1.4条件概率

§1.4 条件概率一、条件概率的定义 二、乘法公式 三、全概率公式 四、贝叶斯公式1.4.1 条件概率的定义所谓条件概率，它是指某事件B发生的条件下，求另一事 件A的概率，记为 P(A|B)，它与P(A)是不同的两类概率。 引例 有100件产品，其中有5件是不合格品，包括3件次品 与2件废品，任取一件，求： P  A  = 2 100 (1) 事件 A=“取到废品”的概率: (2) 若已知事件 B=“取到的是不合格品”发生，再求事件A发 P  A | B = 2 5 生的概率： 注：这是因为事件 B 的发生排除了取到合格品的可能性， 这时样本空间 Ω 随之改为 ΩB = “5个不合格品”，故 P(A|B)=2/5.定义1.4.1 设 A 与 B 是样本空间  中的两事件，若 P  B   0，则称 P  AB  P  A B  P  B 为“在 B 发生下 A 的条件概率”，简称条件概率.例1.4.2 设某样本空间 Ω 含有 25个等可能的样本点，事件A 含有15个样本点，事件B 含有7个样本点，交事件AB 含有5 个样本点, 求B发生下A的条件概率.解法一： 在计算条件概率 P  A | B  时， 样本空间  缩小为  B＝B解法二：这时有 P  A  15 7 5 , P  B   , P  AB   ， 25 25 25 则在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率为P  AB  5 25 5 P  A | B    . P  B  7 25 7P  AB  5 25 1 类似地，P  B | A     P  A  15 25 3例题 1 甲、乙两市都位于长江下游,根据 100 多年来的气 象记录知一年中出现雨天的比例分别为 0.20和0.14 ,同时 出现雨天的比例为 0.12，求 (1)甲市下雨的条件下，乙市下雨的概率； (2)乙市下雨的条件下甲市下雨的概率.P  AB  0.12 解：P  B | A     0.6 P  A 0.2 P  AB  0.12 P  A | B    0.857 P  B  0.14性质1.4.1 条件概率是概率，满足概率的三条公理。即若设 P  B   0，则 (1) P  A B  ≥ 0; (2) P   B   1； ，An， 互不相容，则 (3) 若A1，A2，     P   Ai B    P  Ai B   i 1  i 1条件概率的性质： (1). P(AB|C) = P(A|C) + P(B|C)  P(AB|C)；(2). 若 A 与 B 互不相容，则P(AB|C) = P(A|C) + P(B|C) ； (3). P(Ā |B) = 1 P(A|B). 条件概率的三大公式：乘法公式，全概率公式， 贝叶斯公式课堂练习(1) 设P(B)＞0，且AB，则下列必然成立的是( (2) ) ① P(A)

P(A|B) ④ P(A)≥P(A|B) (2) P(A)=0.6, P(AB)=0.84, P(B|A)=0.4, 则 P(B)=( 0.6 ).1.4.2 乘法公式性质 1.4.2 乘法公式 (1) 若 P  B   0, 则 P  AB   P  B  P  A | B  .(2) 若 P  A1 A2  An 1   0, 则 P  A1  An   P  A1  P  A2 | A1  P  A3 | A1 A2   P  An | A1  An 1  .证明: 根据条件概率的定义, 移项即得(1). 对于(2), 因为P  A1   P  A1 A2     P  A1  An 1 An   0所以(2)中条件概率具有意义，且 P  A1 A2  P  A1 A2 A3  P  A1  An 1 An  右边  P  A1   P  A1  P  A1 A2  P  A1  An 1   P  A1  An 1 An  .乘法公式主要用于 求几个事件同时发生的概率。 例 1.4.3 一批零件共有100个，其中10个不合格品. 从中一个 一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率. 解：记 Ai =“第i 次取出的是不合格品”，则 所求概率为 P(Ā1Ā2A3). 由乘法公式得 P(Ā1Ā2A3) = P(Ā1) P(Ā2|Ā1) P(A3|Ā1Ā2) 90 89 10   =0.0826 100 99 98例1.4.4 (罐子模型) 设罐中有 b 个黑球、r 个红球，每次随机 取出一个球，取出后将原球放回，还加进 c 个同色球和 d 个 异色球。记 Bi 为“第 i 次取出的是黑球”，Rj 为“第 j 次取出的 是红球”。 若连续从罐中取出三个球，其中有两个红球、一个黑球，则P  B1 R2 R3   P  B1  P  R2 | B1  P  R3 | B1 R2   b rd rd c   b  r b  r  c  d b  r  2c  2 d r bd rd c P  R1 B2 R3   P  R1  P  B2 | R1  P  R3 | R1 B2     b  r b  r  c  d b  r  2c  2 d r rc b  2d P  R1 R2 B3   P  R1  P  R2 | R1  P  B3 | R1 R2     b  r b  r  c  d b  r  2c  2 d罐子模型也称为波利亚(Polya)模型(1) 当c=-1,d=0时，即为不放回抽样：P  B1 R2 R3   P  R1 B2 R3   P  R1 R2 B3   br  r  c  .  b  r  b  r  1 b  r  2 注：前次抽取结果会影响后次抽取结果，但只要抽取的黑球 与红球个数确定，则概率不依赖其抽出球的次序，都是一样 的。 (2) 当c=0,d=0时，即为放回抽样：P  B1 R2 R3   P  R1 B2 R3   P  R1 R2 B3   br 2b  r 3.注：前次抽取结果不会影响后次抽取结果，抽取后的概率不 变。(3) 当c>0,d=0时：br  r  c  . P  B1 R2 R3   P  R1 B2 R3   P  R1 R2 B3    b  r  b  r  c  b  r  2c 每次取出球后会增加下一次取到同色球的概率，称为传染病模 型, 即每次发现一个传染病患者，以后都会增加再传染的概率； 但三个概率都相等。 注：在罐子模型中，只要d=0，则以上三个概率都相等；即只 要抽取的黑球与红球个数确定，则概率不依赖其抽出球的次 序，都是一样的。(4) 当c=0,d>0时：b rd rd b  r b  r  d b  r  2d r rd rd P  R1 B2 R3   P  R1  P  B2 | R1  P  R3 | R1 B2   b  r b  r  d b  r  2d r r b  2d P  R1 R2 B3   P  R1  P  R2 | R1  P  B3 | R1 R2   b  r b  r  d b  r  2d P  B1 R2 R3   P  B1  P  R2 | B1  P  R3 | B1 R2  称为安全模型，此模型可解释为：每当事故发生了(红球被取 出)，安全工作就抓紧一些，下次再发生事故的概率就会减 少；而当事故没有发生(黑球被取出)，安全工作就放松一些， 下次再发生事故的概率就会增大。三、全概率公式全概率公式提供了计算复杂事件概率的一个有效途径，使 复杂事件的概率计算问题化繁为简.性质 1.4.3 设 B1 , B2 ,  , Bn为样本空间  的一个分割， 即 B1 , B2 ,  , Bn互不相容，且  Bi  ， 如果 P  Bi   0, i  1, 2,  , n，则对任一事件 A 有 P  A    P  Bi  P  A | Bi .i 1 n i 1 nB2B1AB3 Bn  1 Bn n  n 证明: A  A   A   Bi     ABi  ，且 AB1 , AB2 ,  , ABn 互不相容，  i 1  i 1  可加性     P  ABi  故 P  A   P    ABi   i 1  i 1 nn条件概率     P  Bi  P  A | Bi . i 1n全概率公式的主要用处在于： 将一个复杂事件的概率计算问题，分解为若干个简单事 件的概率计算问题，最后应用概率的可加性求出最终结果。注： (1). 全概率公式最简单的形式：假如 0  P  B   1 , 则P(A)  P( B) P( A | B)  P( B) P( A | B)(2). 条件 B1, B2 , ······, Bn 为样本空间的一个分割，可改为“ B1, B2 , ······, Bn 是互不相容的，且 A   Bi”，i 1 n则此时全概率公式仍然成立，即由 P(Bi)>0 可得n n P (A)   P ( ABi )   P( Bi ) P( A | Bi ) i 1 i 1例1.4.5 (摸彩模型) 设在 n 张彩票中有一张中奖，求第二人摸 到奖券的概率. 解： 设 Ai 表示事件“第 i 人摸到奖券” ，则 P(A1) =1/n . 现 求 P(A2 ) . 因为 A1 是否发生关系到 A2 发生的概率，而 A1 与 Ā1 是两 个概率大于0 的事件： 于是，由全概率公式得P A1   1  0, n P A1  n 1 0 nP A2   P A1  P A2 | A1   P A1  P A2 | A1  1 1 n 1 1 0    n n n 1 n类似的， P A3   P A1 P A2 | A1 P A3 A1 A2   P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2  P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 总的来说， (1) P(A1) =1/n . (2) 可用全概率公式计算得 P(A2)=1/n . (3) 可用归纳法计算得 P(Ai)=1/n , i=1, 2, ……, n. 这表明：摸到奖券的机会与先后顺序无关.例题2 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%，二厂生产的占 50%，三厂生产的占 20%，又知这三个厂 的产品次品率分别为2%,1%,1%，问从这批产品中任取一件是 次品的概率是多少?解：设 A 为“任取一件为次品” , Bi 为 “ 任取一件为i 厂的产品”，则B1  B2  B3  ，Bi B j   ，i, j  1, 2, 3. P  B1   0.3, P  B2   0.5, P  B3   0.2, P  A B1   0.02, P  A B2   0.01, P  A B3   0.01,30% 2% 1% 1% 20%50%由全概率公式 P  A   P  B1  P  A B1   P  B2  P  A B2   P  B3  P  A B3   0.02  0.3  0.01  0.5  0.01 0.2  0.013.1.4.4 贝叶斯公式在 乘法公式 和 全概率公式 的基础上可得到贝叶斯公式性质1.4.4 （贝叶斯公式）设 B1 , B2 , , Bn 为样本空间  的一个分割， 即 B1 , B2 , , Bn 互不相容，且  Bi  ， 如果 P  A   0, P  Bi   0, i  1, 2, , n，则 P  Bi | A   P  Bi  P  A | Bi i 1 n PB  P A| B j 1 j jn.P  ABi  证明: P  Bi | A    P  A条件概率的定义 乘法公式 全概率公式P  Bi  P  A | Bi  PB  P A| B j 1 j jn.注： (1).在贝叶斯公式中, 称 P  Bi  为 Bi 的先验概率,P  Bi | A  为 Bi 的后验概率.(2). 贝叶斯公式是专门用于计算后验概率的，也就是通过 A 的发生这个新信息，来对 B 的概率作出的修正。贝叶斯公式 P  Bi | A  P  Bi  P  A | Bi  PB  P A| B j 1 j jn.（3） B1, B2, ..., Bn 可以看作是导致A发生的原因; P(Bj | A) 是在事件 A 发生的条件下，某个原因 Bj 发生的概 率, 称为 “后验概率”; Bayes 公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”; 称 P(Bj) 为“先验概率”. （4）乘法公式 是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式 是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式 是已知“最后结果” ，求“原因”的概率.例题3 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的. 根据以往的记录有以下的数据 : 元件制造厂 1 2 3 次品率 0.02 0.01 0.03 提供元件的份额 0.15 0.80 0.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的, 且无区别的标志. (1) 在仓库中随机地取一只元件 , 求它是次品的概率; (2) 在仓库中随机地取一只元件 , 若已知取到的是次品 , 为分析 此次品出自何厂 , 需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少. 试求这些概率 .解：设A表示“取到的是一只次品” , Bi 表示“所取到的产品是由第i  i  1, 2,3 家工厂提供的” . 则B1 , B2 , B3是样本空间的一个划分, 且P  B1   0.15, P  B2   0.80, P  B3   0.05,P  A B1   0.02, P  A B2   0.01, P  A B3   0.03.(1) 由全概率公式 P  A   P  B1  P  AB1   P  B2  P  A B2   P  B3  P  A B3   0.0125.(2) 由贝叶斯公式 P  B1 A   P  A B1  P  B1  P  A 0.02  0.15   0.24, 0.0125 P( A B3 ) P( B3 )  0.12. P( B3 A)  P ( A)P ( A B2 ) P ( B2 )  0.64, P( B2 A)  P( A)故这只次品来自第2家工厂的可能性最大.例题 4 根据以往的临床记录, 某种诊断癌症的试验具有如下的效果 : 若以 A 表示事件“试验反应为阳性” ,以 C 表示事件“被诊断者患有癌症” , 则有 P  A C   0.95, P A C  0.05.现在对自然人群进行普查, 设被试验的人患有癌症的概率为 0.005, 即 P  C   0.005, 试求 P  C A .解：由贝叶斯公式得所求概率为 PC A  P  A C PC   P A C P C  P  A C PC   0.087即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症.例题5 对以往数据分析结果表明 , 当机器调整的良好时, 产品的合格率为 98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为 55%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为 95%. 试求已知某日早上第一件产品是合格品时, 机器调整得良好的概率是多少 ?解：设A为事件“产品合格” , B为事件“机器调整良好”则有 , P  A B   0.98, P A B  0.55, P  B   0.95, P B  0.05,由贝叶斯公式得所求概率为 0.98  0.95 P  B A    0.97 P  A B  P  B   P  A B  P  B  0.98  0.95  0.55  0.05 即当生产出第一件产品是合格品时, 此时机器调整良好的概率为 0.97. P  A B P  B 例题6 设 5 支枪中有 2 支未经试射校正, 3 支已校正.一射手用校正过 的枪射击,中靶率为 0.9, 用未校正过的枪射击, 中靶率为 0.4. (1) 该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？ (2) 若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率。解：设A表示枪已校正, B表示射击中靶, 则 2 3 P  A  , P A  , 5 5 PB | A  0.9, P B | A  0.1, P B | A  0.4, P B | A  0.6.3 2 (1) PB   P APB | A  P A P B | A   0.9   0.4  0.7 5 52  0.6 P A P B| A 5 (2) P A | B   0 .8  2 3 P A P B | A  P AP B | A  0.6   0.1 5 5     课堂练习1. 已知某工厂生产的产品的合格率为0.96,合格品中的一级品率为0.75, 求该厂生产的产品是一级品的概率. 解：设 A=“产品是一级品”, B =“产品是合格品”,则 AB,从而 A=AB.P  A   P  AB   P B P  A | B   0 . 96  0 . 75  0 . 722. 数字通讯过程中，信源发射0,1两种状态信号，其中发0的概率为0.55， 发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概 率0.9,0.05和0.05接收为0,1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率 0.85,0.05和0.1接收为1,0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发 端发的是0的概率是多少? 解：设 A=发射端发射0， B= 接收端接收到一个“1”的信号．P A | B   P APB | A 0.05  0.55   0.067 P APB | A  PA P B | A  0.05  0.55  0.85  0.45小结P  AB  条件概率 : P  A B   P  B乘法公式 : P  AB   P  B  P  A | B ——求事件交 P  A1  An   P  A1  P  A2 | A1  P  A3 | A1 A2  P  An | A1  An 1 n全概率公式 : P  A    P  Bi  P  A | Bi i 1——求一个复杂事件 ——求一个条件概率贝叶斯公式 : P  Bi | A  P  Bi  P  A | Bi  PB  P A| B j 1 j jn全概率公式与贝叶斯公式的区别：贝叶斯 是某种原因造成的  Bi|A  概率   事件  A 已发生全概率 各原因 Bi  下条件概率已知   事件  A  发生概率

§1.4 条件概率一、条件概率的定义 二、乘法公式 三、全概率公式 四、贝叶斯公式1.4.1 条件概率的定义所谓条件概率，它是指某事件B发生的条件下，求另一事 件A的概率，记为 P(A|B)，它与P(A)是不同的两类概率。 引例 有100件产品，其中有5件是不合格品，包括3件次品 与2件废品，任取一件，求： P  A  = 2 100 (1) 事件 A=“取到废品”的概率: (2) 若已知事件 B=“取到的是不合格品”发生，再求事件A发 P  A | B = 2 5 生的概率： 注：这是因为事件 B 的发生排除了取到合格品的可能性， 这时样本空间 Ω 随之改为 ΩB = “5个不合格品”，故 P(A|B)=2/5.定义1.4.1 设 A 与 B 是样本空间  中的两事件，若 P  B   0，则称 P  AB  P  A B  P  B 为“在 B 发生下 A 的条件概率”，简称条件概率.例1.4.2 设某样本空间 Ω 含有 25个等可能的样本点，事件A 含有15个样本点，事件B 含有7个样本点，交事件AB 含有5 个样本点, 求B发生下A的条件概率.解法一： 在计算条件概率 P  A | B  时， 样本空间  缩小为  B＝B解法二：这时有 P  A  15 7 5 , P  B   , P  AB   ， 25 25 25 则在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率为P  AB  5 25 5 P  A | B    . P  B  7 25 7P  AB  5 25 1 类似地，P  B | A     P  A  15 25 3例题 1 甲、乙两市都位于长江下游,根据 100 多年来的气 象记录知一年中出现雨天的比例分别为 0.20和0.14 ,同时 出现雨天的比例为 0.12，求 (1)甲市下雨的条件下，乙市下雨的概率； (2)乙市下雨的条件下甲市下雨的概率.P  AB  0.12 解：P  B | A     0.6 P  A 0.2 P  AB  0.12 P  A | B    0.857 P  B  0.14性质1.4.1 条件概率是概率，满足概率的三条公理。即若设 P  B   0，则 (1) P  A B  ≥ 0; (2) P   B   1； ，An， 互不相容，则 (3) 若A1，A2，     P   Ai B    P  Ai B   i 1  i 1条件概率的性质： (1). P(AB|C) = P(A|C) + P(B|C)  P(AB|C)；(2). 若 A 与 B 互不相容，则P(AB|C) = P(A|C) + P(B|C) ； (3). P(Ā |B) = 1 P(A|B). 条件概率的三大公式：乘法公式，全概率公式， 贝叶斯公式课堂练习(1) 设P(B)＞0，且AB，则下列必然成立的是( (2) ) ① P(A)

P(A|B) ④ P(A)≥P(A|B) (2) P(A)=0.6, P(AB)=0.84, P(B|A)=0.4, 则 P(B)=( 0.6 ).1.4.2 乘法公式性质 1.4.2 乘法公式 (1) 若 P  B   0, 则 P  AB   P  B  P  A | B  .(2) 若 P  A1 A2  An 1   0, 则 P  A1  An   P  A1  P  A2 | A1  P  A3 | A1 A2   P  An | A1  An 1  .证明: 根据条件概率的定义, 移项即得(1). 对于(2), 因为P  A1   P  A1 A2     P  A1  An 1 An   0所以(2)中条件概率具有意义，且 P  A1 A2  P  A1 A2 A3  P  A1  An 1 An  右边  P  A1   P  A1  P  A1 A2  P  A1  An 1   P  A1  An 1 An  .乘法公式主要用于 求几个事件同时发生的概率。 例 1.4.3 一批零件共有100个，其中10个不合格品. 从中一个 一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率. 解：记 Ai =“第i 次取出的是不合格品”，则 所求概率为 P(Ā1Ā2A3). 由乘法公式得 P(Ā1Ā2A3) = P(Ā1) P(Ā2|Ā1) P(A3|Ā1Ā2) 90 89 10   =0.0826 100 99 98例1.4.4 (罐子模型) 设罐中有 b 个黑球、r 个红球，每次随机 取出一个球，取出后将原球放回，还加进 c 个同色球和 d 个 异色球。记 Bi 为“第 i 次取出的是黑球”，Rj 为“第 j 次取出的 是红球”。 若连续从罐中取出三个球，其中有两个红球、一个黑球，则P  B1 R2 R3   P  B1  P  R2 | B1  P  R3 | B1 R2   b rd rd c   b  r b  r  c  d b  r  2c  2 d r bd rd c P  R1 B2 R3   P  R1  P  B2 | R1  P  R3 | R1 B2     b  r b  r  c  d b  r  2c  2 d r rc b  2d P  R1 R2 B3   P  R1  P  R2 | R1  P  B3 | R1 R2     b  r b  r  c  d b  r  2c  2 d罐子模型也称为波利亚(Polya)模型(1) 当c=-1,d=0时，即为不放回抽样：P  B1 R2 R3   P  R1 B2 R3   P  R1 R2 B3   br  r  c  .  b  r  b  r  1 b  r  2 注：前次抽取结果会影响后次抽取结果，但只要抽取的黑球 与红球个数确定，则概率不依赖其抽出球的次序，都是一样 的。 (2) 当c=0,d=0时，即为放回抽样：P  B1 R2 R3   P  R1 B2 R3   P  R1 R2 B3   br 2b  r 3.注：前次抽取结果不会影响后次抽取结果，抽取后的概率不 变。(3) 当c>0,d=0时：br  r  c  . P  B1 R2 R3   P  R1 B2 R3   P  R1 R2 B3    b  r  b  r  c  b  r  2c 每次取出球后会增加下一次取到同色球的概率，称为传染病模 型, 即每次发现一个传染病患者，以后都会增加再传染的概率； 但三个概率都相等。 注：在罐子模型中，只要d=0，则以上三个概率都相等；即只 要抽取的黑球与红球个数确定，则概率不依赖其抽出球的次 序，都是一样的。(4) 当c=0,d>0时：b rd rd b  r b  r  d b  r  2d r rd rd P  R1 B2 R3   P  R1  P  B2 | R1  P  R3 | R1 B2   b  r b  r  d b  r  2d r r b  2d P  R1 R2 B3   P  R1  P  R2 | R1  P  B3 | R1 R2   b  r b  r  d b  r  2d P  B1 R2 R3   P  B1  P  R2 | B1  P  R3 | B1 R2  称为安全模型，此模型可解释为：每当事故发生了(红球被取 出)，安全工作就抓紧一些，下次再发生事故的概率就会减 少；而当事故没有发生(黑球被取出)，安全工作就放松一些， 下次再发生事故的概率就会增大。三、全概率公式全概率公式提供了计算复杂事件概率的一个有效途径，使 复杂事件的概率计算问题化繁为简.性质 1.4.3 设 B1 , B2 ,  , Bn为样本空间  的一个分割， 即 B1 , B2 ,  , Bn互不相容，且  Bi  ， 如果 P  Bi   0, i  1, 2,  , n，则对任一事件 A 有 P  A    P  Bi  P  A | Bi .i 1 n i 1 nB2B1AB3 Bn  1 Bn n  n 证明: A  A   A   Bi     ABi  ，且 AB1 , AB2 ,  , ABn 互不相容，  i 1  i 1  可加性     P  ABi  故 P  A   P    ABi   i 1  i 1 nn条件概率     P  Bi  P  A | Bi . i 1n全概率公式的主要用处在于： 将一个复杂事件的概率计算问题，分解为若干个简单事 件的概率计算问题，最后应用概率的可加性求出最终结果。注： (1). 全概率公式最简单的形式：假如 0  P  B   1 , 则P(A)  P( B) P( A | B)  P( B) P( A | B)(2). 条件 B1, B2 , ······, Bn 为样本空间的一个分割，可改为“ B1, B2 , ······, Bn 是互不相容的，且 A   Bi”，i 1 n则此时全概率公式仍然成立，即由 P(Bi)>0 可得n n P (A)   P ( ABi )   P( Bi ) P( A | Bi ) i 1 i 1例1.4.5 (摸彩模型) 设在 n 张彩票中有一张中奖，求第二人摸 到奖券的概率. 解： 设 Ai 表示事件“第 i 人摸到奖券” ，则 P(A1) =1/n . 现 求 P(A2 ) . 因为 A1 是否发生关系到 A2 发生的概率，而 A1 与 Ā1 是两 个概率大于0 的事件： 于是，由全概率公式得P A1   1  0, n P A1  n 1 0 nP A2   P A1  P A2 | A1   P A1  P A2 | A1  1 1 n 1 1 0    n n n 1 n类似的， P A3   P A1 P A2 | A1 P A3 A1 A2   P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2  P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 总的来说， (1) P(A1) =1/n . (2) 可用全概率公式计算得 P(A2)=1/n . (3) 可用归纳法计算得 P(Ai)=1/n , i=1, 2, ……, n. 这表明：摸到奖券的机会与先后顺序无关.例题2 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%，二厂生产的占 50%，三厂生产的占 20%，又知这三个厂 的产品次品率分别为2%,1%,1%，问从这批产品中任取一件是 次品的概率是多少?解：设 A 为“任取一件为次品” , Bi 为 “ 任取一件为i 厂的产品”，则B1  B2  B3  ，Bi B j   ，i, j  1, 2, 3. P  B1   0.3, P  B2   0.5, P  B3   0.2, P  A B1   0.02, P  A B2   0.01, P  A B3   0.01,30% 2% 1% 1% 20%50%由全概率公式 P  A   P  B1  P  A B1   P  B2  P  A B2   P  B3  P  A B3   0.02  0.3  0.01  0.5  0.01 0.2  0.013.1.4.4 贝叶斯公式在 乘法公式 和 全概率公式 的基础上可得到贝叶斯公式性质1.4.4 （贝叶斯公式）设 B1 , B2 , , Bn 为样本空间  的一个分割， 即 B1 , B2 , , Bn 互不相容，且  Bi  ， 如果 P  A   0, P  Bi   0, i  1, 2, , n，则 P  Bi | A   P  Bi  P  A | Bi i 1 n PB  P A| B j 1 j jn.P  ABi  证明: P  Bi | A    P  A条件概率的定义 乘法公式 全概率公式P  Bi  P  A | Bi  PB  P A| B j 1 j jn.注： (1).在贝叶斯公式中, 称 P  Bi  为 Bi 的先验概率,P  Bi | A  为 Bi 的后验概率.(2). 贝叶斯公式是专门用于计算后验概率的，也就是通过 A 的发生这个新信息，来对 B 的概率作出的修正。贝叶斯公式 P  Bi | A  P  Bi  P  A | Bi  PB  P A| B j 1 j jn.（3） B1, B2, ..., Bn 可以看作是导致A发生的原因; P(Bj | A) 是在事件 A 发生的条件下，某个原因 Bj 发生的概 率, 称为 “后验概率”; Bayes 公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”; 称 P(Bj) 为“先验概率”. （4）乘法公式 是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式 是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式 是已知“最后结果” ，求“原因”的概率.例题3 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的. 根据以往的记录有以下的数据 : 元件制造厂 1 2 3 次品率 0.02 0.01 0.03 提供元件的份额 0.15 0.80 0.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的, 且无区别的标志. (1) 在仓库中随机地取一只元件 , 求它是次品的概率; (2) 在仓库中随机地取一只元件 , 若已知取到的是次品 , 为分析 此次品出自何厂 , 需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少. 试求这些概率 .解：设A表示“取到的是一只次品” , Bi 表示“所取到的产品是由第i  i  1, 2,3 家工厂提供的” . 则B1 , B2 , B3是样本空间的一个划分, 且P  B1   0.15, P  B2   0.80, P  B3   0.05,P  A B1   0.02, P  A B2   0.01, P  A B3   0.03.(1) 由全概率公式 P  A   P  B1  P  AB1   P  B2  P  A B2   P  B3  P  A B3   0.0125.(2) 由贝叶斯公式 P  B1 A   P  A B1  P  B1  P  A 0.02  0.15   0.24, 0.0125 P( A B3 ) P( B3 )  0.12. P( B3 A)  P ( A)P ( A B2 ) P ( B2 )  0.64, P( B2 A)  P( A)故这只次品来自第2家工厂的可能性最大.例题 4 根据以往的临床记录, 某种诊断癌症的试验具有如下的效果 : 若以 A 表示事件“试验反应为阳性” ,以 C 表示事件“被诊断者患有癌症” , 则有 P  A C   0.95, P A C  0.05.现在对自然人群进行普查, 设被试验的人患有癌症的概率为 0.005, 即 P  C   0.005, 试求 P  C A .解：由贝叶斯公式得所求概率为 PC A  P  A C PC   P A C P C  P  A C PC   0.087即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症.例题5 对以往数据分析结果表明 , 当机器调整的良好时, 产品的合格率为 98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为 55%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为 95%. 试求已知某日早上第一件产品是合格品时, 机器调整得良好的概率是多少 ?解：设A为事件“产品合格” , B为事件“机器调整良好”则有 , P  A B   0.98, P A B  0.55, P  B   0.95, P B  0.05,由贝叶斯公式得所求概率为 0.98  0.95 P  B A    0.97 P  A B  P  B   P  A B  P  B  0.98  0.95  0.55  0.05 即当生产出第一件产品是合格品时, 此时机器调整良好的概率为 0.97. P  A B P  B 例题6 设 5 支枪中有 2 支未经试射校正, 3 支已校正.一射手用校正过 的枪射击,中靶率为 0.9, 用未校正过的枪射击, 中靶率为 0.4. (1) 该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？ (2) 若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率。解：设A表示枪已校正, B表示射击中靶, 则 2 3 P  A  , P A  , 5 5 PB | A  0.9, P B | A  0.1, P B | A  0.4, P B | A  0.6.3 2 (1) PB   P APB | A  P A P B | A   0.9   0.4  0.7 5 52  0.6 P A P B| A 5 (2) P A | B   0 .8  2 3 P A P B | A  P AP B | A  0.6   0.1 5 5     课堂练习1. 已知某工厂生产的产品的合格率为0.96,合格品中的一级品率为0.75, 求该厂生产的产品是一级品的概率. 解：设 A=“产品是一级品”, B =“产品是合格品”,则 AB,从而 A=AB.P  A   P  AB   P B P  A | B   0 . 96  0 . 75  0 . 722. 数字通讯过程中，信源发射0,1两种状态信号，其中发0的概率为0.55， 发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概 率0.9,0.05和0.05接收为0,1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率 0.85,0.05和0.1接收为1,0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发 端发的是0的概率是多少? 解：设 A=发射端发射0， B= 接收端接收到一个“1”的信号．P A | B   P APB | A 0.05  0.55   0.067 P APB | A  PA P B | A  0.05  0.55  0.85  0.45小结P  AB  条件概率 : P  A B   P  B乘法公式 : P  AB   P  B  P  A | B ——求事件交 P  A1  An   P  A1  P  A2 | A1  P  A3 | A1 A2  P  An | A1  An 1 n全概率公式 : P  A    P  Bi  P  A | Bi i 1——求一个复杂事件 ——求一个条件概率贝叶斯公式 : P  Bi | A  P  Bi  P  A | Bi  PB  P A| B j 1 j jn全概率公式与贝叶斯公式的区别：贝叶斯 是某种原因造成的  Bi|A  概率   事件  A 已发生全概率 各原因 Bi  下条件概率已知   事件  A  发生概率