1．（1）操作发现·
如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC ＝2DF ，求（3）类比探究
保持（1）中的条件不变，若DC ＝n ·DF ，求
AD
的值； AB
AD
的值． AB
2．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB ＝75º，以CD
为一边的
等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上． （1）求∠AED 的度数； （2）求证：AB ＝BC ；
（3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC ＝30º．
求
DF
的值． FC
D
D
F
C C 图1 图2
3. 如图①，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．AD ＝2cm ，BC ＝6cm ，AE ＝4cm ．点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上，顺次连接B 、P 、Q 、C ，线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成的封闭图形记为M ．若点P 在线段AE 上运动时，点Q 也随之在线段DF 上运动，使图形M 的形状发生改变，但面积始终为10cm 2．设EP ＝x cm，FQ ＝y cm，．．
解答下列问题：
（1）直接写出当x ＝3时y 的值；
（2）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当x 取何值时，图形M 成为等腰梯形？图形M 成为三角形？ （4）直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积．
C C
E F
E F
图①
（备用图）
4．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC ，△A 1B 1C 1．
1
C 1 C
B 1
图 ①
（1）将△ABC ，△A 1B 1C 1如图②摆放，使点A 1与B 重合，点B 1在AC 边的延长线上，连接CC 1交BB 1于点E ．求证：∠B 1C 1C ＝∠B 1BC ．
C 1(A 1)
1图 ②
（2）若将△ABC ，△A 1B 1C 1如图③摆放，使点B 1与B 重合，点A 1在AC 边的延长线上，连接CC 1交A 1B 于点F ．试判断∠A 1C 1C 与∠A 1BC 是否相等，并说明理由．
(B 1)
C 1
A 1 C A
图 ③
5．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC ）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD ）的斜边恰好重合．已知AB ＝2，P 是AC 上的一个动点．
（1）当点P 运动到∠ABC 的平分线上时，连接DP ，求DP 的长； （2）当点P 在运动过程中出现PD ＝BC 时，求此时∠PDA 的度数；
（3）当点P 运动到什么位置时，以D ，P ，B ，Q 为顶点的平行四边形的顶点Q 恰好在边BC 上？求出此时□DPBQ 的面积．
B
6．如图1，已知长方形ABED ，点C 是边DE 的中点，且AB ＝2AD ． （1）判断△ABC 的形状，并说明理由；
（2）保持图1中ABC 的固定不变，绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图2中的位置（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的同侧），试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明；
（3）保持图2中△ABC 的固定不变，继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧）．试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明．
E
B
M
N
图1
B 图2
B
图3
7．如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝120°，∠MAN ＝60°，将图1中的∠MAN 绕点A 按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜120°），边AM 、AN 分别交直线BC 、CD 于E 、F 两点． （1）当0°＜α≤60°时，其他条件不变，如图2、如图3所示．
①如图2，判断线段BE 、DF 、EF 的数量关系，并直接写出结论；
②如图3，①中的结论是否依然成立？若成立，请利用图3证明；若不成立，说明理由． （2）当60°＜α＜120°时，其他条件不变，请在图4中画出一个符合条件的图形，直接写出．．所画图形中线段BE 、DF 、EF 的数量关系．
A D
M
图1 A
N D
A
D
C B
E M
图2 A
D
C
N
8．如图，△ABC 是等边三角形，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作等边△ADE ，过点C 作CF ∥DE 交AB 于点F ．
（1）若点D 是BC 边的中点（如图①），求证：EF ＝CD ； （2）在（1）的条件下直接写出△AEF 和△ABC 的面积比； （3）若点D 是BC 边的任意一点（除B 、C 外如图②），那么，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
A
B D B D C
图② 图①
C
9．如图1，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＜AB ＜2BC ．在AB 边上取一点M ，使AM ＝BC ，过点A 作AD ⊥AB 且AD ＝BM ，连接DC ，再过点A 作AN ∥DC ，交直线CM 、CB 于点E 、N ．
（1）求证：∠AEM ＝45°；
（2）若将题中的条件“BC ＜AB ＜2BC ”改为“AB ＞2BC ”，其它条件不变，请在图2中画出图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请猜想∠AEM 的度数，并说明理由．
C
N
B A A M B
图2 图1
10．在△ABC 中，BA ＝BC ，∠BAC ＝α，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段P A 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ． （1）若α＝60°且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出∠CDB 的度数；
（2）在图2中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想∠CDB 的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ ＝QD ，请直接写出α的范围．
A
A M
Q Q
C C
图1 图2
11．已知△ABC 和△DEC 都是等腰直角三角形，C 为它们的公共直角顶点，连接AD 、BE ，F 为线段AD 的中点，连接CF ．
（1）如图1，当点D 在BC 边上时，BE 与CF 的数量关系是____________，位置关系是____________，请证明；
（2）如图2，把△DEC 绕点C 顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明； A A F
E E
D
图1
图2
12. 已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．
（1）求证：EG =CG ；
（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
第24题图②
D
第24题图①
D
13. 如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，过点E 作EF ∥BC 交CD 于点F ．AB =4，BC =6，∠B =60︒. （1）求点E 到BC 的距离； （2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM ⊥EF 交BC 于点M ，过M 作MN ∥AB 交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP =x .
M N 的形状是否发生改变？若不变，①当点N 在线段AD 上时（如图2），△P 求出△PMN
的周长；若改变，请说明理由； ②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.
N
A A A D D D
N
F F F
C B C B C B
M M
图1 图2 图3
（第25题） A D A D
F F
B
图4（备用）
C
B
图5（备用）
C
1．（1）操作发现·
如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC ＝2DF ，求（3）类比探究
保持（1）中的条件不变，若DC ＝n ·DF ，求
AD
的值； AB
AD
的值． AB
2．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB ＝75º，以CD
为一边的
等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上． （1）求∠AED 的度数； （2）求证：AB ＝BC ；
（3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC ＝30º．
求
DF
的值． FC
D
D
F
C C 图1 图2
3. 如图①，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．AD ＝2cm ，BC ＝6cm ，AE ＝4cm ．点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上，顺次连接B 、P 、Q 、C ，线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成的封闭图形记为M ．若点P 在线段AE 上运动时，点Q 也随之在线段DF 上运动，使图形M 的形状发生改变，但面积始终为10cm 2．设EP ＝x cm，FQ ＝y cm，．．
解答下列问题：
（1）直接写出当x ＝3时y 的值；
（2）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当x 取何值时，图形M 成为等腰梯形？图形M 成为三角形？ （4）直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积．
C C
E F
E F
图①
（备用图）
4．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC ，△A 1B 1C 1．
1
C 1 C
B 1
图 ①
（1）将△ABC ，△A 1B 1C 1如图②摆放，使点A 1与B 重合，点B 1在AC 边的延长线上，连接CC 1交BB 1于点E ．求证：∠B 1C 1C ＝∠B 1BC ．
C 1(A 1)
1图 ②
（2）若将△ABC ，△A 1B 1C 1如图③摆放，使点B 1与B 重合，点A 1在AC 边的延长线上，连接CC 1交A 1B 于点F ．试判断∠A 1C 1C 与∠A 1BC 是否相等，并说明理由．
(B 1)
C 1
A 1 C A
图 ③
5．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC ）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD ）的斜边恰好重合．已知AB ＝2，P 是AC 上的一个动点．
（1）当点P 运动到∠ABC 的平分线上时，连接DP ，求DP 的长； （2）当点P 在运动过程中出现PD ＝BC 时，求此时∠PDA 的度数；
（3）当点P 运动到什么位置时，以D ，P ，B ，Q 为顶点的平行四边形的顶点Q 恰好在边BC 上？求出此时□DPBQ 的面积．
B
6．如图1，已知长方形ABED ，点C 是边DE 的中点，且AB ＝2AD ． （1）判断△ABC 的形状，并说明理由；
（2）保持图1中ABC 的固定不变，绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图2中的位置（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的同侧），试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明；
（3）保持图2中△ABC 的固定不变，继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧）．试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明．
E
B
M
N
图1
B 图2
B
图3
7．如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝120°，∠MAN ＝60°，将图1中的∠MAN 绕点A 按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜120°），边AM 、AN 分别交直线BC 、CD 于E 、F 两点． （1）当0°＜α≤60°时，其他条件不变，如图2、如图3所示．
①如图2，判断线段BE 、DF 、EF 的数量关系，并直接写出结论；
②如图3，①中的结论是否依然成立？若成立，请利用图3证明；若不成立，说明理由． （2）当60°＜α＜120°时，其他条件不变，请在图4中画出一个符合条件的图形，直接写出．．所画图形中线段BE 、DF 、EF 的数量关系．
A D
M
图1 A
N D
A
D
C B
E M
图2 A
D
C
N
8．如图，△ABC 是等边三角形，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作等边△ADE ，过点C 作CF ∥DE 交AB 于点F ．
（1）若点D 是BC 边的中点（如图①），求证：EF ＝CD ； （2）在（1）的条件下直接写出△AEF 和△ABC 的面积比； （3）若点D 是BC 边的任意一点（除B 、C 外如图②），那么，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
A
B D B D C
图② 图①
C
9．如图1，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＜AB ＜2BC ．在AB 边上取一点M ，使AM ＝BC ，过点A 作AD ⊥AB 且AD ＝BM ，连接DC ，再过点A 作AN ∥DC ，交直线CM 、CB 于点E 、N ．
（1）求证：∠AEM ＝45°；
（2）若将题中的条件“BC ＜AB ＜2BC ”改为“AB ＞2BC ”，其它条件不变，请在图2中画出图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请猜想∠AEM 的度数，并说明理由．
C
N
B A A M B
图2 图1
10．在△ABC 中，BA ＝BC ，∠BAC ＝α，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段P A 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ． （1）若α＝60°且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出∠CDB 的度数；
（2）在图2中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想∠CDB 的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ ＝QD ，请直接写出α的范围．
A
A M
Q Q
C C
图1 图2
11．已知△ABC 和△DEC 都是等腰直角三角形，C 为它们的公共直角顶点，连接AD 、BE ，F 为线段AD 的中点，连接CF ．
（1）如图1，当点D 在BC 边上时，BE 与CF 的数量关系是____________，位置关系是____________，请证明；
（2）如图2，把△DEC 绕点C 顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明； A A F
E E
D
图1
图2
12. 已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．
（1）求证：EG =CG ；
（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
第24题图②
D
第24题图①
D
13. 如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，过点E 作EF ∥BC 交CD 于点F ．AB =4，BC =6，∠B =60︒. （1）求点E 到BC 的距离； （2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM ⊥EF 交BC 于点M ，过M 作MN ∥AB 交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP =x .
M N 的形状是否发生改变？若不变，①当点N 在线段AD 上时（如图2），△P 求出△PMN
的周长；若改变，请说明理由； ②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.
N
A A A D D D
N
F F F
C B C B C B
M M
图1 图2 图3
（第25题） A D A D
F F
B
图4（备用）
C
B
图5（备用）
C