类型一：利用柯西不等式求最值
例1．求函数解：∵
且
的最大值
， 函数的定义域为
，且
，
即法二：∵
时函数取最大值，最大值为
且
， ∴函数的定义域为
由，得
即，解得∴时函数取最大值，最大值为.
当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解 【变式1】设
利用柯西不等式得最小值为-10 【变式2】已知 法一：由柯西不等式
，
，求
的最值.
且
，求
的最大值及最小值。
, 故最大值为10，
于是
的最大值为
，最小值为
.
法二：由柯西不等式
于是
的最大值为
，最小值为
.
【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数 根据柯西不等式
的最大值．
故
。
，
当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，
222 变式4：设a = (1，0，- 2)，y ，z) ，若x + y + z = 16，则a b 的最大值为 。 b = (x，
【解】∵ a = (1，0，- 2)，b = (x，y ，z) ∴ a ．b = x - 2z
由柯西不等式[1 + 0 + (- 2)](x + y + z) ≥ (x + 0 - 2z)
2
⇒ 5 ⨯ 16 ≥ (x - 2z) ⇒ - 45≤ x ≤ 45
222222
⇒ - 45≤ a ．b ≤ 45，故a ．b 的最大值为45:
变式5：设x ，y ，z ∈ R，若x 2 + y2 + z2 = 4，则x - 2y + 2z之最小值为 时，(x，y ，z) = 解(x - 2y + 2z)2 ≤ (x2 + y2 + z2)[12 + ( - 2) 2 + 22] = 4
∴
x 1=
x - 2y + 2z 最小值为 - 6，此时
y -2
=z 2=
-6
2+(-2) +2
2
2
2
=
-23
∴ x =
-23
，y =
43
，z =
-43
变式6：设x, y, z ∈R ，若2x -3y +z =3，则x 2+(y -1) 2+z 2之最小值为________，又
此时y =________。 解析：[x +(y -1) +z ][2+(-3) +1]≥(2x -3y +3+z ) [x +(y -1) +z ]≥
∴最小值
x =
y -1-33
1872
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3614
z 1t =,
27
2x
-3y
+z
=3, ∴2t (2-)
t -3(+ 3t +1) =
3
2
∴t =
7
∴y =-
4a +9+16
变式7：设a ，b ，c 均为正数且a + b + c = 9，则解： (⇒ (
4a
2a
+9b
⋅
+
a +
16c
3b
⋅b +
4c
⋅
b c
49162
)(a + b + c) c ) ≤ (++
a b c
4a +9b +16c
之最小值为
) ．9 ≥ (2 + 3 + 4)2 = 81 ⇒
≥
819
= 9
3c
2
变式8：设a, b, c均为正数，且a +2b +3c =2，则解：: [(a ) +(2b ) +(3c ) ][(
2
2
2
1a
+
2b
+之最小值为________
2
1a
) +(
2
2b
) +(
2
3c
) ]≥(1+2+3)
∴(
1a
+
2b
+
3c
) ≥18，最小值为18
变式9：设x ，y ，z ∈ R且
(x -1) 16
2
2
+
(y +2)
5
2
2
+
(z -3) 4
2
=1，求x + y + z之最大、小值:
【解】∵
(x -1) 16
2
+
(y +2)
5
2
+
(z -3)
4
y +25
=1由柯西不等式知
[42+（5) 2 + 22]⎢(
⎣
⎡x -1
4
) +() +(
2
z -32
⎤2
) +⎥ ≥
⎦
x -1⎡4．() +⎢4⎣
5．(
y +2
z -3⎤2
) ⎥ ⇒ 25 ⨯ 1 ≥ (x + y + z - 2) ⇒ 5 ≥ |x + y + ) +2．(
2⎦5
2
z - 2| ⇒ - 5 ≤ x + y + z - 2 ≤ 5 ∴ - 3 ≤ x + y + z ≤ 7
故x + y + z之最大值为7，最小值为 - 3
类型二：利用柯西不等式证明不等式
基本方法：（1）巧拆常数 （例1） （2）重新安排某些项的次序（例2）
（3）改变结构 （例3） （4）添项（例4）
例1．设、、为正数且各不相等，求证：
又、、各不相等，故等号不能成立∴例2．、为非负数，+=1， ∴
，求证：
即
。
例3．若>>，求证：解
：
，
，
∴
，∴所证结论改为
证
∴
例4．，求证：
左端变形，
∴只需证此式即可。
【变式1】设a,b,c 为正数，求证： 同理
，即，
。
． 将上面三个同向不等式相加得，
．
．
【变式2】设a,b,c 为正数，求证
：
于是即
【变式3】已知正数满足 证明。
解：
又因为
在此不等式两边同乘以2，再加上
得：
，故。
类型三：柯西不等式在几何上的应用
6．△ABC 的三边长为a 、b 、c ，其外接圆半径为R ，求证：
证明：由三角形中的正弦定理得，所以，
同理，
于是左边=
。
【变式】ΔABC 之三边长为4，5，6，P 为三角形内部一点，P 到三边的距离分別为x ，y ，z ，求
的最小值。
且
4x+5y+6z=
由柯西不等式(4x+5y+6z)2≥(x2+y2+z2)(42+52+62)
柯西不等式
≥(x2+y2+z2) ×77x 2+y2+z2≥
。
(a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n )≤(a 1+a 2+ +a n )(b 1+b 2+ +b n
2
2
2
22
2
2
22
)(a b
i
i
∈R , i =1, 2 n )
等号当且仅当a 1=a 2= =a n =0或b i =ka i 时成立（k 为常数，i =1, 2 n ） 利用柯西不等式可处理以下问题： 1） 证明不等式
例2:已知正数a , b , c 满足a +b +c =1 证明 a +b +c ≥
3
3
3
a +b +c
3
222
证明： (a 2+b 2+c 2)=(a +b +c
3
3
3
2
222333⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛22⎫2222222
= a a +b b +c c ⎪ ≤⎢ a ⎪+ b ⎪+ c ⎪⎥[a +b +c ]
⎢⎝⎭⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎣⎝⎦
3
1
3
1
3
1
2
)(a +b +c )
2
( a +b +c =1)
又因为 a 2+b 2+c 2≥a b +b c 在此不等式两边同乘以2，再加上a 2+b 2+c 2得：+ c a
(a +b +c )≤3(a 2+b 2+c 2)
(a +b +c
2
2
2
)
2
≤(a +b +c
3
3
3
)∙3(a
2
+b +c
22
)故a
3
+b +c ≥
33
a +b +c
3
222
2） 解三角形的相关问题
例3 设p 是 A B C 内的一点，R 是 A B C 外接圆的半径，
x , y , z 是p 到三边a , b , c 的距离，
证明
≤
证明：
++=
+≤abc 2R
记S 为 A B C 的面积，则ax +by +cz =2S =2
abc 4R
=
≤=
≤
3） 求最值
2222
例4已知实数a , b , c , d 满足a +b +c +d =3， a +2b +3c +6d =5试求a 的最值
解： (2b 2+3c 2+6d 2)
2
⎛1⎝2
+
13
2
+
21⎫2222
2b +3c +6d ≥b +c +d 即 ≥b +c +d ())⎪(6⎭
由条件可得， 5-a ≥(3-a ) 解得，1≤a ≤
213
23
1613
=
=
时等号成立，
代入b =1, c = b =1, c =
, d =, d =
时， a m
a x
=2
时 a m
i n
=1
5）利用柯西不等式解方程
9⎧222
x +y +z =⎪
例5．在实数集内解方程⎨ 4
⎪-8x +6y -24y =39⎩
解： (x +y +z
2
2
2
2222
⎡⎤ ① -8+6+-24≥-8x +6y -24y ()()())⎣⎦
2
x +y +z
(
222
(-8))⎡⎣
2
9222
9⨯(64+36+4⨯1)44= 3+6+(-24)⎤=
⎦4
2
又(-8x +6y -24y )=39,. (x +y +z
2
2
2
(-8))⎡⎣
2
222
+6+(-24)⎤=(-8x +6y -24z )
⎦
即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得
x -8
=y 6613=
z -24
，它与-8x +6y -24y =39联立，可得
926
x =- y = z =-
1813
类型一：利用柯西不等式求最值
例1．求函数解：∵
且
的最大值
， 函数的定义域为
，且
，
即法二：∵
时函数取最大值，最大值为
且
， ∴函数的定义域为
由，得
即，解得∴时函数取最大值，最大值为.
当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解 【变式1】设
利用柯西不等式得最小值为-10 【变式2】已知 法一：由柯西不等式
，
，求
的最值.
且
，求
的最大值及最小值。
, 故最大值为10，
于是
的最大值为
，最小值为
.
法二：由柯西不等式
于是
的最大值为
，最小值为
.
【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数 根据柯西不等式
的最大值．
故
。
，
当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，
222 变式4：设a = (1，0，- 2)，y ，z) ，若x + y + z = 16，则a b 的最大值为 。 b = (x，
【解】∵ a = (1，0，- 2)，b = (x，y ，z) ∴ a ．b = x - 2z
由柯西不等式[1 + 0 + (- 2)](x + y + z) ≥ (x + 0 - 2z)
2
⇒ 5 ⨯ 16 ≥ (x - 2z) ⇒ - 45≤ x ≤ 45
222222
⇒ - 45≤ a ．b ≤ 45，故a ．b 的最大值为45:
变式5：设x ，y ，z ∈ R，若x 2 + y2 + z2 = 4，则x - 2y + 2z之最小值为 时，(x，y ，z) = 解(x - 2y + 2z)2 ≤ (x2 + y2 + z2)[12 + ( - 2) 2 + 22] = 4
∴
x 1=
x - 2y + 2z 最小值为 - 6，此时
y -2
=z 2=
-6
2+(-2) +2
2
2
2
=
-23
∴ x =
-23
，y =
43
，z =
-43
变式6：设x, y, z ∈R ，若2x -3y +z =3，则x 2+(y -1) 2+z 2之最小值为________，又
此时y =________。 解析：[x +(y -1) +z ][2+(-3) +1]≥(2x -3y +3+z ) [x +(y -1) +z ]≥
∴最小值
x =
y -1-33
1872
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3614
z 1t =,
27
2x
-3y
+z
=3, ∴2t (2-)
t -3(+ 3t +1) =
3
2
∴t =
7
∴y =-
4a +9+16
变式7：设a ，b ，c 均为正数且a + b + c = 9，则解： (⇒ (
4a
2a
+9b
⋅
+
a +
16c
3b
⋅b +
4c
⋅
b c
49162
)(a + b + c) c ) ≤ (++
a b c
4a +9b +16c
之最小值为
) ．9 ≥ (2 + 3 + 4)2 = 81 ⇒
≥
819
= 9
3c
2
变式8：设a, b, c均为正数，且a +2b +3c =2，则解：: [(a ) +(2b ) +(3c ) ][(
2
2
2
1a
+
2b
+之最小值为________
2
1a
) +(
2
2b
) +(
2
3c
) ]≥(1+2+3)
∴(
1a
+
2b
+
3c
) ≥18，最小值为18
变式9：设x ，y ，z ∈ R且
(x -1) 16
2
2
+
(y +2)
5
2
2
+
(z -3) 4
2
=1，求x + y + z之最大、小值:
【解】∵
(x -1) 16
2
+
(y +2)
5
2
+
(z -3)
4
y +25
=1由柯西不等式知
[42+（5) 2 + 22]⎢(
⎣
⎡x -1
4
) +() +(
2
z -32
⎤2
) +⎥ ≥
⎦
x -1⎡4．() +⎢4⎣
5．(
y +2
z -3⎤2
) ⎥ ⇒ 25 ⨯ 1 ≥ (x + y + z - 2) ⇒ 5 ≥ |x + y + ) +2．(
2⎦5
2
z - 2| ⇒ - 5 ≤ x + y + z - 2 ≤ 5 ∴ - 3 ≤ x + y + z ≤ 7
故x + y + z之最大值为7，最小值为 - 3
类型二：利用柯西不等式证明不等式
基本方法：（1）巧拆常数 （例1） （2）重新安排某些项的次序（例2）
（3）改变结构 （例3） （4）添项（例4）
例1．设、、为正数且各不相等，求证：
又、、各不相等，故等号不能成立∴例2．、为非负数，+=1， ∴
，求证：
即
。
例3．若>>，求证：解
：
，
，
∴
，∴所证结论改为
证
∴
例4．，求证：
左端变形，
∴只需证此式即可。
【变式1】设a,b,c 为正数，求证： 同理
，即，
。
． 将上面三个同向不等式相加得，
．
．
【变式2】设a,b,c 为正数，求证
：
于是即
【变式3】已知正数满足 证明。
解：
又因为
在此不等式两边同乘以2，再加上
得：
，故。
类型三：柯西不等式在几何上的应用
6．△ABC 的三边长为a 、b 、c ，其外接圆半径为R ，求证：
证明：由三角形中的正弦定理得，所以，
同理，
于是左边=
。
【变式】ΔABC 之三边长为4，5，6，P 为三角形内部一点，P 到三边的距离分別为x ，y ，z ，求
的最小值。
且
4x+5y+6z=
由柯西不等式(4x+5y+6z)2≥(x2+y2+z2)(42+52+62)
柯西不等式
≥(x2+y2+z2) ×77x 2+y2+z2≥
。
(a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n )≤(a 1+a 2+ +a n )(b 1+b 2+ +b n
2
2
2
22
2
2
22
)(a b
i
i
∈R , i =1, 2 n )
等号当且仅当a 1=a 2= =a n =0或b i =ka i 时成立（k 为常数，i =1, 2 n ） 利用柯西不等式可处理以下问题： 1） 证明不等式
例2:已知正数a , b , c 满足a +b +c =1 证明 a +b +c ≥
3
3
3
a +b +c
3
222
证明： (a 2+b 2+c 2)=(a +b +c
3
3
3
2
222333⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛22⎫2222222
= a a +b b +c c ⎪ ≤⎢ a ⎪+ b ⎪+ c ⎪⎥[a +b +c ]
⎢⎝⎭⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎣⎝⎦
3
1
3
1
3
1
2
)(a +b +c )
2
( a +b +c =1)
又因为 a 2+b 2+c 2≥a b +b c 在此不等式两边同乘以2，再加上a 2+b 2+c 2得：+ c a
(a +b +c )≤3(a 2+b 2+c 2)
(a +b +c
2
2
2
)
2
≤(a +b +c
3
3
3
)∙3(a
2
+b +c
22
)故a
3
+b +c ≥
33
a +b +c
3
222
2） 解三角形的相关问题
例3 设p 是 A B C 内的一点，R 是 A B C 外接圆的半径，
x , y , z 是p 到三边a , b , c 的距离，
证明
≤
证明：
++=
+≤abc 2R
记S 为 A B C 的面积，则ax +by +cz =2S =2
abc 4R
=
≤=
≤
3） 求最值
2222
例4已知实数a , b , c , d 满足a +b +c +d =3， a +2b +3c +6d =5试求a 的最值
解： (2b 2+3c 2+6d 2)
2
⎛1⎝2
+
13
2
+
21⎫2222
2b +3c +6d ≥b +c +d 即 ≥b +c +d ())⎪(6⎭
由条件可得， 5-a ≥(3-a ) 解得，1≤a ≤
213
23
1613
=
=
时等号成立，
代入b =1, c = b =1, c =
, d =, d =
时， a m
a x
=2
时 a m
i n
=1
5）利用柯西不等式解方程
9⎧222
x +y +z =⎪
例5．在实数集内解方程⎨ 4
⎪-8x +6y -24y =39⎩
解： (x +y +z
2
2
2
2222
⎡⎤ ① -8+6+-24≥-8x +6y -24y ()()())⎣⎦
2
x +y +z
(
222
(-8))⎡⎣
2
9222
9⨯(64+36+4⨯1)44= 3+6+(-24)⎤=
⎦4
2
又(-8x +6y -24y )=39,. (x +y +z
2
2
2
(-8))⎡⎣
2
222
+6+(-24)⎤=(-8x +6y -24z )
⎦
即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得
x -8
=y 6613=
z -24
，它与-8x +6y -24y =39联立，可得
926
x =- y = z =-
1813