梁波传播的固有特性

第29卷第2期1997年3月力学学报

ACT A M ECHAN ICA SI NI CA Vol. 29, N O. 2 M arch, 1997

梁波传播的固有特性

程伟诸德超王大钧

(北京大学力学系, 北京100871)

(北京航空航天大学固体力学研究所, 北京100083)

摘要以分布参数的理论为基础, 分析了梁波传播的一些固有特性, 说明了它们与周期性结构的关系, 讨论了支持条件对波传播特性的影响, 指出了如果把近似方法应用于波传播分析中, 可能引起的一些问题. 本文的结果可直接应用于周期性结构的分析中. 关键词振动分析, 波传播, 周期性结构

引言

随着航空航天事业的发展, 大型柔性结构和飞机舱内噪声的分析和控制等问题已越来越受到重视. 飞机的重要噪声源主要有两个, 即发动机噪声和气动噪声, 它们均是通过飞机结构振动自舱外传播到舱内. 而对于柔性结构, 波是它的重要运动形式. 所以弄清楚这种结构波和声的传播机理, 是柔性结构分析和控制及其对飞机采取有效降噪措施的基础.

Van Flotow [1]提出了一种结构动态分析的声限(acosutic limit) 观点, 他把结构动态响应分析方法适用的区域按其自然频率的高低分成三个区域, 低频区适合用模态分析, 中频区适用于波传播分析方法, 而高频区则适用于统计能量法. 由于飞机舱内噪声的频率有相当大的部分处于中频区, 因此, 波传播分析应在这里发挥重要作用.

实际复杂结构的波传播分析有相当的难度, 其计算量也非常大. 但有一大类结构, 我们可以把它们当作或近似当作周期性结构来处理. 这样不仅可以简化计算, 而且有助于我们探讨波传播的一般特性, 从而为一般结构的波传播分析和控制打下一个良好的基础.

本文以梁波传播方程的解析解为基础, 分析了梁波传播的一些固有特性, 并对其数学物理本质进行了探讨. 所得到的结果可直接应用于周期性结构的分析中, 并可为其它近似方法和工程分析提供参考.

[2~4]

1 梁自由振动微分方程的解析解

Bernoulli--Euler 梁的自由振动微分方程可写成

EI S =04+Q x t 2

其中E 为杨氏模量, I 为梁横截面对其中面的惯性矩, S 为横截面面积, Q 为质量密度.

设梁的初始位移和初始速度均为0, 对方程(1) 作关于时间的拉氏变换, 得

+C 4

w =04

其中C =s 2

(1)

(2)

, 当s =i X (i =-1) 时, 方程(2) 即为频响方程. 为简单起见, 将方程(1) 中

国家教委博士点专项基金和博士后基金资助项目.

w (x , t) 的拉氏变换在上式中用w (x , s ) 表示. 引入状态变量, 可得到方程(2) 的解析解为[5]

V (x , s) =P(x , s ) V(0, s)

其中

f 1

-f

P (x , s) =

2-f

-f

而

s=i X

(3)

432

f 3f 2f 1

f 4f 3f 2f , 把近

V(x , s ) =

C w . (x , s ) C w d (x , s ) C w Ê(x , s -3-2

-1

-f 4

(4)

-f 个3, -f 4

f 1=2ch B x cos B x f 2=

A V +cos A V

s=i X

2(ch B x sin B x +sh B x cos B x)

s=i X

i(sh A x +sin A x)

(5)

f 3=2sh B x sin B x f 4

=A =

i(ch A x -cos A x )

s=i X

2(ch B x sin B x -sh B x cos B x) X EI

1/4

i) (sh A x -sin A x)

1/4

, B =

4EI

中,

在方程(3) 中, 令x =l , (l 为梁长) , 并将状态向量中各分量的位置作适当调整, 同时对所有物理量均采用无量纲参数, 可得到

DV =F

其中

V =F =

w . (0, s) w . (l, s) l l

(6)

(7a) (7a)

l 2w Ê(0, s ) -lw d (0, s) -l 2w Ê(l, s) lw d (l , s) (C ) f 5

l 3

(C ) f 6

l 3

(C ) f 7

l 2

(C ) f 2-(C ) f 3

l 2

(C ) f 3

-(C ) f 4

s=i X

l 3l 2

D =

对

称

l 3(A ) f 5

l 2

(A ) f l 3(A ) f

l 3l 2

(C ) f 5-(C ) f 6

(C ) f 7

l 3-(A ) f 2l 2-(A ) f 3l 3(A ) f 5

l 2

(A ) f 3l (A ) f 4l 2-(A ) f 6l (A ) f 7

对

称

第2期程伟等:梁波传播的固有特性

177

式(7b) 中w d (0, s) 和$w Ê(l, s ) 前的负号是为了使力学中力和弯矩的正方向与直角坐标系相应参数的常规正方向(线位移向上为正、转角逆时针为正) 相一致. 且

$=1-(ch2B l +cos2B l) 2f 5=-(sh2B l +sin2l)

2f 6=-f 7=-s=i X

-ch A K cos A l

s=i X

A l sin A l +sh A l cos A l

(8a ~d )

A lsin A l

(ch 2B l -cos 2B l) 2

x (sh2B l -sin2B l )

s=i X

A l sin A l -sh A l cos A

2 波传播的固有特性

设K 为方程(3) 中波传播矩阵P (l, s ) 的特征值, W(0, s) $为相应的特征向量, 它们均为复数, 且满足

P(l , s) W (0, s) =K W(0, s)

根据方程(3) 和周期性结构的波传播特性得到[2, 3]

P (l, s ) V (0, s ) =V(l, s) =e V (0, s )

(9)

(10)

其中L 即为周期性梁的波传播常数, 可表示为L =L C +i L i , 它的物理意义为当波从梁任一垮的

左端传到右端时, 其状态向量在幅值和相位上的改变量. 比较方程(9) 和(10) , 可以得到下列结论$:$

周期性结构可看作波传播在空间固有特征值问题(9) 的一个物理模型, 它的传播常

数为特征值取对数, 而垮端的状态向量为其相应的特征向量.

-2-3

注意到式(7b ) 中C w d (0, s ) 和C w Ê(l, s ) 前的负号, (10) 式可用两个方程分别表示为

w (l, s ) C w c (l, s )

-1

=e L

(0, s )

C w -

c (20w , s )

-1

C w Ê(l , s)

-3

=-e L

-2-2C w d (l , s) ) C w d (0, s )

-L

C w Ê(0, s )

-3

(11a, b)

将(11) 代入(6) (x =l ) 并左乘矩阵[I Ie

(A l) (f 5-f 2ch L ) -(A l ) f 3sh L

](I 为2@2的单位矩阵) 得

-1

w (0, s) =C w c (0, s) =0

(A l ) f 3sh L A l (f 7+f 4ch L )

(12)

方程(12) 为自由梁波传播的特征方程, 如果考虑弹性支持条件, 例如在梁的两端各加一个线位移刚度为k 1的线弹簧, 则方程(12) 变为

) (f 5+2$k 1-f 2ch L

(s )

f (, s =0(13)

178

力学学报1997年第29卷

其中k 1=k 1[2(A l) 3].在推导方程(13) 时, 如果左乘的矩阵不是[I Ie -L ]而是[I Ie -L ]则可得到梁的内力(剪力和弯矩) 与位移的关系为

-2

-(A l) 3f 2sh L C w Ê(0, s) (=-3C w d (0, s ) (A l ) 2(f 6-f 3ch L )

(A l ) 2(f 6+

f 3ch L )

l i A lf 4sh L

w (0, s ) C w c (0, s -1

(14)

注意方程(13) 与f 5和k 1均无关, 即支持条件不影响上述关系. 方程(13) 的特征值可由下式确定

A ch 2L +B ch L +C =0

其中

A =2$, B =-2$(f 1-f 4k 1) , C =2$(f 8+f 7k 1) , f 8=ch A l cos A l

令

$c =B 2-4A C =4$2[(f 1-k 1f 4) 2-4(f 8+f 7k 1) ]

则方程(15) 的两个根分别为

L 1, 2

=ch -12A

(15)

(16)

(17)

(18)

将(18) 式中的两个根分别代入方程(13) , 可以确定波传播的特征向量为

U 1, 2=s

w (0, s ) C w c (0, s -1

A l(f 7+f 4ch L 1, 2) =

(A l ) f

3sh L 1, 2

(19)

(19) 式代入方程(14) 后可以得到与(19) 式相应的广义力矩阵

-3

C w Ê(

0, s A l sh L 1, 2(-f 1+2ch L 1, 2

f 5-f 2ch L 1, 2

(20)

F 1, 2=

(

C w d (0, s )

-2

进而通过方程

P 1, 2=Re{i X F *1, 2#U 1, 2}(21)

可分别求得两个波在梁左端输入的功率(上标*表示取共轭) . 因为式(19) 和(20) 只是代表了位移和力的一种比例关系, 所以在计算中可以不考虑它们相同的因子.

到这里我们有必要对上述公式的物理意义进行一下说明:

1) 方程(10) 和(11) 给出了当波在垮长为l 的周期梁内传播时, 其一垮两端状态向量之

间的关系.

2) 注意到f i (i =1, 2, 3, 4, , ) 均为振动频率X 的函数, (18) 式表明当梁的振动频率为X 时, 向右传播的波有两个传播常数.

3) (19) 和(20) 式确定了波的传播形状及相应的内力.

上面我们推导的公式均是以线位移支持弹簧为例进行的, 如果在垮的两端加上刚度为k 2的l ) -1k 2) , f () (

第2期程伟等:梁波传播的固有特性

179

3 结果分析

下面我们将分几种情况来讨论波传播的一些现象. 311 简支梁(k 1=])

这时方程(15) 蜕化为一阶方程

ch L =-7=f 4sh A l -sin A l

(22)

我们知道简支梁和双端固支梁的固有频率分别满足sin A l =0和1-ch A l cos A l =0由式(22) 得

22ch L =sh A l +sin A l -2sh A l sin A l

(23a, b)

(24) (25)

(23a) 和(23b) 均使

ch 2L =1 或 L =0? i n P (n =0, 1, 2, , )

图2)

根据前面的推导, 当传播常数为L 时, 简支粱左端的输入功率为

A lf 4P =C p Re{i X sh L }, C p =2

[3]

由(25) 式知, 在双端简支和双端固支梁固有频率处, 双端简支梁将改变波的传播特性(参见

(26)

[2~4]

其中C p 为实数. 根据(22) 式知道ch L 为实数, 因为当|ch L |>1时, sh L 为实数, 而当|ch L |1时, 为波的不可传播带(P =0)

, 为波的可传播带(P X 0, 参见图1和图2).

, 而当|ch L

图1 波传播特征曲线(k 1=]) Fig. 1 W ave propagation characteristics

图2 输入功率(k 1=]) Fi g. 2 Input pow er

图1~图6给出了梁传播常数L 和输入功率随频率的变化曲线, 实线为L 1或P 1, 虚线为L 2或P

图5和图6中, 上部为L 的实部, 而下部为L 的虚部. 注意A 和X 的关系为A =

图5 波传播特征曲线(k 1=20) Fi g. 5 Wave propagation characteristics

图6 $对波传播特征曲线的影响$(k 1=180) Fig. 6 Wave propagati on characteristics affected by

图1给出简支梁(k 1=]) 传播常数L 随频率的变化曲线. 当L r X 0时, 为波不可传播带(P =0) , 当L r =0时, 为波可传播带(P X 0, 参见图2) . 因为双端简支梁的固有频率满足sin A l =0(或A l =P , 2P ,.. . ) , 而双端固支梁的固有频率满足1-ch A lcos A l =0(或A l =4172, 7185,... ) , 所以在双端简支和双端固支梁固有频率处, 双端简支梁将改变波的传播特性[3]. 312 弹性支持梁

图3给出强弹性支持梁(k 1=180) 传播常数L 随频率的变化曲线. 在低频段只有很小一端是L 1可传, L 2不可传, 在中高频段均是L 2可传, L 1不可传(参见图4).

图5给出弱弹性支持梁(k 1=20) 传播常数L 随频率的变化曲线. 在低频段L 1和L 2均不可传(L 为复数) , 在中高频段均是L 2可传, L 1不可传.

图6的各个物理参数均与图3相同, 只是在用(18) 式计算L 时, 没有约简掉公因子$(在用近似方法计算L 时, 显然不能约简掉公因子$) . 因为在双端固支梁的固有频率处(这时, $=0) , $将改变符号, 即(18) 式中A 和B 将改变符号, 但$c 不改变符号, 所以ch L 1和ch L 2的绝对值在双端固支梁的固有频率处要互相转换. 这个问题在用近似方法分析结构的波传播特性时要特别注意(即在用动态缩聚法缩聚内部自由度时, 应注意内部极点对计算的影响, 参见[4], 其计算结果与图6相同).

313 自由梁(k 1=0) }

这时方程(18) 的解为

L l , L 2=i A l(i =1=A

)

(27)

方程(27) 说明对所有的频率, 在自由梁中, 均是一个波可传, 而另一个波不可传. 由简支、弹性支持和自由梁的计算结果可以看出:随着支持条件的减弱, 波可传播和不可传播带之间的间隙越来越小, 两个波的传播性也逐渐向一个可传另一个不可传分离(比较图4和图5可以看出这种变化, 到自由梁时完全分离).

4 结论

梁波传播在空间的特征值问题描述了无限长周期性梁自由波传播的物理特性, 周期性梁的

传播常数为特征值取对数, 垮端的状态向量为其相应的特征向量, 另外, 它的几何、物理和支持条件决定了其能量能否输入的频段(或波能否传播的频段) , 这些频段的分界点可由周期性梁基本垮段的固有频率和与其相应的双端固支梁的固有频率确定.

在应用近似方法分析波传播问题时, 应注意数值计算可能引起的一些物理假象.

参考文献

1von Flotow AH. T he Acoust ic L imit of Control of Structur al Dynamics L arge Space Str uctures:Dynamic and Con -trol. Spring -V erlag Berlin Heidelberg 1988. 213~236

2Mead DJ, Zhu DC, Bardell N S. F ree vibration of an orthog onally stiffened flat plate. J of Sound and Vibr ation , 1988, 127(1)

3Zhu DC, Cheng W. T he mutual v ar iational pr incipal of fr ee wave propagation in periodic structures. A cta M e -chanica Sinica (Eng lish edition) , 1993(2)

4程伟. 典型结构波传播分析及其在梁振动控制中的应用(博士论文) . 1994

5Schw ar z RJ, Fr iedland B. Linear System. New York:M cGrawHill, 1968

NATURAL CHARAC TERISTICS OF

WAVE PROPAGATION IN BEAM

Cheng Wei Zhu Dechao Wang Dajun

(Dep ar tment of Mechanics , Peking Univer sity Beij ing 100871, China)

(I nstitute of Solid M echanics , Beij ing A er onautical &A stronautical Univ ersity , Beij ing 100083, China)

Abstract The natural characteristics of w ave propagation in beam has been studied based on dis -tributed parameter concepts, and the relations betw een those and the periodic structures are g iven. T he influence of support condition on characteristics of w ave propagation has been discussed. It is shown in this paper that some problem w ould create if an approx imate method (such as finite ele -ment method) is used. The study results of this paper can be applied to analyse the periodic struc -tures.

Key words vibration analysis, w ave propag ation, periodic structure

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ACT A M ECHAN ICA SI NI CA Vol. 29, N O. 2 M arch, 1997

梁波传播的固有特性

程伟诸德超王大钧

(北京大学力学系, 北京100871)

(北京航空航天大学固体力学研究所, 北京100083)

引言

[2~4]

1 梁自由振动微分方程的解析解

Bernoulli--Euler 梁的自由振动微分方程可写成

EI S =04+Q x t 2

其中E 为杨氏模量, I 为梁横截面对其中面的惯性矩, S 为横截面面积, Q 为质量密度.

设梁的初始位移和初始速度均为0, 对方程(1) 作关于时间的拉氏变换, 得

+C 4

w =04

其中C =s 2

(1)

(2)

, 当s =i X (i =-1) 时, 方程(2) 即为频响方程. 为简单起见, 将方程(1) 中

国家教委博士点专项基金和博士后基金资助项目.

w (x , t) 的拉氏变换在上式中用w (x , s ) 表示. 引入状态变量, 可得到方程(2) 的解析解为[5]

V (x , s) =P(x , s ) V(0, s)

其中

f 1

-f

P (x , s) =

2-f

-f

而

s=i X

(3)

432

f 3f 2f 1

f 4f 3f 2f , 把近

V(x , s ) =

C w . (x , s ) C w d (x , s ) C w Ê(x , s -3-2

-1

-f 4

(4)

-f 个3, -f 4

f 1=2ch B x cos B x f 2=

A V +cos A V

s=i X

2(ch B x sin B x +sh B x cos B x)

s=i X

i(sh A x +sin A x)

(5)

f 3=2sh B x sin B x f 4

=A =

i(ch A x -cos A x )

s=i X

2(ch B x sin B x -sh B x cos B x) X EI

1/4

i) (sh A x -sin A x)

1/4

, B =

4EI

中,

在方程(3) 中, 令x =l , (l 为梁长) , 并将状态向量中各分量的位置作适当调整, 同时对所有物理量均采用无量纲参数, 可得到

DV =F

其中

V =F =

w . (0, s) w . (l, s) l l

(6)

(7a) (7a)

l 2w Ê(0, s ) -lw d (0, s) -l 2w Ê(l, s) lw d (l , s) (C ) f 5

l 3

(C ) f 6

l 3

(C ) f 7

l 2

(C ) f 2-(C ) f 3

l 2

(C ) f 3

-(C ) f 4

s=i X

l 3l 2

D =

对

称

l 3(A ) f 5

l 2

(A ) f l 3(A ) f

l 3l 2

(C ) f 5-(C ) f 6

(C ) f 7

l 3-(A ) f 2l 2-(A ) f 3l 3(A ) f 5

l 2

(A ) f 3l (A ) f 4l 2-(A ) f 6l (A ) f 7

对

称

第2期程伟等:梁波传播的固有特性

177

$=1-(ch2B l +cos2B l) 2f 5=-(sh2B l +sin2l)

2f 6=-f 7=-s=i X

-ch A K cos A l

s=i X

A l sin A l +sh A l cos A l

(8a ~d )

A lsin A l

(ch 2B l -cos 2B l) 2

x (sh2B l -sin2B l )

s=i X

A l sin A l -sh A l cos A

2 波传播的固有特性

设K 为方程(3) 中波传播矩阵P (l, s ) 的特征值, W(0, s) $为相应的特征向量, 它们均为复数, 且满足

P(l , s) W (0, s) =K W(0, s)

根据方程(3) 和周期性结构的波传播特性得到[2, 3]

P (l, s ) V (0, s ) =V(l, s) =e V (0, s )

(9)

(10)

其中L 即为周期性梁的波传播常数, 可表示为L =L C +i L i , 它的物理意义为当波从梁任一垮的

左端传到右端时, 其状态向量在幅值和相位上的改变量. 比较方程(9) 和(10) , 可以得到下列结论$:$

周期性结构可看作波传播在空间固有特征值问题(9) 的一个物理模型, 它的传播常

数为特征值取对数, 而垮端的状态向量为其相应的特征向量.

-2-3

注意到式(7b ) 中C w d (0, s ) 和C w Ê(l, s ) 前的负号, (10) 式可用两个方程分别表示为

w (l, s ) C w c (l, s )

-1

=e L

(0, s )

C w -

c (20w , s )

-1

C w Ê(l , s)

-3

=-e L

-2-2C w d (l , s) ) C w d (0, s )

-L

C w Ê(0, s )

-3

(11a, b)

将(11) 代入(6) (x =l ) 并左乘矩阵[I Ie

(A l) (f 5-f 2ch L ) -(A l ) f 3sh L

](I 为2@2的单位矩阵) 得

-1

w (0, s) =C w c (0, s) =0

(A l ) f 3sh L A l (f 7+f 4ch L )

(12)

方程(12) 为自由梁波传播的特征方程, 如果考虑弹性支持条件, 例如在梁的两端各加一个线位移刚度为k 1的线弹簧, 则方程(12) 变为

) (f 5+2$k 1-f 2ch L

(s )

f (, s =0(13)

178

力学学报1997年第29卷

其中k 1=k 1[2(A l) 3].在推导方程(13) 时, 如果左乘的矩阵不是[I Ie -L ]而是[I Ie -L ]则可得到梁的内力(剪力和弯矩) 与位移的关系为

-2

-(A l) 3f 2sh L C w Ê(0, s) (=-3C w d (0, s ) (A l ) 2(f 6-f 3ch L )

(A l ) 2(f 6+

f 3ch L )

l i A lf 4sh L

w (0, s ) C w c (0, s -1

(14)

注意方程(13) 与f 5和k 1均无关, 即支持条件不影响上述关系. 方程(13) 的特征值可由下式确定

A ch 2L +B ch L +C =0

其中

A =2$, B =-2$(f 1-f 4k 1) , C =2$(f 8+f 7k 1) , f 8=ch A l cos A l

令

$c =B 2-4A C =4$2[(f 1-k 1f 4) 2-4(f 8+f 7k 1) ]

则方程(15) 的两个根分别为

L 1, 2

=ch -12A

(15)

(16)

(17)

(18)

将(18) 式中的两个根分别代入方程(13) , 可以确定波传播的特征向量为

U 1, 2=s

w (0, s ) C w c (0, s -1

A l(f 7+f 4ch L 1, 2) =

(A l ) f

3sh L 1, 2

(19)

(19) 式代入方程(14) 后可以得到与(19) 式相应的广义力矩阵

-3

C w Ê(

0, s A l sh L 1, 2(-f 1+2ch L 1, 2

f 5-f 2ch L 1, 2

(20)

F 1, 2=

(

C w d (0, s )

-2

进而通过方程

P 1, 2=Re{i X F *1, 2#U 1, 2}(21)

到这里我们有必要对上述公式的物理意义进行一下说明:

1) 方程(10) 和(11) 给出了当波在垮长为l 的周期梁内传播时, 其一垮两端状态向量之

间的关系.

2) 注意到f i (i =1, 2, 3, 4, , ) 均为振动频率X 的函数, (18) 式表明当梁的振动频率为X 时, 向右传播的波有两个传播常数.

3) (19) 和(20) 式确定了波的传播形状及相应的内力.

上面我们推导的公式均是以线位移支持弹簧为例进行的, 如果在垮的两端加上刚度为k 2的l ) -1k 2) , f () (

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179

3 结果分析

下面我们将分几种情况来讨论波传播的一些现象. 311 简支梁(k 1=])

这时方程(15) 蜕化为一阶方程

ch L =-7=f 4sh A l -sin A l

(22)

我们知道简支梁和双端固支梁的固有频率分别满足sin A l =0和1-ch A l cos A l =0由式(22) 得

22ch L =sh A l +sin A l -2sh A l sin A l

(23a, b)

(24) (25)

(23a) 和(23b) 均使

ch 2L =1 或 L =0? i n P (n =0, 1, 2, , )

图2)

根据前面的推导, 当传播常数为L 时, 简支粱左端的输入功率为

A lf 4P =C p Re{i X sh L }, C p =2

[3]

由(25) 式知, 在双端简支和双端固支梁固有频率处, 双端简支梁将改变波的传播特性(参见

(26)

[2~4]

其中C p 为实数. 根据(22) 式知道ch L 为实数, 因为当|ch L |>1时, sh L 为实数, 而当|ch L |1时, 为波的不可传播带(P =0)

, 为波的可传播带(P X 0, 参见图1和图2).

, 而当|ch L

图1 波传播特征曲线(k 1=]) Fig. 1 W ave propagation characteristics

图2 输入功率(k 1=]) Fi g. 2 Input pow er

图1~图6给出了梁传播常数L 和输入功率随频率的变化曲线, 实线为L 1或P 1, 虚线为L 2或P

图5和图6中, 上部为L 的实部, 而下部为L 的虚部. 注意A 和X 的关系为A =

图5 波传播特征曲线(k 1=20) Fi g. 5 Wave propagation characteristics

图6 $对波传播特征曲线的影响$(k 1=180) Fig. 6 Wave propagati on characteristics affected by

图3给出强弹性支持梁(k 1=180) 传播常数L 随频率的变化曲线. 在低频段只有很小一端是L 1可传, L 2不可传, 在中高频段均是L 2可传, L 1不可传(参见图4).

图5给出弱弹性支持梁(k 1=20) 传播常数L 随频率的变化曲线. 在低频段L 1和L 2均不可传(L 为复数) , 在中高频段均是L 2可传, L 1不可传.

313 自由梁(k 1=0) }

这时方程(18) 的解为

L l , L 2=i A l(i =1=A

)

(27)

4 结论

梁波传播在空间的特征值问题描述了无限长周期性梁自由波传播的物理特性, 周期性梁的

在应用近似方法分析波传播问题时, 应注意数值计算可能引起的一些物理假象.

参考文献

1von Flotow AH. T he Acoust ic L imit of Control of Structur al Dynamics L arge Space Str uctures:Dynamic and Con -trol. Spring -V erlag Berlin Heidelberg 1988. 213~236

2Mead DJ, Zhu DC, Bardell N S. F ree vibration of an orthog onally stiffened flat plate. J of Sound and Vibr ation , 1988, 127(1)

3Zhu DC, Cheng W. T he mutual v ar iational pr incipal of fr ee wave propagation in periodic structures. A cta M e -chanica Sinica (Eng lish edition) , 1993(2)

4程伟. 典型结构波传播分析及其在梁振动控制中的应用(博士论文) . 1994

5Schw ar z RJ, Fr iedland B. Linear System. New York:M cGrawHill, 1968

NATURAL CHARAC TERISTICS OF

WAVE PROPAGATION IN BEAM

Cheng Wei Zhu Dechao Wang Dajun

(Dep ar tment of Mechanics , Peking Univer sity Beij ing 100871, China)

(I nstitute of Solid M echanics , Beij ing A er onautical &A stronautical Univ ersity , Beij ing 100083, China)

Key words vibration analysis, w ave propag ation, periodic structure

梁波传播的固有特性

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