第五讲：函数的基本性质
基础知识：
函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，
在解决与函数有关的（如方程、不等式等）问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可
以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的．
函数的周期性：如果函数y ＝f （x ）对于定义域内任意的x ，存在一个不等于0的常数T ，使
得f （x ＋T ）＝f （x ）恒成立，则称函数f （x ）是周期函数，T 是它的一个周期．一般情况下，
如果T 是函数f （x ）的周期，则kT （k ∈N ＋）也是f （x ）的周期．
例1已知f （x ）＝8＋2x －x2，如果g （x ）＝f （2－x2），那么g （x ）（ ）
A ．在区间（－2，0）上单调递增 B ．在（0，2）上单调递增
C ．在（－1，0）上单调递增 D ．在（0，1）上单调递增
【解析】：可用图像，但是用特殊值较好一些．选C ．
例2设f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ＋3）＝－f （x ），当0≤x ≤/时，f （x ）＝x ，则f （2003）
＝（ ）
A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2003
【解析】：f （x ＋6）＝f （x ＋3＋3）＝－f （x ＋3）＝f （x ）∴ f （x ）的周期为6f （2003）＝
f （6×335－1）＝f （－1）＝－f （1）＝－1，选A
例3定义在实数集上的函数f （x ），对一切实数x 都有f （x ＋1）＝f （2－x ）成立，若f （x ）
＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为（ ）
A ．150 B ．/ C ．152 D ．/
【解析】由已知，函数f （x ）的图象有对称轴x ＝/于是这101个根的分布也关于该对称轴
对称．即有一个根就是/，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝/对称利用中点
坐标公式，这100个根的和等于/×100＝150所有101个根的和为/×101＝/．选B
例4实数x ，y 满足x2＝2xsin （xy ）－1，则x1998＋6sin5y ＝______________．
【解析】：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法（快速）求解注意到其形式类似于一元二
次方程，可以采用配方法（x －sin （xy ））2＋cos2（xy ）＝0，∴ x ＝sin （xy ） 且 cos （xy ）
＝0，∴ x ＝sin （xy ）＝±1，∴ siny ＝1 xsin （xy ）＝1，原式＝7
例5已知x ＝/是方程x4＋bx2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________．
【解析】：（逆向思考：什么样的方程有这样的根？），由已知变形得x －/，∴ x2－2/x＋19
＝99，即 x2－80＝2/x，再平方得x4－160x2＋6400＝76x2，即 x4－236x2＋6400＝0，∴ b
＝－236，c ＝6400，b ＋c ＝6164
例6 已知f （x ）＝ax2＋bx ＋c （a ＞0），f （x ）＝0有实数根，且f （x ）＝1在（0，1）内有
两个实数根，求证：a ＞4．
【解析】证法一：由已知条件可得
?=
??
2
?4???? ≥0 ①
??
=??+??+??>1 ②
??
=??>1 ③
0
??
2??
?
??
2
≥4???? ≥
??>1??????
??>1
??0)
，于是－b ≥2/
所以a ＋c －1＞－b ≥2/，∴ （/）2＞1，∴ /＞1，于是/＋1＞2，∴ a ＞4。
证法二：设f （x ）的两个根为x1，x2，则f （x ）＝a （x －x1）（x －x2）， f （1）＝a （1－x1）
（1－x2）＞1， f （0）＝ax1x2＞1，由基本不等式，x1（1－x1）x2（1－x2）≤[/（x1＋（1
－x1）＋x2＋（1－x2））]4＝（/）2，∴ /≥a2x1（1－x1）x2（1－x2）＞1，∴ a2＞16，
∴ a ＞4
例7 已知f （x ）＝x2＋ax ＋b （－1≤x ≤1），若|f（x ）|的最大值为M ，求证：M ≥/．
【解析】：M ＝|f（x ）|max＝max{|f⑴|，|f（－1）|，|f（－/）|}
⑴若|－/|≥1 （对称轴不在定义域内部），则M ＝max{|f（1）|，|f（－1）|}，而f （1）
＝1＋a ＋b ， f （－1）＝1－a ＋b ，|f（1）|＋|f（－1）|≥|f（1）＋f （－1）|＝2|a|≥4，
则|f（1）|和|f（－1）|中至少有一个不小于2，∴ M ≥2＞/
（2）|－/|＜1，M ＝max{|f（1）|，|f（－1）|，|f（－/）|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，
|－/＋b|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－/＋b|，|－/＋b|} ≥/（|1＋a ＋b|＋|1－a ＋
b|＋|－/＋b|＋|－/＋b|）≥/ [（1＋a ＋b ）＋（1－a ＋b ）－（－/＋b ）－（－/＋b ）] ＝/
≥/。综上所述，原命题正确．
例8 ⑴解方程:（x ＋8）2001＋x2001＋2x ＋8＝0
⑵解方程：/
【解析】⑴原方程化为（x ＋8）2001＋（x ＋8）＋x2001＋x ＝0，即（x ＋8）2001＋（x ＋8）
＝（－x ）2001＋（－x ），构造函数f （x ）＝x2001＋x ，原方程等价于f （x ＋8）＝f （－x ），
而由函数的单调性可知f （x ）是R 上的单调递增函数，于是有x ＋8＝－x ，x ＝－4为原方程
的解
（2）两边取以2为底的对数得
??????
2
2??+
4
??
2
+1
??
2
+1+
(
??
2
+1)
2
+1
=
(???1)
2
，即
??????
2
2??+
4
??
2
+1
??????
2
??
2
+1+
??
2
+1
2
+1
=
??
2
?2??+1，即
??????
2
2??+
4
??
2
+1
+2??=
??????
2
??
2
+1+
??
2
+1
2
+1
+(
??
2
+1)，构造函数??
??
=
??+
??
2
+1
+??，于是f （2x ）＝f （x2＋1），易证：f （x ）世纪函数，且是R 上的增函数，所以：2x ＝x2
＋1解得：x ＝1
例9设f （x ）＝x4＋ax3＋bx2＋cx ＋d ，f （1）＝1，f （2）＝2，f （3）＝3，求/[f（4）＋f
（0）]的值．
【解析】：由已知，方程f （x ）＝x 已知有三个解，设第四个解为m ，记 F （x ）＝f （x ）－x
＝（x －1）（x －2）（x －3）（x －m ），∴ f （x ）＝（x －1）（x －2）（x －3）（x －m ）＋x ，f （4）
＝6（4－m ）＋4，f （0）＝6m ，∴/ [f（4）＋f （0）]＝7
例10设f （x ）＝x4－4x3＋/x2－5x ＋2，当x ∈R 时，求证：|f（x ）|≥/
【解析】：配方得：f （x ）＝x2（x －2）2＋/（x －1）2－/
＝x2（x －2）2＋/（x －1）2－1＋/＝（x2－2x ）2＋/（x －1）2－1＋/
＝[（x －1）2－1]2＋/（x －1）2－1＋/＝（x －1）4－2（x －1）2＋1＋/（x －1）2－1＋/ ＝
（x －1）4＋/（x －1）2＋/≥/
例11 已知函数f （x ）对任意实数x ，都有f （x ＋m ）＝－f （x ），求证：2m 是f （x ）的一个
周期．
【解析】：因为f （x ＋m ）＝－f （x ）所以，f （x ＋2m ）＝f [（x ＋m ）＋m]＝－f （x ＋m ） ＝f （x ），所以f （x ）是以2m 为周期的周期函数．
例12已知函数f （x ）对任意实数x ，都有f （x ＋m ）＝f （x －m ），求证：2m 是f （x ）的一
个周期．
【解析】证明：因为f （x ＋m ）＝f （x －m ）令x －m ＝t ，则x ＋m ＝t ＋2m 于是f （t ＋2m ）＝f （t ）对于t ∈R 恒成立，所以f （x ）是以2m 为周期的周期函数．
例13已知函数f （x ）对任意实数x ，都有f （x ＋m ）＝/，求证：2m 是f （x ）的一个周期．
【解析】：由已知??
??+2??
=??
??+??
+??
=
1???(??+??)
1+??(??+??)
=
1?
1???(??)
1+??(??)
1+
1???(??)
1+??(??)
=??(??)，所以f （x ）是以2m 为周期的周期函数．
例14 已知函数f （x ）对任意实数x ，都有f （x ＋m ）＝－/，求证：4m 是f （x ）的一个周期．
【解析】：由已知??
??+2??
=??
??+??
+??
=?
1???(??+??)
1+??(??+??)
=?
1?
1???(??)
1+??(??)
1+
1???(??)
1+??(??)
=?
??(??)
，于是f （x ＋4m ）＝－/＝f （x ）
所以f （x ）是以4m 为周期的周期函数．
例15已知函数f （x ）对任意实数x ，都有f （a ＋x ）＝f （a －x ）且f （b ＋x ）＝f （b －x ）， 求证：2|a－b|是f （x ）的一个周期．（a ≠b ）
【解析】证明：不妨设a ＞b ，于是f （x ＋2（a －b ））＝f （a ＋（x ＋a －2b ））
＝f （a －（x ＋a －2b ））＝f （2b －x ）＝f （b －（x －b ））＝f （b ＋（x －b ））＝f （x ）
∴ 2（a －b ）是f （x ）的一个周期，当a ＜b 时同理可得，所以，2|a－b|是f （x ）的周期 例16已知函数f （x ）的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f （x ）＝f （x －1）＋f （x ＋1） 若f （0）＝2004，求f （2004）
【解析】：因为f （x ）＝f （x －1）＋f （x ＋1），所以f （x ＋1）＝f （x ）＋f （x ＋2），两式相加得0＝f （x －1）＋f （x ＋2），即：f （x ＋3）＝－f （x ），∴ f （x ＋6）＝f （x ），f （x ）是以6为周期的周期函数，2004＝6×334，∴ f （2004）＝f （0）＝2004
例17已知对于任意a ，b ∈R ，有f （a ＋b ）＋f （a －b ）＝2f （a ）f （b ），且f （x ）≠0，⑴求证：f （x ）是偶函数；⑵若存在正整数m 使得f （m ）＝0，求满足f （x ＋T ）＝f （x ）的一个T 值（T ≠0）
【解析】⑴证明：令a ＝b ＝0得，f （0）＝1（f （0）＝0舍去），又令a ＝0，得f （b ）＝f （－b ），即f （x ）＝f （－x ），所以，f （x ）为偶函数
⑵令a ＝x ＋m ，b ＝m ，得f （x ＋2m ）＋f （x ）＝2f （x ＋m ）f （m ）＝0，所以f （x ＋2m ）＝－f （x ），于是f （x ＋4m ）＝f [（x ＋2m ）＋2m]＝－f （x ＋2m ）＝f （x ），即T ＝4m （周期函数）
例18数列{an}中，a1＝a ，a2＝b ，且an ＋2＝an ＋1－an （n ∈N ＋），①求a100；②求S100．
【解析】：由已知a1＝a ，a2＝b ，所以a3＝b －a ，a4＝－a ，a5＝－b ，a6＝a －b ，a7＝a ，a8＝b ，……由此可知，{an}是以6为周期的周期数列，于是a100＝a6×16＋4＝a4＝－a 又注意到a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，S100＝a1＋a2＋a3＋……＋a96＋a97＋a98＋a99＋a100 ＝0＋a97＋a98＋a99＋a100 ＝a1＋a2＋a3＋a4 ＝a ＋b ＋（b －a ）＋（－a ）＝2b －a
例19对每一个实数对x ，y ，函数f （t ）满足f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ）＋xy ＋1，若f （－2）=－2，试求满足f （a ）＝a 的所有整数a ．
【解析】：令x ＝y ＝0，得f （0）＝－1，再令x ＝y ＝－1，得f （－2）＝2f （－1）＋2，又f （－2）＝－2，所以f （－1）＝－2，又令x ＝1，y ＝－1，可得f （1）＝1，令x ＝y ＝1得f
（2）＝2f （1）＋1＋1＝4，令y ＝1，得f （x ＋1）＝f （x ）＋x ＋2，即f （x ＋1）－f （x ）＝x ＋2 ①，当x 取任意正整数时，f （x ＋1）－f （x ）＞0，又f （1）＝1＞0，所以f （x ）＞0，于是f （x ＋1）＝f （x ）＋x ＋2＞x ＋1，即对任意大于1的正整数t ，f （t ）＞t ，在①中，令x ＝－3，得f （－3）＝－1，进一步可得f （－4）＝1，注意到f （x ）－f （x ＋1）＝－（x ＋2），所以当x ≤－4时，f （x ）－f （x ＋1）＞0，即f （x ）＞f （x ＋1）＞f （x ＋2）＞……＞f （－4）＝1，所以x ≤－4时，f （x ）＞x ，综上所述，满足f （a ）＝a 的整数只有a ＝1或a ＝－2
例20设f （x ）是一个从实数集R 到R 的一个映射，对于任意的实数x ，都有|f（x ）|≤1，并且f （x ）+/，求证：f （x ）是周期函数．
【解析】：由已知??
??
+??
13
42
=??
??+
7
42
+??(??+
16
42
) ，所以??
??+
7
42
???
??
= ??
??+
13
42
? ??
??+
16
42
=??
??+
19
42
???
??+
12
42
=?=??
??+
49
42
???(??+
42
42
) ，
即 / ①
同理有/
即 / ②
由①②??
??+
42
42
???
??
= ??
??+
49
42
???
??+
7
42
=??
??+
44
42
???
??+
2
42
=???
??+
84
42
???(??+
42
42
) ，于是f （x ＋1）－f （x ）＝f （x ＋2）－f （x ＋1），记这个差为d ，同理f （x ＋3）－f （x ＋2）＝f （x ＋2）－f （x ＋1）＝d ，……f （x ＋n ＋1）－f （x ＋n ）＝f （x ＋n ）－f （x ＋n －1）＝……
＝f （x ＋1）－f （x ）＝d ，即是说数列{f（x ＋n ）}是一个以f （x ）为首项，d 为公差的等差数列，因此f （x ＋n ）＝f （x ）＋nd ＝f （x ）＋n[f（x ＋1）－f （x ）]对所有的自然数n 成立，而对于x ∈R ，| f（x ）|≤1，即f （x ）有界，故只有f （x ＋1）－f （x ）＝0，即f （x ＋1）＝f （x ） x ∈R ，所以f （x ）是周期为1的周期函数．
第五讲：函数的基本性质
基础知识：
函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，
在解决与函数有关的（如方程、不等式等）问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可
以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的．
函数的周期性：如果函数y ＝f （x ）对于定义域内任意的x ，存在一个不等于0的常数T ，使
得f （x ＋T ）＝f （x ）恒成立，则称函数f （x ）是周期函数，T 是它的一个周期．一般情况下，
如果T 是函数f （x ）的周期，则kT （k ∈N ＋）也是f （x ）的周期．
例1已知f （x ）＝8＋2x －x2，如果g （x ）＝f （2－x2），那么g （x ）（ ）
A ．在区间（－2，0）上单调递增 B ．在（0，2）上单调递增
C ．在（－1，0）上单调递增 D ．在（0，1）上单调递增
【解析】：可用图像，但是用特殊值较好一些．选C ．
例2设f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ＋3）＝－f （x ），当0≤x ≤/时，f （x ）＝x ，则f （2003）
＝（ ）
A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2003
【解析】：f （x ＋6）＝f （x ＋3＋3）＝－f （x ＋3）＝f （x ）∴ f （x ）的周期为6f （2003）＝
f （6×335－1）＝f （－1）＝－f （1）＝－1，选A
例3定义在实数集上的函数f （x ），对一切实数x 都有f （x ＋1）＝f （2－x ）成立，若f （x ）
＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为（ ）
A ．150 B ．/ C ．152 D ．/
【解析】由已知，函数f （x ）的图象有对称轴x ＝/于是这101个根的分布也关于该对称轴
对称．即有一个根就是/，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝/对称利用中点
坐标公式，这100个根的和等于/×100＝150所有101个根的和为/×101＝/．选B
例4实数x ，y 满足x2＝2xsin （xy ）－1，则x1998＋6sin5y ＝______________．
【解析】：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法（快速）求解注意到其形式类似于一元二
次方程，可以采用配方法（x －sin （xy ））2＋cos2（xy ）＝0，∴ x ＝sin （xy ） 且 cos （xy ）
＝0，∴ x ＝sin （xy ）＝±1，∴ siny ＝1 xsin （xy ）＝1，原式＝7
例5已知x ＝/是方程x4＋bx2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________．
【解析】：（逆向思考：什么样的方程有这样的根？），由已知变形得x －/，∴ x2－2/x＋19
＝99，即 x2－80＝2/x，再平方得x4－160x2＋6400＝76x2，即 x4－236x2＋6400＝0，∴ b
＝－236，c ＝6400，b ＋c ＝6164
例6 已知f （x ）＝ax2＋bx ＋c （a ＞0），f （x ）＝0有实数根，且f （x ）＝1在（0，1）内有
两个实数根，求证：a ＞4．
【解析】证法一：由已知条件可得
?=
??
2
?4???? ≥0 ①
??
=??+??+??>1 ②
??
=??>1 ③
0
??
2??
?
??
2
≥4???? ≥
??>1??????
??>1
??0)
，于是－b ≥2/
所以a ＋c －1＞－b ≥2/，∴ （/）2＞1，∴ /＞1，于是/＋1＞2，∴ a ＞4。
证法二：设f （x ）的两个根为x1，x2，则f （x ）＝a （x －x1）（x －x2）， f （1）＝a （1－x1）
（1－x2）＞1， f （0）＝ax1x2＞1，由基本不等式，x1（1－x1）x2（1－x2）≤[/（x1＋（1
－x1）＋x2＋（1－x2））]4＝（/）2，∴ /≥a2x1（1－x1）x2（1－x2）＞1，∴ a2＞16，
∴ a ＞4
例7 已知f （x ）＝x2＋ax ＋b （－1≤x ≤1），若|f（x ）|的最大值为M ，求证：M ≥/．
【解析】：M ＝|f（x ）|max＝max{|f⑴|，|f（－1）|，|f（－/）|}
⑴若|－/|≥1 （对称轴不在定义域内部），则M ＝max{|f（1）|，|f（－1）|}，而f （1）
＝1＋a ＋b ， f （－1）＝1－a ＋b ，|f（1）|＋|f（－1）|≥|f（1）＋f （－1）|＝2|a|≥4，
则|f（1）|和|f（－1）|中至少有一个不小于2，∴ M ≥2＞/
（2）|－/|＜1，M ＝max{|f（1）|，|f（－1）|，|f（－/）|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，
|－/＋b|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－/＋b|，|－/＋b|} ≥/（|1＋a ＋b|＋|1－a ＋
b|＋|－/＋b|＋|－/＋b|）≥/ [（1＋a ＋b ）＋（1－a ＋b ）－（－/＋b ）－（－/＋b ）] ＝/
≥/。综上所述，原命题正确．
例8 ⑴解方程:（x ＋8）2001＋x2001＋2x ＋8＝0
⑵解方程：/
【解析】⑴原方程化为（x ＋8）2001＋（x ＋8）＋x2001＋x ＝0，即（x ＋8）2001＋（x ＋8）
＝（－x ）2001＋（－x ），构造函数f （x ）＝x2001＋x ，原方程等价于f （x ＋8）＝f （－x ），
而由函数的单调性可知f （x ）是R 上的单调递增函数，于是有x ＋8＝－x ，x ＝－4为原方程
的解
（2）两边取以2为底的对数得
??????
2
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4
??
2
+1
??
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+1+
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??
2
+1)
2
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2
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??????
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??????
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2
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+(
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2
+1)，构造函数??
??
=
??+
??
2
+1
+??，于是f （2x ）＝f （x2＋1），易证：f （x ）世纪函数，且是R 上的增函数，所以：2x ＝x2
＋1解得：x ＝1
例9设f （x ）＝x4＋ax3＋bx2＋cx ＋d ，f （1）＝1，f （2）＝2，f （3）＝3，求/[f（4）＋f
（0）]的值．
【解析】：由已知，方程f （x ）＝x 已知有三个解，设第四个解为m ，记 F （x ）＝f （x ）－x
＝（x －1）（x －2）（x －3）（x －m ），∴ f （x ）＝（x －1）（x －2）（x －3）（x －m ）＋x ，f （4）
＝6（4－m ）＋4，f （0）＝6m ，∴/ [f（4）＋f （0）]＝7
例10设f （x ）＝x4－4x3＋/x2－5x ＋2，当x ∈R 时，求证：|f（x ）|≥/
【解析】：配方得：f （x ）＝x2（x －2）2＋/（x －1）2－/
＝x2（x －2）2＋/（x －1）2－1＋/＝（x2－2x ）2＋/（x －1）2－1＋/
＝[（x －1）2－1]2＋/（x －1）2－1＋/＝（x －1）4－2（x －1）2＋1＋/（x －1）2－1＋/ ＝
（x －1）4＋/（x －1）2＋/≥/
例11 已知函数f （x ）对任意实数x ，都有f （x ＋m ）＝－f （x ），求证：2m 是f （x ）的一个
周期．
【解析】：因为f （x ＋m ）＝－f （x ）所以，f （x ＋2m ）＝f [（x ＋m ）＋m]＝－f （x ＋m ） ＝f （x ），所以f （x ）是以2m 为周期的周期函数．
例12已知函数f （x ）对任意实数x ，都有f （x ＋m ）＝f （x －m ），求证：2m 是f （x ）的一
个周期．
【解析】证明：因为f （x ＋m ）＝f （x －m ）令x －m ＝t ，则x ＋m ＝t ＋2m 于是f （t ＋2m ）＝f （t ）对于t ∈R 恒成立，所以f （x ）是以2m 为周期的周期函数．
例13已知函数f （x ）对任意实数x ，都有f （x ＋m ）＝/，求证：2m 是f （x ）的一个周期．
【解析】：由已知??
??+2??
=??
??+??
+??
=
1???(??+??)
1+??(??+??)
=
1?
1???(??)
1+??(??)
1+
1???(??)
1+??(??)
=??(??)，所以f （x ）是以2m 为周期的周期函数．
例14 已知函数f （x ）对任意实数x ，都有f （x ＋m ）＝－/，求证：4m 是f （x ）的一个周期．
【解析】：由已知??
??+2??
=??
??+??
+??
=?
1???(??+??)
1+??(??+??)
=?
1?
1???(??)
1+??(??)
1+
1???(??)
1+??(??)
=?
??(??)
，于是f （x ＋4m ）＝－/＝f （x ）
所以f （x ）是以4m 为周期的周期函数．
例15已知函数f （x ）对任意实数x ，都有f （a ＋x ）＝f （a －x ）且f （b ＋x ）＝f （b －x ）， 求证：2|a－b|是f （x ）的一个周期．（a ≠b ）
【解析】证明：不妨设a ＞b ，于是f （x ＋2（a －b ））＝f （a ＋（x ＋a －2b ））
＝f （a －（x ＋a －2b ））＝f （2b －x ）＝f （b －（x －b ））＝f （b ＋（x －b ））＝f （x ）
∴ 2（a －b ）是f （x ）的一个周期，当a ＜b 时同理可得，所以，2|a－b|是f （x ）的周期 例16已知函数f （x ）的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f （x ）＝f （x －1）＋f （x ＋1） 若f （0）＝2004，求f （2004）
【解析】：因为f （x ）＝f （x －1）＋f （x ＋1），所以f （x ＋1）＝f （x ）＋f （x ＋2），两式相加得0＝f （x －1）＋f （x ＋2），即：f （x ＋3）＝－f （x ），∴ f （x ＋6）＝f （x ），f （x ）是以6为周期的周期函数，2004＝6×334，∴ f （2004）＝f （0）＝2004
例17已知对于任意a ，b ∈R ，有f （a ＋b ）＋f （a －b ）＝2f （a ）f （b ），且f （x ）≠0，⑴求证：f （x ）是偶函数；⑵若存在正整数m 使得f （m ）＝0，求满足f （x ＋T ）＝f （x ）的一个T 值（T ≠0）
【解析】⑴证明：令a ＝b ＝0得，f （0）＝1（f （0）＝0舍去），又令a ＝0，得f （b ）＝f （－b ），即f （x ）＝f （－x ），所以，f （x ）为偶函数
⑵令a ＝x ＋m ，b ＝m ，得f （x ＋2m ）＋f （x ）＝2f （x ＋m ）f （m ）＝0，所以f （x ＋2m ）＝－f （x ），于是f （x ＋4m ）＝f [（x ＋2m ）＋2m]＝－f （x ＋2m ）＝f （x ），即T ＝4m （周期函数）
例18数列{an}中，a1＝a ，a2＝b ，且an ＋2＝an ＋1－an （n ∈N ＋），①求a100；②求S100．
【解析】：由已知a1＝a ，a2＝b ，所以a3＝b －a ，a4＝－a ，a5＝－b ，a6＝a －b ，a7＝a ，a8＝b ，……由此可知，{an}是以6为周期的周期数列，于是a100＝a6×16＋4＝a4＝－a 又注意到a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，S100＝a1＋a2＋a3＋……＋a96＋a97＋a98＋a99＋a100 ＝0＋a97＋a98＋a99＋a100 ＝a1＋a2＋a3＋a4 ＝a ＋b ＋（b －a ）＋（－a ）＝2b －a
例19对每一个实数对x ，y ，函数f （t ）满足f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ）＋xy ＋1，若f （－2）=－2，试求满足f （a ）＝a 的所有整数a ．
【解析】：令x ＝y ＝0，得f （0）＝－1，再令x ＝y ＝－1，得f （－2）＝2f （－1）＋2，又f （－2）＝－2，所以f （－1）＝－2，又令x ＝1，y ＝－1，可得f （1）＝1，令x ＝y ＝1得f
（2）＝2f （1）＋1＋1＝4，令y ＝1，得f （x ＋1）＝f （x ）＋x ＋2，即f （x ＋1）－f （x ）＝x ＋2 ①，当x 取任意正整数时，f （x ＋1）－f （x ）＞0，又f （1）＝1＞0，所以f （x ）＞0，于是f （x ＋1）＝f （x ）＋x ＋2＞x ＋1，即对任意大于1的正整数t ，f （t ）＞t ，在①中，令x ＝－3，得f （－3）＝－1，进一步可得f （－4）＝1，注意到f （x ）－f （x ＋1）＝－（x ＋2），所以当x ≤－4时，f （x ）－f （x ＋1）＞0，即f （x ）＞f （x ＋1）＞f （x ＋2）＞……＞f （－4）＝1，所以x ≤－4时，f （x ）＞x ，综上所述，满足f （a ）＝a 的整数只有a ＝1或a ＝－2
例20设f （x ）是一个从实数集R 到R 的一个映射，对于任意的实数x ，都有|f（x ）|≤1，并且f （x ）+/，求证：f （x ）是周期函数．
【解析】：由已知??
??
+??
13
42
=??
??+
7
42
+??(??+
16
42
) ，所以??
??+
7
42
???
??
= ??
??+
13
42
? ??
??+
16
42
=??
??+
19
42
???
??+
12
42
=?=??
??+
49
42
???(??+
42
42
) ，
即 / ①
同理有/
即 / ②
由①②??
??+
42
42
???
??
= ??
??+
49
42
???
??+
7
42
=??
??+
44
42
???
??+
2
42
=???
??+
84
42
???(??+
42
42
) ，于是f （x ＋1）－f （x ）＝f （x ＋2）－f （x ＋1），记这个差为d ，同理f （x ＋3）－f （x ＋2）＝f （x ＋2）－f （x ＋1）＝d ，……f （x ＋n ＋1）－f （x ＋n ）＝f （x ＋n ）－f （x ＋n －1）＝……
＝f （x ＋1）－f （x ）＝d ，即是说数列{f（x ＋n ）}是一个以f （x ）为首项，d 为公差的等差数列，因此f （x ＋n ）＝f （x ）＋nd ＝f （x ）＋n[f（x ＋1）－f （x ）]对所有的自然数n 成立，而对于x ∈R ，| f（x ）|≤1，即f （x ）有界，故只有f （x ＋1）－f （x ）＝0，即f （x ＋1）＝f （x ） x ∈R ，所以f （x ）是周期为1的周期函数．