第21卷 第2期Vol.21 No.2【数理化科学】
重 庆 工 学 院 学 报
JournalofChongqingInstituteofTechnology
2007年2月Feb.2007
用极限的四则运算法则、洛必达法则求
Ξ
(,安顺 561000)
摘要:极限运算法则、洛必达法则在求极限时常用到.通过实例对应用法则求极限时常见错误进行了分析,并与正确的解法进行了比较.关 键 词:极限;错误;分析
中图分类号:O13 文献标识码:A
文章编号:1671-0924(2007)02-0051-03
AnalysisontheCommonErrorsinUsingFourArithmetic
OperationsandL’HospitolRuleforLimitEvaluation
WUQing2cheng
(AnshunVocationalandTechnicalCollege,Anshun561000,China)
Abstract:LimitAlgorithmandL’Hospitalrulearefrequentlyappliedtolimitevaluation.Thispaperana2lyzesthecommonerrorsintheapplicationoftheserules,andcomparesthemwithcorrectsolutions.Keywords:limit;error;analysis
求极限是高等数学中极其重要的内容之一,也是高等数学中的基础部分,因此熟悉求极限的方法对学好高等数学具有重要意义.求极限时常用到极限的四则运算法则和洛必达法则,但是在应用时一定要注意,否则容易出错,本文中将通过具体例子对此进行分析.
例1 求x→0
n
2
+
2
n
2
+…+
2n
2n
错解:lim
x→0
n
2
+
n
+…+
=lim
x→0
n
2
+lim
x→0
n
2
+…+lim
x→0
0=02=0+0+…n
1 用极限的四则运算法则求极限时的常见
分析:极限的四则运算法则仅对有限个函数
适用,上例括号内是n个量的和,当时n→∞,项数为无穷多项,因此不能用极限的四则运算法则来求.
正解:n
2
x→0
错误
1)对无限个函数的和(或差、积等)用极限运算法则.
Ξ 收稿日期:2006-11-20
+
n
2
+…+
2n
=
作者简介:伍庆成(1972-),女,湖南人,讲师,主要从事高等数学的教育和研究.
52lim
x→0
重庆工学院学报
n
2
=lim
x→0
=2
22n
lim
x→3
=x+33
2)每个参与运算的函数的极限不都存在时用
在使用极限的四则运算法则时,必须注意2点[1]:①法则要求每个参与运算的函数的极限存在;②商的极限的运算法则有个重要前提,即分母
极限运算法则.
例2 求lim错解:lim
x→∞
x
x→∞
x
=lim
x
的极限不能为0.当这2个条件中任何一个条件不
・limsinx=0
x→∞
x→∞
具备时,.
x→∞
分析:上面计算中第一个等号是错误的,因为limsinx不存在, 1)对不满足达法则.
cosx
例5 求lim(
x→0ln1+sinx)
()cosxcosx错解:lim(=lim=0
x→0ln1+sinx)x→0(1+sinx)分析:洛必达法则只适用于型型不定
0∞
型型不定式直接运用洛必0∞
则.
正解:x
,|sinx|≤1,:
x→∞
lim=lim(
x→∞
x
・sinx)=0
3)分母的极限为零时,求商的极限用极限的
四则运算法则.
例3 求lim
x→1
x-3x+2
2
lim(4x-3)错解:lim2==2x→1x-3x+20lim(x-3x+2)
x→1
式,而不能应用于非不定式的场合,而本例中limecosx=e.
x→0
=∞
分析:极限四则运算法则明确指出,当limf(x)
及limg(x)都存在且limg(x)≠0时有lim=
g(x)
,也就是说,商的极限的运算法则有个重
limg(x)
正解:因为lim=
x→0ecosxcosx
=0,所以lim=∞.
x→0ln(1+sinx)e
limln(1+sinx)
limecosx
x→0
=
要前提,即分母的极限不能为零.本例中lim(x2-x→1
洛必达法则还可用来求0・∞,∞-∞,0∞,
0∞
∞,1型未定式的极限,求这几种未定式极限的
3x+2)=0,显然不能用极限的四则运算法则.
正解:由于lim
x→1
=
4x-3
2
lim(x2-3x+2)
lim(4x-3)
x→1
=
基本方法是设法将它们化为型或型.
0∞
(secx-tanx) (∞-∞例6 求lim型)x=0,由无穷小量与无穷大量的倒数关系,得1
lim2=∞.x→1x-3x+2
2例4 求lim2x→3x-9
分析:因为lim(x2-9)=0,所以应考察分子极
x→3
2
(secx-tanx)=lim(解:limx2
x2
)=-cosxcosx
limx2
(化为型)=lim==0cosx10x-sinx
2
2)把函数当作整个分式来微分.
限,而lim(x2-4x+3)=0,即分子极限也是0,与例
x→3
例7 求lim+xlnx
x→0
错解:lim+xlnx=lim+=lim+x→0x→0x→0
x
(1+lnx)=∞lim+
2
3分子极限不为0不同,故不能用例3的解题方
+
2lnx
法.注意到分子和分母分解因式后出现公因子(x
-3),由极限定义知,x→3但x≠3,即x-3≠0,故可消去公因子后再求极限.
解:lim
x→3
x
2
=
x→0
2=lim=2x→3(x+3)(x-3)x-9
分析:用洛必达法则时应将分子、分母分别微分.
伍庆成:用极限的四则运算法则、洛必达法则求极限的常见错误分析
53
正解:lim+xlnx=lim+
x→0
x→0
=lim+x→0
x
-
x
2
=
x→0
(-x)=0lim+
3)当lim
x→x
不存在时,断定lim也不(x)x→xg(x)g′0
存在.
x→∞x
错解:limx→∞x′
lim(1-cos使用洛必达法则.
②应用洛必达法则时,必须对分子、分母分别同时求导,而不是对整个表达式求导.
③当lim不存在时,原极限lim不(x)x→xg′x→xg(x)00
一定不存在,此时洛必达法则失效,应另找方法求极限.
,如
x例8 求lim
xe1
x
(lim
x→0
(ex-1)x・
(
x
(
)0
x→∞
lim
x→0
分析:存在只是lim存在()()x→xx→xg′xgx00
的充分而非必要条件,也就是说lim不存在()x→x
0g′x时lim()也可能存在.本题只能说明洛必达法x→xgx0
(ex-1)x・e-1+xe
x
x
x
(
)0
lim
x→0
(ex-1)x・
x
x
x
)0
(
x
lim
x→0
)0
=lim
x→0
2e+xe
x
=
=2+x2
⑤洛必达法则并不一定是计算未定式的最简方法,有时洛必达法则与其它方法综合起来利用,效果更佳.
极限的四则运算法则及洛必达法则在极限理论中有着重要意义,在应用它们时一定要注意法则的使用条件,这样才能避免出错.
则失效.
正解:lim1-lim
x
x→∞
x→∞
=lim(1-x→∞x
x
)=
=1
洛必达法则是求未定式极限的一种有效方
法,但它不是万能的,如果对洛必达法则使用不当,那么会导致计算出错.在使用洛必达法则求极限时需注意以下几点[2]:
①只有型型未定式才能使用洛必达法
0∞
则,其它未定式需转换成型或型未定式才能
0∞
参考文献:
[1] 顾静相.经济数学基础[M].北京:高等教育出版社,
2000:18.
[2] 金岷.高等数学[M].北京:中国人事出版社,2000:
109.
(责任编辑 刘 舸)
第21卷 第2期Vol.21 No.2【数理化科学】
重 庆 工 学 院 学 报
JournalofChongqingInstituteofTechnology
2007年2月Feb.2007
用极限的四则运算法则、洛必达法则求
Ξ
(,安顺 561000)
摘要:极限运算法则、洛必达法则在求极限时常用到.通过实例对应用法则求极限时常见错误进行了分析,并与正确的解法进行了比较.关 键 词:极限;错误;分析
中图分类号:O13 文献标识码:A
文章编号:1671-0924(2007)02-0051-03
AnalysisontheCommonErrorsinUsingFourArithmetic
OperationsandL’HospitolRuleforLimitEvaluation
WUQing2cheng
(AnshunVocationalandTechnicalCollege,Anshun561000,China)
Abstract:LimitAlgorithmandL’Hospitalrulearefrequentlyappliedtolimitevaluation.Thispaperana2lyzesthecommonerrorsintheapplicationoftheserules,andcomparesthemwithcorrectsolutions.Keywords:limit;error;analysis
求极限是高等数学中极其重要的内容之一,也是高等数学中的基础部分,因此熟悉求极限的方法对学好高等数学具有重要意义.求极限时常用到极限的四则运算法则和洛必达法则,但是在应用时一定要注意,否则容易出错,本文中将通过具体例子对此进行分析.
例1 求x→0
n
2
+
2
n
2
+…+
2n
2n
错解:lim
x→0
n
2
+
n
+…+
=lim
x→0
n
2
+lim
x→0
n
2
+…+lim
x→0
0=02=0+0+…n
1 用极限的四则运算法则求极限时的常见
分析:极限的四则运算法则仅对有限个函数
适用,上例括号内是n个量的和,当时n→∞,项数为无穷多项,因此不能用极限的四则运算法则来求.
正解:n
2
x→0
错误
1)对无限个函数的和(或差、积等)用极限运算法则.
Ξ 收稿日期:2006-11-20
+
n
2
+…+
2n
=
作者简介:伍庆成(1972-),女,湖南人,讲师,主要从事高等数学的教育和研究.
52lim
x→0
重庆工学院学报
n
2
=lim
x→0
=2
22n
lim
x→3
=x+33
2)每个参与运算的函数的极限不都存在时用
在使用极限的四则运算法则时,必须注意2点[1]:①法则要求每个参与运算的函数的极限存在;②商的极限的运算法则有个重要前提,即分母
极限运算法则.
例2 求lim错解:lim
x→∞
x
x→∞
x
=lim
x
的极限不能为0.当这2个条件中任何一个条件不
・limsinx=0
x→∞
x→∞
具备时,.
x→∞
分析:上面计算中第一个等号是错误的,因为limsinx不存在, 1)对不满足达法则.
cosx
例5 求lim(
x→0ln1+sinx)
()cosxcosx错解:lim(=lim=0
x→0ln1+sinx)x→0(1+sinx)分析:洛必达法则只适用于型型不定
0∞
型型不定式直接运用洛必0∞
则.
正解:x
,|sinx|≤1,:
x→∞
lim=lim(
x→∞
x
・sinx)=0
3)分母的极限为零时,求商的极限用极限的
四则运算法则.
例3 求lim
x→1
x-3x+2
2
lim(4x-3)错解:lim2==2x→1x-3x+20lim(x-3x+2)
x→1
式,而不能应用于非不定式的场合,而本例中limecosx=e.
x→0
=∞
分析:极限四则运算法则明确指出,当limf(x)
及limg(x)都存在且limg(x)≠0时有lim=
g(x)
,也就是说,商的极限的运算法则有个重
limg(x)
正解:因为lim=
x→0ecosxcosx
=0,所以lim=∞.
x→0ln(1+sinx)e
limln(1+sinx)
limecosx
x→0
=
要前提,即分母的极限不能为零.本例中lim(x2-x→1
洛必达法则还可用来求0・∞,∞-∞,0∞,
0∞
∞,1型未定式的极限,求这几种未定式极限的
3x+2)=0,显然不能用极限的四则运算法则.
正解:由于lim
x→1
=
4x-3
2
lim(x2-3x+2)
lim(4x-3)
x→1
=
基本方法是设法将它们化为型或型.
0∞
(secx-tanx) (∞-∞例6 求lim型)x=0,由无穷小量与无穷大量的倒数关系,得1
lim2=∞.x→1x-3x+2
2例4 求lim2x→3x-9
分析:因为lim(x2-9)=0,所以应考察分子极
x→3
2
(secx-tanx)=lim(解:limx2
x2
)=-cosxcosx
limx2
(化为型)=lim==0cosx10x-sinx
2
2)把函数当作整个分式来微分.
限,而lim(x2-4x+3)=0,即分子极限也是0,与例
x→3
例7 求lim+xlnx
x→0
错解:lim+xlnx=lim+=lim+x→0x→0x→0
x
(1+lnx)=∞lim+
2
3分子极限不为0不同,故不能用例3的解题方
+
2lnx
法.注意到分子和分母分解因式后出现公因子(x
-3),由极限定义知,x→3但x≠3,即x-3≠0,故可消去公因子后再求极限.
解:lim
x→3
x
2
=
x→0
2=lim=2x→3(x+3)(x-3)x-9
分析:用洛必达法则时应将分子、分母分别微分.
伍庆成:用极限的四则运算法则、洛必达法则求极限的常见错误分析
53
正解:lim+xlnx=lim+
x→0
x→0
=lim+x→0
x
-
x
2
=
x→0
(-x)=0lim+
3)当lim
x→x
不存在时,断定lim也不(x)x→xg(x)g′0
存在.
x→∞x
错解:limx→∞x′
lim(1-cos使用洛必达法则.
②应用洛必达法则时,必须对分子、分母分别同时求导,而不是对整个表达式求导.
③当lim不存在时,原极限lim不(x)x→xg′x→xg(x)00
一定不存在,此时洛必达法则失效,应另找方法求极限.
,如
x例8 求lim
xe1
x
(lim
x→0
(ex-1)x・
(
x
(
)0
x→∞
lim
x→0
分析:存在只是lim存在()()x→xx→xg′xgx00
的充分而非必要条件,也就是说lim不存在()x→x
0g′x时lim()也可能存在.本题只能说明洛必达法x→xgx0
(ex-1)x・e-1+xe
x
x
x
(
)0
lim
x→0
(ex-1)x・
x
x
x
)0
(
x
lim
x→0
)0
=lim
x→0
2e+xe
x
=
=2+x2
⑤洛必达法则并不一定是计算未定式的最简方法,有时洛必达法则与其它方法综合起来利用,效果更佳.
极限的四则运算法则及洛必达法则在极限理论中有着重要意义,在应用它们时一定要注意法则的使用条件,这样才能避免出错.
则失效.
正解:lim1-lim
x
x→∞
x→∞
=lim(1-x→∞x
x
)=
=1
洛必达法则是求未定式极限的一种有效方
法,但它不是万能的,如果对洛必达法则使用不当,那么会导致计算出错.在使用洛必达法则求极限时需注意以下几点[2]:
①只有型型未定式才能使用洛必达法
0∞
则,其它未定式需转换成型或型未定式才能
0∞
参考文献:
[1] 顾静相.经济数学基础[M].北京:高等教育出版社,
2000:18.
[2] 金岷.高等数学[M].北京:中国人事出版社,2000:
109.
(责任编辑 刘 舸)