§4.2 锥 面
一、概念：
在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面，这些直线都叫做锥面的母线，那个定点叫做锥面的顶点，定曲线叫做锥面的准线.
二、方程：
如图4-2, 设锥面的准线为
顶点为A (x 0, y 0, z 0). 如果M 1(x 1, y 1, z 1) 为准线上的任意点, 那么锥面过点M 1的母线为
＝且有
＝,
从以上四个等式中消去参数x 1, y 1, z 1，最后得一个三元方程
F (x , y , z ) ＝0,
这就是所求的锥面方程.
三. 性质：
1. 设λ为实数，对于函数f (x , y , z ) ，如果有
f (tx , ty , tz ) ＝t λf (x , y , z ),
其中t 的取值应使t λ有确定的意义，那么f (x , y , z ) 叫做λ次齐次函数，f (x , y , z ) ＝0叫做λ次齐次方程. 该定义可以推广到n 个变量的情况.
2. 一个关于x , y , z 的齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面，其退化情形为一点，222222如x +y +z ＝0, (x －x 0) +(y －y 0) +(z －z 0) ＝0.
3. 一个关于x －x 0, y －y 0, z －z 0的齐次方程总表示顶点在(x 0, y0, z 0) 的锥面. 例1. 已知准线Γ：和顶点N (0, 0, 8)，求锥面方程.
解：设M 1(x 1, y 1, z 1) 为Γ上任意一点，则过M 1的母线方程为
＝＝, 或
且
2消去x 1, y 1, z 1就有 2y +xz －8x ＝0.
例2. 求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程.
解：因为所求锥面以三个坐标轴为母线，故所求圆锥面有四个，它们的顶点都在坐标原点，其中一个锥面的准线方程为
设M 1(x 1, y 1, z 1) 为Γ上任意一点，则过M 1的母线方程为
Γ：
＝
＝,
且
将x 1＝xt , y 1＝yt , z 1＝zt 代入上式，消去t 得所求圆锥面方程为
xy +yz +zx ＝0.
仿此可求得另三个圆锥面方程为
xy +yz －zx ＝0,
xy －yz +zx ＝0,
－xy +yz +zx ＝0.
例3. 求顶点为(1, 2, 4)，轴与平面2x +2y +z ＝0垂直，且经过点(3, 2, 1)
的圆锥面的方程.
解法一：由题意，其准线方程为
即
设M 1(x 1, y 1, z 1) 为准线上任意一点，则过M 1的母线方程为
＝＝,
且
以上四式消去参数x 1, y 1, z 1，得所求圆锥面方程为
22251(x －1) ＋51(y －2) ＋12(z －4) ＋104(x －1)(y －2)
＋52(x －1)(z －4) ＋52(y －2)(z －4) ＝0. 解法二：依题设所求圆锥面的轴的方向为＝{2, 2, 1}，过已知点(3, 2, 1)的母线方向＝{2, 0, －3}. 设M (x , y , z ) 为圆锥面上任意一点，则过M 的母线方向为＝{x －1, y －2, z －4,}，由于∠(
于是
) ＝∠(＝) ，从而cos ∠( 或
＝, ) ＝cos ∠(),
即
＝,
化简即得所求圆锥面方程为
22251(x －1) ＋51(y －2) ＋12(z －4) ＋104(x －1)(y －2)
＋52(x －1)(z －4) ＋52(y －2)(z －4) ＝0,
22或 51x ＋51y ＋104xy ＋52xz ＋52yz －518x －516y －252z ＋1279＝0.
例4. 已知两相交直线l 1：x ＝y ＝z 与l 2：＝＝，试求以l 1为轴且通过直线l 2的圆锥面的方程.
解：因为l 1与l 2相交于原点O (0, 0, 0)，即为所求圆锥面的顶点，
在母线l 2上取一点A (2, －1, 2)，则过A 且与l 1垂直的平面为
π：x +y +z －3＝0,
以原点为中心，||＝3为半径的球面为
S ：x 2+y 2+z 2＝9,
π与S 的交线即为所求圆锥面的准线
设M 1(x 1, y 1, z 1) 为Γ上任一点，则过M 1的母线方程为
＝＝， Γ：
且
以上四式消去x 1, y 1, z 1得所求圆锥面方程为
xy +yz +zx ＝0.
作业题：
1. 求顶点在原点，准线为的锥面方程.
2. 求顶点在(0, －a , 0)，准线为的锥面方程(a ≠0).
2223. 求锥面x －(y －a ) －z ＝0的顶点，并求它在y ＝b 上的准线方程.
§4.2 锥 面
一、概念：
在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面，这些直线都叫做锥面的母线，那个定点叫做锥面的顶点，定曲线叫做锥面的准线.
二、方程：
如图4-2, 设锥面的准线为
顶点为A (x 0, y 0, z 0). 如果M 1(x 1, y 1, z 1) 为准线上的任意点, 那么锥面过点M 1的母线为
＝且有
＝,
从以上四个等式中消去参数x 1, y 1, z 1，最后得一个三元方程
F (x , y , z ) ＝0,
这就是所求的锥面方程.
三. 性质：
1. 设λ为实数，对于函数f (x , y , z ) ，如果有
f (tx , ty , tz ) ＝t λf (x , y , z ),
其中t 的取值应使t λ有确定的意义，那么f (x , y , z ) 叫做λ次齐次函数，f (x , y , z ) ＝0叫做λ次齐次方程. 该定义可以推广到n 个变量的情况.
2. 一个关于x , y , z 的齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面，其退化情形为一点，222222如x +y +z ＝0, (x －x 0) +(y －y 0) +(z －z 0) ＝0.
3. 一个关于x －x 0, y －y 0, z －z 0的齐次方程总表示顶点在(x 0, y0, z 0) 的锥面. 例1. 已知准线Γ：和顶点N (0, 0, 8)，求锥面方程.
解：设M 1(x 1, y 1, z 1) 为Γ上任意一点，则过M 1的母线方程为
＝＝, 或
且
2消去x 1, y 1, z 1就有 2y +xz －8x ＝0.
例2. 求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程.
解：因为所求锥面以三个坐标轴为母线，故所求圆锥面有四个，它们的顶点都在坐标原点，其中一个锥面的准线方程为
设M 1(x 1, y 1, z 1) 为Γ上任意一点，则过M 1的母线方程为
Γ：
＝
＝,
且
将x 1＝xt , y 1＝yt , z 1＝zt 代入上式，消去t 得所求圆锥面方程为
xy +yz +zx ＝0.
仿此可求得另三个圆锥面方程为
xy +yz －zx ＝0,
xy －yz +zx ＝0,
－xy +yz +zx ＝0.
例3. 求顶点为(1, 2, 4)，轴与平面2x +2y +z ＝0垂直，且经过点(3, 2, 1)
的圆锥面的方程.
解法一：由题意，其准线方程为
即
设M 1(x 1, y 1, z 1) 为准线上任意一点，则过M 1的母线方程为
＝＝,
且
以上四式消去参数x 1, y 1, z 1，得所求圆锥面方程为
22251(x －1) ＋51(y －2) ＋12(z －4) ＋104(x －1)(y －2)
＋52(x －1)(z －4) ＋52(y －2)(z －4) ＝0. 解法二：依题设所求圆锥面的轴的方向为＝{2, 2, 1}，过已知点(3, 2, 1)的母线方向＝{2, 0, －3}. 设M (x , y , z ) 为圆锥面上任意一点，则过M 的母线方向为＝{x －1, y －2, z －4,}，由于∠(
于是
) ＝∠(＝) ，从而cos ∠( 或
＝, ) ＝cos ∠(),
即
＝,
化简即得所求圆锥面方程为
22251(x －1) ＋51(y －2) ＋12(z －4) ＋104(x －1)(y －2)
＋52(x －1)(z －4) ＋52(y －2)(z －4) ＝0,
22或 51x ＋51y ＋104xy ＋52xz ＋52yz －518x －516y －252z ＋1279＝0.
例4. 已知两相交直线l 1：x ＝y ＝z 与l 2：＝＝，试求以l 1为轴且通过直线l 2的圆锥面的方程.
解：因为l 1与l 2相交于原点O (0, 0, 0)，即为所求圆锥面的顶点，
在母线l 2上取一点A (2, －1, 2)，则过A 且与l 1垂直的平面为
π：x +y +z －3＝0,
以原点为中心，||＝3为半径的球面为
S ：x 2+y 2+z 2＝9,
π与S 的交线即为所求圆锥面的准线
设M 1(x 1, y 1, z 1) 为Γ上任一点，则过M 1的母线方程为
＝＝， Γ：
且
以上四式消去x 1, y 1, z 1得所求圆锥面方程为
xy +yz +zx ＝0.
作业题：
1. 求顶点在原点，准线为的锥面方程.
2. 求顶点在(0, －a , 0)，准线为的锥面方程(a ≠0).
2223. 求锥面x －(y －a ) －z ＝0的顶点，并求它在y ＝b 上的准线方程.