椭圆的性质
一．椭圆的定义：
1．在平面内，到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2．椭圆的标准方程：
设M(x, y)是椭圆是上任意一点，椭圆的焦距为2c (c>0)，则如图建立直角坐标系，又F1、F2
的坐标分别是F1(－c, 0), F2(c, 0)，若M点与F1、F2两点的距离的和等于2a (a>c>0)，则 |MF1|＋|MF2|＝2a,
∴
xa
22
(xc)y
22
22
2
(xc)y
2
2
22
2a, 图9－1
整理化简，并且设b＝a－c得椭圆的标准方程
yb
1.
3．椭圆的第二定义：
设动点M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直线l: x＝
a
2
c
的距离的比是常数
ca
(a>c>0)，则点M的
轨迹是椭圆。点F是椭圆的一个焦点，直线l是椭圆中对应于焦点F的准线。常数e＝
ca
(0
的离心率。 图9－2 4．椭圆的参数方程：
以原点为圆心，分别以a、b (a>b>0)为半径作两个圆，点A是大圆上的一个点，点B是OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，当点A在大圆上运动时，M点的轨迹是椭圆。
设点M的坐标是(x, y)，φ是以Ox为始边，OA为终边的正角，取φ为参数，那么
x＝|ON|＝|OA|cosφ＝acosφ,
y＝|NM|＝|OB|sinφ＝bsinφ, ∴ 椭圆的参数方程是
xacosybsin
(φ是参数).
43
第九章 椭圆的画法和性质
二．椭圆的画法：
画法1：
图9－4
1．在x轴上取两点F1、F2，使|OF1|＝|OF2|，用它们作为两个焦点；
2．在图形外作一条线段CD，使|CD|＝2a，(|CD|>|F1F2|)； 3．以O为中心，在x轴上取两点A1、A2，使|A1A2|＝|CD|；
4．在CD上分别取C'、D'，使|CC'|＝|A1F1|＝|DD'|；作线段C'D'，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C'D'上作点M；
5．分别以F1、F2为圆心，用|CM|、|MD|为半径作圆，两圆相交于P1、P2两点；同样方法分别以F1、F2为圆心，用|DM|、|CD|为半径作圆，两圆相交于P3、P4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；
6．依次选中点M、点P1 (或点M、点P2)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出椭圆。
理论根据：
点P1是两圆的交点，∴ 点P1到F1与F2的距离的和等于两圆的半径和,
即 |PF1|＋|PF2|＝|CM|＋|MD|＝|CD|＝2a.
说明：
M点不要直接在CD上取，那样画出来的椭圆将在x轴附近断开一段，因为计算机画的曲线实际上是由若干条小线段形成的，这些线段的端点是由符合条件的若干个点中随机选取的，当我们使点M在CD上运动时，一般情况点C '、D'都取不到，于是画出来的图形就不好看了。
图9－5
44
画法2：
1．在x轴上取两点F1、F2，使|OF1|＝|OF2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段，使它的长度为2a，(2a>|F1F2|)； 3．以F1为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点P；
4．连接PF1、PF2，作PF2的中垂线与PF1交于点M，连接MF2；
5．将点M定义为“追踪点”，分别选中点M、点P，用“作图”菜单中的“轨迹”功能画出椭圆。
理论根据：
点M在PF2的中垂线上，∴ |MP|＝|MF2|, ∴ |MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|F1P|＝2a. 即点M到两个定点F1和F2的距离的和等于定长。点M的轨迹是一个椭圆。
画法3：
图9－6
1．在平面中作两条直线，使直线l为准线，另一条直线AB与直线l垂直；两条直线的交点为C；
2．在图形外取两条线段a和c，使a>c；
3．计算
a
2
c
c，在直线AB上取一点F，使|CF|＝
a
2
c
c,点F作为椭圆的焦点；
4．在线段FC上，取点A，使|AF|＝a－c, 在CF的延长线上，取点B，使|FB|＝a＋c，作线段AB，用“作图”菜单中的“对象上的点”功能，取动点P；
5．计算e＝
ca
，度量|CP|的长，计算|CP；
a
c
c
6．以点F为圆心，|CP为半径作圆，此圆与过点
a
P且垂直于AB的直线相交于M1，M2两点；
7．分别选中点M1和点P(或点M2和点)，用“作图”
菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。
理论根据：
点M1到点F的距离是|CP，点M1到准线l的距
ac
离|M1D|＝|CP|,
45
第九章 椭圆的画法和性质
∴
点M1到F的距离点M1到直线l的距离
＝
ca
＝e. ∴ 点M1在椭圆上。
画法4：
1．以坐标原点O为圆心，分别以a、b(a>b>0)为半径画两个圆; 2．在大圆上取一点A，连接OA与小圆交于点B；
3．过点A作AN垂直于Ox轴，垂足为N；作BM垂直于AN，垂足为M； 4．分别选中点M和点A，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。 理论根据：
|ON|＝acosφ, |NM|＝bsinφ, 根据椭圆的参数方程知，点M的轨迹是一个椭圆。
画法5： 1．以坐标原点O为圆心，分别以a、b(a>b>0)为半径画两个圆;
2．在大圆上取一点P，过点P作PN⊥Ox轴，垂足为N；
3．计算两圆半径的比k＝
ba
，定义
为“标记比”，选中点N，定义为“缩放
中心”；
4．选中点P，用“变换”菜单 图9－8
中的“缩放”功能，将点P用标记比缩放得到点M；
5．分别选中点M和点P，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。 理论根据：
设点M的坐标是(x, y)，则点P的横坐标为x，纵坐标y0＝∵ 点P在圆x＋y＝a上，∴ x
2
2
2
2
ayb
22
,
yb
22
ayb
2
22
＝a, 整理得
2
xa
1.
结论：
只要动点P在一个圆上运动，那么在一个方向上按一定比例压缩或延长PD，所得到的点M的轨迹都是椭圆。
46
三．椭圆中动弦的画法 (一)．椭圆焦点弦的画法：
a=3.116 cm
b=2.592 cm
c=1.729 cm
图9－9
1．用参数方程的画法画出一个椭圆，计算它的a, b, c的值，在长轴上画出两个焦点F1、F2(使|OF1|＝c)；
2．在大圆上任取一点P，相应作出它在椭圆上的对应点M；
3．连接PF1延长与大圆交于点Q； 4．作出点Q在椭圆上的对应点N；
5．连接MN，则线段MN一定过焦点F1，且点M、N都在椭圆上；
6．保留坐标系、椭圆、焦点和焦点弦MN，隐藏其它的内容，这时选中点M，在椭圆上拖动它，则点N相应在椭圆上移动，且MN始终经过点F1. 理论根据： 椭圆上的点M、N是由大圆上的点P、Q得到的，线段PQ在大圆上经过定点F1，则相应的线段MN在椭圆上也经过定点F1.
(二) 椭圆中过定点M的弦的画法：
1．用参数方程的画法画出一个椭圆，标出定点M；计算两圆半径的比k＝定义为“标记比”；
2．作MD⊥Ox轴，垂足是D，以D为缩放中心，把点M用标记比缩放，得到点M'；
3．在大圆上取一点P'，作出它在椭圆上的相应点P；
4．连接P'M'，延长与大圆交于Q'，
作出点Q'在椭圆上的对应点Q； 图9－10
5．连接PQ，则PQ始终经过点M，且P、Q都在椭圆上；
47
ab
，
第九章 椭圆的画法和性质
6．保留坐标系、椭圆、定点M和过定点M的弦PQ，隐藏其它的内容，这时选中点P，在椭圆上拖动它，则点Q相应在椭圆上移动，且PQ始终经过点M.
理论根据：
椭圆上的点P、Q是由大圆上的点P'、Q'得到的，线段P'Q'在大圆上经过定点M'，则相应的线段PQ在椭圆上也经过定点M.。问题的关键是怎样由点M得到点M'，我们看到，只要在纵坐标是以定比
ab
缩放点M，就得到了对应点M'.
(三) 椭圆中平行弦的画法的画法：
图9－11
1．用参数方程的画法画出一个椭圆，计算两圆半径的比k＝
ab
，定义为“标记比”；
2．在图形外画一条线段AC，过点A作水平线AD，过C作CD⊥AD；
3．选中点D作为“缩放中心”，再选中点C，用“标记比”缩放，得到点B，连接AB； 4．在大圆上任取一点P'，过P'作AB的平行线角大圆于Q'；
5．用参数方程的作法，分别作出P'、Q'在椭圆上的对应点P、Q； 6．连接PQ，则PQ就是与AC平行的椭圆中的弦；
7．保留坐标系、椭圆、AC和PQ，隐藏其它的内容；选中点P在椭圆上拖动点P，则弦PQ始终与AC平行，且点P、Q在椭圆上；
8．作PQ的中点，标记为“追踪点”，则点P运动时，可以看到中点的轨迹是一条线段。
理论根据：
在大圆上，P'Q'//AB，这个关系保持不变，相应的点P、Q是点P'、Q'在椭圆上的对应点，∴ 线段PQ的斜率保持不变。那么我们只要找到线段AC与AB的关系就可以了。在这个作法中，改变已知条件AC的倾斜角，那么相应的PQ的斜率也发生同样的变化。
48
四．椭圆切线的画法
(一) 过椭圆上一个定点M的切线： 1．在直角坐标系中画一个椭圆，同时标出它的两个焦点F1、F2；
2．在椭圆上标出定点M；
3．以F1为圆心，椭圆的长轴2a为半径作圆； 4．连接F1M延长交大圆于点N；
5．连接F2N，作F2N的中垂线，这条中垂线过点M，并且是椭圆的切线。
理论根据：
∵ 点M在椭圆上， ∴ |MF1|＋|MF2|＝2a,
又|F1N|＝2a，∴ |MF2|＝|MN|,
点M在F2N的中垂线上，直线MD经过点M且与椭圆有且仅有一个交点，所以直线MD是椭圆过点M的切线。 (二) 过椭圆外一点作椭圆的切线：
图9－13
1．在直角坐标系中画一个椭圆，同时标出它的两个焦点F1、F2； 2．在椭圆外标出定点T；
3．以点F1为圆心，椭圆的长轴2a为半径作圆；
4．以点T为圆心，|TF2|为半径作圆，交圆F1于点P、Q；
5．连接PF2，作
PF2的中垂线MT，同样连接QF2，作QF2的中垂线NT； 6．直线MT、NT都是过点T的椭圆的切线。
理论根据：
点P、Q在以点T为圆心，|TF2|为半径作圆上，∴ |TF2|＝|TP|＝|TQ|，PF2的中垂线一定经过定点T，且中垂线上一定有一点M，满足|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝2a, 点M在椭圆上，∴ MT是椭圆的切线且MT经过点T；同理NT也是椭圆的切线且NT经过点T。
49
椭圆的性质
一．椭圆的定义：
1．在平面内，到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2．椭圆的标准方程：
设M(x, y)是椭圆是上任意一点，椭圆的焦距为2c (c>0)，则如图建立直角坐标系，又F1、F2
的坐标分别是F1(－c, 0), F2(c, 0)，若M点与F1、F2两点的距离的和等于2a (a>c>0)，则 |MF1|＋|MF2|＝2a,
∴
xa
22
(xc)y
22
22
2
(xc)y
2
2
22
2a, 图9－1
整理化简，并且设b＝a－c得椭圆的标准方程
yb
1.
3．椭圆的第二定义：
设动点M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直线l: x＝
a
2
c
的距离的比是常数
ca
(a>c>0)，则点M的
轨迹是椭圆。点F是椭圆的一个焦点，直线l是椭圆中对应于焦点F的准线。常数e＝
ca
(0
的离心率。 图9－2 4．椭圆的参数方程：
以原点为圆心，分别以a、b (a>b>0)为半径作两个圆，点A是大圆上的一个点，点B是OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，当点A在大圆上运动时，M点的轨迹是椭圆。
设点M的坐标是(x, y)，φ是以Ox为始边，OA为终边的正角，取φ为参数，那么
x＝|ON|＝|OA|cosφ＝acosφ,
y＝|NM|＝|OB|sinφ＝bsinφ, ∴ 椭圆的参数方程是
xacosybsin
(φ是参数).
43
第九章 椭圆的画法和性质
二．椭圆的画法：
画法1：
图9－4
1．在x轴上取两点F1、F2，使|OF1|＝|OF2|，用它们作为两个焦点；
2．在图形外作一条线段CD，使|CD|＝2a，(|CD|>|F1F2|)； 3．以O为中心，在x轴上取两点A1、A2，使|A1A2|＝|CD|；
4．在CD上分别取C'、D'，使|CC'|＝|A1F1|＝|DD'|；作线段C'D'，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C'D'上作点M；
5．分别以F1、F2为圆心，用|CM|、|MD|为半径作圆，两圆相交于P1、P2两点；同样方法分别以F1、F2为圆心，用|DM|、|CD|为半径作圆，两圆相交于P3、P4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；
6．依次选中点M、点P1 (或点M、点P2)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出椭圆。
理论根据：
点P1是两圆的交点，∴ 点P1到F1与F2的距离的和等于两圆的半径和,
即 |PF1|＋|PF2|＝|CM|＋|MD|＝|CD|＝2a.
说明：
M点不要直接在CD上取，那样画出来的椭圆将在x轴附近断开一段，因为计算机画的曲线实际上是由若干条小线段形成的，这些线段的端点是由符合条件的若干个点中随机选取的，当我们使点M在CD上运动时，一般情况点C '、D'都取不到，于是画出来的图形就不好看了。
图9－5
44
画法2：
1．在x轴上取两点F1、F2，使|OF1|＝|OF2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段，使它的长度为2a，(2a>|F1F2|)； 3．以F1为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点P；
4．连接PF1、PF2，作PF2的中垂线与PF1交于点M，连接MF2；
5．将点M定义为“追踪点”，分别选中点M、点P，用“作图”菜单中的“轨迹”功能画出椭圆。
理论根据：
点M在PF2的中垂线上，∴ |MP|＝|MF2|, ∴ |MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|F1P|＝2a. 即点M到两个定点F1和F2的距离的和等于定长。点M的轨迹是一个椭圆。
画法3：
图9－6
1．在平面中作两条直线，使直线l为准线，另一条直线AB与直线l垂直；两条直线的交点为C；
2．在图形外取两条线段a和c，使a>c；
3．计算
a
2
c
c，在直线AB上取一点F，使|CF|＝
a
2
c
c,点F作为椭圆的焦点；
4．在线段FC上，取点A，使|AF|＝a－c, 在CF的延长线上，取点B，使|FB|＝a＋c，作线段AB，用“作图”菜单中的“对象上的点”功能，取动点P；
5．计算e＝
ca
，度量|CP|的长，计算|CP；
a
c
c
6．以点F为圆心，|CP为半径作圆，此圆与过点
a
P且垂直于AB的直线相交于M1，M2两点；
7．分别选中点M1和点P(或点M2和点)，用“作图”
菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。
理论根据：
点M1到点F的距离是|CP，点M1到准线l的距
ac
离|M1D|＝|CP|,
45
第九章 椭圆的画法和性质
∴
点M1到F的距离点M1到直线l的距离
＝
ca
＝e. ∴ 点M1在椭圆上。
画法4：
1．以坐标原点O为圆心，分别以a、b(a>b>0)为半径画两个圆; 2．在大圆上取一点A，连接OA与小圆交于点B；
3．过点A作AN垂直于Ox轴，垂足为N；作BM垂直于AN，垂足为M； 4．分别选中点M和点A，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。 理论根据：
|ON|＝acosφ, |NM|＝bsinφ, 根据椭圆的参数方程知，点M的轨迹是一个椭圆。
画法5： 1．以坐标原点O为圆心，分别以a、b(a>b>0)为半径画两个圆;
2．在大圆上取一点P，过点P作PN⊥Ox轴，垂足为N；
3．计算两圆半径的比k＝
ba
，定义
为“标记比”，选中点N，定义为“缩放
中心”；
4．选中点P，用“变换”菜单 图9－8
中的“缩放”功能，将点P用标记比缩放得到点M；
5．分别选中点M和点P，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。 理论根据：
设点M的坐标是(x, y)，则点P的横坐标为x，纵坐标y0＝∵ 点P在圆x＋y＝a上，∴ x
2
2
2
2
ayb
22
,
yb
22
ayb
2
22
＝a, 整理得
2
xa
1.
结论：
只要动点P在一个圆上运动，那么在一个方向上按一定比例压缩或延长PD，所得到的点M的轨迹都是椭圆。
46
三．椭圆中动弦的画法 (一)．椭圆焦点弦的画法：
a=3.116 cm
b=2.592 cm
c=1.729 cm
图9－9
1．用参数方程的画法画出一个椭圆，计算它的a, b, c的值，在长轴上画出两个焦点F1、F2(使|OF1|＝c)；
2．在大圆上任取一点P，相应作出它在椭圆上的对应点M；
3．连接PF1延长与大圆交于点Q； 4．作出点Q在椭圆上的对应点N；
5．连接MN，则线段MN一定过焦点F1，且点M、N都在椭圆上；
6．保留坐标系、椭圆、焦点和焦点弦MN，隐藏其它的内容，这时选中点M，在椭圆上拖动它，则点N相应在椭圆上移动，且MN始终经过点F1. 理论根据： 椭圆上的点M、N是由大圆上的点P、Q得到的，线段PQ在大圆上经过定点F1，则相应的线段MN在椭圆上也经过定点F1.
(二) 椭圆中过定点M的弦的画法：
1．用参数方程的画法画出一个椭圆，标出定点M；计算两圆半径的比k＝定义为“标记比”；
2．作MD⊥Ox轴，垂足是D，以D为缩放中心，把点M用标记比缩放，得到点M'；
3．在大圆上取一点P'，作出它在椭圆上的相应点P；
4．连接P'M'，延长与大圆交于Q'，
作出点Q'在椭圆上的对应点Q； 图9－10
5．连接PQ，则PQ始终经过点M，且P、Q都在椭圆上；
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ab
，
第九章 椭圆的画法和性质
6．保留坐标系、椭圆、定点M和过定点M的弦PQ，隐藏其它的内容，这时选中点P，在椭圆上拖动它，则点Q相应在椭圆上移动，且PQ始终经过点M.
理论根据：
椭圆上的点P、Q是由大圆上的点P'、Q'得到的，线段P'Q'在大圆上经过定点M'，则相应的线段PQ在椭圆上也经过定点M.。问题的关键是怎样由点M得到点M'，我们看到，只要在纵坐标是以定比
ab
缩放点M，就得到了对应点M'.
(三) 椭圆中平行弦的画法的画法：
图9－11
1．用参数方程的画法画出一个椭圆，计算两圆半径的比k＝
ab
，定义为“标记比”；
2．在图形外画一条线段AC，过点A作水平线AD，过C作CD⊥AD；
3．选中点D作为“缩放中心”，再选中点C，用“标记比”缩放，得到点B，连接AB； 4．在大圆上任取一点P'，过P'作AB的平行线角大圆于Q'；
5．用参数方程的作法，分别作出P'、Q'在椭圆上的对应点P、Q； 6．连接PQ，则PQ就是与AC平行的椭圆中的弦；
7．保留坐标系、椭圆、AC和PQ，隐藏其它的内容；选中点P在椭圆上拖动点P，则弦PQ始终与AC平行，且点P、Q在椭圆上；
8．作PQ的中点，标记为“追踪点”，则点P运动时，可以看到中点的轨迹是一条线段。
理论根据：
在大圆上，P'Q'//AB，这个关系保持不变，相应的点P、Q是点P'、Q'在椭圆上的对应点，∴ 线段PQ的斜率保持不变。那么我们只要找到线段AC与AB的关系就可以了。在这个作法中，改变已知条件AC的倾斜角，那么相应的PQ的斜率也发生同样的变化。
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四．椭圆切线的画法
(一) 过椭圆上一个定点M的切线： 1．在直角坐标系中画一个椭圆，同时标出它的两个焦点F1、F2；
2．在椭圆上标出定点M；
3．以F1为圆心，椭圆的长轴2a为半径作圆； 4．连接F1M延长交大圆于点N；
5．连接F2N，作F2N的中垂线，这条中垂线过点M，并且是椭圆的切线。
理论根据：
∵ 点M在椭圆上， ∴ |MF1|＋|MF2|＝2a,
又|F1N|＝2a，∴ |MF2|＝|MN|,
点M在F2N的中垂线上，直线MD经过点M且与椭圆有且仅有一个交点，所以直线MD是椭圆过点M的切线。 (二) 过椭圆外一点作椭圆的切线：
图9－13
1．在直角坐标系中画一个椭圆，同时标出它的两个焦点F1、F2； 2．在椭圆外标出定点T；
3．以点F1为圆心，椭圆的长轴2a为半径作圆；
4．以点T为圆心，|TF2|为半径作圆，交圆F1于点P、Q；
5．连接PF2，作
PF2的中垂线MT，同样连接QF2，作QF2的中垂线NT； 6．直线MT、NT都是过点T的椭圆的切线。
理论根据：
点P、Q在以点T为圆心，|TF2|为半径作圆上，∴ |TF2|＝|TP|＝|TQ|，PF2的中垂线一定经过定点T，且中垂线上一定有一点M，满足|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝2a, 点M在椭圆上，∴ MT是椭圆的切线且MT经过点T；同理NT也是椭圆的切线且NT经过点T。
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