2014北京高考数学圆锥曲线及解题技巧

2014北京高考数学圆锥曲线及解题技巧

椭圆与双曲线的性质

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 6. 7. 8.

x0xy0yx2y2

(x,y)P若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是121. 0000222

abab

x0xy0yx2y2

(x,y)若P在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P、P，则切点弦PP的直线方程是121. 1212000

a2b2a2b

x2y22

椭圆221 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2btan.

ab2x2y2

椭圆221（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab

|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF

⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y2b2

11. AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOMkAB2，

aab

2bx

即KAB20。

ay0x0xy0yx02y02x2y2

12. 若P222. 0(x0,y0)在椭圆221内，则被Po所平分的中点弦的方程是2

ababab

x2y2x2y2x0xy0y

2. 13. 若P0(x0,y0)在椭圆221内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22

aba2bab

双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

x0xy0yx2y2

(x,y)P5. 若P在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是121. 0000

a2b2a2b

x0xy0yx2y2

(x,y)16. 若P在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P、P，则切点弦PP的直线方程是21. 1212000222

abab

x2y2

7. 双曲线221（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为

ab

SF1PF2b2cot



2

.

x2y2

8. 双曲线221（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(c,0) , F2(c,0)

ab

当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N

两点，则MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

b2x0b2x0x2y2

11. AB是双曲线221（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则KOMKAB2，即KAB2。

abay0ay0

x0xy0yx02y02x2y2

222. 12. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是a2babab

x2y2x2y2x0xy0y

2. 13. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是222

ababab

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

椭 圆

x2y2x2y2

1. 椭圆221（a＞b＞o）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.

abab

b2x0x2y2

2. 过椭圆221 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC2（常数）.

ay0ab

x2y2ac

3. 若P为椭圆221（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2, PF2F1，则tancot.

abac22

x2y2

4. 设椭圆221（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2,

ab

PF1F2,F1F2P，则有

sinc

e.

sinsina

x2y2

5. 若椭圆221（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e

1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准

ab

线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

6. P为椭圆221（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三

ab

点共线时，等号成立.

(xx0)2(yy0)222222

AaBb(AxByC)17. 椭圆与直线有公共点的充要条件是. AxByC00022

abx2y21111

2;（2）|OP|2+|OQ|2的8. 已知椭圆221（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）222

ab|OP||OQ|ab

4a2b2a2b2

最大值为2;（3）SOPQ的最小值是2.

ab2ab2

x2y2|PF|e

9. 过椭圆221（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.

ab|MN|2

x2y2a2b2a2b2

10. 已知椭圆221（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则. x0

aaabx2y22b2

11. 设P点是椭圆221（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2，则(1)|PF1||PF2|.(2)

1cosab

2

x2y2

12. 设A、B是椭圆221（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距

ab

2ab2|cos|2a2b22

cot. 离心率，则有(1)|PA|2.(2) tantan1e.(3) SPAB2

222

accosbax2y2

13. 已知椭圆221（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx

ab

轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

SPF1F2b2tan



.

17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

双曲线

x2y2

1. 双曲线221（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是

abx2y2

21. 2ab

b2x0x2y2

2. 过双曲线221（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC2

ay0ab

（常数）.

x2y2ca

3. 若P为双曲线221（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2, PF2F1，则ant

abca

（或



2

co



2

catancot）. ca22

x2y2

4. 设双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2,

ab

PF1F2,F1F2P，则有

sinc

e.

(sinsin)a

x2y2

5. 若双曲线221（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e

1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是

ab

P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

6. P为双曲线221（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点

ab

共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.

x2y222222

7. 双曲线221（a＞0,b＞0）与直线AxByC0有公共点的充要条件是AaBbC.

ab

x2y2

8. 已知双曲线221（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.

ab

4a2b2a2b2111122

（1）;（3）SOPQ的最小值是2. ;（2）|OP|+|OQ|的最小值为2

ba2ba2|OP|2|OQ|2a2b2

|PF|ex2y2

. 9. 过双曲线221（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则

|MN|2abx2y2a2b2

10. 已知双曲线221（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则x0或

abaa2b2

x0.

a

x2y22b2

11. 设P点是双曲线221（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2，则(1)|PF1||PF2|.(2)

1cosab

SPF1F2b2cot



2

.

x2y2

12. 设A、B是双曲线221（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e分别是双

ab

2ab2|cos|

曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|2. 22

|accos|

(2) tantan1e.(3) SPAB

2

2a2b22cot. ba2

x2y2

13. 已知双曲线221（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l

ab

上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

圆锥曲线问题解题方法

圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。 一. 紧扣定义，灵活解题

灵活运用定义，方法往往直接又明了。

y2

例1. 已知点A（3，2），F（2，0），双曲线x1，P为双曲线上一点。

3

1

求|PA||PF|的最小值。

2

2

解析：如图所示，

双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知 |PA|

1

|PF|即点P到准线距离。 2

15|PF||PA||PE|AM 22

二. 引入参数，简捷明快

参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。 例2. 求共焦点F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程。

解：取如图所示的坐标系，设点F到准线l的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数）

b

，而ct c2

bpcpt



2

p

再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则

xct

ybpt

2

消去t，得轨迹方程ypx

三. 数形结合，直观显示

将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。 例3. 已知x,y

R，且满足方程x2y23(y0)，又m

y3

，求m范围。 x3

解析：m

y322

的几何意义为，曲线xy3(y0)上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示

x3

kPAmkPB

33 m22 

四. 应用平几，一目了然

用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。

3)2y24和直线ymx的交点为P、Q，则|OP||OQ|的值为________。

解：OMP~OQN

|OP||OQ||OM||ON|5 例4. 已知圆(x

五. 应用平面向量，简化解题

向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。

x2y2xyOP||OR|2，当点P在l上移动时，求点1，直线l：1，P是l上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足|OQ||例5. 已知椭圆：2416128

Q的轨迹方程。

分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。 

解：如图，OQ，OR，OP共线，设OROQ，OPOQ，OQ(x，y)，则OR(x，y)，OP(x，y)

2OP||OR| |OQ||

222 |OQ||OQ|

 2

点R在椭圆上，P点在直线l上

2x2

242y2

161，x12y

81

x2y2xy 即2416128

化简整理得点Q的轨迹方程为：

(x1)2(y1)221（直线yx上方部分） 553

23

六. 应用曲线系，事半功倍

利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。

例6. 求经过两圆x

2y26x40和x2y26y280的交点，且圆心在直线xy40上的圆的方程。 解：设所求圆的方程为： x2y26x4(x2y26y28)0 (1)x2(1)y26x6y(284)0

33，)，在直线xy40上 11

解得7

22 故所求的方程为xyx7y320 则圆心为(

七. 巧用点差，简捷易行

在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。

y2

例7. 过点A（2，1）的直线与双曲线x1相交于两点P1、P2，求线段P1P2中点的轨迹方程。 2

解：设P2(x2，y2)，则 1(x1，y1)，P2

2y12x1122x2y21221 2

－得

(y2y1)(y1y2) 2

y2y12(x1x2) 即 x2x1y1y2

设P1P2的中点为M(x0，y0)，则

y2y12x0 kPP 12x2x1y0

y01 又kAM，而P1、A、M、P2共线 x02

y012x0 kPPkAM，即 12x02y0 (x2x1)(x1x2)

P1P2中点M的轨迹方程是2x

2y24xy0 解析几何题怎么解 高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.

例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0

(1)写出直线AB的方程； （2）计算出点P、Q的坐标；

（3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.

讲解: 通过读图, 看出A

(1 ) 显然A'',B'点的坐标. ‘1,1t, B1， 于是 直线AB 1t，

的方程为ytx1；

x2y21,2t1t2

（2）由方程组解出P(0,1)、Q(,)； 221t1tytx1,

101, kQT0tt1t2021t21. 22tt(1t)t21t （3）kPT

由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.

需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

x2y2

例2 已知直线l与椭圆221(ab0)有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程． ab

讲解：从直线l所处的位置, 设出直线l的方程,

由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为ykxm(k0).

代入椭圆方程b2x2a2y2a2b2， 得 b2x2a2(k2x22kmxm2)a2b2.

化简后，得关于x的一元二次方程 (a2k2b2)x22ka2mxa2m2a2b20.

于是其判别式(2ka2m)24(a2k2b2)(a2m2a2b2)4a2b2(a2k2b2m2).

由已知，得△=0．即a2k2b2m2. ①

在直线方程ykxm中，分别令y=0，x=0，求得R(m,0),S(0,m). k

myx,k,kx 令顶点P的坐标为（x，y）， 由已知，得 解得ym.my.



22ab 代入①式并整理，得 21, 即为所求顶点P的轨迹方程． 2xy

22方程ab1形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 22xy

x2y2233. 例3已知双曲线221的离心率e，过A(a,0),B(0,b)的直线到原点的距离是32ab

（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线ykx5(k0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

ababdc2xy 讲解：∵（1）22,原点到直线AB：1的距离caba3ab

b1,a.

2 故所求双曲线方程为 xy21.

33.2.

（2）把ykx5代入x23y23中消去y，整理得

设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0)，则

xx1x20(13k2)x230kx780. 2y115k51y0kx05,kBE0. 2213k13kx0k

x0ky0k0,即

7. 15k5kk0,又k0,k27 2213k13k故所求k=± 为了求出k的值, 需要通过消元, 想法设法建构k的方程.

例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．

（1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆C的方程．

讲解：（1）设|PF1|r1,|PF2|r2,|F1F2|2c, 对PF1F2, 由余弦定理, 得

2r11r224c2(r1r2)22r1r24c24a24c24a24c2

cosF1PF21112e0，

rr2r1r22r1r22r1r22(12)2

2

解出 e2 .2

（2）考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况：

i) 当k存在时，设l的方程为

椭圆方程为yk(xc)„„„„„„① x2y2222221,A(x1,y1),B(x2,y2) 由e2. 得 a2c,bc. 2ab2

于是椭圆方程可转化为

将①代入②，消去x22y22c20„„„„„„② x22k2(xc)22c20, y得

整理为x的一元二次方程，得 (12k2)x24ck2x2c2(k21)0.

222ck2

则x1、x2是上述方程的两根．且|x2x1|，|AB|k2

|xx|2c(1k)， 2112k2122

也可这样求解： |k|AB边上的高h|FF|sinBFF2c ,121221kS|F1F2||y1y2| 211k2|k|S2c()2c 22212kk c|k||x1x2|

2.2

ii) 当k不存在时，把直线xc代入椭圆方程得yc,|AB|,S2 2由①②知S的最大值为2c2 由题意得c2=12 所以c262b2 a212

故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为： x2

122y2

621.

下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：

设过左焦点的直线方程为：xmyc„„„„①

（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.） 22椭圆的方程为：xy1,A(x,y),B(x,y) 112222ab

由e2得：2a2c2,b2c2,于是椭圆方程可化为：x22y22c20„„② .2

把①代入②并整理得：(m22)y22mcyc20

于是y1,y2是上述方程的两根

.

|AB|y2y1|

AB边上的高hm24m2c24c2(m22)m2222c(1m2), m222c

m2, 21m2

2从而S1|AB|h122c(1m)2c22c222m22(m2)222cm21

m212m122c2.

当且仅当m=0取等号，即Smax2c2. 由题意知c212, 于是 b2c26,a2122.

故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为： x2

122y2

621.

x2y2例5 已知直线yx1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l:x2y0上.（１）求此椭圆的离心率； ab

（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x2y24上，求此椭圆的方程.

yx1，讲解:（1）设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).则由x2 得 y2

221ba

(a2b2)x22a2xa2a2b20,

根据韦达定理，得 2a22b2x1x22,y1y2(x1x2)22, 22abab

）. a2b2, ∴线段AB的中点坐标为（2ab2a2b2

a22b222222220,a2b2(ac)a2ce 由已知得2，故椭圆的离心率为2ab2a2b2

（2）由（1）知b . c,从而椭圆的右焦点坐标为F(b,0), 设F(b,0)关于直线l:x2y0的对称点为(x0,y0),则y001xby1且0200,解得 x0b222

34x0b且y0b 55

由已知得 x2y2324221 . xy4,(b)(b)4,b4，故所求的椭圆方程为84552

020

2 例6 已知⊙M：x(y2)21,Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，

（1）如果|AB|42

3，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.

讲解:（1）由|AB|42

3，可得

|MP||MA|2(

Rt△MOQ中，

|AB|22221)2(),233由射影定理，得 |MB|2|MP||MQ|,得|MQ|3, 在|OQ||MQ|2|MO|232225，故a5或a5，

所以直线AB方程是2x

5y20或2xy250; （2）连接MB，MQ，设P(x,y),Q(a,0),由点M，P，Q在一直线上，得2y2,(*) ax由射影定理得|MB|2|MP||MQ|,即x2(y2)2a241,(**)

把（*）及（**）消去a，并注意到

71y2，可得x2(y)2(y2). 416

2

2适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙. 例7 如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=

（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程； 。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.

DM（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设DN，试确定实数的取值范围． 讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB |

2

轨迹是椭圆∵ab1,c1∴曲线E的方程是 x2y21 . （2）设直线L的方程为 ykx2, 代入曲线E的方程x22y22，得

（x1,y1),N(x2,y2), 则

(8k① )24(2k1)60,



x8k

1x22k21, ②



x6

1x22k21.③

i) L与y轴重合时，|DM|

|DN|1

3

ii) L与y轴不重合时， 由①得 k23

2. 又∵DM

DNxDxM

xx1,

DxNx2

∵x2x10, 或 x2x10,∴0＜＜1 , y=222(2)22222∴动点P的(2k21)x28kx60设M1

(xx2)2(x1x2)2x1x264k2122∵∴2x1x2x2x1x1x26(2k1)3213(22)k 而k231, ∴63(22)8.∴ 42k323(21)k216116, ∴ 42, 33

01,1101,2,23110,3111.∴的取值范围是,1 . 33

值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕.

例8 直线l过抛物线

（1）求证：4x1x2y22px(p0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点. p2;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.

2 讲解: （1）易求得抛物线的焦点F(P,0). 若l⊥x轴，则l的方程为xP,显然xxP.若l不垂直于x轴，可设yk(xP),代入抛物线方程整理得122242

2PP2P2. 综上可知 xP(12)x0,则x1x244k24x1x2p2.

22p4p2222（2）设C(c,c),D(d,d)且cd，则CD的垂直平分线l的方程为ycdcd(xcd)

2p2p

22假设l过F，则0cdcd(pcd)整理得 (cd)(2p2c2d2)0 p0 22p24p

2p2c2d20，cd0. 这时l的方程为y=0，从而l与抛物线y2px只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点，因此l与l不重合，l不是CD的垂直平分线.

此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！ 例9 某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运讲解: 以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点为M，则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|2土石最省工？ －|MB|=|BP|－|AP|=50, |AB|50

7,∴M在双曲线x2y221的右支上. 225256故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工.

2014北京高考数学圆锥曲线及解题技巧

椭圆与双曲线的性质

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 6. 7. 8.

x0xy0yx2y2

(x,y)P若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是121. 0000222

abab

x0xy0yx2y2

(x,y)若P在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P、P，则切点弦PP的直线方程是121. 1212000

a2b2a2b

x2y22

椭圆221 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2btan.

ab2x2y2

椭圆221（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab

|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF

⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y2b2

11. AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOMkAB2，

aab

2bx

即KAB20。

ay0x0xy0yx02y02x2y2

12. 若P222. 0(x0,y0)在椭圆221内，则被Po所平分的中点弦的方程是2

ababab

x2y2x2y2x0xy0y

2. 13. 若P0(x0,y0)在椭圆221内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22

aba2bab

双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

x0xy0yx2y2

(x,y)P5. 若P在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是121. 0000

a2b2a2b

x0xy0yx2y2

(x,y)16. 若P在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P、P，则切点弦PP的直线方程是21. 1212000222

abab

x2y2

7. 双曲线221（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为

ab

SF1PF2b2cot



2

.

x2y2

8. 双曲线221（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(c,0) , F2(c,0)

ab

当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N

两点，则MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

b2x0b2x0x2y2

11. AB是双曲线221（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则KOMKAB2，即KAB2。

abay0ay0

x0xy0yx02y02x2y2

222. 12. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是a2babab

x2y2x2y2x0xy0y

2. 13. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是222

ababab

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

椭 圆

x2y2x2y2

1. 椭圆221（a＞b＞o）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.

abab

b2x0x2y2

2. 过椭圆221 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC2（常数）.

ay0ab

x2y2ac

3. 若P为椭圆221（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2, PF2F1，则tancot.

abac22

x2y2

4. 设椭圆221（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2,

ab

PF1F2,F1F2P，则有

sinc

e.

sinsina

x2y2

5. 若椭圆221（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e

1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准

ab

线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

6. P为椭圆221（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三

ab

点共线时，等号成立.

(xx0)2(yy0)222222

AaBb(AxByC)17. 椭圆与直线有公共点的充要条件是. AxByC00022

abx2y21111

2;（2）|OP|2+|OQ|2的8. 已知椭圆221（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）222

ab|OP||OQ|ab

4a2b2a2b2

最大值为2;（3）SOPQ的最小值是2.

ab2ab2

x2y2|PF|e

9. 过椭圆221（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.

ab|MN|2

x2y2a2b2a2b2

10. 已知椭圆221（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则. x0

aaabx2y22b2

11. 设P点是椭圆221（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2，则(1)|PF1||PF2|.(2)

1cosab

2

x2y2

12. 设A、B是椭圆221（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距

ab

2ab2|cos|2a2b22

cot. 离心率，则有(1)|PA|2.(2) tantan1e.(3) SPAB2

222

accosbax2y2

13. 已知椭圆221（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx

ab

轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

SPF1F2b2tan



.

17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

双曲线

x2y2

1. 双曲线221（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是

abx2y2

21. 2ab

b2x0x2y2

2. 过双曲线221（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC2

ay0ab

（常数）.

x2y2ca

3. 若P为双曲线221（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2, PF2F1，则ant

abca

（或



2

co



2

catancot）. ca22

x2y2

4. 设双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2,

ab

PF1F2,F1F2P，则有

sinc

e.

(sinsin)a

x2y2

5. 若双曲线221（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e

1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是

ab

P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2

6. P为双曲线221（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点

ab

共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.

x2y222222

7. 双曲线221（a＞0,b＞0）与直线AxByC0有公共点的充要条件是AaBbC.

ab

x2y2

8. 已知双曲线221（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.

ab

4a2b2a2b2111122

（1）;（3）SOPQ的最小值是2. ;（2）|OP|+|OQ|的最小值为2

ba2ba2|OP|2|OQ|2a2b2

|PF|ex2y2

. 9. 过双曲线221（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则

|MN|2abx2y2a2b2

10. 已知双曲线221（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则x0或

abaa2b2

x0.

a

x2y22b2

11. 设P点是双曲线221（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2，则(1)|PF1||PF2|.(2)

1cosab

SPF1F2b2cot



2

.

x2y2

12. 设A、B是双曲线221（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e分别是双

ab

2ab2|cos|

曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|2. 22

|accos|

(2) tantan1e.(3) SPAB

2

2a2b22cot. ba2

x2y2

13. 已知双曲线221（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l

ab

上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

圆锥曲线问题解题方法

圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。 一. 紧扣定义，灵活解题

灵活运用定义，方法往往直接又明了。

y2

例1. 已知点A（3，2），F（2，0），双曲线x1，P为双曲线上一点。

3

1

求|PA||PF|的最小值。

2

2

解析：如图所示，

双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知 |PA|

1

|PF|即点P到准线距离。 2

15|PF||PA||PE|AM 22

二. 引入参数，简捷明快

参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。 例2. 求共焦点F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程。

解：取如图所示的坐标系，设点F到准线l的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数）

b

，而ct c2

bpcpt



2

p

再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则

xct

ybpt

2

消去t，得轨迹方程ypx

三. 数形结合，直观显示

将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。 例3. 已知x,y

R，且满足方程x2y23(y0)，又m

y3

，求m范围。 x3

解析：m

y322

的几何意义为，曲线xy3(y0)上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示

x3

kPAmkPB

33 m22 

四. 应用平几，一目了然

用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。

3)2y24和直线ymx的交点为P、Q，则|OP||OQ|的值为________。

解：OMP~OQN

|OP||OQ||OM||ON|5 例4. 已知圆(x

五. 应用平面向量，简化解题

向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。

x2y2xyOP||OR|2，当点P在l上移动时，求点1，直线l：1，P是l上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足|OQ||例5. 已知椭圆：2416128

Q的轨迹方程。

分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。 

解：如图，OQ，OR，OP共线，设OROQ，OPOQ，OQ(x，y)，则OR(x，y)，OP(x，y)

2OP||OR| |OQ||

222 |OQ||OQ|

 2

点R在椭圆上，P点在直线l上

2x2

242y2

161，x12y

81

x2y2xy 即2416128

化简整理得点Q的轨迹方程为：

(x1)2(y1)221（直线yx上方部分） 553

23

六. 应用曲线系，事半功倍

利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。

例6. 求经过两圆x

2y26x40和x2y26y280的交点，且圆心在直线xy40上的圆的方程。 解：设所求圆的方程为： x2y26x4(x2y26y28)0 (1)x2(1)y26x6y(284)0

33，)，在直线xy40上 11

解得7

22 故所求的方程为xyx7y320 则圆心为(

七. 巧用点差，简捷易行

在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。

y2

例7. 过点A（2，1）的直线与双曲线x1相交于两点P1、P2，求线段P1P2中点的轨迹方程。 2

解：设P2(x2，y2)，则 1(x1，y1)，P2

2y12x1122x2y21221 2

－得

(y2y1)(y1y2) 2

y2y12(x1x2) 即 x2x1y1y2

设P1P2的中点为M(x0，y0)，则

y2y12x0 kPP 12x2x1y0

y01 又kAM，而P1、A、M、P2共线 x02

y012x0 kPPkAM，即 12x02y0 (x2x1)(x1x2)

P1P2中点M的轨迹方程是2x

2y24xy0 解析几何题怎么解 高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.

例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0

(1)写出直线AB的方程； （2）计算出点P、Q的坐标；

（3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.

讲解: 通过读图, 看出A

(1 ) 显然A'',B'点的坐标. ‘1,1t, B1， 于是 直线AB 1t，

的方程为ytx1；

x2y21,2t1t2

（2）由方程组解出P(0,1)、Q(,)； 221t1tytx1,

101, kQT0tt1t2021t21. 22tt(1t)t21t （3）kPT

由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.

需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

x2y2

例2 已知直线l与椭圆221(ab0)有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程． ab

讲解：从直线l所处的位置, 设出直线l的方程,

由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为ykxm(k0).

代入椭圆方程b2x2a2y2a2b2， 得 b2x2a2(k2x22kmxm2)a2b2.

化简后，得关于x的一元二次方程 (a2k2b2)x22ka2mxa2m2a2b20.

于是其判别式(2ka2m)24(a2k2b2)(a2m2a2b2)4a2b2(a2k2b2m2).

由已知，得△=0．即a2k2b2m2. ①

在直线方程ykxm中，分别令y=0，x=0，求得R(m,0),S(0,m). k

myx,k,kx 令顶点P的坐标为（x，y）， 由已知，得 解得ym.my.



22ab 代入①式并整理，得 21, 即为所求顶点P的轨迹方程． 2xy

22方程ab1形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 22xy

x2y2233. 例3已知双曲线221的离心率e，过A(a,0),B(0,b)的直线到原点的距离是32ab

（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线ykx5(k0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

ababdc2xy 讲解：∵（1）22,原点到直线AB：1的距离caba3ab

b1,a.

2 故所求双曲线方程为 xy21.

33.2.

（2）把ykx5代入x23y23中消去y，整理得

设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0)，则

xx1x20(13k2)x230kx780. 2y115k51y0kx05,kBE0. 2213k13kx0k

x0ky0k0,即

7. 15k5kk0,又k0,k27 2213k13k故所求k=± 为了求出k的值, 需要通过消元, 想法设法建构k的方程.

例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．

（1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆C的方程．

讲解：（1）设|PF1|r1,|PF2|r2,|F1F2|2c, 对PF1F2, 由余弦定理, 得

2r11r224c2(r1r2)22r1r24c24a24c24a24c2

cosF1PF21112e0，

rr2r1r22r1r22r1r22(12)2

2

解出 e2 .2

（2）考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况：

i) 当k存在时，设l的方程为

椭圆方程为yk(xc)„„„„„„① x2y2222221,A(x1,y1),B(x2,y2) 由e2. 得 a2c,bc. 2ab2

于是椭圆方程可转化为

将①代入②，消去x22y22c20„„„„„„② x22k2(xc)22c20, y得

整理为x的一元二次方程，得 (12k2)x24ck2x2c2(k21)0.

222ck2

则x1、x2是上述方程的两根．且|x2x1|，|AB|k2

|xx|2c(1k)， 2112k2122

也可这样求解： |k|AB边上的高h|FF|sinBFF2c ,121221kS|F1F2||y1y2| 211k2|k|S2c()2c 22212kk c|k||x1x2|

2.2

ii) 当k不存在时，把直线xc代入椭圆方程得yc,|AB|,S2 2由①②知S的最大值为2c2 由题意得c2=12 所以c262b2 a212

故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为： x2

122y2

621.

下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：

设过左焦点的直线方程为：xmyc„„„„①

（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.） 22椭圆的方程为：xy1,A(x,y),B(x,y) 112222ab

由e2得：2a2c2,b2c2,于是椭圆方程可化为：x22y22c20„„② .2

把①代入②并整理得：(m22)y22mcyc20

于是y1,y2是上述方程的两根

.

|AB|y2y1|

AB边上的高hm24m2c24c2(m22)m2222c(1m2), m222c

m2, 21m2

2从而S1|AB|h122c(1m)2c22c222m22(m2)222cm21

m212m122c2.

当且仅当m=0取等号，即Smax2c2. 由题意知c212, 于是 b2c26,a2122.

故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为： x2

122y2

621.

x2y2例5 已知直线yx1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l:x2y0上.（１）求此椭圆的离心率； ab

（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x2y24上，求此椭圆的方程.

yx1，讲解:（1）设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).则由x2 得 y2

221ba

(a2b2)x22a2xa2a2b20,

根据韦达定理，得 2a22b2x1x22,y1y2(x1x2)22, 22abab

）. a2b2, ∴线段AB的中点坐标为（2ab2a2b2

a22b222222220,a2b2(ac)a2ce 由已知得2，故椭圆的离心率为2ab2a2b2

（2）由（1）知b . c,从而椭圆的右焦点坐标为F(b,0), 设F(b,0)关于直线l:x2y0的对称点为(x0,y0),则y001xby1且0200,解得 x0b222

34x0b且y0b 55

由已知得 x2y2324221 . xy4,(b)(b)4,b4，故所求的椭圆方程为84552

020

2 例6 已知⊙M：x(y2)21,Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，

（1）如果|AB|42

3，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.

讲解:（1）由|AB|42

3，可得

|MP||MA|2(

Rt△MOQ中，

|AB|22221)2(),233由射影定理，得 |MB|2|MP||MQ|,得|MQ|3, 在|OQ||MQ|2|MO|232225，故a5或a5，

所以直线AB方程是2x

5y20或2xy250; （2）连接MB，MQ，设P(x,y),Q(a,0),由点M，P，Q在一直线上，得2y2,(*) ax由射影定理得|MB|2|MP||MQ|,即x2(y2)2a241,(**)

把（*）及（**）消去a，并注意到

71y2，可得x2(y)2(y2). 416

2

2适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙. 例7 如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=

（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程； 。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.

DM（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设DN，试确定实数的取值范围． 讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB |

2

轨迹是椭圆∵ab1,c1∴曲线E的方程是 x2y21 . （2）设直线L的方程为 ykx2, 代入曲线E的方程x22y22，得

（x1,y1),N(x2,y2), 则

(8k① )24(2k1)60,



x8k

1x22k21, ②



x6

1x22k21.③

i) L与y轴重合时，|DM|

|DN|1

3

ii) L与y轴不重合时， 由①得 k23

2. 又∵DM

DNxDxM

xx1,

DxNx2

∵x2x10, 或 x2x10,∴0＜＜1 , y=222(2)22222∴动点P的(2k21)x28kx60设M1

(xx2)2(x1x2)2x1x264k2122∵∴2x1x2x2x1x1x26(2k1)3213(22)k 而k231, ∴63(22)8.∴ 42k323(21)k216116, ∴ 42, 33

01,1101,2,23110,3111.∴的取值范围是,1 . 33

值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕.

例8 直线l过抛物线

（1）求证：4x1x2y22px(p0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点. p2;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.

2 讲解: （1）易求得抛物线的焦点F(P,0). 若l⊥x轴，则l的方程为xP,显然xxP.若l不垂直于x轴，可设yk(xP),代入抛物线方程整理得122242

2PP2P2. 综上可知 xP(12)x0,则x1x244k24x1x2p2.

22p4p2222（2）设C(c,c),D(d,d)且cd，则CD的垂直平分线l的方程为ycdcd(xcd)

2p2p

22假设l过F，则0cdcd(pcd)整理得 (cd)(2p2c2d2)0 p0 22p24p

2p2c2d20，cd0. 这时l的方程为y=0，从而l与抛物线y2px只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点，因此l与l不重合，l不是CD的垂直平分线.

此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！ 例9 某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运讲解: 以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点为M，则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|2土石最省工？ －|MB|=|BP|－|AP|=50, |AB|50

7,∴M在双曲线x2y221的右支上. 225256故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工.