, x2∈D ，且x 1
① f ( x1 ) f ( x1 ) – f ( x2 ) f ( x )是增函数 ② f ( x1 ) > f ( x 2 ) f ( x1 ) – f ( x2 ) > 0 f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性: 同增异减
三、二次函数y = ax 2 +bx + c （a ≠0）的性质
*n
n
n
⎛b 4ac -b 2⎫b 4ac -b 2
1、顶点坐标公式： -2a , 4a ⎪⎪， 对称轴：x =-2a ，最大（小）值：4a
⎝⎭
2. 二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ; (2)顶点式f (x ) =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ; (3)两根式f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) . 四、指数与指数函数
1、幂的运算法则：
（1）a m • a n = a m + n ，（2）a ÷a =a
n
m
n
m -n
，（3）( a m ) n = a m n （4）( ab ) n = a n • b n
n
-11a n ⎛a ⎫-n n 0m
（5） ⎪=n （6）a = 1 ( a≠0) （7）a =n （8）a =a （9）a m =
n a b b ⎝⎭a
n
2、根式的性质
（1
）n =a .
（2）当n
=a ； 当n
=|a |=⎨
⎧a , a ≥0.
⎩-a , a
4、指数函数y = a x (a > 0且a ≠1) 的性质：
（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）图象过定点（0，1）
5. 指数式与对数式的互化： log a N =b ⇔a b =N (a >0, a ≠1, N >0) .
五、对数与对数函数 1对数的运算法则：
log N
（1）a b = N b = log a N （2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4）log a a b = b（5）a a = N （6）log a (MN) = log a M + log a N （7）log a (
M
) = log a M -- log a N N
（8）log a N b = b log a N （9）换底公式：log a N =
n
log b N
log b a
（10）推论 log a m b =（11）log a N =
n
log a b (a >0, 且a >1, m , n >0, 且m ≠1, n ≠1, N >0). m
1
（12）常用对数：lg N = log 10 N （13）自然对数：ln A = log e A （其中 e = 2.71828„）
log N a
2、对数函数y = log a x (a > 0且a ≠1) 的性质：
（1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）
六、幂函数y = x a 的图象:（1） 根据 a
例如：
y = x
y =
2
x =x y =
12
1
=x -1 x
七. 图象平移：若将函数y =f (x ) 的图象右移a 、上移b 个单位， 得到函数y =f (x -a ) +b 的图象； 规律：左加右减，上加下减 八. 平均增长率的问题
x
如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有y =N (1+p ) .
九、函数的零点：1. 定义：对于y =f (x ) ，把使f (x ) =0的X 叫y =f (x ) 的零点。即 y =f (x ) 的图象与X 轴相交时交点的横坐标。
2. 函数零点存在性定理：如果函数y =f (x ) 在区间[a , b ]上的图象是连续不断的一条
曲线，并有f (a ) ⋅f (b )
a +b
2
（3）计算f (x 1) ①若f (x 1) =0，则x 1就是零点；②若f (a ) ⋅f (x 1)
（1）确定区间[a , b ]，验证f (a ) ⋅f (b )
x 0∈(a , x 1) ③若f (x 1) ⋅f (b )
（4）判断是否达到精确度ε，若a -b
必修2：一、直线与圆 1、斜率的计算公式：k = tanα=
y 2-y 1
（α ≠ 90°，x 1≠x 2）
x 2-x 1
2、直线的方程（1）斜截式 y = k x + b,k存在 ；（2）点斜式 y – y 0 = k ( x – x 0 ) ，k 存在； （3）两点式
y -y 1x -x 1x y
（x 1≠x 2, y 1≠y 2） ；4）截距式 +=1（a ≠0, b ≠0） =
a b y 2-y 1x 2-x 1
（5）一般式Ax +By +c =0(A , B 不同时为0）
4、两点间距离公式：设P 1 ( x 1 , y 1 ) 、P 2 ( x 2 , y 2 ) ，则 | P1 P2 | =5、点P ( x 0 , y 0 ) 到直线l ：
A x + B y + C = 0的距离：d =x 1-x 22+y 1-y 22
2
Ax 0+By 0+C A +B
2
则 d >r ⇔点P 在
222
点P (x 0, y 0) 与圆(x -a ) +(y -b ) =r 的位置关系有三种若d =
圆外; d =r ⇔点P 在圆上; d
222
直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) +(y -b ) =r 的位置关系有三种:
d >r ⇔相离⇔∆0.
10. 两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，O 1O 2=d
d >r 1+r 2⇔外离⇔4条公切线; d =r 1+r 2⇔外切⇔3条公切线;
r 1-r 2
11. 圆的切线方程
(1)已知圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0．
①若已知切点(x 0, y 0) 在圆上，则切线只有一条，其方程是
D (x 0+x ) E (y 0+y )
++F =0. 22
D (x 0+x ) E (y 0+y )
++F =0表示过两个切点的切点弦方程． 当(x 0, y 0) 圆外时, x 0x +y 0y +
22
②过圆外一点的切线方程可设为y -y 0=k (x -x 0) ，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不
x 0x +y 0y +
要漏掉平行于y 轴的切线．
③斜率为k 的切线方程可设为y =kx +b ，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆x 2+y 2=r 2．
2
①过圆上的P 0(x 0, y 0) 点的切线方程为x 0x +y 0y =r ;
②斜率为k
的圆的切线方程为y =kx ±二、立体几何 （一）、线线平行判定定理：1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2、垂直于同一平面的两直线平行。3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （二）、线面平行判定定理
1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2、若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。 （三）、面面平行判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 （四）、线线垂直判定定理：
若一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。 （五）、线面垂直判定定理
1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 （六）、面面垂直判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
（七）．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. （八）．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. （九）．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直. （十）．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）利用三垂线定理或逆定理； （十一）．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（十二）．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；（2
三、空间几何体 （一）、正三棱锥的性质
1、底面是正三角形，若设底面正三角形的边长为a ，则有
作PO ⊥底面ABC 于O ，则O 为△ABC 的中心，PO 为棱锥的高，
取AB 的中点D ，连结PD 、CD ，则PD 为三棱锥的斜高，CD 为△ABC 的AB 边上的高， 且点O 在CD 上。∴△POD 和△POC 都是直角三角形，且∠POD =∠POC = 90° （二）、正四棱锥的性质
B E
A
2、正四棱锥的辅助线作法一般是：
作PO ⊥底面ABCD 于O ，则O 为正方形ABCD 的中心，PO 为棱锥的高，取AB 的中点E ，连结PE 、OE 、OA ，则PE 为四棱锥的斜高，点O 在AC 上。∴△POE 和△POA 都是直角三角形，且∠POE =∠POA = 90° （三）、长方体
长方体的一条对角线长的平方等于这个长方体的长、宽、高的平方和。 特殊地，若正方体的棱长为a ，则这个正方体的一条对角线长为3a 。 （四）、正方体与球
1、设正方体的棱长为a ，它的外接球半径为R 1，它的内切球半径为R 2，则3a =2R 1, a =2R 2
4、球：S 球面 = 4πR 2 V 球 =
4
πR 3 （其中R 为球的半径） 画几何体的三视图时, 能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。
必修4 一、三角函数与三角恒等变换
2、同角三角函数公式 sin 2α+ cos 2α= 1 tan α= tan αcot α=1
cos α
3、二倍角的三角函数公式
sin2α= 2sinαcos α cos2α=2cos2α-1 = 1-2 sin2α= cos2α- sin2α tan 2α=
2tan α
2
1-tan α
4、降幂公式 cos α=
2
1+cos 2α1-cos 2α2
sin α= 22
5、升幂公式 1±sin2α= (sinα±cos α) 2 1 + cos2α=2 cos2α 1- cos2α= 2 sin2α
6、两角和差的三角函数公式
sin (α±β) = sinαcos β土cos αsin β cos (α±β) = cosαcos β干sin αsin β
tan (α±β)=
tan α±tan β
1 tan αtan β
7、两角和差正切公式的变形：
tan α±tan β= tan (α±β) (1干tan αtan β)
1+tan αtan 45︒+tan α1-tan αtan 45︒-tan αππ
== tan (+α) == tan (-α)
1-tan α1-tan 45︒tan α1+tan α1+tan 45︒tan α44
8、两角和差正弦公式的变形（合一变形）
a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+ϕ) （其中tan ϕ=
9、半角公式：sin
b
） a
α
2
=±
-cos αα1+c o αs
c o =± 2221-cos αsin α1-cos α
==
1+cos α1+cos αsin α
tan
α
2
=±
10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。”
sin (π－α) = sinα， cos (π－α) = －cos α， tan (π－α) = －tan α； sin (π+α) = －sin α cos (π+α) = －cos α tan (π+α) = tanα sin (2π－α) = －sin α cos (2π－α) = cosα tan (2π－α) = －tan α
sin (－α) = －sin α cos (－α) = cosα tan (－α) = －tan α
πππ
－α) = cosα cos (－α) = sinα tan (－α) = cotα 222πππ
sin (+α) = cosα cos (+α) = －sin α tan (+α) = －cot α
222
sin (
11. 三角函数的周期公式
函数y =sin(ωx +ϕ) ，x ∈R 及函数y =cos(ωx +ϕ) ，x ∈R(A,ω, ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0) 的周期T =函数y =tan(ωx +ϕ) ，x ≠k π+
2π
ω
；
π
2
, k ∈Z (A,ω, ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0) 的周期T =
π
. ω
二、平面向量 （一）、向量的有关概念 1、向量的模计算公式：（1）向量法：|
| ==
22
（2）坐标法：设=（x ，y ），则|| =x +y
2、单位向量的计算公式：
⎛x y
（1）与向量=（x ，y ）同向的单位向量是 ,
x 2+y 2
x 2+y 2
⎝
⎫⎪； ⎪⎭
⎛x
（2）与向量a =（x ，y ）反向的单位向量是 -,
22 x +y ⎝
3、平行向量
⎫
⎪； -
x 2+y 2⎪⎭
y
规定：零向量与任一向量平行。设=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），λ为实数 向量法：∥（≠） =λ
坐标法：∥（≠） x1 y2 – x2 y 1 = 0 4、垂直向量
规定：零向量与任一向量垂直。设=（x 1，y 1），=（x 2，y 2） 向量法：⊥ ²= 0 坐标法：⊥ x1 x 2 + y1 y 2 = 0 5. 平面两点间的距离公式
x 1x 2
（y 1 ≠0 ，y 2 ≠0） =
y 1y 2
d
A , B =|AB |==(x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ).
（二）、向量的加法
（1）向量法：三角形法则（首尾相接首尾连），平行四边形法则（起点相同连对角） （2）坐标法：设=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），则+=（x 1+ x2 ，y 1+ y2） （三）、向量的减法
（1）向量法：三角形法则（首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向量） （2）坐标法：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a -b =（x 1 - x2 ，y 1- y2） （3）、重要结论：| || - || | ≤ |±| ≤ || + || （四）、两个向量的夹角计算公式：（1）向量法：cos θ =
（2）坐标法：设=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），则cos θ =
x 1x 2+y 1y 2x +y
2
1
21
x +y
2222
（五）、平面向量的数量积计算公式：（1）向量法：a ²b = |a | |b | cos θ （2）坐标法：设=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），则²= x1 x2 + y1 y2
（3） a ²b 的几何意义：
数量积a ²b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cosθ的乘积．
（六）.1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .
2. 向量的数量积的运算律：(1) a²b= b²a （交换律）; (2)（λa ）²b= λ（a ²b ）=λa ²b = a²（λb ）;(3)（a +b）²c= a ²c +b²c.
3. 平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （七）. 三角形的重心坐标公式
△ABC 三个顶点的坐标分别为A(x1,y 1) 、B(x2,y 2) 、C(x3,y 3) , 则△ABC 的重心的坐 标是G (
x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 3
, ) 33
必修5 一、解三角形：ΔABC 的六个元素A, B, C, a , b, c满足下列关系：
1、角的关系：A + B + C = π，
特殊地，若ΔABC 的三内角A, B, C成等差数列，则∠B = 60º，∠A +∠C = 120º 2、诱导公式的应用：sin ( A + B ) = sinC , cos ( A + B ) = --cosC , sin (
A B A B C C +) = cos , cos (+) = sin 222222
3、边的关系：a + b > c , a – b
a b c
===2R （R 为ΔABC 外接圆半径） sin A sin B sin C
a : b : c = sinA : sinB : sinC 分体型a = 2R sinA , b = 2R sinB , c = 2R sinC , （2）余弦定理：a 2 = b 2 + c 2 – 2bc•cosA , b 2 = a 2 + c 2 – 2a c•cosB ,
c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b•cosC
b 2+c 2-a 2a 2+c 2-b 2a 2+b 2-c 2
cos A =, cos B = , cos C =
2bc 2ac 2ab
5、面积公式：S =
1111
a h = a b sinC = bc sinA = a c sinB 2222
二、数列 （一）、等差数列{ a n }
1、通项公式：a n = a 1 + ( n – 1 ) d ，推广：a n = a m + ( n – m ) d ( m , n∈N ) 2、前n 项和公式：S n = n a 1 +
n (a 1+a n ) 1
n ( n – 1 ) d = 22
3、等差数列的主要性质
① 若m + n = 2 p，则 a m + a n = 2 a p （等差中项）( m , n∈N ) ② 若m + n = p + q，则 a m + a n = a p + a q ( m , n , p , q∈N ) ③S n , S 2 n -- S n , S 3 n – S 2 n 组成等差数列，公差为n d。 （二）、等比数列{ a n }1、通项公式：a n = a 1 q n – 1 ，推广：a n = a m q n – m ( m , n∈N ) 2、等比数列的前n 项和公式：
a 1(1-q n ) a 1-a n q
当q ≠1时，S n = =， 当q = 1时，S n = n a 1
1-q 1-q
3、等比数列的主要性质
① 若m + n = 2 p，则a p 2 = a m • a n （等比中项）( m , n∈N ) ② 若m + n = p + q，则 a m • a n = a p • a q ( m , n , p , q∈N ) ③S n , S 2 n -- S n , S 3 n – S 2 n 组成等比数列，公比为q n。
（三）、一般数列{ a n }的通项公式：记S n = a 1 + a 2 + „ + a n ，则恒有a n =⎨
⎧
⎩S n -S n -1(n ≥2, n ∈N )
S 1
(n =1)
三．数列求和方法总结：
1. 等差等比数列求和可采用求和公式(公式法).
2. 非等差等比数列可考虑(分组求和法) ,(错位相减法) 等转化为等差或等比数列再求和, 若不能转化为等差或等比数列则采用(拆项相消法) 求和.
注意(1):若数列的通项可分成两项之和（或三项之和）则可用（分组求和法）。
(2)若一个等差数列与一个等比数列的对应相乘构成的新数列求和, 采用(错位相减法). 过程:乘公比再两式错位相减
(3)若数列的通项可拆成两项之差, 通过正负相消后剩有限项再求和的方法为(拆项相消法). 常见的拆项公式:1.
11113. =(-) (2n -1)(2n +1) 22n -12n +1 15. =(n +1-n )
n +n +1
111
1 1=- 1 1
2. =(- ) n (n +1) n n +1n (n +k ) k n n +k
4.
1111
=[-]
n (n +1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2)
四. 数列求通项公式方法总结:
1.. 找规律(观察法). 2..若为等差等比(公式法) 3. 已知Sn, 用（Sn 法）即用公式a n =⎨（四）4. 叠加法 5. 叠乘法等 三、不等式 （一）、均值定理及其变式（1）a , b ∈ R , a 2 + b 2 ≥ 2 a b
(n =1)⎧S 1
⎩S n -S n -1(n ≥2)
⎛a +b ⎫
（2）a , b ∈ R , a + b ≥ 2ab （3）a , b ∈ R , a b ≤ ⎪
⎝2⎭
+
+
2
a +b
≤ab ≤≤（4）
112+a b
2
2
a 2+b 2
，以上当且仅当 a = b时取“ = ”号。 2
2
22
（二）. 一元二次不等式ax +bx +c >0(或0) ，如果a 与ax +bx +c 同号，则其解
集在两根之外；如果a 与ax +bx +c 异号，则其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间. 设x 1
(x -x 1)(x -x 2) 0⇔x x 2
（三）. 含有绝对值的不等式：当a> 0时，有
x a ⇔x 2>a 2⇔x >a 或x
2
（四）. 指数不等式与对数不等式
(1)当a >1时, a f (x ) >a g (x ) ⇔f (x ) >g (x ) ;
⎧f (x ) >0⎪
log a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0.
⎪f (x ) >g (x ) ⎩
>a g (x ) ⇔f (x ) 0⎪
log a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0
⎪f (x )
（五）. Ax +By +C >0或
(2)当0
一．解一元二次不等式三部曲：1. 化不等式为标准式ax +bx+c>0或 ax+bx+c0)。
2. 计算△的值，确定方程ax 2+bx +c =0的根。3. 根据图象写出不等式的解集.
特别的：若二次项系数a 为正且有两根时写解集用口决：（不等号）大于0取两边，小于0取中间
2
2
f (x )
二. 分式不等式的求解通法：
（1）标准化：①右边化零，②系数化正.
（2）转 换：化为一元二次不等式（依据：两数的商与积同号）
f (x ) 1>0⇔f (x ) ∙g (x ) >0 g (x ) f (x ) (2)≥0⇔f (x ) ∙g (x ) ≥0且g (x ) ≠0 g (x )
f (x ) f (x ) （3≥a ⇔-a ≥0，再通分 g (x ) g (x )
三. 二元一次不等式Ax+B y+C＞0（A 、B 不同时为0），确定其所表示的平面区域用口诀：同上异下 （注意：包含边界直线用实线，否则用虚线）
四. 线性规划问题求解步骤：画（可行域）移（平行线）求（交点坐标，最优解，最值）答. 常用的解分式不等式的同解变形法则为
五. 基本不等式
：a +b ≥a ≥0, b ≥0)
（当且仅当a=b时，等号成立）
2
旧知识回顾：1. 求方程ax +bx +c =0的根方法：
（1）十字相乘法：左列分解二次项系数a ，右列分解常数项c ，交叉相乘再相加凑成一次项系数b 。
-b ± （2）求根公式：x 1，2=2a
0a ≠0) 的两根，则有x 1+x 2=-2．韦达定理：若x 1, x 2是方程ax +bx +c =（2
M
3．对数类:log a M+loga N=loga MN log a M-log a N=loga N log a M N =Nloga M （M.>0,N>0） b c , x 1∙x 2= a a
- 11 -
高一数学常用公式及结论
必修1：
一、集合1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性
（2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法
2、集合间的关系：子集：对任意x ∈A ，都有 x ∈B ，则称A 是B 的子集。记作A ⊆B 真子集：若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集，
记作A ⊂B 集合相等：若：A ⊆B , B ⊆A , 则A =B
≠
3. 元素与集合的关系：属于∈ 不属于：∉ 空集：φ
4、集合的运算：并集：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为 A B
交集：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B
补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，
记为C U A 5．集合{a 1, a 2, , a n }的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1个； 6.常用数集：自然数集：N 正整数集：N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 二、函数的奇偶性
1、定义： 奇函数 f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 f (–x ) = f ( x ) （注意定义域） 2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形；
（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 二、函数的单调性
1、定义：对于定义域为D 的函数f ( x )，若任意的x 1, x2∈D ，且x 1
① f ( x1 ) f ( x1 ) – f ( x2 ) f ( x )是增函数 ② f ( x1 ) > f ( x 2 ) f ( x1 ) – f ( x2 ) > 0 f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性: 同增异减
三、二次函数y = ax 2 +bx + c （a ≠0）的性质
*n
n
n
⎛b 4ac -b 2⎫b 4ac -b 2
1、顶点坐标公式： -2a , 4a ⎪⎪， 对称轴：x =-2a ，最大（小）值：4a
⎝⎭
2. 二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ; (2)顶点式f (x ) =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ; (3)两根式f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) . 四、指数与指数函数
1、幂的运算法则：
（1）a m • a n = a m + n ，（2）a ÷a =a
n
m
n
m -n
，（3）( a m ) n = a m n （4）( ab ) n = a n • b n
n
-11a n ⎛a ⎫-n n 0m
（5） ⎪=n （6）a = 1 ( a≠0) （7）a =n （8）a =a （9）a m =
n a b b ⎝⎭a
n
2、根式的性质
（1
）n =a .
（2）当n
=a ； 当n
=|a |=⎨
⎧a , a ≥0.
⎩-a , a
4、指数函数y = a x (a > 0且a ≠1) 的性质：
（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）图象过定点（0，1）
5. 指数式与对数式的互化： log a N =b ⇔a b =N (a >0, a ≠1, N >0) .
五、对数与对数函数 1对数的运算法则：
log N
（1）a b = N b = log a N （2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4）log a a b = b（5）a a = N （6）log a (MN) = log a M + log a N （7）log a (
M
) = log a M -- log a N N
（8）log a N b = b log a N （9）换底公式：log a N =
n
log b N
log b a
（10）推论 log a m b =（11）log a N =
n
log a b (a >0, 且a >1, m , n >0, 且m ≠1, n ≠1, N >0). m
1
（12）常用对数：lg N = log 10 N （13）自然对数：ln A = log e A （其中 e = 2.71828„）
log N a
2、对数函数y = log a x (a > 0且a ≠1) 的性质：
（1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）
六、幂函数y = x a 的图象:（1） 根据 a
例如：
y = x
y =
2
x =x y =
12
1
=x -1 x
七. 图象平移：若将函数y =f (x ) 的图象右移a 、上移b 个单位， 得到函数y =f (x -a ) +b 的图象； 规律：左加右减，上加下减 八. 平均增长率的问题
x
如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有y =N (1+p ) .
九、函数的零点：1. 定义：对于y =f (x ) ，把使f (x ) =0的X 叫y =f (x ) 的零点。即 y =f (x ) 的图象与X 轴相交时交点的横坐标。
2. 函数零点存在性定理：如果函数y =f (x ) 在区间[a , b ]上的图象是连续不断的一条
曲线，并有f (a ) ⋅f (b )
a +b
2
（3）计算f (x 1) ①若f (x 1) =0，则x 1就是零点；②若f (a ) ⋅f (x 1)
（1）确定区间[a , b ]，验证f (a ) ⋅f (b )
x 0∈(a , x 1) ③若f (x 1) ⋅f (b )
（4）判断是否达到精确度ε，若a -b
必修2：一、直线与圆 1、斜率的计算公式：k = tanα=
y 2-y 1
（α ≠ 90°，x 1≠x 2）
x 2-x 1
2、直线的方程（1）斜截式 y = k x + b,k存在 ；（2）点斜式 y – y 0 = k ( x – x 0 ) ，k 存在； （3）两点式
y -y 1x -x 1x y
（x 1≠x 2, y 1≠y 2） ；4）截距式 +=1（a ≠0, b ≠0） =
a b y 2-y 1x 2-x 1
（5）一般式Ax +By +c =0(A , B 不同时为0）
4、两点间距离公式：设P 1 ( x 1 , y 1 ) 、P 2 ( x 2 , y 2 ) ，则 | P1 P2 | =5、点P ( x 0 , y 0 ) 到直线l ：
A x + B y + C = 0的距离：d =x 1-x 22+y 1-y 22
2
Ax 0+By 0+C A +B
2
则 d >r ⇔点P 在
222
点P (x 0, y 0) 与圆(x -a ) +(y -b ) =r 的位置关系有三种若d =
圆外; d =r ⇔点P 在圆上; d
222
直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) +(y -b ) =r 的位置关系有三种:
d >r ⇔相离⇔∆0.
10. 两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，O 1O 2=d
d >r 1+r 2⇔外离⇔4条公切线; d =r 1+r 2⇔外切⇔3条公切线;
r 1-r 2
11. 圆的切线方程
(1)已知圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0．
①若已知切点(x 0, y 0) 在圆上，则切线只有一条，其方程是
D (x 0+x ) E (y 0+y )
++F =0. 22
D (x 0+x ) E (y 0+y )
++F =0表示过两个切点的切点弦方程． 当(x 0, y 0) 圆外时, x 0x +y 0y +
22
②过圆外一点的切线方程可设为y -y 0=k (x -x 0) ，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不
x 0x +y 0y +
要漏掉平行于y 轴的切线．
③斜率为k 的切线方程可设为y =kx +b ，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆x 2+y 2=r 2．
2
①过圆上的P 0(x 0, y 0) 点的切线方程为x 0x +y 0y =r ;
②斜率为k
的圆的切线方程为y =kx ±二、立体几何 （一）、线线平行判定定理：1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2、垂直于同一平面的两直线平行。3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （二）、线面平行判定定理
1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2、若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。 （三）、面面平行判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 （四）、线线垂直判定定理：
若一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。 （五）、线面垂直判定定理
1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 （六）、面面垂直判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
（七）．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. （八）．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. （九）．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直. （十）．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）利用三垂线定理或逆定理； （十一）．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（十二）．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；（2
三、空间几何体 （一）、正三棱锥的性质
1、底面是正三角形，若设底面正三角形的边长为a ，则有
作PO ⊥底面ABC 于O ，则O 为△ABC 的中心，PO 为棱锥的高，
取AB 的中点D ，连结PD 、CD ，则PD 为三棱锥的斜高，CD 为△ABC 的AB 边上的高， 且点O 在CD 上。∴△POD 和△POC 都是直角三角形，且∠POD =∠POC = 90° （二）、正四棱锥的性质
B E
A
2、正四棱锥的辅助线作法一般是：
作PO ⊥底面ABCD 于O ，则O 为正方形ABCD 的中心，PO 为棱锥的高，取AB 的中点E ，连结PE 、OE 、OA ，则PE 为四棱锥的斜高，点O 在AC 上。∴△POE 和△POA 都是直角三角形，且∠POE =∠POA = 90° （三）、长方体
长方体的一条对角线长的平方等于这个长方体的长、宽、高的平方和。 特殊地，若正方体的棱长为a ，则这个正方体的一条对角线长为3a 。 （四）、正方体与球
1、设正方体的棱长为a ，它的外接球半径为R 1，它的内切球半径为R 2，则3a =2R 1, a =2R 2
4、球：S 球面 = 4πR 2 V 球 =
4
πR 3 （其中R 为球的半径） 画几何体的三视图时, 能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。
必修4 一、三角函数与三角恒等变换
2、同角三角函数公式 sin 2α+ cos 2α= 1 tan α= tan αcot α=1
cos α
3、二倍角的三角函数公式
sin2α= 2sinαcos α cos2α=2cos2α-1 = 1-2 sin2α= cos2α- sin2α tan 2α=
2tan α
2
1-tan α
4、降幂公式 cos α=
2
1+cos 2α1-cos 2α2
sin α= 22
5、升幂公式 1±sin2α= (sinα±cos α) 2 1 + cos2α=2 cos2α 1- cos2α= 2 sin2α
6、两角和差的三角函数公式
sin (α±β) = sinαcos β土cos αsin β cos (α±β) = cosαcos β干sin αsin β
tan (α±β)=
tan α±tan β
1 tan αtan β
7、两角和差正切公式的变形：
tan α±tan β= tan (α±β) (1干tan αtan β)
1+tan αtan 45︒+tan α1-tan αtan 45︒-tan αππ
== tan (+α) == tan (-α)
1-tan α1-tan 45︒tan α1+tan α1+tan 45︒tan α44
8、两角和差正弦公式的变形（合一变形）
a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+ϕ) （其中tan ϕ=
9、半角公式：sin
b
） a
α
2
=±
-cos αα1+c o αs
c o =± 2221-cos αsin α1-cos α
==
1+cos α1+cos αsin α
tan
α
2
=±
10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。”
sin (π－α) = sinα， cos (π－α) = －cos α， tan (π－α) = －tan α； sin (π+α) = －sin α cos (π+α) = －cos α tan (π+α) = tanα sin (2π－α) = －sin α cos (2π－α) = cosα tan (2π－α) = －tan α
sin (－α) = －sin α cos (－α) = cosα tan (－α) = －tan α
πππ
－α) = cosα cos (－α) = sinα tan (－α) = cotα 222πππ
sin (+α) = cosα cos (+α) = －sin α tan (+α) = －cot α
222
sin (
11. 三角函数的周期公式
函数y =sin(ωx +ϕ) ，x ∈R 及函数y =cos(ωx +ϕ) ，x ∈R(A,ω, ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0) 的周期T =函数y =tan(ωx +ϕ) ，x ≠k π+
2π
ω
；
π
2
, k ∈Z (A,ω, ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0) 的周期T =
π
. ω
二、平面向量 （一）、向量的有关概念 1、向量的模计算公式：（1）向量法：|
| ==
22
（2）坐标法：设=（x ，y ），则|| =x +y
2、单位向量的计算公式：
⎛x y
（1）与向量=（x ，y ）同向的单位向量是 ,
x 2+y 2
x 2+y 2
⎝
⎫⎪； ⎪⎭
⎛x
（2）与向量a =（x ，y ）反向的单位向量是 -,
22 x +y ⎝
3、平行向量
⎫
⎪； -
x 2+y 2⎪⎭
y
规定：零向量与任一向量平行。设=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），λ为实数 向量法：∥（≠） =λ
坐标法：∥（≠） x1 y2 – x2 y 1 = 0 4、垂直向量
规定：零向量与任一向量垂直。设=（x 1，y 1），=（x 2，y 2） 向量法：⊥ ²= 0 坐标法：⊥ x1 x 2 + y1 y 2 = 0 5. 平面两点间的距离公式
x 1x 2
（y 1 ≠0 ，y 2 ≠0） =
y 1y 2
d
A , B =|AB |==(x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ).
（二）、向量的加法
（1）向量法：三角形法则（首尾相接首尾连），平行四边形法则（起点相同连对角） （2）坐标法：设=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），则+=（x 1+ x2 ，y 1+ y2） （三）、向量的减法
（1）向量法：三角形法则（首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向量） （2）坐标法：设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a -b =（x 1 - x2 ，y 1- y2） （3）、重要结论：| || - || | ≤ |±| ≤ || + || （四）、两个向量的夹角计算公式：（1）向量法：cos θ =
（2）坐标法：设=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），则cos θ =
x 1x 2+y 1y 2x +y
2
1
21
x +y
2222
（五）、平面向量的数量积计算公式：（1）向量法：a ²b = |a | |b | cos θ （2）坐标法：设=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），则²= x1 x2 + y1 y2
（3） a ²b 的几何意义：
数量积a ²b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cosθ的乘积．
（六）.1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .
2. 向量的数量积的运算律：(1) a²b= b²a （交换律）; (2)（λa ）²b= λ（a ²b ）=λa ²b = a²（λb ）;(3)（a +b）²c= a ²c +b²c.
3. 平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （七）. 三角形的重心坐标公式
△ABC 三个顶点的坐标分别为A(x1,y 1) 、B(x2,y 2) 、C(x3,y 3) , 则△ABC 的重心的坐 标是G (
x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 3
, ) 33
必修5 一、解三角形：ΔABC 的六个元素A, B, C, a , b, c满足下列关系：
1、角的关系：A + B + C = π，
特殊地，若ΔABC 的三内角A, B, C成等差数列，则∠B = 60º，∠A +∠C = 120º 2、诱导公式的应用：sin ( A + B ) = sinC , cos ( A + B ) = --cosC , sin (
A B A B C C +) = cos , cos (+) = sin 222222
3、边的关系：a + b > c , a – b
a b c
===2R （R 为ΔABC 外接圆半径） sin A sin B sin C
a : b : c = sinA : sinB : sinC 分体型a = 2R sinA , b = 2R sinB , c = 2R sinC , （2）余弦定理：a 2 = b 2 + c 2 – 2bc•cosA , b 2 = a 2 + c 2 – 2a c•cosB ,
c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b•cosC
b 2+c 2-a 2a 2+c 2-b 2a 2+b 2-c 2
cos A =, cos B = , cos C =
2bc 2ac 2ab
5、面积公式：S =
1111
a h = a b sinC = bc sinA = a c sinB 2222
二、数列 （一）、等差数列{ a n }
1、通项公式：a n = a 1 + ( n – 1 ) d ，推广：a n = a m + ( n – m ) d ( m , n∈N ) 2、前n 项和公式：S n = n a 1 +
n (a 1+a n ) 1
n ( n – 1 ) d = 22
3、等差数列的主要性质
① 若m + n = 2 p，则 a m + a n = 2 a p （等差中项）( m , n∈N ) ② 若m + n = p + q，则 a m + a n = a p + a q ( m , n , p , q∈N ) ③S n , S 2 n -- S n , S 3 n – S 2 n 组成等差数列，公差为n d。 （二）、等比数列{ a n }1、通项公式：a n = a 1 q n – 1 ，推广：a n = a m q n – m ( m , n∈N ) 2、等比数列的前n 项和公式：
a 1(1-q n ) a 1-a n q
当q ≠1时，S n = =， 当q = 1时，S n = n a 1
1-q 1-q
3、等比数列的主要性质
① 若m + n = 2 p，则a p 2 = a m • a n （等比中项）( m , n∈N ) ② 若m + n = p + q，则 a m • a n = a p • a q ( m , n , p , q∈N ) ③S n , S 2 n -- S n , S 3 n – S 2 n 组成等比数列，公比为q n。
（三）、一般数列{ a n }的通项公式：记S n = a 1 + a 2 + „ + a n ，则恒有a n =⎨
⎧
⎩S n -S n -1(n ≥2, n ∈N )
S 1
(n =1)
三．数列求和方法总结：
1. 等差等比数列求和可采用求和公式(公式法).
2. 非等差等比数列可考虑(分组求和法) ,(错位相减法) 等转化为等差或等比数列再求和, 若不能转化为等差或等比数列则采用(拆项相消法) 求和.
注意(1):若数列的通项可分成两项之和（或三项之和）则可用（分组求和法）。
(2)若一个等差数列与一个等比数列的对应相乘构成的新数列求和, 采用(错位相减法). 过程:乘公比再两式错位相减
(3)若数列的通项可拆成两项之差, 通过正负相消后剩有限项再求和的方法为(拆项相消法). 常见的拆项公式:1.
11113. =(-) (2n -1)(2n +1) 22n -12n +1 15. =(n +1-n )
n +n +1
111
1 1=- 1 1
2. =(- ) n (n +1) n n +1n (n +k ) k n n +k
4.
1111
=[-]
n (n +1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2)
四. 数列求通项公式方法总结:
1.. 找规律(观察法). 2..若为等差等比(公式法) 3. 已知Sn, 用（Sn 法）即用公式a n =⎨（四）4. 叠加法 5. 叠乘法等 三、不等式 （一）、均值定理及其变式（1）a , b ∈ R , a 2 + b 2 ≥ 2 a b
(n =1)⎧S 1
⎩S n -S n -1(n ≥2)
⎛a +b ⎫
（2）a , b ∈ R , a + b ≥ 2ab （3）a , b ∈ R , a b ≤ ⎪
⎝2⎭
+
+
2
a +b
≤ab ≤≤（4）
112+a b
2
2
a 2+b 2
，以上当且仅当 a = b时取“ = ”号。 2
2
22
（二）. 一元二次不等式ax +bx +c >0(或0) ，如果a 与ax +bx +c 同号，则其解
集在两根之外；如果a 与ax +bx +c 异号，则其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间. 设x 1
(x -x 1)(x -x 2) 0⇔x x 2
（三）. 含有绝对值的不等式：当a> 0时，有
x a ⇔x 2>a 2⇔x >a 或x
2
（四）. 指数不等式与对数不等式
(1)当a >1时, a f (x ) >a g (x ) ⇔f (x ) >g (x ) ;
⎧f (x ) >0⎪
log a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0.
⎪f (x ) >g (x ) ⎩
>a g (x ) ⇔f (x ) 0⎪
log a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0
⎪f (x )
（五）. Ax +By +C >0或
(2)当0
一．解一元二次不等式三部曲：1. 化不等式为标准式ax +bx+c>0或 ax+bx+c0)。
2. 计算△的值，确定方程ax 2+bx +c =0的根。3. 根据图象写出不等式的解集.
特别的：若二次项系数a 为正且有两根时写解集用口决：（不等号）大于0取两边，小于0取中间
2
2
f (x )
二. 分式不等式的求解通法：
（1）标准化：①右边化零，②系数化正.
（2）转 换：化为一元二次不等式（依据：两数的商与积同号）
f (x ) 1>0⇔f (x ) ∙g (x ) >0 g (x ) f (x ) (2)≥0⇔f (x ) ∙g (x ) ≥0且g (x ) ≠0 g (x )
f (x ) f (x ) （3≥a ⇔-a ≥0，再通分 g (x ) g (x )
三. 二元一次不等式Ax+B y+C＞0（A 、B 不同时为0），确定其所表示的平面区域用口诀：同上异下 （注意：包含边界直线用实线，否则用虚线）
四. 线性规划问题求解步骤：画（可行域）移（平行线）求（交点坐标，最优解，最值）答. 常用的解分式不等式的同解变形法则为
五. 基本不等式
：a +b ≥a ≥0, b ≥0)
（当且仅当a=b时，等号成立）
2
旧知识回顾：1. 求方程ax +bx +c =0的根方法：
（1）十字相乘法：左列分解二次项系数a ，右列分解常数项c ，交叉相乘再相加凑成一次项系数b 。
-b ± （2）求根公式：x 1，2=2a
0a ≠0) 的两根，则有x 1+x 2=-2．韦达定理：若x 1, x 2是方程ax +bx +c =（2
M
3．对数类:log a M+loga N=loga MN log a M-log a N=loga N log a M N =Nloga M （M.>0,N>0） b c , x 1∙x 2= a a
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