求椭圆的离心率或离心率的取值范围
例2.（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为的两段，求其离心率；
（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率。
（3）一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率
说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求，求，再求比．二是列含和的齐次方程，再化含的方程，解方程即可．
椭圆的离心率，所以构造a、b、c三者中任意两个的关系，均可求出椭圆离心率，而a、b、c三者中任意两个的关系，可以通过几何图形直观观察，可构造方程或不等式得到三者关系。
求椭圆的离心率通常有两种方法：
（1）若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a、b，求出a、c的值，利用公式直接求解。
（2）若椭圆的方程未知，则根据条件建立a、b、c、e满足的关系式，化为关于a、c的齐次方程，再将方程两边同除以a的最高次幂，得到e的方程，解方程求得e。
22
例3.已知椭圆的离心率，求的值．
说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为
所以椭圆的焦点可能在轴上，也可能在
与9的大小关系不定，轴上．故必须进行讨论．
例4.椭圆与轴正向交于点
(，若这个椭圆上总存在点，使
为坐标原点)，求其离心率的取值范围．
说明：若已知椭圆离心率范围
．如何证明？
举一反三： ，求证在椭圆上总存在点使
【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（）
【变式2】椭圆上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若
成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿
【变式3】.设M为椭圆
∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，求椭圆的离心率。
上一点，F1、F2为椭圆的焦点，若
【总结升华】本题利用了椭圆的定义、正弦定理、等比定理、三角变换等多种知识，求出离心率e。
举一反三：
【变式1】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于＿＿＿＿。
【变式2】已知椭圆的左焦点为F，右顶点A，上顶点为B，若BF⊥BA，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为________。
例5．已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使
，求其离心率的取值范围。
【总结升华】求离心率或离心率的范围，通常构造关于，，的齐次式，从而构造出关于的方程或不等式.
例6、已知椭圆，
作垂直于长轴的弦、是其长轴的两个端点． （1）过一个焦点
． ，求证：不论、如何变化，
（2）如果椭圆上存在一个点
围． ，使，求的离心率的取值范
分析：本题从已知条件出发，两问都应从和的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：，，根据
得到
表示，以便利用，将代入，消去，用、、列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵
成．
．
举一反三：
【变式】已知椭圆，以，
无实根，求其离心率的取值范围。
，为系数的关于的方程
求椭圆的离心率或离心率的取值范围
例2.（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为的两段，求其离心率；
（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率。
（3）一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率
说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求，求，再求比．二是列含和的齐次方程，再化含的方程，解方程即可．
椭圆的离心率，所以构造a、b、c三者中任意两个的关系，均可求出椭圆离心率，而a、b、c三者中任意两个的关系，可以通过几何图形直观观察，可构造方程或不等式得到三者关系。
求椭圆的离心率通常有两种方法：
（1）若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a、b，求出a、c的值，利用公式直接求解。
（2）若椭圆的方程未知，则根据条件建立a、b、c、e满足的关系式，化为关于a、c的齐次方程，再将方程两边同除以a的最高次幂，得到e的方程，解方程求得e。
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例3.已知椭圆的离心率，求的值．
说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为
所以椭圆的焦点可能在轴上，也可能在
与9的大小关系不定，轴上．故必须进行讨论．
例4.椭圆与轴正向交于点
(，若这个椭圆上总存在点，使
为坐标原点)，求其离心率的取值范围．
说明：若已知椭圆离心率范围
．如何证明？
举一反三： ，求证在椭圆上总存在点使
【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（）
【变式2】椭圆上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若
成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿
【变式3】.设M为椭圆
∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，求椭圆的离心率。
上一点，F1、F2为椭圆的焦点，若
【总结升华】本题利用了椭圆的定义、正弦定理、等比定理、三角变换等多种知识，求出离心率e。
举一反三：
【变式1】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于＿＿＿＿。
【变式2】已知椭圆的左焦点为F，右顶点A，上顶点为B，若BF⊥BA，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为________。
例5．已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使
，求其离心率的取值范围。
【总结升华】求离心率或离心率的范围，通常构造关于，，的齐次式，从而构造出关于的方程或不等式.
例6、已知椭圆，
作垂直于长轴的弦、是其长轴的两个端点． （1）过一个焦点
． ，求证：不论、如何变化，
（2）如果椭圆上存在一个点
围． ，使，求的离心率的取值范
分析：本题从已知条件出发，两问都应从和的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：，，根据
得到
表示，以便利用，将代入，消去，用、、列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵
成．
．
举一反三：
【变式】已知椭圆，以，
无实根，求其离心率的取值范围。
，为系数的关于的方程