狭义相对论动力学基础

狭义相对论动力学基础

一，相对论质量

理论和实验证明，物体的质量与物体运动速度v有关：

mm

m0vc

2

2

m其中：v ——物体运动速度。

mo——物体静止质量，相当于物体静止的观察者测得的物体质量 m——物体运动质量，相当于物体运动的观察者测得的物体质量。 讨论：（1）当v

附：相对论质量公式的简单推导：

推导的依据：质量守恒(其实质是能量守恒)、动量守恒、洛伦兹速度变换。

设S系中有两个相同的球A、B，其中B静止，A以速度v与B发生完全非弹性碰撞。

S系：质量守恒： Mmmo

动量守恒：MV(mmo)Vmv.........(1) 所以有：

/ x/

o

mmov

............(2) mV

S/系：质量守恒： Mmmo

动量守恒：MV(mmo)Vmv.........(3)

(4) 比较（1）、（3）得： VV..........

由洛伦兹速度变换：

V

Vv

Vv12

c

VV

VvVv12

c

vvVVv21121Vvc2c

mmomv2

将（2）代入上式： 11

mmmoc2

所以有：m

movc2

2

证毕。

【例】：设一飞船以速度v=0.99c相对地球飞行，试求地球上的观察者测得飞船中的

物体的质量密度是飞船中测得密度的多少倍。 解：对于飞船系：设飞船中有一边长为lo的正方体，质量为mo。所以飞

3

体的密度为：0mol0

对于地球系：由于长度收缩效应，观察者测得物体沿运动方向的长度为：

ll0l0c

2

3Vll02l0vc

2

相对论质量为 m

movc

2

故地球上观察者侧得飞船物质的质量密度为：



moom1

50o 2223V10.99ccvcl0vc二，相对论动力学方程

由于 m

movc2

所以相对论动量为：Pmv

movc2

所以，牛顿二定律为：

movdPd

F

dtdtc2

 

d(mv)dmdv

vm dtdtdt

由于m随时间变换，所以：F

三，质能关系

设质点在外力作用下，由静止开始沿力方向运动一段位移ds，由动能定理：

FdsdEk

EkdEkFds

o

Ek

s

s

m0vd

dtc2

ds

m0v

vd

02

vc

s2vvmovmodv

022

vvc

2v



mov

2

2

vc

v

m0c2

c

mc2m0c2

所以，相对论动能为：

说明：（1）Eomoc2——物体的静止能量。

静止能量是物体内能之总和。即物体分子的动能、分子间的势能、分子内

部原子的动能和势能，以及组成原子的基本粒子的相互作用能量之总和。

（2）Emc——物体的总能量，是物体动能与静止能量之和。

质量、能量是物质的两种基本属性，质量通过惯性表现，能量通过做功表

现。能量变化必然伴随质量变化，反之亦然。但它们并非相互转化，在封闭系统中，总质量和总能量各自保持守恒。 （3）vcEk(mcmoc)

2

2

2

2

2

2

1

mov2 2

1Ekmcmocm0c12

vc

1v11v

moc1....1moc2mov2

2c22c

2

2

2

四，能量与动量的关系

Emc2

m0c

2

2

vcmovvcE1

.........(1)2mc21vcoPvc........(2)2mc1co

2

2

2

2

22

Pmv

2

2

EP1vc（1）－（2）得：mc1vc21 mc2

oo

最后得能量、动量关系式为：

Pc

【例】：物体的静止质量为0.1kg，运动速度为3×107m/s，试求其静止能量、相对论质

量、经典动能、相对论动能、总能量、经典动量、相对论动量。

解：

Eomoc20.1(3108)291015(J)mEko

movc2

0.1005(kg)

1

mov24.51013(J)2

Ekmc2moc24.51013(J)EEoEk9.0451015(J)Pomov3106(kgm/s)Pmv

movvc2

3.015106(kgm/s)

【例】：太阳的平均辐射功率约为：3.6×1026W。设想它只有辐射没有吸收，试估计

太阳的寿命有多少？（太阳质量约为2×1030kg）

E3.610269

解：每秒损失的质量：M2410(kg/s) 28c310

21030

51020(s)1.51013(Y) 太阳寿命约为：9

410

附：相对论碰撞理论：

设两个全同粒子以等值反向速度发生完全非弹性对心碰撞。

（一）按经典理论： 对两个质点构成的孤立系统，

o

碰撞过程动量守恒：

o

movmov(momo)VMoVV0

Mo2mo

12

2

Mo=2mo

碰撞过程机械能损失： EEk0(mov

1

mov2)mov2 2

o

M=γ /Mo

o

（二）按相对论理论：

对两个质点构成的孤立系统， 碰撞过程动量守恒：

mvmvMVmovmovMoV

movvcV0

2



movvc1vc22



MoVVc

2



1Vc2

碰撞过程能量守恒：

mc2mc2Mc2

mocmocMoc2

22

在本题情况下 V01

Mo2m0

相对论理论总静止质量的增加，相应静止能量的增加，对应于经典理论中机械能损失。

1v2v2

M0M02m02m0(1)2m01..1m2

2c 2c

E0M0c22m0c2m0v2

（三）结论：

一般情况下，对于完全非弹性对心碰撞相对论理论指出： 动量守恒：1m10v12m20v2M0V 总能量守恒：1m10c2m20cM0c

可见：碰撞前后相对论质量守恒；但静止质量不守恒。

2

2

2

狭义相对论动力学基础

一，相对论质量

理论和实验证明，物体的质量与物体运动速度v有关：

mm

m0vc

2

2

m其中：v ——物体运动速度。

mo——物体静止质量，相当于物体静止的观察者测得的物体质量 m——物体运动质量，相当于物体运动的观察者测得的物体质量。 讨论：（1）当v

附：相对论质量公式的简单推导：

推导的依据：质量守恒(其实质是能量守恒)、动量守恒、洛伦兹速度变换。

设S系中有两个相同的球A、B，其中B静止，A以速度v与B发生完全非弹性碰撞。

S系：质量守恒： Mmmo

动量守恒：MV(mmo)Vmv.........(1) 所以有：

/ x/

o

mmov

............(2) mV

S/系：质量守恒： Mmmo

动量守恒：MV(mmo)Vmv.........(3)

(4) 比较（1）、（3）得： VV..........

由洛伦兹速度变换：

V

Vv

Vv12

c

VV

VvVv12

c

vvVVv21121Vvc2c

mmomv2

将（2）代入上式： 11

mmmoc2

所以有：m

movc2

2

证毕。

【例】：设一飞船以速度v=0.99c相对地球飞行，试求地球上的观察者测得飞船中的

物体的质量密度是飞船中测得密度的多少倍。 解：对于飞船系：设飞船中有一边长为lo的正方体，质量为mo。所以飞

3

体的密度为：0mol0

对于地球系：由于长度收缩效应，观察者测得物体沿运动方向的长度为：

ll0l0c

2

3Vll02l0vc

2

相对论质量为 m

movc

2

故地球上观察者侧得飞船物质的质量密度为：



moom1

50o 2223V10.99ccvcl0vc二，相对论动力学方程

由于 m

movc2

所以相对论动量为：Pmv

movc2

所以，牛顿二定律为：

movdPd

F

dtdtc2

 

d(mv)dmdv

vm dtdtdt

由于m随时间变换，所以：F

三，质能关系

设质点在外力作用下，由静止开始沿力方向运动一段位移ds，由动能定理：

FdsdEk

EkdEkFds

o

Ek

s

s

m0vd

dtc2

ds

m0v

vd

02

vc

s2vvmovmodv

022

vvc

2v



mov

2

2

vc

v

m0c2

c

mc2m0c2

所以，相对论动能为：

说明：（1）Eomoc2——物体的静止能量。

静止能量是物体内能之总和。即物体分子的动能、分子间的势能、分子内

部原子的动能和势能，以及组成原子的基本粒子的相互作用能量之总和。

（2）Emc——物体的总能量，是物体动能与静止能量之和。

质量、能量是物质的两种基本属性，质量通过惯性表现，能量通过做功表

现。能量变化必然伴随质量变化，反之亦然。但它们并非相互转化，在封闭系统中，总质量和总能量各自保持守恒。 （3）vcEk(mcmoc)

2

2

2

2

2

2

1

mov2 2

1Ekmcmocm0c12

vc

1v11v

moc1....1moc2mov2

2c22c

2

2

2

四，能量与动量的关系

Emc2

m0c

2

2

vcmovvcE1

.........(1)2mc21vcoPvc........(2)2mc1co

2

2

2

2

22

Pmv

2

2

EP1vc（1）－（2）得：mc1vc21 mc2

oo

最后得能量、动量关系式为：

Pc

【例】：物体的静止质量为0.1kg，运动速度为3×107m/s，试求其静止能量、相对论质

量、经典动能、相对论动能、总能量、经典动量、相对论动量。

解：

Eomoc20.1(3108)291015(J)mEko

movc2

0.1005(kg)

1

mov24.51013(J)2

Ekmc2moc24.51013(J)EEoEk9.0451015(J)Pomov3106(kgm/s)Pmv

movvc2

3.015106(kgm/s)

【例】：太阳的平均辐射功率约为：3.6×1026W。设想它只有辐射没有吸收，试估计

太阳的寿命有多少？（太阳质量约为2×1030kg）

E3.610269

解：每秒损失的质量：M2410(kg/s) 28c310

21030

51020(s)1.51013(Y) 太阳寿命约为：9

410

附：相对论碰撞理论：

设两个全同粒子以等值反向速度发生完全非弹性对心碰撞。

（一）按经典理论： 对两个质点构成的孤立系统，

o

碰撞过程动量守恒：

o

movmov(momo)VMoVV0

Mo2mo

12

2

Mo=2mo

碰撞过程机械能损失： EEk0(mov

1

mov2)mov2 2

o

M=γ /Mo

o

（二）按相对论理论：

对两个质点构成的孤立系统， 碰撞过程动量守恒：

mvmvMVmovmovMoV

movvcV0

2



movvc1vc22



MoVVc

2



1Vc2

碰撞过程能量守恒：

mc2mc2Mc2

mocmocMoc2

22

在本题情况下 V01

Mo2m0

相对论理论总静止质量的增加，相应静止能量的增加，对应于经典理论中机械能损失。

1v2v2

M0M02m02m0(1)2m01..1m2

2c 2c

E0M0c22m0c2m0v2

（三）结论：

一般情况下，对于完全非弹性对心碰撞相对论理论指出： 动量守恒：1m10v12m20v2M0V 总能量守恒：1m10c2m20cM0c

可见：碰撞前后相对论质量守恒；但静止质量不守恒。

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