2014-2015学年度数学九年级第一学期辅导资料（二）name
（一） 公式法
1、 判别式：
一般地，式子b -4ac 叫做方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式，通常用希腊字母Δ表示它，即Δ=b -4ac 。 22
2、 由b -4ac 的值可以判断一元二次方程根的情况
（1）若b -4ac >0，一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠
0)22
-b -b ，x 2= x 1=2a 2a
22（2）若b -4ac =0，一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0)（3）若b -4ac
注意：由公式法可知，一元二次方程的根最多两个。
例5：不解方程，说明方程2x +3x -4=0根的情况
解：由方程可知，a =2, b =3, c =-4 2
∆=b
2-4ac =32-4⨯2⨯(-4)=41>0
所以，该方程有两个不相等的实数根。
2求出原方程的根。若b -
4ac
∆=b 2-4ac =(-4)-4⨯2⨯1=8>0 2
-b 42±方程有两个不等的实数根x = ===1±2a 422
即，x 1=1 x 2=12例7：用公式法解方程x -7x +15=0
解：a =1, b =-7, c =15
∵∆=b 2-4ac =(-7)-4⨯1⨯15=-11＜0 2
∴方程没有实数根
练习1：
1、 用公式法解下列方程
（1）x -6x -7=0；
（3）x -2x +3=0； （4）3x x +6=0
）
222（2
）x +2=0 C. x +2+1=0 D. -x +x +2=0 2
C. 有两个相等的实数根 D. 有一个实数根 k 的取值范围是( )
4
290 C. k ≥- 44 D. k >-9且k ≠0 45、已知一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0)， a 和c 异号，那么这个方程（ ） A. 无实数根
2 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 根的情况不能确定 6、若方程x -3x +m =0有两个相等的实数根，则m ，方程的根为
（二）因式分解
因式分解法是使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，在使这两个一次式分别等于0，从而实现降次
一般步骤为：
（1） 整理方程，是其右边为0
（2） 将方程左边分解为两个一次因式相乘的积
（3） 令每一个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程
（4） 分别解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解
1、用因式分解法解形如x +bx =0的一元二次方程（原方程转化为x (x +b )=0） 2
例1：解方程2x -5x =0
解：因式分解，得x (2x -5)=0
于是得，x =0或2x -5=0 即，x 1=0, x 2=
225 2例2：解方程(x -1)-x +1=0
解：因式分解，得(x -1)(x -2)=0
于是得，x -1=0或x -2=0
即，x 1=1, x 2=2
2、用因式分解法解形如x -a =0(x +a )(x -a )=0） 22
例3：解方程x -25=0
解：因式分解，得(x +-5)
于是得，x +5=或-0
即，x 1=*3x +(a +b )x +ab =0a 、b 为常数的一元二次方程（原方程转化为(x +a )(x +b )=0） 22()
5x +6=0
(x -2)(x -3)=0
于是得，x -2=0或x -3=0
即，x 1=2, x 2=3
2
练习2：用因式分解法解下列方程
2（1）4x =3x ； （2）(2x -1)-3(2x -1)=0； 2
（3）2(x -1)+x -1=0； （4）(3x -2)=4-6x ；
2（5）2x -6=0； （6）(-1)-(x +1)=0； 222
2（7）x +4x +4=0； （8）(x +1)+2(x +1)+1=0； 2
+x -4=0 （10）x -4x -21=0
22
（11）x +6x +8=0 （12）x -3x =10
练习2：用适当方法解下列方程
2（1）(x +1)-9=0 （2）x +6x +5=0 222
2（3
）x ++1=0 （4）2x -4x -3=0 2
2（53)x -1)=0 （6）x -7x +12=0 2
练习3：
1. 如果3是一元二次方程x 2＝c 的一个根，那么常数c 是（ ）
A.3 B. －4 C.9 D. －9
2. 方程2x (x -3) =5(x -3) 的根是（ ） A. x =5 2B. x =3 C. x 1=3, x 2=55
23. 下列方程的解不正确的是（ ）
A ．方程x 2=1的根为x 1=1，x 2=－1 B ．方程x 2=0的根为x C ．方程（x －2）2=4的根为x 1=4，x 2=－4 D．方程3x 2－6=0
4. 一元二次方程x -2x -1=0的根的情况为（ ）
A ．有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根 B D ．没有实数根 2
5. 已知方程kx 2-(2k +1) x +k =0(k ≠0) 有两个不相等的实数根，则k A. k =-1 4B. k ＞-1且k ≠0 4D. ≠且≠0 4
6. 解方程(5x -1) 2=3(5x -1) 的适当方法是（ A. 开平方法
2B. 配方法 D. 因式分解法 7. 用配方法解方程x -4x +2=0A ．(x -2) 2=2 B ．(x +2C ．(x -2) 2=-2 D ．(x -2) 2=6
8. 已知三角形两边长分别为2和9, x 2-14x +48=0的一根, 则这个三角形的周长为 ( )
A.11
C.17或19 D.19
2014-2015学年度数学九年级第一学期辅导资料（二）name
（一） 公式法
1、 判别式：
一般地，式子b -4ac 叫做方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式，通常用希腊字母Δ表示它，即Δ=b -4ac 。 22
2、 由b -4ac 的值可以判断一元二次方程根的情况
（1）若b -4ac >0，一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠
0)22
-b -b ，x 2= x 1=2a 2a
22（2）若b -4ac =0，一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0)（3）若b -4ac
注意：由公式法可知，一元二次方程的根最多两个。
例5：不解方程，说明方程2x +3x -4=0根的情况
解：由方程可知，a =2, b =3, c =-4 2
∆=b
2-4ac =32-4⨯2⨯(-4)=41>0
所以，该方程有两个不相等的实数根。
2求出原方程的根。若b -
4ac
∆=b 2-4ac =(-4)-4⨯2⨯1=8>0 2
-b 42±方程有两个不等的实数根x = ===1±2a 422
即，x 1=1 x 2=12例7：用公式法解方程x -7x +15=0
解：a =1, b =-7, c =15
∵∆=b 2-4ac =(-7)-4⨯1⨯15=-11＜0 2
∴方程没有实数根
练习1：
1、 用公式法解下列方程
（1）x -6x -7=0；
（3）x -2x +3=0； （4）3x x +6=0
）
222（2
）x +2=0 C. x +2+1=0 D. -x +x +2=0 2
C. 有两个相等的实数根 D. 有一个实数根 k 的取值范围是( )
4
290 C. k ≥- 44 D. k >-9且k ≠0 45、已知一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0)， a 和c 异号，那么这个方程（ ） A. 无实数根
2 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 根的情况不能确定 6、若方程x -3x +m =0有两个相等的实数根，则m ，方程的根为
（二）因式分解
因式分解法是使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，在使这两个一次式分别等于0，从而实现降次
一般步骤为：
（1） 整理方程，是其右边为0
（2） 将方程左边分解为两个一次因式相乘的积
（3） 令每一个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程
（4） 分别解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解
1、用因式分解法解形如x +bx =0的一元二次方程（原方程转化为x (x +b )=0） 2
例1：解方程2x -5x =0
解：因式分解，得x (2x -5)=0
于是得，x =0或2x -5=0 即，x 1=0, x 2=
225 2例2：解方程(x -1)-x +1=0
解：因式分解，得(x -1)(x -2)=0
于是得，x -1=0或x -2=0
即，x 1=1, x 2=2
2、用因式分解法解形如x -a =0(x +a )(x -a )=0） 22
例3：解方程x -25=0
解：因式分解，得(x +-5)
于是得，x +5=或-0
即，x 1=*3x +(a +b )x +ab =0a 、b 为常数的一元二次方程（原方程转化为(x +a )(x +b )=0） 22()
5x +6=0
(x -2)(x -3)=0
于是得，x -2=0或x -3=0
即，x 1=2, x 2=3
2
练习2：用因式分解法解下列方程
2（1）4x =3x ； （2）(2x -1)-3(2x -1)=0； 2
（3）2(x -1)+x -1=0； （4）(3x -2)=4-6x ；
2（5）2x -6=0； （6）(-1)-(x +1)=0； 222
2（7）x +4x +4=0； （8）(x +1)+2(x +1)+1=0； 2
+x -4=0 （10）x -4x -21=0
22
（11）x +6x +8=0 （12）x -3x =10
练习2：用适当方法解下列方程
2（1）(x +1)-9=0 （2）x +6x +5=0 222
2（3
）x ++1=0 （4）2x -4x -3=0 2
2（53)x -1)=0 （6）x -7x +12=0 2
练习3：
1. 如果3是一元二次方程x 2＝c 的一个根，那么常数c 是（ ）
A.3 B. －4 C.9 D. －9
2. 方程2x (x -3) =5(x -3) 的根是（ ） A. x =5 2B. x =3 C. x 1=3, x 2=55
23. 下列方程的解不正确的是（ ）
A ．方程x 2=1的根为x 1=1，x 2=－1 B ．方程x 2=0的根为x C ．方程（x －2）2=4的根为x 1=4，x 2=－4 D．方程3x 2－6=0
4. 一元二次方程x -2x -1=0的根的情况为（ ）
A ．有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根 B D ．没有实数根 2
5. 已知方程kx 2-(2k +1) x +k =0(k ≠0) 有两个不相等的实数根，则k A. k =-1 4B. k ＞-1且k ≠0 4D. ≠且≠0 4
6. 解方程(5x -1) 2=3(5x -1) 的适当方法是（ A. 开平方法
2B. 配方法 D. 因式分解法 7. 用配方法解方程x -4x +2=0A ．(x -2) 2=2 B ．(x +2C ．(x -2) 2=-2 D ．(x -2) 2=6
8. 已知三角形两边长分别为2和9, x 2-14x +48=0的一根, 则这个三角形的周长为 ( )
A.11
C.17或19 D.19