2014高考函数题型方法总结 作者：姬爱霞老师---丝路教育
第一部分：必考内容与要求
函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）
第二部分：题型方法总结
题型一：函数求值问题
★（1）分段函数求值→“分段归类”
例1．（2010湖北）已知函数f (x ) =⎨A.4
B.
⎧log 3x , x >0
x
⎩2, x ≤0
，则f (f ()) =( )
19
1
4
C.-4 D-
14
⎧tan x , x ≥0π
例2．若f (x +2) =⎨，则f (+2) ⋅f (-2) =（ ）
4⎩log 2(-x ), x
A ．-1 B．1
C ．2
D ．-2
例3．(2009年山东) 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=⎨
x ≤0⎧log 2(4-x ),
，则
⎩f (x -1) -f (x -2), x >0
f （2009）的值为( ) A.-1 B. -2 C.1 D. 2
★（2）已知某区间上的解析式求值问题→“利用周期性、奇偶性、对称性向已知区间上进行转化”
=f (x ) 例4．（2009年江西）已知函数f (x ) 是(-∞, +∞) 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x +2）
且当x ∈[0,2) 时，f (x ) =log 2(x +1，f (-2008) +f (2009)的值为（ ） ）A ．-2 B．-1 C ．1 D ．2
例5．（2009辽宁卷文）已知函数f (x ) 满足：x ≥4, 则f (x ) ＝() ；当x ＜4时
1
2
x
f (x ) ＝f (x +1) ，则f (2+log 23) ＝（ ） （A ）
1113 （B ） （C ） （D ） 241288
x
例6．（2010山东理）（5）设f (x ) 为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x ) =2+2x +b
（b 为常数），则f (-1) =（ ） （A ）-3 （B ）-1 （C ）1 (D)3
★（3）抽象函数求值问题→“反复赋值法”
例7．（2009四川卷文）已知函数f (x ) 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有
515xf (x +1) =(1+x ) f (x ) ，则f () 的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D.
222
1
例8．（2010重庆理）若函数f (x )满足：f (1)=，4f (x )f (y )=f (x +y )+f (x -y )(x , y ∈R )
4
则f (2010)=_____________.
题型二：函数定义域与解析式
（1）函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础，即处理函数问题必须树立“定义域优先”这种数学意识. 熟练准确地写出函数表达式是对函数概念理解充分体现.
（2）求定义域问题本质转化为结不等式，故需掌握常见不等式解法。
（3）掌握求函数解析式的三种常用方法：待定系数法、配凑法、换元法，能将一些简单实际问题中的函数的解析式表示出来；掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用． 例1．（2009
江西卷理）函数y =
的定义域为（ ）
A ．(-4, -1) B ．(-4,1) C ．(-1,1) D ．(-1,1] 例2．（2010
湖北文）函数y =
的定义域为（ ）
C （1，+∞）
D. (
A.(
33
,1) B(, ∞) 44
3
,1) ∪（1，+∞） 4
例3．（2008
安徽卷）函数f (x ) =
2的定义域为 ．
例4．求满足下列条件的f (x ) 的解析式：
12
f (+1) =lg x ，求f (x ) ； f (x ) ，求； （2）已知
x 3x
（3）已知f (x ) 是一次函数，且满足3f (x +1) -2f (x -1) =2x +17，求f (x ) ；
1
（4）已知f (x ) 满足2f (x ) +f () =3x ，求f (x ) ．
x
（1）已知f (x +) =x +
3
1x
例5. （2009安徽卷理）已知函数f (x ) 在R 上满足f (x ) =2f (2-x ) -x 2+8x -8，则曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线方程是（ ） （A ）y =2x -1 （B ）y =x （C ）y =3x -2 （D ）y =-2x +3
(()
题型四：函数值域与最值
关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，常用的方法有：1. 利用基本函数求值域（观察法）2. 配方法；
3. 反函数法；4. 判别式法；5. 换元法；6. 函数有界性（中间变量法）7. 单调性法；8. 不等式法；9. 数形结合法；10. 导数法等。
例1. （2010重庆）（4
）函数y =( ) （A ）[0,+∞) （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4)
x
例2. （2010山东）(3)函数f (x )=log 23+1的值域为( )
()
A. (0, +∞) B. ⎡⎣1, +∞) ⎣0, +∞) C. (1, +∞) D. ⎡例3. （2010天津）（10）设函数g (x ) =x -2(x ∈R ) ，
2
(x ) +x +4, x
f (x ) ={g g (x ) -x , x ≥g (x ). 则f (x ) 的值域是( )
（A ）⎢-
9⎡9⎤⎡9⎤
,0⎥⋃(1,+∞) （B ）[0,+∞) （C ）[-, +∞) （D ）⎢-,0⎥⋃(2,+∞)
4⎣4⎦⎣4⎦
t 2-4t +1
例4. （2010重庆）(12)已知t >0，则函数y =的最小值为____________ .
t
例5. （2008重庆) 已知函数
M , 最小值为m , 则
m
的值为( ) M
(A)
1 4
(B)
1
212
例6. （2008江西）若函数y =f (x ) 的值域是[,3]，则函数F (x ) =f (x ) +
1
的值域是( ) f (x )
A ．[
11051010,3] B．[2,] C．[, ] D．[3,] 23233
题型五：函数单调性
1、函数单调性的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I ：
如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2, 当x1＜x2
都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在 这个区间上是增函数。
如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。 2、定义的等价命题: 设x 1, x 2∈[a , b ]
（1）◆如果
f (x 1) -f (x 2)
，则函数在[a , b ]>0（x 1≠x 2）
x 1-x 2
◆(x 1-x 2)⎡⎣f (x 1)-f (x 2)⎤⎦>0则函数在[a , b ]是增函数
◆对于任意的m ，都有f (m +1) >f (m ) ，则函数在[a , b ]为增函数。
（2）◆如果
f (x 1) -f (x 2)
，则函数在[a , b ]
x 1-x 2
◆(x 1-x 2)⎡⎣f (x 1)-f (x 2)⎤⎦
（1）判断函数的单调性 x 1（2）比较自变量的大小 （3）比较函数值的大小
f (x ) 是增函数且f (x 1)
4、有关单调性的几个结论：
（1）y ＝f （x ）与y ＝kf （x ） 当k>0时，单调性相同；当k
（2）如果函数f (x ) 为增函数g (x ) 也为增函数，则有：f (x)+ g(x ) 也为增函数，-g (x ) 为减函数，
1
为减函数。 f (x )
（3）如果函数f (x ) 为增函数g (x ) 为减函数，则有：f (x ) -g (x ) 也为增函数 （4）若f(x)(其中f(x)>0)
f n (x )
（5）复合函数f[g(x)]的单调性由f(x)和g(x)的单调性共同决定.(同则增异则减)
▲【典型例题】
例1. (2009陕西卷理) 定义在R 上的偶函数f (x ) 满足：对任意的x 1, x 2∈(-∞,0](x 1≠x 2) ，有
(x 2-x 1) (f (x ) 2-
f (1x >) . ) 则当0n ∈N *时, 有
(A)f (-n ) f (x 2) 的是 A. f (x ) =
12
B.f (x ) =(x -1) C .f (x ) =e x D.f (x ) =ln(x +1) x
12
例3. （2010北京）给定函数①y =x ，②y =log 1(x +1) ，③y =|x -1|，④y =2
2
x +1
，其中在区间（0，1）上单调
递减的函数序号是 （A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 例4. （2009高考(福建文) ）定义在R 上的偶函数f (x )的部分图像如右图所示, 则在(-2, 0)上, 下列函数中与f (x )的单调性不同的是 A.y =x +1
2
B. y =|x |+1
C. y =⎧⎨2x +1, x ≥0⎧⎪e x , x ≥o
3+1, x
例5. （2009高考(辽宁理) ）已知偶函数f (x ) 在区间[0, +∞) 单调增加, 则满足f (2x -1)
3
) 的x 取值范围是 (A)(
121213, 3) (B) [3, 3) (C)(2, 23) (D) [12, 2
3
)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例6. （2009高考(海南宁夏理) ）用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值设
f(x)=min{x 2, x+2,10-x} (x≥0), 则f(x)的最大值为 A.4 B.5 C .6 D.7
例7．（2009天津）设函数f (x ) =⎧⎨x 2-4x +6, x ≥0+6, x
则不等式f (x ) >f (1) 的解集是（ ）
⎩x A ．(-3, 1) ⋃(3, +∞) B．(-3, 1) ⋃(2, +∞) C．(-1, 1) ⋃(3, +∞) D．(-∞, -3) ⋃(1, 3)
例8．（2008全国）设奇函数f (x ) 在(0，
+∞) 上为增函数，且f (1)=0，则不等式f (x ) -f (-x )
x
，0) (1，+∞) B．(-∞，-1) (0，1) C．(-∞，-1) (1，+∞) D ．(-1，0) (01)， 例9．定义域为R 的函数f (x ) 满足条件:①[f (x 1) -f (x 2)](x 1-x 2) >0,(x 1, x 2∈R +, x 1≠x 2) ; ②f (x ) +f (-x ) =0 (x ∈R ) ; ③f (-3) =0. 则不等式x ⋅f (x ) 3} B.{x |x
C. {x |x 3} D.{x |-3
例10．已知函数f (x ) =⎧⎨a x , (x
. 满足对任意的x f (x 1) -f (x 2)
1≠x 2都有
x 1-x 0 2成立, 则a 的取值范围是( ) A. (0, 1
] B. (0, 1) C. [144
, 1) D. (0, 3)
题型六：函数奇偶性与周期性
【考点解读】
一、函数奇偶性的定义 （1）定义的解读与理解
【注】：（1）定义域关于原点对称；
（2）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：
f (x ) ±f (-x ) =0，
f (x )
f (-x )
=±1 （3）判断函数奇偶性的方法：一求二看三化简四比较五得结论 （建议学生画出判断函数奇偶性的算法框图）
）
（2）、定义的引申：函数的对称性
◆偶函数关于y （即x =0）轴对称，偶函数有关系式 f (-x ) =f (x ) ◆奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式f (x ) +f (-x ) =0 引申1：函数的线对称
◆函数y =f (x ) 关于x =a 对称⇔f (a +x ) =f (a -x )
f (a +x ) =f (a -x ) 也可以写成f (x ) =f (2a -x ) 或 f (-x ) =f (2a +x ) 引申2：函数的点对称
◆函数y =f (x ) 关于点(a , b ) 对称⇔f (a +x ) +f (a -x ) =2b
上述关系也可以写成f (2a +x ) +f (-x ) =2b 或 f (2a -x ) +f (x ) =2b 2、奇偶函数的性质：
（1）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；
（2）奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反； （3）
f (x ) 为偶函数⇔f (x ) =f (|x |)；
f (x ) 的定义域包含0，则f (0)=0。
（4）若奇函数
3、函数奇偶性的有关结论：
（1）设
f (x ) ，g (x ) 的定义域分别是D 1, D 2，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇
（2）定义域关于原点对称的任意一个函数f (x ) 都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和． 即 f (x ) =
1
[F (x )+G (x )] 其中F (x ) =f (x ) +f (-x ) , G(x ) =f (x ) －f (-x ) 2
二、函数的周期性
1、定义：对于函数y =f (x ) ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T ) =f (x ) 成立，那么就把函数y =f (x ) 叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、定义的变形和引申
（1）函数
y =f (x ) 满足如下关系式，则f (x ) 的周期为2T
A、f (x +T ) =-f (x ) B、f (x +T ) =
k k
或f (x +T ) =-
f (x ) f (x )
C、f (x +
T 1+f (x ) T 1-f (x )
) =或f (x +) =（等式右边加负号亦成立） 21-f (x ) 21+f (x )
D、其他情形
（2）函数
y =f (x ) 满足f (a +x ) =f (a -x ) 且f (b +x ) =f (b -x ) ，则可推出
f (x ) =f (2a -x ) =f [b +(2a -x -b )]=f [b -(2a -x -b )]=f [x +2(b -a )]即可以得到y =f (x ) 的周期为
2(b-a ) ，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”
（3）◆如果奇函数满足
f (x +T ) =-f (x ) 则可以推出其周期是2T ，且可以推出对称轴为x =
T
+2kT (k ∈z ) ，根据2
f (x ) =f (x +2T ) 可以找出其对称中心为(kT ，0) (k ∈z ) （以上T ≠0）
◆如果偶函数满足f (x +T ) =-f (x ) 则亦可以推出周期是2T ，且可以推出对称中心为(据f (x ) =f (x +2T ) 可以推出对称轴为x =T +2kT (k ∈z ) （以上T ≠0）
（4） ◆如果奇函数
T
+2kT , 0) (k ∈z ) ，根2
y =f (x ) 满足f (T +x ) =f (T -x ) （T ≠0），则函数y =f (x ) 是以4T 为周期的周期性函数。
◆如果偶函数y =f (x ) 满足f (T +x ) =f (T -x ) （T ≠0），则函数y =f (x ) 是以2T 为周期的周期性函数。 ☆两个函数的图象对称性
y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。
y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于y 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。
y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。
y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。
y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a,b ) 对称。
【换种说法】y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a,b ) 对称。y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x =
a +b
对称。 2
【典型例题】
1
+a 是奇函数, 则a =____________. 2x -1
3
例2．（2008福建文科高考试题）函数f (x ) =x +sin x +1(x ∈R ) ，若f (-a ) =2，则f (a ) 的值为
例1．（2009高考(重庆理) ）若f (x ) =
A ．3 B ．0 C．-1 D．-2
例3．（2010江苏卷）设函数f(x)=x(e+ae )(x∈R) 是偶函数，则实数a =__________
例4．（2009高考(江西文) ）已知函数f (x ) 是(-∞, +∞) 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x +2) =f (x ），且当x ∈[0, 2) 时，f (x ) =log 2(x +1) ，则f (-2008) +f (2009) 值为（ ）
A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 例5．（安徽省合肥八中2008-2009学年高三第二次月考）设定义在R 上的函数f (x ) 满足f (x ) ⋅f (x +2) =13, 若
x
-x
f (1)=2, 则f (99)=（ ）A.13 B.2 C.
x
-x
132
D. 213
例6．（2010广东理数）3．若函数f （x ）=3+3与g （x ）=3-3的定义域均为R ，则（ ） A ．f （x ）与g （x ）均为偶函数 B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数 C ．f （x ）与g （x ）均为奇函数 D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数
例7．（江苏省海门市2009届高三第一次诊断性）已知函数y =f (x ) 的图象与函数g (x ) =log 2(x 2+x +2) 的图象关于直线x =2对称，则f (3)=__________.
例8．（江苏省扬州中学2008-2009学年高一第一学期10月份月考）已知定义在R 上的函数y =f (x )满足
x -x
f (2+x )=f (2-x ). , 若方程f (x )=0有且仅有三个根，且x =0为其一个根，则其它两根为___________。
例9．（安徽省宣城中学2008-2009学年第一学期高三理科期中）对于定义在R 上的函数f (x ) ，有下述四个命题：
①若f (x ) 是奇函数，则f (x -1) 的图象关于点A （1，0）对称；
②若对x ∈R ，有f (x +1) =f (x -1) ，则y =f (x ) 的图象关于直线x =1对称； ③若函数f (x -1) 的图象关于直线x =1对称，则f (x ) 为偶函数； ④函数y =f (1+x ) 与函数y =f (1-x ) 的图象关于直线x =1对称。 其中正确命题的序号为__________（把你认为正确命题的序号都填上）
2-x
的图像( ) 2+x
（A ） 关于原点对称 （B ）关于主线y =-x 对称
例10．（2009全国卷Ⅱ文）函数y=y =log 2
（C ） 关于y 轴对称 （D ）关于直线y =x 对称
例11．定义在R 上的偶函数f (x ) 满足f (x +1) =-f (x ), 且f (x ) 在[－１，0]上是增函数，下列五个关于f (x ) 的命题中
②f (x ) 的图象关于x =1对称；
①f (x ) 是周期函数；
③f (x ) 在［0，1］上是增函数 ④f (x ) 在［1，2］上是减函数；⑤f (2)=f (0) 正确命题的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
例12．（2010北京文数）⑷若a,b 是非零向量，且a ⊥b ，a ≠b ，则函数f (x ) =(xa +b ) ⋅(xb -a ) 是（ ） （A ）一次函数且是奇函数 （B ）一次函数但不是奇函数 （C ）二次函数且是偶函数 （D ）二次函数但不是偶函数
例13．（2009全国卷Ⅰ理）函数f (x ) 的定义域为R ，若f (x +1) 与f (x -1) 都是奇函数，则( ) (A) f (x ) 是偶函数 (B) f (x ) 是奇函数 (C) f (x ) =f (x +2) (D) f (x +3) 是奇函数
x 例14．（2008安徽）若函数f (x ), g (x ) 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x ) -g (x ) =e ，
则有（ ）A ．f (2)
题型七：函数图像 ☆具体要求：
1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．
2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题． 3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题． 4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．
D
e x +e -x
例1. (2009山东卷理) 函数y =x 的图像大致为( ). -x
e -e
例2. （2009安徽卷理）设a ＜b, 函数y =(x -a ) (x -b ) 的图像可能是( ).
2
例4．函数y =e
例5．（2009江西）如图所示，一质点P (x , y ) 在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点Q (x ,0)
|lnx |
-|x -1|的图象大致是（ ）
的运动速度V =V (t ) 的图象大致为
V (((
A B C D 例6．（2008山东卷3）函数y ＝lncos x (-
ππ
＜x ＜) 的图象是
( ) 22
题型八：函数性质的综合应用
高考对这部分内容考查的重点有：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数与方程的综
合；④函数与数列综合；⑤函数与向量的综合；⑥函数类型的应用题等．
例1. 一给定函数y =f (x ) 的图象在下列图中，并且对任意a 1∈(0, 1) ，由关系式a n +1=f (a n ) 得到的数列{a n }满足
a n +1>a n (n ∈N *) ，则该函数的图象是
1
（A ）
例2. 已知y =f (x ) 是定义在R 上的单调函数，实数x 1≠x 2，λ≠-1, a =
x 1+λx 2x +λx 1
, β=2，若
1+λ1+λ
|f (x 1) -f (x 2) |
（A ）λ
（C ）0
例3. （2009江西卷理）设函数f (x ) =
a
21世纪教育网 形区域，则a 的值为（ ）A ．-2 B．-4 C．-8 D．不能确定
例4. 56.(2009湖南卷理) 设函数y =f (x ) 在（-∞，+∞）内有定义。对于给定的正数K ，定义函数
f (x ), f (x )
≤K -1 取函数f (x ) =2-x -e 。若对任意的x ∈(+∞, -∞) ，恒有f k (x ) =f (x ) ，则（ ） k ⎩K , f (x ) >K
A ．K 的最大值为2 B. K的最小值为2
C ．K 的最大值为1 D. K的最小值为1
例5. 在y =2x , y =log 2x , y =x 2, y =cos 2x 这四个函数中，当0
成立的函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例6. （2009福建卷理）函数f (x ) =ax +bx +c (a ≠0) 的图象关于直线x =-
2x 1+x 2f (x 1) +f (x 2) 恒) >22b 对称。据此可推测，对任意的非零实2a 数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x ) ]+nf (x ) +p =0的解集都不可能是
A. {1,2} B {1,4} C {1,2,3,4} D {1,4,16,64}
二．函数与方程的思想方法
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
例1.(2009山东卷理) 已知定义在R 上的奇函数f (x ) ，满足f (x -4) =-f (x ) , 且在区间[0,2]上是增函数, 若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8, 8]上有四个不同的根x 1, x 2, x 3, x 4, 则x 1+x 2+x 3+x 4=_________.
例2. （2008湖北理）已知函数f (x ) =x +2x +a , f (bx ) =9x -6x +2, 其中x ∈R , a , b 为常数，则方程22
f (ax +b ) =0的解集为
例3. （2010天津文数）（4）函数f （x ）=e +x -2的零点所在的一个区间是
(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）
例4. （2010全国卷1理数）(15)直线y =1与曲线y =x -x +a 有四个交点，则a 的取值范围是2x
15x -9都相切，则a 等于 4
25217257A ．-1或- B ．-1或 C ．-或- D ．-或7 446446423例5. （2009江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线y =x 和y =ax +
例6. （2009辽宁卷理）若x 1满足2x+2=5, x 2满足2x+2log 2(x－1)=5, x 1+x 2＝（ ）
（A ）
x 57 (B)3 (C) (D)4 22
2014高考函数题型方法总结 作者：姬爱霞老师---丝路教育
第一部分：必考内容与要求
函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）
第二部分：题型方法总结
题型一：函数求值问题
★（1）分段函数求值→“分段归类”
例1．（2010湖北）已知函数f (x ) =⎨A.4
B.
⎧log 3x , x >0
x
⎩2, x ≤0
，则f (f ()) =( )
19
1
4
C.-4 D-
14
⎧tan x , x ≥0π
例2．若f (x +2) =⎨，则f (+2) ⋅f (-2) =（ ）
4⎩log 2(-x ), x
A ．-1 B．1
C ．2
D ．-2
例3．(2009年山东) 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=⎨
x ≤0⎧log 2(4-x ),
，则
⎩f (x -1) -f (x -2), x >0
f （2009）的值为( ) A.-1 B. -2 C.1 D. 2
★（2）已知某区间上的解析式求值问题→“利用周期性、奇偶性、对称性向已知区间上进行转化”
=f (x ) 例4．（2009年江西）已知函数f (x ) 是(-∞, +∞) 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x +2）
且当x ∈[0,2) 时，f (x ) =log 2(x +1，f (-2008) +f (2009)的值为（ ） ）A ．-2 B．-1 C ．1 D ．2
例5．（2009辽宁卷文）已知函数f (x ) 满足：x ≥4, 则f (x ) ＝() ；当x ＜4时
1
2
x
f (x ) ＝f (x +1) ，则f (2+log 23) ＝（ ） （A ）
1113 （B ） （C ） （D ） 241288
x
例6．（2010山东理）（5）设f (x ) 为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x ) =2+2x +b
（b 为常数），则f (-1) =（ ） （A ）-3 （B ）-1 （C ）1 (D)3
★（3）抽象函数求值问题→“反复赋值法”
例7．（2009四川卷文）已知函数f (x ) 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有
515xf (x +1) =(1+x ) f (x ) ，则f () 的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D.
222
1
例8．（2010重庆理）若函数f (x )满足：f (1)=，4f (x )f (y )=f (x +y )+f (x -y )(x , y ∈R )
4
则f (2010)=_____________.
题型二：函数定义域与解析式
（1）函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础，即处理函数问题必须树立“定义域优先”这种数学意识. 熟练准确地写出函数表达式是对函数概念理解充分体现.
（2）求定义域问题本质转化为结不等式，故需掌握常见不等式解法。
（3）掌握求函数解析式的三种常用方法：待定系数法、配凑法、换元法，能将一些简单实际问题中的函数的解析式表示出来；掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用． 例1．（2009
江西卷理）函数y =
的定义域为（ ）
A ．(-4, -1) B ．(-4,1) C ．(-1,1) D ．(-1,1] 例2．（2010
湖北文）函数y =
的定义域为（ ）
C （1，+∞）
D. (
A.(
33
,1) B(, ∞) 44
3
,1) ∪（1，+∞） 4
例3．（2008
安徽卷）函数f (x ) =
2的定义域为 ．
例4．求满足下列条件的f (x ) 的解析式：
12
f (+1) =lg x ，求f (x ) ； f (x ) ，求； （2）已知
x 3x
（3）已知f (x ) 是一次函数，且满足3f (x +1) -2f (x -1) =2x +17，求f (x ) ；
1
（4）已知f (x ) 满足2f (x ) +f () =3x ，求f (x ) ．
x
（1）已知f (x +) =x +
3
1x
例5. （2009安徽卷理）已知函数f (x ) 在R 上满足f (x ) =2f (2-x ) -x 2+8x -8，则曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线方程是（ ） （A ）y =2x -1 （B ）y =x （C ）y =3x -2 （D ）y =-2x +3
(()
题型四：函数值域与最值
关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，常用的方法有：1. 利用基本函数求值域（观察法）2. 配方法；
3. 反函数法；4. 判别式法；5. 换元法；6. 函数有界性（中间变量法）7. 单调性法；8. 不等式法；9. 数形结合法；10. 导数法等。
例1. （2010重庆）（4
）函数y =( ) （A ）[0,+∞) （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4)
x
例2. （2010山东）(3)函数f (x )=log 23+1的值域为( )
()
A. (0, +∞) B. ⎡⎣1, +∞) ⎣0, +∞) C. (1, +∞) D. ⎡例3. （2010天津）（10）设函数g (x ) =x -2(x ∈R ) ，
2
(x ) +x +4, x
f (x ) ={g g (x ) -x , x ≥g (x ). 则f (x ) 的值域是( )
（A ）⎢-
9⎡9⎤⎡9⎤
,0⎥⋃(1,+∞) （B ）[0,+∞) （C ）[-, +∞) （D ）⎢-,0⎥⋃(2,+∞)
4⎣4⎦⎣4⎦
t 2-4t +1
例4. （2010重庆）(12)已知t >0，则函数y =的最小值为____________ .
t
例5. （2008重庆) 已知函数
M , 最小值为m , 则
m
的值为( ) M
(A)
1 4
(B)
1
212
例6. （2008江西）若函数y =f (x ) 的值域是[,3]，则函数F (x ) =f (x ) +
1
的值域是( ) f (x )
A ．[
11051010,3] B．[2,] C．[, ] D．[3,] 23233
题型五：函数单调性
1、函数单调性的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I ：
如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2, 当x1＜x2
都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在 这个区间上是增函数。
如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。 2、定义的等价命题: 设x 1, x 2∈[a , b ]
（1）◆如果
f (x 1) -f (x 2)
，则函数在[a , b ]>0（x 1≠x 2）
x 1-x 2
◆(x 1-x 2)⎡⎣f (x 1)-f (x 2)⎤⎦>0则函数在[a , b ]是增函数
◆对于任意的m ，都有f (m +1) >f (m ) ，则函数在[a , b ]为增函数。
（2）◆如果
f (x 1) -f (x 2)
，则函数在[a , b ]
x 1-x 2
◆(x 1-x 2)⎡⎣f (x 1)-f (x 2)⎤⎦
（1）判断函数的单调性 x 1（2）比较自变量的大小 （3）比较函数值的大小
f (x ) 是增函数且f (x 1)
4、有关单调性的几个结论：
（1）y ＝f （x ）与y ＝kf （x ） 当k>0时，单调性相同；当k
（2）如果函数f (x ) 为增函数g (x ) 也为增函数，则有：f (x)+ g(x ) 也为增函数，-g (x ) 为减函数，
1
为减函数。 f (x )
（3）如果函数f (x ) 为增函数g (x ) 为减函数，则有：f (x ) -g (x ) 也为增函数 （4）若f(x)(其中f(x)>0)
f n (x )
（5）复合函数f[g(x)]的单调性由f(x)和g(x)的单调性共同决定.(同则增异则减)
▲【典型例题】
例1. (2009陕西卷理) 定义在R 上的偶函数f (x ) 满足：对任意的x 1, x 2∈(-∞,0](x 1≠x 2) ，有
(x 2-x 1) (f (x ) 2-
f (1x >) . ) 则当0n ∈N *时, 有
(A)f (-n ) f (x 2) 的是 A. f (x ) =
12
B.f (x ) =(x -1) C .f (x ) =e x D.f (x ) =ln(x +1) x
12
例3. （2010北京）给定函数①y =x ，②y =log 1(x +1) ，③y =|x -1|，④y =2
2
x +1
，其中在区间（0，1）上单调
递减的函数序号是 （A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 例4. （2009高考(福建文) ）定义在R 上的偶函数f (x )的部分图像如右图所示, 则在(-2, 0)上, 下列函数中与f (x )的单调性不同的是 A.y =x +1
2
B. y =|x |+1
C. y =⎧⎨2x +1, x ≥0⎧⎪e x , x ≥o
3+1, x
例5. （2009高考(辽宁理) ）已知偶函数f (x ) 在区间[0, +∞) 单调增加, 则满足f (2x -1)
3
) 的x 取值范围是 (A)(
121213, 3) (B) [3, 3) (C)(2, 23) (D) [12, 2
3
)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例6. （2009高考(海南宁夏理) ）用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值设
f(x)=min{x 2, x+2,10-x} (x≥0), 则f(x)的最大值为 A.4 B.5 C .6 D.7
例7．（2009天津）设函数f (x ) =⎧⎨x 2-4x +6, x ≥0+6, x
则不等式f (x ) >f (1) 的解集是（ ）
⎩x A ．(-3, 1) ⋃(3, +∞) B．(-3, 1) ⋃(2, +∞) C．(-1, 1) ⋃(3, +∞) D．(-∞, -3) ⋃(1, 3)
例8．（2008全国）设奇函数f (x ) 在(0，
+∞) 上为增函数，且f (1)=0，则不等式f (x ) -f (-x )
x
，0) (1，+∞) B．(-∞，-1) (0，1) C．(-∞，-1) (1，+∞) D ．(-1，0) (01)， 例9．定义域为R 的函数f (x ) 满足条件:①[f (x 1) -f (x 2)](x 1-x 2) >0,(x 1, x 2∈R +, x 1≠x 2) ; ②f (x ) +f (-x ) =0 (x ∈R ) ; ③f (-3) =0. 则不等式x ⋅f (x ) 3} B.{x |x
C. {x |x 3} D.{x |-3
例10．已知函数f (x ) =⎧⎨a x , (x
. 满足对任意的x f (x 1) -f (x 2)
1≠x 2都有
x 1-x 0 2成立, 则a 的取值范围是( ) A. (0, 1
] B. (0, 1) C. [144
, 1) D. (0, 3)
题型六：函数奇偶性与周期性
【考点解读】
一、函数奇偶性的定义 （1）定义的解读与理解
【注】：（1）定义域关于原点对称；
（2）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：
f (x ) ±f (-x ) =0，
f (x )
f (-x )
=±1 （3）判断函数奇偶性的方法：一求二看三化简四比较五得结论 （建议学生画出判断函数奇偶性的算法框图）
）
（2）、定义的引申：函数的对称性
◆偶函数关于y （即x =0）轴对称，偶函数有关系式 f (-x ) =f (x ) ◆奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式f (x ) +f (-x ) =0 引申1：函数的线对称
◆函数y =f (x ) 关于x =a 对称⇔f (a +x ) =f (a -x )
f (a +x ) =f (a -x ) 也可以写成f (x ) =f (2a -x ) 或 f (-x ) =f (2a +x ) 引申2：函数的点对称
◆函数y =f (x ) 关于点(a , b ) 对称⇔f (a +x ) +f (a -x ) =2b
上述关系也可以写成f (2a +x ) +f (-x ) =2b 或 f (2a -x ) +f (x ) =2b 2、奇偶函数的性质：
（1）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；
（2）奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反； （3）
f (x ) 为偶函数⇔f (x ) =f (|x |)；
f (x ) 的定义域包含0，则f (0)=0。
（4）若奇函数
3、函数奇偶性的有关结论：
（1）设
f (x ) ，g (x ) 的定义域分别是D 1, D 2，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇
（2）定义域关于原点对称的任意一个函数f (x ) 都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和． 即 f (x ) =
1
[F (x )+G (x )] 其中F (x ) =f (x ) +f (-x ) , G(x ) =f (x ) －f (-x ) 2
二、函数的周期性
1、定义：对于函数y =f (x ) ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T ) =f (x ) 成立，那么就把函数y =f (x ) 叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、定义的变形和引申
（1）函数
y =f (x ) 满足如下关系式，则f (x ) 的周期为2T
A、f (x +T ) =-f (x ) B、f (x +T ) =
k k
或f (x +T ) =-
f (x ) f (x )
C、f (x +
T 1+f (x ) T 1-f (x )
) =或f (x +) =（等式右边加负号亦成立） 21-f (x ) 21+f (x )
D、其他情形
（2）函数
y =f (x ) 满足f (a +x ) =f (a -x ) 且f (b +x ) =f (b -x ) ，则可推出
f (x ) =f (2a -x ) =f [b +(2a -x -b )]=f [b -(2a -x -b )]=f [x +2(b -a )]即可以得到y =f (x ) 的周期为
2(b-a ) ，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”
（3）◆如果奇函数满足
f (x +T ) =-f (x ) 则可以推出其周期是2T ，且可以推出对称轴为x =
T
+2kT (k ∈z ) ，根据2
f (x ) =f (x +2T ) 可以找出其对称中心为(kT ，0) (k ∈z ) （以上T ≠0）
◆如果偶函数满足f (x +T ) =-f (x ) 则亦可以推出周期是2T ，且可以推出对称中心为(据f (x ) =f (x +2T ) 可以推出对称轴为x =T +2kT (k ∈z ) （以上T ≠0）
（4） ◆如果奇函数
T
+2kT , 0) (k ∈z ) ，根2
y =f (x ) 满足f (T +x ) =f (T -x ) （T ≠0），则函数y =f (x ) 是以4T 为周期的周期性函数。
◆如果偶函数y =f (x ) 满足f (T +x ) =f (T -x ) （T ≠0），则函数y =f (x ) 是以2T 为周期的周期性函数。 ☆两个函数的图象对称性
y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。
y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于y 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。
y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。
y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。
y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a,b ) 对称。
【换种说法】y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a,b ) 对称。y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x =
a +b
对称。 2
【典型例题】
1
+a 是奇函数, 则a =____________. 2x -1
3
例2．（2008福建文科高考试题）函数f (x ) =x +sin x +1(x ∈R ) ，若f (-a ) =2，则f (a ) 的值为
例1．（2009高考(重庆理) ）若f (x ) =
A ．3 B ．0 C．-1 D．-2
例3．（2010江苏卷）设函数f(x)=x(e+ae )(x∈R) 是偶函数，则实数a =__________
例4．（2009高考(江西文) ）已知函数f (x ) 是(-∞, +∞) 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x +2) =f (x ），且当x ∈[0, 2) 时，f (x ) =log 2(x +1) ，则f (-2008) +f (2009) 值为（ ）
A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 例5．（安徽省合肥八中2008-2009学年高三第二次月考）设定义在R 上的函数f (x ) 满足f (x ) ⋅f (x +2) =13, 若
x
-x
f (1)=2, 则f (99)=（ ）A.13 B.2 C.
x
-x
132
D. 213
例6．（2010广东理数）3．若函数f （x ）=3+3与g （x ）=3-3的定义域均为R ，则（ ） A ．f （x ）与g （x ）均为偶函数 B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数 C ．f （x ）与g （x ）均为奇函数 D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数
例7．（江苏省海门市2009届高三第一次诊断性）已知函数y =f (x ) 的图象与函数g (x ) =log 2(x 2+x +2) 的图象关于直线x =2对称，则f (3)=__________.
例8．（江苏省扬州中学2008-2009学年高一第一学期10月份月考）已知定义在R 上的函数y =f (x )满足
x -x
f (2+x )=f (2-x ). , 若方程f (x )=0有且仅有三个根，且x =0为其一个根，则其它两根为___________。
例9．（安徽省宣城中学2008-2009学年第一学期高三理科期中）对于定义在R 上的函数f (x ) ，有下述四个命题：
①若f (x ) 是奇函数，则f (x -1) 的图象关于点A （1，0）对称；
②若对x ∈R ，有f (x +1) =f (x -1) ，则y =f (x ) 的图象关于直线x =1对称； ③若函数f (x -1) 的图象关于直线x =1对称，则f (x ) 为偶函数； ④函数y =f (1+x ) 与函数y =f (1-x ) 的图象关于直线x =1对称。 其中正确命题的序号为__________（把你认为正确命题的序号都填上）
2-x
的图像( ) 2+x
（A ） 关于原点对称 （B ）关于主线y =-x 对称
例10．（2009全国卷Ⅱ文）函数y=y =log 2
（C ） 关于y 轴对称 （D ）关于直线y =x 对称
例11．定义在R 上的偶函数f (x ) 满足f (x +1) =-f (x ), 且f (x ) 在[－１，0]上是增函数，下列五个关于f (x ) 的命题中
②f (x ) 的图象关于x =1对称；
①f (x ) 是周期函数；
③f (x ) 在［0，1］上是增函数 ④f (x ) 在［1，2］上是减函数；⑤f (2)=f (0) 正确命题的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
例12．（2010北京文数）⑷若a,b 是非零向量，且a ⊥b ，a ≠b ，则函数f (x ) =(xa +b ) ⋅(xb -a ) 是（ ） （A ）一次函数且是奇函数 （B ）一次函数但不是奇函数 （C ）二次函数且是偶函数 （D ）二次函数但不是偶函数
例13．（2009全国卷Ⅰ理）函数f (x ) 的定义域为R ，若f (x +1) 与f (x -1) 都是奇函数，则( ) (A) f (x ) 是偶函数 (B) f (x ) 是奇函数 (C) f (x ) =f (x +2) (D) f (x +3) 是奇函数
x 例14．（2008安徽）若函数f (x ), g (x ) 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x ) -g (x ) =e ，
则有（ ）A ．f (2)
题型七：函数图像 ☆具体要求：
1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．
2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题． 3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题． 4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．
D
e x +e -x
例1. (2009山东卷理) 函数y =x 的图像大致为( ). -x
e -e
例2. （2009安徽卷理）设a ＜b, 函数y =(x -a ) (x -b ) 的图像可能是( ).
2
例4．函数y =e
例5．（2009江西）如图所示，一质点P (x , y ) 在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点Q (x ,0)
|lnx |
-|x -1|的图象大致是（ ）
的运动速度V =V (t ) 的图象大致为
V (((
A B C D 例6．（2008山东卷3）函数y ＝lncos x (-
ππ
＜x ＜) 的图象是
( ) 22
题型八：函数性质的综合应用
高考对这部分内容考查的重点有：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数与方程的综
合；④函数与数列综合；⑤函数与向量的综合；⑥函数类型的应用题等．
例1. 一给定函数y =f (x ) 的图象在下列图中，并且对任意a 1∈(0, 1) ，由关系式a n +1=f (a n ) 得到的数列{a n }满足
a n +1>a n (n ∈N *) ，则该函数的图象是
1
（A ）
例2. 已知y =f (x ) 是定义在R 上的单调函数，实数x 1≠x 2，λ≠-1, a =
x 1+λx 2x +λx 1
, β=2，若
1+λ1+λ
|f (x 1) -f (x 2) |
（A ）λ
（C ）0
例3. （2009江西卷理）设函数f (x ) =
a
21世纪教育网 形区域，则a 的值为（ ）A ．-2 B．-4 C．-8 D．不能确定
例4. 56.(2009湖南卷理) 设函数y =f (x ) 在（-∞，+∞）内有定义。对于给定的正数K ，定义函数
f (x ), f (x )
≤K -1 取函数f (x ) =2-x -e 。若对任意的x ∈(+∞, -∞) ，恒有f k (x ) =f (x ) ，则（ ） k ⎩K , f (x ) >K
A ．K 的最大值为2 B. K的最小值为2
C ．K 的最大值为1 D. K的最小值为1
例5. 在y =2x , y =log 2x , y =x 2, y =cos 2x 这四个函数中，当0
成立的函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例6. （2009福建卷理）函数f (x ) =ax +bx +c (a ≠0) 的图象关于直线x =-
2x 1+x 2f (x 1) +f (x 2) 恒) >22b 对称。据此可推测，对任意的非零实2a 数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x ) ]+nf (x ) +p =0的解集都不可能是
A. {1,2} B {1,4} C {1,2,3,4} D {1,4,16,64}
二．函数与方程的思想方法
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
例1.(2009山东卷理) 已知定义在R 上的奇函数f (x ) ，满足f (x -4) =-f (x ) , 且在区间[0,2]上是增函数, 若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8, 8]上有四个不同的根x 1, x 2, x 3, x 4, 则x 1+x 2+x 3+x 4=_________.
例2. （2008湖北理）已知函数f (x ) =x +2x +a , f (bx ) =9x -6x +2, 其中x ∈R , a , b 为常数，则方程22
f (ax +b ) =0的解集为
例3. （2010天津文数）（4）函数f （x ）=e +x -2的零点所在的一个区间是
(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）
例4. （2010全国卷1理数）(15)直线y =1与曲线y =x -x +a 有四个交点，则a 的取值范围是2x
15x -9都相切，则a 等于 4
25217257A ．-1或- B ．-1或 C ．-或- D ．-或7 446446423例5. （2009江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线y =x 和y =ax +
例6. （2009辽宁卷理）若x 1满足2x+2=5, x 2满足2x+2log 2(x－1)=5, x 1+x 2＝（ ）
（A ）
x 57 (B)3 (C) (D)4 22