7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场复习习电场强度的计算复 v v v F 1 q1q2 r F= r0 E= 库仑定律电场强度 4πε 0 r 2 q0 (1) 点电荷的场强 r 1 q v E= r0 4πε0 r 2 (3) 电荷连续分布的带电体的电场 r r dq r E = ∫ dE = ∫ r (q) ( q ) 4πε r 3 0 (2) 场强叠加原理

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

r r r r E = E1 + E 2 + L + E n

电荷分布

dq = ρdV (体分布) dq = σdS (面分布)

dq = λ dl (线分布 )

1 2

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场高斯（Carl Friedrich Gauss，1777～1855）德国数学家、天文学家、物理学家高斯在数学上的建树颇丰，有 “数学王子” 美称。 1777年4月30日生于布伦瑞克。童年时就聪颖非凡，10岁发现等差数列公式而令教师惊叹。

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

大学一年级（19岁）时就解决了几何难题：用直尺与圆规作正十七边形图。1799年以论文《所有单变数的有理函数都可以解成一次或二次的因式这一定理的新证明》获得博土学位。 1807年起任格丁根大学数学教授和天文台台长，一直到逝世。1838年因提出地球表面任一点磁势均可以表示为一个无穷级数，并进行了计算，从而获得英国皇家学会颁发的科普利奖章。 1855年2月23日在格丁根逝世。

因家境贫寒，父亲靠短工为生，在一位贵族资助下与1795～1798年入格丁根大学学习。

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域的研究，主要成就：

(1) 物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究。 (2) 光学：利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学。 (3) 天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等。 (4) 试验数据处理：结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。 (5) 高斯还创立了电磁量的绝对单位制。

一、电通量 1、电场线 ( Electric Field Line ) （电场的几何描述）规定： 1）曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向方向； 2）通过垂直于电场方向单位面积的电场线条数等于该点电场强度的大小大小。 E = dN / dS ⊥

dS dS ⊥

v E

电场线稀疏的地方场强小，电场线密集的地方场强大。 6

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

点电荷的电场线

正点电荷负点电荷

一对等量异号点电荷的电场线

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

一对等量正点电荷的电场线

一对不等量异号点电荷的电场线

−q

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理电场线的特性

第7章真空中的静电场

带电平行板电容器的电场线 + + + + + + + + + + + +

1）电场线起始于正电荷(或无穷远处)，终止于负电荷，不会在没有电荷处中断； 2）电场线不相交。 3）静电场电场线不闭合。电场线的这些性质是由静电场的基本性质和场的单值性决定的。可用静电场的基本性质方程加以证明。

11 12

7.3 高斯定理

定义：通过电场中某一曲面的电场线数，叫做通过这个面的电通量。

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

2、电场强度通量（Electric Flux）、电场强度通量

非均匀电场，S 为任意曲面（不闭合的）（不闭合的）

v 均匀电场，E 垂直平面 S

Φ e = ES

v E

r n

v r d S = dS ⋅ n v v dΦe = E ⋅ dS

为面元矢量

v E

r n

v dS

均匀电场，与平面夹角θ E

Φe = ∫ dΦe =

v E

∫∫

E cos θ d S

Φe = ES ⊥ = ES cos θ v v v r = E ⋅ S， S = S n

v E

Φe =

∫∫ E ⋅ d S

为通过 S 面的电通量。

dS 有两个法线方向，dφ 可正可负。

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

S 为封闭曲面

规定：闭合面上各面元的规定：外法线方向为正向。

v E

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

v dS 1

v v dΦe = E ⋅ dS = Eds cos θ

π θ1 0 电场线穿出闭合面为正通量， 2 π θ2 > , dΦe2

通过闭合曲面的电通量为： v v v Φe = ∫∫ E ⋅ dS = ∫∫ E cosθ dS d S 2

S S

θ2

v E2

θ1 v E1

例：一个三棱柱体处在电场强度 E = 200 i N ⋅ C −1 的匀强电场中。求：通过此三棱柱体表面的电通量。解： Φe = Φe前 + Φe后 + Φe左

+ Φe右 + Φe下

o Φe前 = Φe后 = Φe下 v v r = ∫ E ⋅ dS = 0 z n s v v Φe左 = ∫ E ⋅ dS = ES左 cos π = − ES左 s左 v v Φe右 = ∫ E ⋅ dS = ES 右 cos θ = ES左 s右 Φe = Φe前 + Φe后 + Φe左 + Φe右 + Φe下 = 0

r n

v E

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

二、静电场中的高斯定理（Gauss’ Law） 1、高斯定理在真空中的静电场内，通过任一闭合曲面的电场强度通量，等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 ε0 。 n

v v 1 Φe = ∫∫ E ⋅ d S =

ε0

∑q

i =1

i内

（与面外电荷无关，闭合曲面闭合曲面称为高斯面高斯面）请思考：1）高斯面上的

v E 与那些电荷有关

2）哪些电荷对闭合曲面

s 的 Φe 有贡献？

？

高斯定理可用库仑定律和场强叠加原理导出。

7.3 高斯定理

高斯定理的导出 1）点电荷位于球面

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

r r Φ e = ∫∫ E ⋅ dS = ∫∫ EdS cos 0°

S 中心

q 4πε0 r 2

r dS E

2）点电荷在任意闭合曲面 S ' 内 S ' 和 S 包围同一个点电荷。由于电场线的连续性，通过两个闭合曲面的电场线的数目是相等的，所以通过

S ' 的电通量：

= E ∫∫ dS =

q 4πε0 r 2

∫∫ dS

q q = ⋅ 4 πr 2 = 2 4πε0 r ε0

r r q Φ'e = ∫∫ E ⋅ dS = Φe = S' ε0

即：通过任一个包围点电荷的闭合曲面的电通量与曲面无关，结果都等于 q

结果与球面半径无关，即以点电荷q 为中心的任一球面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。 19

ε0

7.3 高斯定理

3）点电荷在闭合曲面之外

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

4）在点电荷系的电场中，通过任意闭合曲面的电通量

r v d Φ1 = E 1 ⋅ d S 1 > 0

v v dΦ 2 = E 2 ⋅ dS 2

v E2

v dS 2

v dS 1 v

r r r r r r E = ∑ E i = E1 + L + E k + E k + 1 + L + E n

r r Φ e = ∫∫ E ⋅ dS = ∫∫

面内电荷产生

dΦ1 + d Φ 2 = 0

r r Φe = ∫∫ E ⋅ dS = 0

∑q

q q = 1 +L+ k + 0 +L+ 0 ε0 ε0 1 = ∑ qi (内) ε0 r r 1 ∴ Φ e = ∫∫ E ⋅ dS = ∑ qi (内) S ε0

i (内)

r r r r r r ∑ E i ⋅ dS = ∑ ∫∫ E ⋅ dS + ∑ ∫∫ E ⋅ dS

i (内) S i (外 ) S

面外电荷产生

q k +1

r dS

q2 qn

r E

是指面内电荷代数和。

7.3 高斯定理 v v 1 Φe = ∫∫ E ⋅ d S = S ε0

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

总结

第7章真空中的静电场

q k +1

∑q

i =1

高斯定理说明：

i内

高斯定理

v v 1 ∫∫ E ⋅ d S =

静电场是有源场。

r dS q2 qn

∑ qi > 0 ⇒ Φe > 0

表明：电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面，所以正电荷是静电场的源头。

Φe =

ε0

∑q

i =1

r E

1）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度。 2）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献。 3）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正。 4）反映了静电场的基本性质——静电场是有源场。

正电荷是发出电场线的源头，负电荷是吸收电场线的闾尾。

23 24

∑q

r r 1 对连续带电体，高斯定理为：∫∫ E ⋅ d S =

表明：有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷，所以负电荷是静电场的尾。

ε0

∫ dq

7.3 高斯定理

r r 1 问题： ∫∫ E ⋅ dS = S

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理讨论

点将 q2 从 A 移到

第7章真空中的静电场

ε o ( s内)

∑q

1）如果高斯面上 E 处处为零，则该面内必无电荷。如果高斯面上 E 处处为零，则该面内必无净电荷。 2）如果高斯面内无电荷，则高斯面上 E 处处为零。如果高斯面内无电荷，则高斯面上 E 不一定为零。 3）如果高斯面上 E 处处不为零，则该面内必有电荷。如果高斯面上 E 处处不为零，则该面内不一定有电荷。 4）高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点的场强一定为零。高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点的场强不一定处处为零。

P 电场强度是否变化？穿过高斯面 s 的 Φe 有否变化？

B q2 A P *

q2 B

在点电荷 + q 和 − q 的静电场中，做如下的三个闭合面 S 1 , S 2 , S 3 , 求通过各闭合面的电通量。

Φe1 =

∫ E ⋅ dS = ε

+q S1 S2

−q

Φe 2 = 0

Φe 3 =

−q

ε0

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

2、高斯定理的应用 Φ e =

第7章真空中的静电场

例：一点电荷位于边长为 a 的立方体的顶角上，求：通过该立方体表面总的电通量。解：顶角所在的三个面上的通量为零。其余三个面上直接计算困难考虑用 8 个这样的立方体将点电荷拥在中心。其外表面上的电通量为：

∫∫ E ⋅ dS = ε ∑ q

i (内)

高斯定理的一个重要应用是：计算带电体周围电场的电场强度。只有在场强分布具有一定的对称性时，才能比较方便应用高斯定理求出场强。

r r q Φ'e = ∫∫ E ⋅ dS = S ε0 3 q 由对称性： Φ e = 24 ε 0

•

求解的关键是选取适当的高斯面。常见的具有对称性分布的源电荷有：球对称：如均匀带电的球体、球面、球壳。球对称：轴对称：如均匀带电的长直柱体、柱面。轴对称：平面对称：如均匀带电的无限大平面、平板。平面对称：

7.3 高斯定理

r r 1 Φ e = ∫∫ E ⋅ dS = S ε0

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

∑q

i (内)

r r 1 如何选取高斯面： Φ e = ∫∫SE ⋅ dS = ε 0

1）高斯面必须是闭合曲面； 2）高斯面必须通过所求的场点；

∑q

i (内)

用高斯定理计算场强的步骤： 1）分析场强分布的对称性，找出场强的方向和场强大小的分布。 2）选择适当的高斯面，并写出通过该高斯面的电通量。 3）求出高斯面所包围的电量。 4）按高斯定理求出场强。

3）高斯面的形状必须简单规则，以便于计算穿过该面的电通量。 4）使高斯面上各点的场强大小相等，方向与高斯面法线方向一致。或高斯面上某一部分各点的场强方向与高斯面法线方向垂直，该部分的通量为零。而另一部分各点的场强大小相等，方向与高斯面法线方向一致。 30

7.3 高斯定理

注意

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

r r 1 Φ e = ∫∫ E ⋅ dS = S ε0

∑q

i (内)

高斯定理在任何电荷分布情况下都成立，但只有少数几种高度对称电荷分布的系统，其场强才能用高斯定理简单地计算出来。这是因为：已知电荷分布，利用高斯定理求场强，意味着要解上面的积分方程！但如果电荷分布具有的对称性，能使场强这个物理量从积分号下提出来，左面只剩下面积积分，问题就简单地解决了。

例：均匀带电球面的电场强度一半径为 R , 均匀带电 Q 的薄球壳（面）。求：球面内外任意点的电场强度。解：均匀带电球面的电场分布具有球对称性。取半径 r 的同心球面为高斯面，

+ + +

+ + S1 +

O R

+ + +

高斯面上场强大小相等，方向与面元外法向外法向一致。

∫∫ EdS cosθ = E ⋅ 4πr = ∑ q / ε 1 球对称时的高斯定理可写为： E ⋅ 4πr = ∑ q ε

由高斯定理：

i内

2 i内 o

7.3 高斯定理

1 E ⋅ 4πr 2 = εo

（1）

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

∑q

i内

v v

v E =0

Q 4π ε0R2

∫ E ⋅ dS = 0

+ + +

+ + S1 +

O R

+ + +

第7章真空中的静电场 q ρ= 例：均匀带电球体，已知 q、R。 4 3 求：任意点的电场强度。 πR 3 r 解：对称性分析， E 具有球对称性取高斯面。 r

∫∫ E ⋅ dS = E 4πr

r E

q R

（2） r > R

v v Q ∫SE ⋅ d S = ε 0 2

4 πr 3 3 1 qr 3 E 4π r 2 = ε 0 R3

∑q

= ρ

4 πr 2 E =

Q ε0

Q 4 πε0 r 2

场强： E =

qr 4πε 0 R

ρ r 3ε 0

7.3 高斯定理

r >R 时：电通量电量

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

均匀带电球体场强大小分布曲线 q

第7章真空中的静电场

∑ qi = q

r r Φ e = ∫∫ E ⋅ dS = E 4πr 2

r E

q R

由高斯定理

E 4πr 2 = q ε0

场强

q E = 4 πε 0 r 2

r ≥ R, E = q 4 πε 0 r 2

q 4πε 0 R 2

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

例：两同心均匀带电球面，半径为 R1 和 R2 ，分别带电 q1 和 q2 。求：空间电场分布。解：由对称性可知，电场方向是沿径向向外的。 q内由球对称时的高斯定理： E = 4πε o r 2 0 R

例：无限大均匀带电平面，面电荷密度为 σ ，求：平面附近某点的电场强度。解：具有面对称性，作闭合圆柱面为高斯面。

∑

r r r r = ∫ E ⋅ dS + ∫ E ⋅ dS +

S1 S2

Φ e = ∫∫ E ⋅ dS

S侧

∫

r r E ⋅ dS

= ES1 + ES2 + 0 = σ S / ε 0

4π ε o r

q1+q2

∑q

i内

= σS

r > R2 : E =

4π εo r

2 ES =

σS ε0

∴E =

σ 2ε 0

S侧

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理讨论

无限大带电平面的电场叠加问题

第7章真空中的静电场

E =

σ 2ε 0

(σ > 0)

+σ

σ ε0

+σ

σ ε0

无限大均匀带电平面的场强

+σ

−σ

v E

v v E E

v E

−σ

σ ε0

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

例：无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为 λ ，求：距直线为 r 处的电场强度。

选同轴闭合圆柱形高斯面。解：场具有轴对称性，

例：均匀带电圆柱面的电场。沿轴线方向单位长度带电量为λ。解：场具有轴对称。高斯面：同轴圆柱面。 (1) r

v v Φ e = ∫∫ E ⋅ dS S v v v v v v = ∫∫ E ⋅ dS + ∫∫ E ⋅ dS + ∫∫ E ⋅ dS

侧面上下

= E ∫∫ dS + 0 + 0 = E ⋅ 2πrh

侧面

r r Φe = ∫ E ⋅ dS S r r = ∫ E ⋅ dS +

上底

下底

∫ E ⋅ d S + ∫ E ⋅ dS

侧面

r l

λ 1 λh E = 2πε r Φ e = E ⋅ 2πrh = 0 ε0

∑q

= λh

= 0 + 0 + E 2πrl = E 2πrl

∑ qi = 0

E=0

7.3 高斯定理

(2) r >R

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

r r Φe = ∫ E ⋅ dS =

= E2πrl ∑ qi = 2πRlσ

Rσ E= rε 0

上底

∫

r r E ⋅ dS +

下底

r r ∫ E ⋅ dS +

侧面

r r ∫ E ⋅ dS

课堂练习：求均匀带电圆柱体的场强分布，已知R，λ

E 2πrl =

λ πr 2 l ε 0 πR 2

r l

r>R

E 2π rl =

λl ε0

令 λ = 2πRσ

λr 2πε 0 R 2

λ E = 2 πε 0 r

λ 2 πε 0 r

r>R

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

r r r r E = E1 + E 2 + L + E n

电荷分布

dq = ρdV (体分布) dq = σdS (面分布)

dq = λ dl (线分布 )

1 2

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

因家境贫寒，父亲靠短工为生，在一位贵族资助下与1795～1798年入格丁根大学学习。

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域的研究，主要成就：

dS dS ⊥

v E

电场线稀疏的地方场强小，电场线密集的地方场强大。 6

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

点电荷的电场线

正点电荷负点电荷

一对等量异号点电荷的电场线

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

一对等量正点电荷的电场线

一对不等量异号点电荷的电场线

−q

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理电场线的特性

第7章真空中的静电场

带电平行板电容器的电场线 + + + + + + + + + + + +

11 12

7.3 高斯定理

定义：通过电场中某一曲面的电场线数，叫做通过这个面的电通量。

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

2、电场强度通量（Electric Flux）、电场强度通量

非均匀电场，S 为任意曲面（不闭合的）（不闭合的）

v 均匀电场，E 垂直平面 S

Φ e = ES

v E

r n

v r d S = dS ⋅ n v v dΦe = E ⋅ dS

为面元矢量

v E

r n

v dS

均匀电场，与平面夹角θ E

Φe = ∫ dΦe =

v E

∫∫

E cos θ d S

Φe = ES ⊥ = ES cos θ v v v r = E ⋅ S， S = S n

v E

Φe =

∫∫ E ⋅ d S

为通过 S 面的电通量。

dS 有两个法线方向，dφ 可正可负。

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

S 为封闭曲面

规定：闭合面上各面元的规定：外法线方向为正向。

v E

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

v dS 1

v v dΦe = E ⋅ dS = Eds cos θ

π θ1 0 电场线穿出闭合面为正通量， 2 π θ2 > , dΦe2

通过闭合曲面的电通量为： v v v Φe = ∫∫ E ⋅ dS = ∫∫ E cosθ dS d S 2

S S

θ2

v E2

θ1 v E1

例：一个三棱柱体处在电场强度 E = 200 i N ⋅ C −1 的匀强电场中。求：通过此三棱柱体表面的电通量。解： Φe = Φe前 + Φe后 + Φe左

+ Φe右 + Φe下

r n

v E

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

v v 1 Φe = ∫∫ E ⋅ d S =

ε0

∑q

i =1

i内

（与面外电荷无关，闭合曲面闭合曲面称为高斯面高斯面）请思考：1）高斯面上的

v E 与那些电荷有关

2）哪些电荷对闭合曲面

s 的 Φe 有贡献？

？

高斯定理可用库仑定律和场强叠加原理导出。

7.3 高斯定理

高斯定理的导出 1）点电荷位于球面

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

r r Φ e = ∫∫ E ⋅ dS = ∫∫ EdS cos 0°

S 中心

q 4πε0 r 2

r dS E

2）点电荷在任意闭合曲面 S ' 内 S ' 和 S 包围同一个点电荷。由于电场线的连续性，通过两个闭合曲面的电场线的数目是相等的，所以通过

S ' 的电通量：

= E ∫∫ dS =

q 4πε0 r 2

∫∫ dS

q q = ⋅ 4 πr 2 = 2 4πε0 r ε0

r r q Φ'e = ∫∫ E ⋅ dS = Φe = S' ε0

即：通过任一个包围点电荷的闭合曲面的电通量与曲面无关，结果都等于 q

结果与球面半径无关，即以点电荷q 为中心的任一球面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。 19

ε0

7.3 高斯定理

3）点电荷在闭合曲面之外

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

4）在点电荷系的电场中，通过任意闭合曲面的电通量

r v d Φ1 = E 1 ⋅ d S 1 > 0

v v dΦ 2 = E 2 ⋅ dS 2

v E2

v dS 2

v dS 1 v

r r r r r r E = ∑ E i = E1 + L + E k + E k + 1 + L + E n

r r Φ e = ∫∫ E ⋅ dS = ∫∫

面内电荷产生

dΦ1 + d Φ 2 = 0

r r Φe = ∫∫ E ⋅ dS = 0

∑q

q q = 1 +L+ k + 0 +L+ 0 ε0 ε0 1 = ∑ qi (内) ε0 r r 1 ∴ Φ e = ∫∫ E ⋅ dS = ∑ qi (内) S ε0

i (内)

r r r r r r ∑ E i ⋅ dS = ∑ ∫∫ E ⋅ dS + ∑ ∫∫ E ⋅ dS

i (内) S i (外 ) S

面外电荷产生

q k +1

r dS

q2 qn

r E

是指面内电荷代数和。

7.3 高斯定理 v v 1 Φe = ∫∫ E ⋅ d S = S ε0

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

总结

第7章真空中的静电场

q k +1

∑q

i =1

高斯定理说明：

i内

高斯定理

v v 1 ∫∫ E ⋅ d S =

静电场是有源场。

r dS q2 qn

∑ qi > 0 ⇒ Φe > 0

表明：电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面，所以正电荷是静电场的源头。

Φe =

ε0

∑q

i =1

r E

正电荷是发出电场线的源头，负电荷是吸收电场线的闾尾。

23 24

∑q

r r 1 对连续带电体，高斯定理为：∫∫ E ⋅ d S =

表明：有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷，所以负电荷是静电场的尾。

ε0

∫ dq

7.3 高斯定理

r r 1 问题： ∫∫ E ⋅ dS = S

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理讨论

点将 q2 从 A 移到

第7章真空中的静电场

ε o ( s内)

∑q

P 电场强度是否变化？穿过高斯面 s 的 Φe 有否变化？

B q2 A P *

q2 B

在点电荷 + q 和 − q 的静电场中，做如下的三个闭合面 S 1 , S 2 , S 3 , 求通过各闭合面的电通量。

Φe1 =

∫ E ⋅ dS = ε

+q S1 S2

−q

Φe 2 = 0

Φe 3 =

−q

ε0

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

2、高斯定理的应用 Φ e =

第7章真空中的静电场

∫∫ E ⋅ dS = ε ∑ q

i (内)

高斯定理的一个重要应用是：计算带电体周围电场的电场强度。只有在场强分布具有一定的对称性时，才能比较方便应用高斯定理求出场强。

r r q Φ'e = ∫∫ E ⋅ dS = S ε0 3 q 由对称性： Φ e = 24 ε 0

•

7.3 高斯定理

r r 1 Φ e = ∫∫ E ⋅ dS = S ε0

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

∑q

i (内)

r r 1 如何选取高斯面： Φ e = ∫∫SE ⋅ dS = ε 0

1）高斯面必须是闭合曲面； 2）高斯面必须通过所求的场点；

∑q

i (内)

7.3 高斯定理

注意

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

r r 1 Φ e = ∫∫ E ⋅ dS = S ε0

∑q

i (内)

+ + +

+ + S1 +

O R

+ + +

高斯面上场强大小相等，方向与面元外法向外法向一致。

∫∫ EdS cosθ = E ⋅ 4πr = ∑ q / ε 1 球对称时的高斯定理可写为： E ⋅ 4πr = ∑ q ε

由高斯定理：

i内

2 i内 o

7.3 高斯定理

1 E ⋅ 4πr 2 = εo

（1）

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

∑q

i内

v v

v E =0

Q 4π ε0R2

∫ E ⋅ dS = 0

+ + +

+ + S1 +

O R

+ + +

第7章真空中的静电场 q ρ= 例：均匀带电球体，已知 q、R。 4 3 求：任意点的电场强度。 πR 3 r 解：对称性分析， E 具有球对称性取高斯面。 r

∫∫ E ⋅ dS = E 4πr

r E

q R

（2） r > R

v v Q ∫SE ⋅ d S = ε 0 2

4 πr 3 3 1 qr 3 E 4π r 2 = ε 0 R3

∑q

= ρ

4 πr 2 E =

Q ε0

Q 4 πε0 r 2

场强： E =

qr 4πε 0 R

ρ r 3ε 0

7.3 高斯定理

r >R 时：电通量电量

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

均匀带电球体场强大小分布曲线 q

第7章真空中的静电场

∑ qi = q

r r Φ e = ∫∫ E ⋅ dS = E 4πr 2

r E

q R

由高斯定理

E 4πr 2 = q ε0

场强

q E = 4 πε 0 r 2

r ≥ R, E = q 4 πε 0 r 2

q 4πε 0 R 2

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

例：无限大均匀带电平面，面电荷密度为 σ ，求：平面附近某点的电场强度。解：具有面对称性，作闭合圆柱面为高斯面。

∑

r r r r = ∫ E ⋅ dS + ∫ E ⋅ dS +

S1 S2

Φ e = ∫∫ E ⋅ dS

S侧

∫

r r E ⋅ dS

= ES1 + ES2 + 0 = σ S / ε 0

4π ε o r

q1+q2

∑q

i内

= σS

r > R2 : E =

4π εo r

2 ES =

σS ε0

∴E =

σ 2ε 0

S侧

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理讨论

无限大带电平面的电场叠加问题

第7章真空中的静电场

E =

σ 2ε 0

(σ > 0)

+σ

σ ε0

+σ

σ ε0

无限大均匀带电平面的场强

+σ

−σ

v E

v v E E

v E

−σ

σ ε0

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

例：无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为 λ ，求：距直线为 r 处的电场强度。

选同轴闭合圆柱形高斯面。解：场具有轴对称性，

例：均匀带电圆柱面的电场。沿轴线方向单位长度带电量为λ。解：场具有轴对称。高斯面：同轴圆柱面。 (1) r

v v Φ e = ∫∫ E ⋅ dS S v v v v v v = ∫∫ E ⋅ dS + ∫∫ E ⋅ dS + ∫∫ E ⋅ dS

侧面上下

= E ∫∫ dS + 0 + 0 = E ⋅ 2πrh

侧面

r r Φe = ∫ E ⋅ dS S r r = ∫ E ⋅ dS +

上底

下底

∫ E ⋅ d S + ∫ E ⋅ dS

侧面

r l

λ 1 λh E = 2πε r Φ e = E ⋅ 2πrh = 0 ε0

∑q

= λh

= 0 + 0 + E 2πrl = E 2πrl

∑ qi = 0

E=0

7.3 高斯定理

(2) r >R

第7章真空中的静电场

7.3 高斯定理

第7章真空中的静电场

r r Φe = ∫ E ⋅ dS =

= E2πrl ∑ qi = 2πRlσ

Rσ E= rε 0

上底

∫

r r E ⋅ dS +

下底

r r ∫ E ⋅ dS +

侧面

r r ∫ E ⋅ dS

课堂练习：求均匀带电圆柱体的场强分布，已知R，λ

E 2πrl =

λ πr 2 l ε 0 πR 2

r l

r>R

E 2π rl =

λl ε0

令 λ = 2πRσ

λr 2πε 0 R 2

λ E = 2 πε 0 r

λ 2 πε 0 r

r>R

7.3 高斯定理

相关文章