圆锥曲线中与斜率相关的定点.定值问题探讨

　　圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的热点.笔者最近遇到一些与斜率相关的定点、定值问题，并对一般情形进行研究，可以得到一般性结论，与各位共赏.　　定理1：已知点A（x0，y0）是抛物线　　y2=2px上的定点，直线l（不过A点）与抛物线交于M、N两点.（1）若　　kAM+kAN=c（常数），则直线l斜率为定值；（2）若kAM　　·kAN=c（常数），直线l恒过定点.　　证明：（1）直线l斜率显然不为0，故设为　　x=ty+m，M（x1，y1），N（x2，y2）.　　由　　y2=2px　　t=ty+m　　　　y2-2pty-2pm=0y1+y2=2pt，y1y2=-2pm，　　kAM　　+kAN　　=y1-y0　　x1-x0　　+y2-y0x2-x0　　=2p（y1+y2+2y0）　　y1y2+y0（y1+y2）+y20　　=2p（2pt+2y0）　　-2pm+2pty0+y20　　=c，　　即：　　4p2t+4py0=-2pmc+2pty0c+y20c，　　要斜率为定值，即要　　t=-2pmc+y20c-4py0　　4p2-2py0c　　为定值，所以　　c=0，t=-y0p.　　（i）若A为原点，y0=0，此时直线l斜率不存在；　　（ii）若A为原点，y0≠0，此时直线l斜率　　k=-　　py0.　　（2）kAM　　·kAN　　=y1-y0x1-x0　　·y2-y0x2-x0　　=　　4p2　　-2pm+2pty0+y20　　=c.　　即　　-2pmc+2pty0c+　　cy20-4p2=0　　可解得：　　m=2pty0c+cy20-4p22mc　　，直线l方程为：　　x=ty+　　2pty0c+cy20-4p22pc，　　即2pt（cy+y0c）+cy20-4p2-2pcx=0，恒过定点　　（cy20-4p22pc，-y0）　　.　　定理2：已知　　A（x0，y0）　　是椭圆　　x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的定点，直线l（不过　　A点）与椭圆交于M、N两点.（1）若kAM·kAN=c常数，直线l恒过定点；（2）若　　kAM+kAN=c常数，直线l斜率为定值.　　证明：（1）若直线l斜率不存在，设　　M（t，b1-t2a2），N（　　t，-b1-t2a2）　　[HT5，5”]kAM·kAN　　=（b　　1-t2a2　　-y0）（-b1-　　t2a2-y0）　　（t-x0）2　　=　　[HT]　　y20-b2（1-t2a2）　　（t-x0）2　　=　　b2（1-　　x20a2）-b　　2（1-t2a2）　　（t-x0）2　　=b2a2·　　t+x0t-x0　　=c，则b2a2　　·t+x0t-x0　　=cx0=0，　　c=b2a2　　才满足.　　若直线MN斜率存在，设为　　y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2）　　b2x2+a2y2-a2b2=0　　y=kx+m　　（a2k2+b2）x2+2a2mkx+　　a2m2-a2b2=0　　x1+x2=　　-2a2mka2k2+b2　　，x1x2=　　a2m2-a2b2　　a2k2+b2.　　kAM　　·kAN　　=y1-y0x1-x0·　　y2-y0x2-x0　　=（kx1+m-y0）（kx2+m-y0）　　x1x2-x0（x1+x2）+x20=　　-a2b2k2+m2b2+a2k2y20+b2y20-2my0b2　　a2m2-a2b2+2a2mkx0+b2x20+　　a2k2x20　　=　　-a2b2k2+m2b2+k2（a2b2-b2x20）+b　　2y20-2my0b2　　a2m2-a2b2+2a2mkx0+（a2b2-a2y20）+a2k2x20=　　m2b2-b2x20k2+b2y20-2my0b2　　a2m2+2a2mkx0-a2y20+a2k2x20=　　b2a2　　·m2+y20-2my0-x20k2　　m2+2mkx0+k2x20-y20=　　b2a2·　　（m-y0+kx0）（m-y0-kx0）　　（m-y0+kx0）（m+y0+kx0） 　　=b2a2　　·m-y0-kx0　　m+y0+kx0　　.　　所以m=　　（a2cx0+b2x0）k+a2cy0+b2y0　　b2-a2c　　　　直线MN方程为：　　y=kx+（a2cx0+b2x0）k+a2cy0+b2y0　　b2-a2c　　=k（x+a2cx0+b2x0b2-a2c　　）+a2cy0+b2y0b2-a2c.　　恒过定点　　（-a2c+b2　　b2-a2c　　x0，a2c+b2b2-a2c　　y0）.　　当定点A（x0，y0）在坐标轴上有：　　① 若　　x0=0，y0=b直线恒过定点　　（0，b（b2+a2c）b2-a2c）；　　②x0=a，y0=0， 直线恒过定点　　（a（a2c+b2）　　a2c-b2），0）　　；　　③若x0=0，y0=-b，直线恒过定点　　（0，b（b2+a2c）a2c-b2）；　　④若　　x0=-a，　　y0=0　　直线恒过定点　　（a（a2c+b2）b2-a2c　　，0）.　　（2）若直线MN斜率不存在，　　kAM+kAN　　=　　b1-t2a2-y0t-x0　　+　　-b1-t2a2-y0t-x0　　=-2y0t-x0　　=c，　　则y0=0，c=0才满足.　　若直线MN斜率存在，　　kAM+kAN　　=y1-y0　　x1-x0　　+y2-y0x2-x0　　=　　kx1+m-y0x1-x0　　+kx2+m-y0x2-x0=　　[HT5，6]2kx1x2+（m-y0-kx0）（x1+x2）-2mx0+2x0y0　　x1x2-x0（x1+x2）+x20=　　-2a2b2k2-2a2mky0-2b2mx0+2x0y0b2+　　2x0y0a2k2　　a2m2-a2b2+2a2mkx0+b2x20+a2k2x20=　　c.　　若直线MN斜率k为定值，则可化为　　a2cm2+（2a2ky0-2b2x0-2a2kx0c）m-2a2b2k+2x0y0b2+2x0y0a2k2　　+a2b2c-b2x0c-a2k2x20c=0　　c=0　　2a2ky0-2b2x0-2a2kx0c=0　　-2a2b2k+2x0y0b2+2x0y0a2k2=0　　①②③　　　　c=0　　k=b2x0a2y0　　1，2代入3也成立　　当常数c=0时，直线斜率为定值b2x0a2y0.　　定理3：已知　　A（x0，y0）　　是双曲线　　x2a2　　-y2b2　　=1 （a>0，b>0）　　上的定点，直线l（不过A点）与椭圆交于M、N两点.（1）若　　kAM·kAN　　=c常数，直线l恒过定点　　（a2c-b2　　b2+acx0，b2-a2c　　b2+acy0）　　；（2）若　　kAM+　　kAN=c（=0）常数，直线l斜率为定值　　-b2x0a2y0.　　证明方法同上.　　以上结论的逆命题也是成立的，把对应参数取特值，可以得到一些有用的结论，不再赘述.

　　圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的热点.笔者最近遇到一些与斜率相关的定点、定值问题，并对一般情形进行研究，可以得到一般性结论，与各位共赏.　　定理1：已知点A（x0，y0）是抛物线　　y2=2px上的定点，直线l（不过A点）与抛物线交于M、N两点.（1）若　　kAM+kAN=c（常数），则直线l斜率为定值；（2）若kAM　　·kAN=c（常数），直线l恒过定点.　　证明：（1）直线l斜率显然不为0，故设为　　x=ty+m，M（x1，y1），N（x2，y2）.　　由　　y2=2px　　t=ty+m　　　　y2-2pty-2pm=0y1+y2=2pt，y1y2=-2pm，　　kAM　　+kAN　　=y1-y0　　x1-x0　　+y2-y0x2-x0　　=2p（y1+y2+2y0）　　y1y2+y0（y1+y2）+y20　　=2p（2pt+2y0）　　-2pm+2pty0+y20　　=c，　　即：　　4p2t+4py0=-2pmc+2pty0c+y20c，　　要斜率为定值，即要　　t=-2pmc+y20c-4py0　　4p2-2py0c　　为定值，所以　　c=0，t=-y0p.　　（i）若A为原点，y0=0，此时直线l斜率不存在；　　（ii）若A为原点，y0≠0，此时直线l斜率　　k=-　　py0.　　（2）kAM　　·kAN　　=y1-y0x1-x0　　·y2-y0x2-x0　　=　　4p2　　-2pm+2pty0+y20　　=c.　　即　　-2pmc+2pty0c+　　cy20-4p2=0　　可解得：　　m=2pty0c+cy20-4p22mc　　，直线l方程为：　　x=ty+　　2pty0c+cy20-4p22pc，　　即2pt（cy+y0c）+cy20-4p2-2pcx=0，恒过定点　　（cy20-4p22pc，-y0）　　.　　定理2：已知　　A（x0，y0）　　是椭圆　　x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的定点，直线l（不过　　A点）与椭圆交于M、N两点.（1）若kAM·kAN=c常数，直线l恒过定点；（2）若　　kAM+kAN=c常数，直线l斜率为定值.　　证明：（1）若直线l斜率不存在，设　　M（t，b1-t2a2），N（　　t，-b1-t2a2）　　[HT5，5”]kAM·kAN　　=（b　　1-t2a2　　-y0）（-b1-　　t2a2-y0）　　（t-x0）2　　=　　[HT]　　y20-b2（1-t2a2）　　（t-x0）2　　=　　b2（1-　　x20a2）-b　　2（1-t2a2）　　（t-x0）2　　=b2a2·　　t+x0t-x0　　=c，则b2a2　　·t+x0t-x0　　=cx0=0，　　c=b2a2　　才满足.　　若直线MN斜率存在，设为　　y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2）　　b2x2+a2y2-a2b2=0　　y=kx+m　　（a2k2+b2）x2+2a2mkx+　　a2m2-a2b2=0　　x1+x2=　　-2a2mka2k2+b2　　，x1x2=　　a2m2-a2b2　　a2k2+b2.　　kAM　　·kAN　　=y1-y0x1-x0·　　y2-y0x2-x0　　=（kx1+m-y0）（kx2+m-y0）　　x1x2-x0（x1+x2）+x20=　　-a2b2k2+m2b2+a2k2y20+b2y20-2my0b2　　a2m2-a2b2+2a2mkx0+b2x20+　　a2k2x20　　=　　-a2b2k2+m2b2+k2（a2b2-b2x20）+b　　2y20-2my0b2　　a2m2-a2b2+2a2mkx0+（a2b2-a2y20）+a2k2x20=　　m2b2-b2x20k2+b2y20-2my0b2　　a2m2+2a2mkx0-a2y20+a2k2x20=　　b2a2　　·m2+y20-2my0-x20k2　　m2+2mkx0+k2x20-y20=　　b2a2·　　（m-y0+kx0）（m-y0-kx0）　　（m-y0+kx0）（m+y0+kx0） 　　=b2a2　　·m-y0-kx0　　m+y0+kx0　　.　　所以m=　　（a2cx0+b2x0）k+a2cy0+b2y0　　b2-a2c　　　　直线MN方程为：　　y=kx+（a2cx0+b2x0）k+a2cy0+b2y0　　b2-a2c　　=k（x+a2cx0+b2x0b2-a2c　　）+a2cy0+b2y0b2-a2c.　　恒过定点　　（-a2c+b2　　b2-a2c　　x0，a2c+b2b2-a2c　　y0）.　　当定点A（x0，y0）在坐标轴上有：　　① 若　　x0=0，y0=b直线恒过定点　　（0，b（b2+a2c）b2-a2c）；　　②x0=a，y0=0， 直线恒过定点　　（a（a2c+b2）　　a2c-b2），0）　　；　　③若x0=0，y0=-b，直线恒过定点　　（0，b（b2+a2c）a2c-b2）；　　④若　　x0=-a，　　y0=0　　直线恒过定点　　（a（a2c+b2）b2-a2c　　，0）.　　（2）若直线MN斜率不存在，　　kAM+kAN　　=　　b1-t2a2-y0t-x0　　+　　-b1-t2a2-y0t-x0　　=-2y0t-x0　　=c，　　则y0=0，c=0才满足.　　若直线MN斜率存在，　　kAM+kAN　　=y1-y0　　x1-x0　　+y2-y0x2-x0　　=　　kx1+m-y0x1-x0　　+kx2+m-y0x2-x0=　　[HT5，6]2kx1x2+（m-y0-kx0）（x1+x2）-2mx0+2x0y0　　x1x2-x0（x1+x2）+x20=　　-2a2b2k2-2a2mky0-2b2mx0+2x0y0b2+　　2x0y0a2k2　　a2m2-a2b2+2a2mkx0+b2x20+a2k2x20=　　c.　　若直线MN斜率k为定值，则可化为　　a2cm2+（2a2ky0-2b2x0-2a2kx0c）m-2a2b2k+2x0y0b2+2x0y0a2k2　　+a2b2c-b2x0c-a2k2x20c=0　　c=0　　2a2ky0-2b2x0-2a2kx0c=0　　-2a2b2k+2x0y0b2+2x0y0a2k2=0　　①②③　　　　c=0　　k=b2x0a2y0　　1，2代入3也成立　　当常数c=0时，直线斜率为定值b2x0a2y0.　　定理3：已知　　A（x0，y0）　　是双曲线　　x2a2　　-y2b2　　=1 （a>0，b>0）　　上的定点，直线l（不过A点）与椭圆交于M、N两点.（1）若　　kAM·kAN　　=c常数，直线l恒过定点　　（a2c-b2　　b2+acx0，b2-a2c　　b2+acy0）　　；（2）若　　kAM+　　kAN=c（=0）常数，直线l斜率为定值　　-b2x0a2y0.　　证明方法同上.　　以上结论的逆命题也是成立的，把对应参数取特值，可以得到一些有用的结论，不再赘述.