拉压杆和受扭杆上切应力的分析比较
姓名：** 指导老师：***
作者单位：************
摘要：
本文主要是分析了拉压杆和受扭转杆在斜截面的切应力的特点，并且
关键词：截面；拉压；扭转；杆；切应力：
引言：
在通过一段时间的学习之后，我对切应力有了自己的一点看法，下面是我在这段时间的学习的一系列东西的整理以及自己的看法。
一·切应力的概念
物体由于外因（受力，湿度变化等）而变形的的物体内个部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并力图使物体从变形后的位置回到变形前的位置。在考察的界面某一点单位面积上的内力称为切应力。同届面相切的成为剪应力或切应力。
二·切应力在不同情况下的特点
1·只受拉（压）力时斜截面上的切应力特点
如图7-12a所示，将杆沿着与横截面成角a的任意斜截面k-k假想地切开，去左端为研究对象（图7-12b），并以Fα表示该斜面上分布内力的合力。由左端干的平衡，显然可知 Fα=F
仿照论证横截面的上正应力分布规律的方法可知，拉压杆斜截面上的总应力Pα也处处相等。于是，若以Aα表示k-k斜截面的面积，则 Pα=Fα
Aα
注意到Aα与横截面面积A有如下关系
F A=AαCOSα 以及Fα=F,因此 Pα=α=σ0cosα A
式中，σ0 =F A为拉压杆横截面（α=0）上的正应力。
总应力Pα可以分解为两个分量：一个是正应力σα，另一个是沿着截面切线
α方向的分量，称之为切应力，用τ
表示。于是有 σ0σα= Pαcosα=σ0cosα2=α) 2
τα=Pαsinα=σ0cosαsinα=sin2α σ02
以上的两式表达了拉压杆内任一点处不同斜截面的上的正应力σα和切应力随斜截面方位角α的变化规律。通过一点的所有各截面上的应力其全部情况称为该点处的应力状态。由上式可知，在所研究的拉压杆中，一点处的应力状态由其横截面上的正应力σ0即可确定，这样的应力状态称为单向应力状态，从上式中还可以看出
1,当α=0时，σα=σ0，他是σα中的最大值，即拉压杆横截面上的正应力是所有截面上正应力中的最大者。
2,当α=45时（图7-13a中所示角α为正）
τα=τ45=2σ0
由推导公式所据的图7-12c可见，以使它所用着的分离体有顺时针转动的趋势为正。
当α=-45时，τα=τ45=−，其值与τσ0
45相同，但它有使分离体有顺时针
转动的的趋势（如上图c）
这就是说，拉压杆件内最大的切应力发生与轴线成 45的斜截面上，其大小为正应力的一半。
3,拉压杆任意两个相互垂直截面k-k和n-n上（图7-14a）的切应力根据式（7-7）分别为τα=sin2α2σ0
σ0τ
-（90-α）=sin{2×（α-90）}=−α 2σ0它们的指向如图（7-14b）所示，这就表明，拉压杆两个相互垂直截面上的
切应力大小相等，而指向都对着（或都背离）该两截面的交线。事实上，任何受力物体内一点处，两个相互垂直截面上与这两个面的交线垂直的方向的切应力，也必定大小相等，而指向都对着（或都背离）该两个垂直截面的交线。这个普遍规律成为切应力互等定理。
2，在受到扭转作用时截面的切应力的特点 对于受扭杆件，由于横截面上的应力非均匀分布，因此上法不能采用假想切开来研究截面上的力，必须围绕杆件中需要研究的斜截面上应力的点切出一个单元体加以分析
图8-68
从受扭杆件A点取出这单元体的左右两侧属于杆的横截面，顶面和底面属于杆的径向截面，而单元体的前后侧面为杆的切向平面
由切应力互等原理知：单元体左、右、上、下四个侧面作用着相等的切应力τ，单元体前后面没有应力。单元体为纯剪切状态。现用平面图来表示
图8-69 图8-70 现在来研究ef截面上的应力 ec和cf面上作用已知的切应力τ，而ef面上作用有未知正应力σ
αα和切应力τ，假设为正
设ef面的面积为dA，则ec面和cf面的面积分别为dAcosα和dAsinα
根据各个面上的力在斜截面法线n上的投影为零
则
利用三角关系
简化可得
同理，由各面上的力在斜截面切线ξ上投影之和应为零，可得
由两式看出：通过A点的斜截面上的应力σα和τα随所取截面的方位角α而改变。在α=0与 α=90°时，τα有极大值，其大小为τ，即在a、b、c、d四个侧面上作用着绝对值最大的切应力。
在α=±45°时，即在斜截面上的切应力τ
两个面上一个为拉应力，一个为压应力 α=0，而正应力σα有极值。这
如图单元体1234四个侧面就作用有绝对值最大的正应力
图8-73 图8-75
铸铁柱试件扭转时沿45°螺旋面断裂，就是因为螺旋面上最大拉应力作用的结果
由此可见，铸铁圆杆扭转破坏实质上是沿45°方向拉伸引起的断裂。应该注意的是，因为在纯剪切状态下直接引起断裂的最大拉应力σmax总是等于横截面上相应的切应力τ。所以在铸铁圆杆抗扭强度计算中以横截面上的τ作为依据。
3,对比杆在以上两种情况的相同与区别
相同点：
1，在两种状态下对杆上切应力的分析都是以斜截面为目标进行分析的。 ○
2，在斜截面呈现不同的角度时，两杆截面上的切应力的方向和大小都会○
发生相应的改变。并且两种情况下，其切应力与正应力都发生同时变化。 不同点：
1，两种情况下，对于杆的斜截面的取法不相同。由于在受拉压力的情况○
下时，受力杆上的切应力受力均匀，直接切开杆进行分析切应力。在受扭作用在杆上时，杆上的切应力分布不均匀，直接从要研究的斜截面取了一个单元体进行研究。
2，在两种作用下的杆上斜截面切应力的大小，随角度α变化时，切应力○
变化规律不相同：
在拉压力作用下的杆上的切应力：当α=0°与α=90°时，切应力的值最小且大小为零，相反正应力的大小此时最大。当α=±45°时，此时斜截面上的切应力最大，其大小等于相同大小作用下的横截面正应力的一半。
在扭转作用下的杆上的切应力：α=0与 α=90°时，斜截面的切应力有极大值其大小为在a、b、c、d四个侧面上作用着绝对值最大的切应力。当α=±45°时，斜截面上的切应力大小为零。
在相同角度时两杆斜截面上的切应力大小规律恰好相反。
参考文献：
[1]《工程力学》；张喜斌；清华大学出版社；2009年3月；
[2]《工程力学》；杨 倩；高等教育出版社；2009年1月；
[3]《工程力学》;严 丽；北京理工大学出版社；2007年2月；
[4]《材料力学》；刘庆潭；机械工业出版社；2003年2月；
拉压杆和受扭杆上切应力的分析比较
姓名：** 指导老师：***
作者单位：************
摘要：
本文主要是分析了拉压杆和受扭转杆在斜截面的切应力的特点，并且
关键词：截面；拉压；扭转；杆；切应力：
引言：
在通过一段时间的学习之后，我对切应力有了自己的一点看法，下面是我在这段时间的学习的一系列东西的整理以及自己的看法。
一·切应力的概念
物体由于外因（受力，湿度变化等）而变形的的物体内个部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并力图使物体从变形后的位置回到变形前的位置。在考察的界面某一点单位面积上的内力称为切应力。同届面相切的成为剪应力或切应力。
二·切应力在不同情况下的特点
1·只受拉（压）力时斜截面上的切应力特点
如图7-12a所示，将杆沿着与横截面成角a的任意斜截面k-k假想地切开，去左端为研究对象（图7-12b），并以Fα表示该斜面上分布内力的合力。由左端干的平衡，显然可知 Fα=F
仿照论证横截面的上正应力分布规律的方法可知，拉压杆斜截面上的总应力Pα也处处相等。于是，若以Aα表示k-k斜截面的面积，则 Pα=Fα
Aα
注意到Aα与横截面面积A有如下关系
F A=AαCOSα 以及Fα=F,因此 Pα=α=σ0cosα A
式中，σ0 =F A为拉压杆横截面（α=0）上的正应力。
总应力Pα可以分解为两个分量：一个是正应力σα，另一个是沿着截面切线
α方向的分量，称之为切应力，用τ
表示。于是有 σ0σα= Pαcosα=σ0cosα2=α) 2
τα=Pαsinα=σ0cosαsinα=sin2α σ02
以上的两式表达了拉压杆内任一点处不同斜截面的上的正应力σα和切应力随斜截面方位角α的变化规律。通过一点的所有各截面上的应力其全部情况称为该点处的应力状态。由上式可知，在所研究的拉压杆中，一点处的应力状态由其横截面上的正应力σ0即可确定，这样的应力状态称为单向应力状态，从上式中还可以看出
1,当α=0时，σα=σ0，他是σα中的最大值，即拉压杆横截面上的正应力是所有截面上正应力中的最大者。
2,当α=45时（图7-13a中所示角α为正）
τα=τ45=2σ0
由推导公式所据的图7-12c可见，以使它所用着的分离体有顺时针转动的趋势为正。
当α=-45时，τα=τ45=−，其值与τσ0
45相同，但它有使分离体有顺时针
转动的的趋势（如上图c）
这就是说，拉压杆件内最大的切应力发生与轴线成 45的斜截面上，其大小为正应力的一半。
3,拉压杆任意两个相互垂直截面k-k和n-n上（图7-14a）的切应力根据式（7-7）分别为τα=sin2α2σ0
σ0τ
-（90-α）=sin{2×（α-90）}=−α 2σ0它们的指向如图（7-14b）所示，这就表明，拉压杆两个相互垂直截面上的
切应力大小相等，而指向都对着（或都背离）该两截面的交线。事实上，任何受力物体内一点处，两个相互垂直截面上与这两个面的交线垂直的方向的切应力，也必定大小相等，而指向都对着（或都背离）该两个垂直截面的交线。这个普遍规律成为切应力互等定理。
2，在受到扭转作用时截面的切应力的特点 对于受扭杆件，由于横截面上的应力非均匀分布，因此上法不能采用假想切开来研究截面上的力，必须围绕杆件中需要研究的斜截面上应力的点切出一个单元体加以分析
图8-68
从受扭杆件A点取出这单元体的左右两侧属于杆的横截面，顶面和底面属于杆的径向截面，而单元体的前后侧面为杆的切向平面
由切应力互等原理知：单元体左、右、上、下四个侧面作用着相等的切应力τ，单元体前后面没有应力。单元体为纯剪切状态。现用平面图来表示
图8-69 图8-70 现在来研究ef截面上的应力 ec和cf面上作用已知的切应力τ，而ef面上作用有未知正应力σ
αα和切应力τ，假设为正
设ef面的面积为dA，则ec面和cf面的面积分别为dAcosα和dAsinα
根据各个面上的力在斜截面法线n上的投影为零
则
利用三角关系
简化可得
同理，由各面上的力在斜截面切线ξ上投影之和应为零，可得
由两式看出：通过A点的斜截面上的应力σα和τα随所取截面的方位角α而改变。在α=0与 α=90°时，τα有极大值，其大小为τ，即在a、b、c、d四个侧面上作用着绝对值最大的切应力。
在α=±45°时，即在斜截面上的切应力τ
两个面上一个为拉应力，一个为压应力 α=0，而正应力σα有极值。这
如图单元体1234四个侧面就作用有绝对值最大的正应力
图8-73 图8-75
铸铁柱试件扭转时沿45°螺旋面断裂，就是因为螺旋面上最大拉应力作用的结果
由此可见，铸铁圆杆扭转破坏实质上是沿45°方向拉伸引起的断裂。应该注意的是，因为在纯剪切状态下直接引起断裂的最大拉应力σmax总是等于横截面上相应的切应力τ。所以在铸铁圆杆抗扭强度计算中以横截面上的τ作为依据。
3,对比杆在以上两种情况的相同与区别
相同点：
1，在两种状态下对杆上切应力的分析都是以斜截面为目标进行分析的。 ○
2，在斜截面呈现不同的角度时，两杆截面上的切应力的方向和大小都会○
发生相应的改变。并且两种情况下，其切应力与正应力都发生同时变化。 不同点：
1，两种情况下，对于杆的斜截面的取法不相同。由于在受拉压力的情况○
下时，受力杆上的切应力受力均匀，直接切开杆进行分析切应力。在受扭作用在杆上时，杆上的切应力分布不均匀，直接从要研究的斜截面取了一个单元体进行研究。
2，在两种作用下的杆上斜截面切应力的大小，随角度α变化时，切应力○
变化规律不相同：
在拉压力作用下的杆上的切应力：当α=0°与α=90°时，切应力的值最小且大小为零，相反正应力的大小此时最大。当α=±45°时，此时斜截面上的切应力最大，其大小等于相同大小作用下的横截面正应力的一半。
在扭转作用下的杆上的切应力：α=0与 α=90°时，斜截面的切应力有极大值其大小为在a、b、c、d四个侧面上作用着绝对值最大的切应力。当α=±45°时，斜截面上的切应力大小为零。
在相同角度时两杆斜截面上的切应力大小规律恰好相反。
参考文献：
[1]《工程力学》；张喜斌；清华大学出版社；2009年3月；
[2]《工程力学》；杨 倩；高等教育出版社；2009年1月；
[3]《工程力学》;严 丽；北京理工大学出版社；2007年2月；
[4]《材料力学》；刘庆潭；机械工业出版社；2003年2月；