三、解答题
1．设对于事件A 、B 、C 有P (A ) =P (B ) =P (C ) =1/4，P (AB ) =P (BC ) =0，P (AC ) =1/8，求A 、B 、C 至少出现一个的概率。
解：由于ABC ⊂AB ，从而由性质4知，P (ABC ) ≤P (AB ) =0，又由概率定义知P (ABC ) ≥0，所以P (ABC ) =0 ，从而由概率的加法公式得
P (A B C ) =P (A ) +P (B ) +P (C ) -P (AB ) -P (AC ) -P (BC ) +P (ABC )
=115⨯3-= 488
2．设有10件产品，其中有3件次品, 从中任意抽取5件，问其中恰有2件次品的概率是多少？
5 解：设A 表示：“任意抽取的5件中恰有2件次品”。则n (Ω) =C 10。5件产品中恰有2件
2323C 7种，即n (A ) =C 3C 7。于是所求概率为 次品的取法共有C 3
235C 7 /C 10P (A ) =n (A ) /n (Ω) =C 3=35/84
3．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。求：
（1）第二次取出的是次品的概率；
（2）两次都取到正品的概率；
（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率。
解：设A i 表示：“第i 次取出的是正品”（i =1，2），则
（1）第二次取到次品的概率为
P (A 12 12) =102221⨯+⨯= 121212126
101025⨯= 121236 （2）两次都取到正品的概率为 P (A 1A 2) =P (A 1) P (A 2|A 1) =
（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为
P (A 12) =1025⨯= 121236
4．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：
（1）至少取到一个正品的概率；
（2）第二次取到次品的概率；
（3）恰有一次取到次品的概率。
解：设A i 表示：“第i 次取出的是正品”（i =1，2），则
（1）至少取到一个正品的概率
1-P (12) =1-P (1) P (2|1) =1-
（2）第二次取到次品的概率为 2165⨯= 121166
P (A 12 12) =P (A 1) P (2|A 1) +P (1) P (2|1)
=102211⨯+⨯= 121112116
（3）恰有一次取到次品的概率为
P (A 12 1A 2) =P (A 1) P (2|A 1) +P (1) P (A 2|1)
=10221010⨯+⨯= 1211121133
5．一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件，求：
（1）两件都是正品的概率；
（2）恰有一件次品的概率；
（3）至少取到一件次品的概率。
解：设A 表示：“取出的两件都是正品是正品”；B 表示：“取出的两件恰有一件次品”； C 表示：“取出的两件至少取到一件次品”；则
（1）两件都是正品的概率
P (A ) =2C 10
2C 12=15 22
（2）恰有一件次品的概率
P (B ) =11C 10C 2
2C 12=10 33
（3）至少取到一件次品的概率
P (C ) =1-P (A ) =1-2C 10
2C 12=1-157= 2222
6．一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是0.6，乙机床和丙机床需
要照看的概率分别是0.5和0.8。求在一小时中，
（1）没有一台机床需要照看的概率；
（2）至少有一台机床不需要照看的概率。
解：设A 表示：“没有一台机床需要照看”；B 表示：“至少有一台机床不需要照看“；C i 表示：“第i 台机床需要照看”（i =1，2，3）。则A =123；B =1 2 3。 P (A ) =P (123) =P (1) P (2) P (3)
=(1-P (C 1))(1-P (C 2))(1-P (C 3)) =0. 04
P (B ) =P (1 2 3) =P (C 1C 2C 3) =1-P (C 1C 2C 3)
=1-P (C 1) P (C 2) P (C 3) =0. 76
7．在某城市中发行三种报纸A 、B 、C ，经调查，订阅A 报的有50%，订阅B 报的有30%，订阅C 报的有20%，同时订阅A 及B 报的有10%，同时订阅A 及C 报的有8%，同时订阅B 及C 报的有5%，同时订阅A 、B 、C 报的有3%，试求下列事件的概率：
（1）只订阅A 及B 报；（2）恰好订阅两种报纸。
解：（1）P (AB ) =P (AB -C ) =P (AB -ABC )
=P (AB ) -P (ABC ) =0. 1-0. 03=0. 07
（2）P (AB BC A C ) =P (AB ) +P (BC ) +P (A C ))
=0. 07+0. 02+0. 05=0. 14
8．一盒子中黑球、红球、白球各占50%、30%、20%，从中任取一球，结果不是红球，求：（1）取到的是白球的概率；
（2）取到的是黑球的概率。
解：设A i 分别表示：“取到的是黑球、红球、白球”（i =1，2，3），则问题（1）化为求P (A 3|2) ；问题（2）化为求P (A 1|2) 。由题意A 1、A 2、A 3两两互不相容，所以，
（1）P (A 32) =P (A 3-A 2) =P (A 3) 。因此由条件概率公式得
P (A 3|2) =P (A 32) P (A 3) 0. 22== =P (2) 1-0. 37P (2)
（2）P (A 12) =P (A 1-A 2) =P (A 1)
P (A 1|2) =P (A 12) P (A 1) 0. 55== =P (2) 1-0. 37P (2)
9．已知工厂A 、B 生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由A 、B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：
（1） 该产品是次品的概率；
（2） 若取到的是次品，那么该产品是B 工厂的概率 。
解：设C 表示“取到的产品是次品”；A “取到的产品是A 工厂的”；
。则 B “取到的产品是B 工厂的”
（1） 取到的产品是次品的概率为
P (C ) =P (A ) P (C |A ) +P (B ) P (C |B )
=6014027⨯+⨯= [**************]
（2）若取到的是次品，那么该产品是B 工厂的概率为
P (B |C ) =P (BC ) P (B ) P (C |B ) = P (C ) P (A ) P (C |A ) +P (B ) P (C |B )
402⨯4 == 77
500
10．有两个口袋，甲袋中盛有4个白球，2个黑球；乙袋中盛有2个白球，4个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。
解：设A 表示：“由甲袋取出的球是白球”；
B 表示：“由甲袋取出的球是黑球”；
C 表示：“从乙袋取出的球是白球”。则
P (C ) =P (A ) P (C |A ) +P (B ) P (C |B )
=42+1228⨯+⨯= 66+166+121
11．设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：
（1）取到的是次品的概率；
（2）若已知取到的是次品, 它是第一家工厂生产的概率。
解：设事件A 表示：“取到的产品是次品”；事件A i 表示：“取到的产品是第i 家工厂生产的”（i =1，2，3）。 则A 1 A 2 A 3=Ω，且P (A i ) >0，A 1、A 2、A 3两两互不相容，
（1） 由全概率公式得
P (A ) =∑P (A i ) ⋅P (A |A i ) =
i =1312141513⨯+⨯+⨯= [**************]
（2）由贝叶斯公式得
12⨯P (A 1) P (A |A 1) 4 P (A 1|A ) =3 == 1313∑P (A j ) P (A |A j )
j =1400
12．三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：
（1）恰好取到不合格品的概率；
（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。
解：设事件A 表示：“取到的产品是不合格品”；事件A i 表示：“取到的产品是第i 家工厂生产的”（i =1，2，3）。
则 A i =Ω，且P (A i ) >0，A 1、A 2、A 3两两互不相容，由全概率公式得
i =13
（1）P (A ) =∑P (A i ) ⋅P (A |A i )
i =13
=405254352⨯+⨯+⨯=37/1000 [***********]
（2）由贝叶斯公式得
P (A 2|A ) =P (A 2) P (A |A 2)
∑P (A j ) P (A |A j )
j =13
=0.25⨯0.04=10/37 37/1000
13．有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：
( 1 ) 此人来迟的概率；
( 2 ) 若已知来迟了，此人乘火车来的概率。
解：设事件A 表示：“此人来迟了”；事件A i 分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞机
来”（i =1，2，3，4）。则 A i =Ω，且P (A i ) >0，A 1、A 2、A 3、A 4两两互不相容
i =14
（1）由全概率公式得
P (A ) =∑P (A i ) ⋅P (A |A i )
i =14
=311111211⨯+⨯+⨯+⨯= [1**********]5
（2）由贝叶斯公式得
31⨯P (A 1) P (A |A 1) =3 P (A 1|A ) =4 =1/58∑P (A j ) P (A |A j )
j =1
14．有两箱同类零件，第一箱50只，其中一等品10只，第二箱30只，其中一等品18只，今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只（有放回），试求：（1）第一次取到的是一等品的概率；（2）两次都取到一等品的概率。
解：设A i 表示：“取到第i 箱零件”“第i 次取到的是一等品”(i =1，2) ；(i =1，2) ；B i 表示：
则
（1）P (B 1) =P (B 1A 1 B 1A 2) =P (B 1A 1) +P (B 1A 2)
=1101182⨯+⨯= 2502305
（2）P (B 1B 2) =P (B 1B 2A 1 B 1B 2A 2) =P (B 1B 2A 1) +P (B 1B A 2)
=110211821⨯() +⨯() = 2502305
15．设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03、0.04、0.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。
解：设A i 表示：“第i 个电子元件被损坏”（i =1，2，3），则有P (A 1) =0. 03；P (A 2) =0. 04；P (A 3) =0. 06。依题意所求概率为
P (A 1 A 2 A 3) =P (A 1) +P (A 2) +P (A 3) -P (A 1A 2) -P (A 1A 3) -P (A 2A 3)
+P (A 1A 2A 3)
=0. 03+0. 04+0. 06-0. 03⨯0. 04-0. 04⨯0. 06
-0. 03⨯0. 06+0. 03⨯0. 04⨯0. 06=0. 124672
=0. 07+0. 02+0. 05=0. 14
16．甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.8，乙击中敌机的概率为0.5，求下列事件的概率：( 1 ) 敌机被击中；（2）甲击中乙击不中；（3）乙击中甲击不中。
解：设事件A 表示：“甲击中敌机”；事件B 表示：“乙击中敌机”；事件C 表示：“敌机被击中”。则
（1）P (C ) =P (A B ) =1-P (A B ) =1-P ()
=1-0. 1=0. 9
（2） P (A ) =P (A ) P () =0. 8⨯(1-0. 5) =0. 4
（3） P (B ) =P () P (B ) =(1-0. 8) ⨯0. 5=0. 1
17．已知P (A ) =1/4，P (B |A ) =1/3，P (A |B ) =1/2，求P (A B ) 。
解：由于 P (A B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB )
P (AB ) =P (A ) P (B |A ) =111⨯= 4312
P (AB ) 1 P (B ) === P (A |B ) 6所以
P (A B ) =1111+-= 46123
18．设P () =0. 3，P (B ) =0. 4，P (A ) =0. 5，求P (B |(A )) 。
解：由于 P (B |(A )) =P (B (A )) ， P (A )
B (A ) =BA =BA ，A =AB ，AB =φ，
而
P (BA ) =P (A ) -P () =1-P () -P () =07. -05. =02. ，
P (A ) =P (A ) +P () -P () =0. 7-1+0. 4-05. =08. ，
故
P (B |(A )) =P (B (A )) 0. 21== 。 P (A ) 08. 4
19．设事件A 、B 相互独立，已知P (A ) =0. 4，P (A B ) =0. 7。求：
（1）P (A ) ； （2）P ( ) 。
解：由P (A B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB ) =0. 7
即
0. 4+P (B ) -0. 4⨯P (B ) =0. 7
解得
P (B ) =0. 5
所以
P (A ) =P (A ) P () =0. 4⨯(1-0. 5) =0. 2
P ( ) =0. 6+0. 5-0. 6⨯0. 5=0. 8
20．设A 、B 为随机事件，且P (A ) =0. 5，P (B ) =0. 6，P (B |A ) =0. 8，求：
（1）P (AB ) ；（2）P (A B ) 。
解：
（1）P (AB ) =P (A ) P (B |A ) =0. 5⨯0. 8=0. 4
（2）P (A B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB )
=0. 5+0. 6-0. 4=0. 7
21．设事件A 、B 相互独立，已知P (A ) =0. 5，P (A B ) =0. 8，求：
（1）P () ； （2）P ( ) 。
解：由条件
P (A B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB )
=P (A ) +P (B ) -P (A ) P (B ) =0. 8
即
0. 5+P (B ) -0. 5P (B ) =0. 8
解得P (B ) =0. 6，所以
（1）P (A ) =P (A ) P () =0. 5⨯0. 4=0. 2
（2）P ( ) =P () +P () -P ( )
=0. 5+0. 4-0. 5⨯0. 4=0. 7
22．设事件A 与事件B 相互独立，试证明：
（1）事件A 与事件相互独立；
（2）事件与事件B 相互独立；
（3）事件与事件相互独立。
证明：（1）欲证明A 、相互独立，只需证P () =P (A ) P () 即可。而
P () =P (A -AB ) =P (A ) -P (A ) P (B ) =P (A )(1-P (B )) =P (A ) P () 所以事件A 与事件相互独立。
同理
（2）由于
P () =P (B -AB ) =P (B ) -P (A ) P (B ) =P (B )(1-P (A )) =P () P (B ) 所以事件与事件B 相互独立。
（3）由于
P () =P (A B ) =1-P (A B ) =1-P (A ) -P (B ) +P (AB )
=1-P (A ) -P (B ) +P (A ) P (B )
=[1-P (A )][1-P (B )]=P () P () 所以事件与事件相互独立。
23． 若P (A |B ) =P (A |) ，证明事件A 与事件B 相互独立。
证明：由于A =AB ，且AB =φ，所以
P (A ) =P (B ) P (A |B ) +P () P (A |)
=P (B ) P (A |B ) +P () P (A |B )
=[P (B ) +P ()]P (A |B ) =P (A |B )
从而有
P (AB ) =P (A |B ) P (B ) =P (A ) P (B )
故由独立性定义知，事件A 与事件B 相互独立。
第二章 随机变量及其分布
三、解答题
1．设X 的概率分布为
X 0 1 2
P 1/3 1/6 1/2
求：（1）X 的分布函数；
（2）P {X
⎧0，x ≤0⎪1，02
111P {X
331P {1≤X
P {1≤X ≤=P {1≤X
23231=。 26
2．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都相等。设X 表示途中遇到红灯的次数，求X 的分布律、分布函数。
解：由题意知X 服从二项分布B （3），从而
P {X =0}=(1-) =
P {X =1}=C 3⨯
21121231； 8113⨯(1-) 2=； 2281
22 P {X =2}=C 3⨯() ⨯(1-) =
P {X =3}=() =
即X 的概率分布列为 123 ； 81231 8
X 0 1 2 3
p k 1/8 3/8 3/8 1/8
由分布函数定义
⎧0，⎪1/8，⎪⎪
F (x ) =P {X
⎪7/8，⎪⎪⎩1，
x ≤00
2
x >3
3．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都是2/5。设X 表示途中遇到红灯的次数，求X 的分布律、分布函数。 解：由题意知X 服从二项分布B (3) ，从而 P {X =0}=(1-) =
P {X =1}=C 3⨯
21
2
5
25
3
27
125
2254⨯(1-) 2= 5512525
2
P {X =2}=C 3⨯() ⨯(1-) = P {X =3}=() =即X 的概率分布列为
2536
125
25
3
8 125
X 0 1 2 3
p k 27/125 54/125 36/125 8/125 由分布函数定义得
⎧0，⎪27/125，⎪⎪
F (x ) =P {X
⎪117/125，⎪⎪⎩1，
x ≤00
23
4．一台设备有三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为0.10，0.20，0.30，假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的概率分布。 解：设：A i (i =1“部件i 需要调整”。 ，2，3) 表示：
P {X =0}=P (123) =0. 9⨯0. 8⨯0. 7=0. 504；
P {X =1}=P (12A 3) +P (1A 23) +P (A 123) =0. 398； P {X =2}=P (1A 2A 3) +P (A 1A 23) +P (A 12A 3) =0. 092
P {X =3}=P (A 1A 2A 3) =P (A 1) P (A 2) P (A 3) =0. 006 故X 的概率分布列为
X 0 1 2 3
p k 0.504 0.398 0.092 0.006
5．已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5，今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数X 是一离散型随机变量，求X 的概率分布。
解：X 的可能取值为1，2，3， 。 记A k 表示“第k 次试验雷管发火”则k 表示“第
k 次试验雷管不发火”从而得
p 1=P {X =1}=P (A 1) =
4 5
p 2=P {X =2}=P (1A 2) =P (1) P (A 2) =
14⨯ 55
15
2
p 3=P {X =3}=P (12A 3) =P (1) P (2) P (A 3) =() ⨯
4 5
14
p k =P {X =k }=P (12 k -1A k ) =() k -1⨯
55
41k -1
⨯() 55
依次类推，得消耗的雷管数X 的概率分布为 P {X =k }=
（k =1，2，3， ）
π⎧
⎪A cos x ，x ≤
6．设随机变量X 的概率密度为f (x ) =⎨2，求：
⎪其它⎩0，
（1）系数A ；（2）X 的分布函数；（3）X 落在区间(-
π
，) 内的概率。
44
π
解：连续型随机变量X 的概率密度必须满足归一性，因此由归一性及定义可求出系数A 及
X 的分布函数，至于（3）可由X 的分布函数求得。
（1）由归一性， 解得A =1/2。
（2）由连续型随机变量的定义知X 的分布函数为
⎰
+∞
π
-∞
f (x ) dx =⎰2πA cos x dx =2A =1
-2
F (x ) = 当x ≤- 当-
⎰
x
x
-∞
f (u ) du
π
2
时，F (x ) =
⎰
-∞
f (u ) du =0；
π
2
π
2
时，
F (x ) =
⎰
x
-∞
f (u ) du =⎰0dx +⎰π
2-∞
-
π
111
cos xdx =+sin x -2222
x
当x >
π
2
时，
F (x ) =
⎰
x
-∞
f (u ) du =⎰
2
-∞
-
π
x 1
0dx +⎰πcos xdx +π0dx =1
-222
2
π
故X 的分布函数为
0，x ≤-π/2⎧
⎪
F (x ) =⎨(1+sin x ) /2，-π/2
⎪1，x >π/2，⎩
（3）所求概率为 P {-
π
πππ2
7．设随机变量X 的分布函数为 F (x ) =a +求：（1）系数a ；
（2）X 落在区间（－1，1）中的概率；
（3）随机变量X 的概率密度。（提示：Arc tan x 为反正切函数） 解：（1）由F (+∞) =a + F (x ) =
1
π
Arc tan x (-∞
⋅() =1，解得a =。故得
π22
1π
1
11
+Arc tan x (-∞
11π11π1+⨯-[+⨯(-)]= 2π42π42
（2）P {-1
（3）所求概率密度为 f (x ) =F '(x ) =(+
12
1
π
⋅A r c t a n x ) '=
1
π(1+x )
2
(-∞
8．设随机变量X 的概率分布为f (x ) =⎨
⎧Ax ，0
其它
，以Y 表示对X 的三次独立重
复观察中事件{X ≤
解：由归一性
1
出现的次数，试确定常数A ，并求概率P {Y =2}。 2
A
= 1=⎰-∞f (x ) dx =⎰0A x d x 2
所以A =2。即
+∞1
⎧2x ，0
f (x ) =⎨
0，其它⎩
11
111
P {X ≤=F () =⎰2f (x ) dx =⎰22x d x =-∞0224
所以Y ~B (3) ，从而 P {Y =2}=C 3() ⨯
2
1
4
14
2
39= 464
9．在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1，2，3路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从[0，5]上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。
解 ：设X 表示每个人等车时间，且X 服从[0，5]上的均匀分布，其概率分布为
⎧1/5, 0≤x ≤5
f (x ) =⎨
其它⎩0,
P {X
⎰
2
-∞
f (x ) dx =⎰1/5dx =0.4
2
又设Y 表示等车时间不超过2分钟的人数，则Y ~B (3,0.4)，所求概率为 P {Y ≥2}=1-P {Y ≤1}
01
=1-C 3⨯0. 63-C 3⨯0. 4⨯0. 62=0. 352
10．在电源电压不超过200，200~240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的
Φ(0. 8) =0. 788）概率分别为0.1，0.001和0.2, 假定电源电压X ~N (220试求： （提示： , 25) ，
2
（1） 该电子元件被损坏的概率α
（2） 电子元件被损坏时，电源电压在200~240伏内的概率β。 解：设A 1：“电源电压不超过200伏”；A 2：“电源电压在200~240伏”； “电源电压超过240伏”； B ：“电子元件被埙坏”。 A 3：
由于X ~N (220，252) ，所以
P (A 1) =P {X ≤200}=F (200) =Φ(
200-220
) 25
=Φ(-08. ) =1-Φ(08. ) =1-0. 788=0. 212 P (A 2) =P {200
240-220200-220
) -Φ() 2525
. ) -Φ(-08. ) =2Φ(08. ) -1=0576. =Φ(08
P (A 3) =P {X >240}=1-Φ(
240-220) 25
. ) =1-0. 788=0. 212 =1-Φ(08
. , P (B |A 2) =0. 001, P (B |A 3) =0. 2, 所以由全概率公式 由题设P (B |A 1) =01
α=P (B ) =由条件概率公式
β=P (A 2|B ) =
∑(A ) P (B |A ) =0. 0642
i
i
i =1
3
P (A 2) P (B |A 2)
=0. 009
P (B )
11．一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1，2，2。现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以X 、Y 分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：
（1）X 和Y 的联合概率分布； （2）关于X 和Y 边缘分布； （3）X 和Y 是否相互独立？为什么？
（X ，Y ）解：（1）的所有可能取值为(1，1) 、(1，2) 、 (2，1) 、(2，2) 。
p 11=P {X =1，Y =1}=
111
⨯= 339122
⨯= 339
，Y =2}= p 12=P {X =1
p 21=P {X =2，Y =1}= p 22=P {X =2，Y =2}=于是（X ，Y ）的概率分布表为
212
⨯= 339224⨯= 339
Y 1 2 11/9 2/9
2 2/9 4/9 （2）关于X 和Y
X 1 2 Y 1 2 p i ⋅ 1/3 2/3 p ⋅j 1/3 2/3
（3）X 和Y 相互独立。因为∀i , j 有p i ⋅⨯p ⋅j =p ij
12．一袋中装有3个球，分别标有号码1、2、3，从这袋中任取一球，不放回袋中，再任取一球。用X 、Y 分别表示第一次、第二次取得的球上的号码，试求：
（1）随机向量（X ，Y ）的概率分布；
（2）(X ，Y ) 关于X 和关于Y 的边缘概率分布； （3）X 和Y 是否相互独立？为什么？
解：（1）(X ，Y ) 的取值为(1，2) ，(1，3) ，(2，1) ，(2，3) ，(3，1) ，(3，2) ，由概率乘法公式可得
p 12=P {X =1，Y =2}=p 13=P {X =1，Y =3}=
111
⨯= 326111⨯= 326
同理可得 p 21=p 23=p 31=p 32=1/6
此外事件{X =1，Y =1}，{X =3，Y =3}，{X =2，Y =2}都是不可能事件，所以
p 11=p 33=p 22=0, 于是（X ，Y ）的概率分布表为
1 2 3 1 0 1/6 1/6 2 1/6 0 1/6 3 1/6 1/6 0 （2）（X ，Y ）关于X 的边缘概率分布
X 1 2 3 p i ⋅ 1/3 1/3 1/3 （X ，Y ）关于Y 的边缘概率分布
Y 1 2 3
p ⋅j 1/3 1/3 1/3 （3）X 和Y 不相互独立，由于P i ⋅⨯P ⋅j ≠P ij 。
13．一口袋中装有四只球，分别标有数字1，1，2，3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X 、Y 分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：
（1）X 和Y 的联合概率分布及关于X 和关于Y 边缘分布； （2）X 与Y 是否独立？为什么？ 解：（1）（X ，Y ）的概率分布表为
Y 1 2 3 11/6 1/6 1/6 2 1/6 0 1/12 3 1/6 1/12 0 X 的边缘概率分布为
X 1 2 3 p i ⋅ 1/2 1/4 1/4
Y 的边缘概率分布为
Y 1 2 3 p ⋅j 1/2 1/4 1/4
（2）X 与Y 不独立，由于
P {X =1，Y =1}≠P {X =1}P {Y =1}
2
14．设G 为由抛物线y =x 和y =x 所围成区域，(X ，Y ) 在区域G 上服从均匀分布，试
求：（1）X 、Y 的联合概率密度及边缘概率密度；
（2）判定随机变量X 与Y 是否相互独立。
解：如图所示，G 的面积为 y A =
⎰
1
(x -x 2) dx =
12
y =x 6
因此均匀分布定义得X 、Y 的联合概率密度为 o 1 x
⎧6, (x , y ) ∈G
f (x , y ) =⎨
0, 其他⎩
而
f X (x ) = f Y (y ) =
+∞
x
⎰
-∞
f (x , y ) dy =⎰26dy =6(x -x 2) ，0≤x ≤1
x
⎰
+∞
-∞
f (x , y ) dx =⎰6dx =6(y -y ) ，0≤y ≤1
y
y
所以关于X 和关于Y 的边缘分布密度分别为
⎧6(x -x 2), 0≤x ≤1
f X (x ) =⎨
0, 其他⎩
f Y (y ) =⎨
⎧6(y -y ), 0≤y ≤1
0, 其他⎩
（2）由于f X (x ) f Y (y ) =f (x , y ) ，故随机变量X 与Y 不相互独立。 15．设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为
⎧e -y , 0
f (x , y ) =⎨
0, 其它⎩
求：（1）随机变量X 的密度函数f X (x ) ； （2）概率P {X +Y ≤1}。
解：（1）x ≤0时，f X (x ) =0；
x >0时，f X (x ) =⎰f (x , y ) dy =⎰e -y dy =e -x
-∞
x
+∞+∞
⎧e -x ，0
故随机变量X 的密度函数f X (x ) =⎨
⎩0，x ≤0
（2）P {X +Y ≤1}=
X +Y ≤1
⎰⎰
-1
f (x , y ) dxdy =⎰dx ⎰
-12
120
1-x
x
e -y dy
=e +1-2e
16．设随机向量(X ，Y ) 的概率密度为
f (x , y ) =⎨
⎧A , 0
其他⎩0,
试求:（1）常数A ；（2）关于X 、Y 的边缘概率密度。
解：（1）由归一性 1=
⎰⎰
+∞+∞
f -∞-∞
(x , y ) dxdy =⎰0⎰0A dydx =
1x
A
2
所以A =2。
X 、Y 的联合概率密度为
f (x , y ) =⎨
⎧2, 0
0, 其他⎩
（2）关于X 、Y 的边缘概率密度为 f X (x ) =⎰f (x , y ) dy =⎰2dy =2x -∞0即
+∞
x
(0≤x ≤1)
⎧2x , 0≤x ≤1
f X (x ) =⎨
其它⎩0
同理可求得关于Y 的边缘分布密度为
f Y (y ) =⎨
⎧2(1-y ), 0≤y ≤1
0, 其他⎩
17．设随机变量（X ，Y ）具有概率密度
⎧Ce -(x +y ) , x ≥0, y ≥0
f (x , y ) =⎨，
其它⎩0,
求（1）常数C ；（2）边缘分布密度。 解：（1）由于 1=
⎰⎰
Ce
+∞+∞
-∞-∞
f (x ，y ) dxdy =1，故
dxdy =C ⎰e dx ⎰e -y dy =C
+∞
-x
+∞
⎰⎰
+∞+∞
-(x +y )
所以C =1，即
⎧e -(x +y ) ，x ≥0, y ≥0
f (x , y ) =⎨
0，其他⎩
（2）f X (x ) =⎰f (x , y ) dy =⎰-∞0
+∞
+∞
e -(x +y ) dy =e -x x ≥0，即
⎧⎪e -x , x ≥0
f X (x ) =⎨
⎪⎩0，其他
f Y (y ) =⎰-∞f (x , y ) dx =⎰0
+∞+∞
e -(x +y ) dx =e -y y ≥0，即
⎧⎪e -y , y ≥0
f Y (y ) =⎨
⎪⎩0，其他
18．设X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X ，Y ) 联合分布律及关于X 和关于
Y 的边缘分布律的部分值，试将其余数值填入表中的空白处。
解：
第三章 随机变量的数字特征
三、解答题
⎧1+x ，-1≤x ≤0
⎪
1．设随机变量X ~f (x ) =⎨A -x ，0
⎪0，其它⎩
（1） 常数
A ；（2）EX
；（3）DX 。
解：（1）由归一性 1=⎰
+∞01f (x ) dx =(1+x ) dx +(A -x ) dx =A ⎰⎰-∞-10
从而得，A =1；
（2）EX =⎰+∞xf (x ) dx -∞
01x (1+x ) dx +⎰0x ⋅(1-x ) dx =0 -1 =⎰
（3）由于
EX 2=⎰-∞x 2f (x ) dx
=⎰-1x (1+x ) dx +⎰0x (1-x ) dx =1/6
于是 0212+∞
DX =EX 2-(EX ) 2=1 6
⎧x ，当0
⎪0，其它⎩
解：EX =
2⎰+∞-∞xf (x ) dx =⎰0x ⋅xdx +⎰1x ⋅(2-x ) dx =1 x 2f (x ) dx =⎰x 2⋅xdx +⎰x 2(2-x ) dx =011212 EX =
于是 ⎰+∞-∞7 6
DX =EX -(EX ) =221 6
3．已知随机变量X 的分布列如下，
X 0 1 2
P k 0.3 0.2 0.5
试求：（1）EX 、DX ；（2）E (X -1) 2；（3）X 的分布函数。
解：
（1）EX =
2k =1∑x k p k 3=0⨯0. 3+1⨯0. 2+2⨯0. 5=1. 2 22 EX =0⨯0. 3+1⨯0. 2+2⨯0. 5=2. 2
DX =EX 2-(EX ) 2=2. 2-1. 22=0. 76
（2）经计算得(X -1) 2=ˆY 的概率分布列
Y 1 0
P k 0.8 0.2
EY =∑y k p k =1⨯0. 8+0⨯0. 2=0. 8
k =12
⎧0，x ≤0⎪0. 3，0
4．设X 、Y 的概率分布为
⎧1⎧4e -4y ，y >0, ⎪，1≤x ≤5, ϕ(x ) =⎨4 ϕ(y ) =⎨ 0，y ≤0, ⎩⎪⎩0，其它,
求：E (X +Y ) 和E (2X -3Y 2) 。
解：由于X 在有限区间[1，5]上服从均匀分布，所以EX =
为4的指数分布，所以EY =5+1=3；又由于Y 服从参数211、DY =， 因此由数学期望性质2、性质3及重要公式得 416
11=3 44 E (X +Y ) =EX +EY =3+
E (2X -3Y 2) =2E (X ) -3E (Y 2)
=6-3(DY +(EY ) 2) =6-
5．已知r ⋅v X 、Y 分别服从正态分布N (0, 35=5。 8832) 和N (2, 42) ，且X 与Y 的相关系数
ρXY =-1/2，设Z =X /3+Y /2，求：
（1）数学期望EZ ，方差DZ ；
（2）X 与Z 的相关系数ρXZ 。
解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得
EZ =E (X Y X Y 11+) =E () +E () =⨯0+⨯2=1 323232
DZ =D (X Y X Y X Y +) =D () +D () +2Cov (，) 323232
=
=1321
32DX +⨯32+11DY +2⨯⨯ρXY DX DY 23221112⨯4+2⨯⨯⨯(-) ⨯3⨯4=1+4-2=3 23222
1111X +Y ) =Cov (X , X ) +Cov (X , Y ) 323211 （2）Cov (X ，Z ) =Cov (X ，
=11DX +ρXY DX DY =0 32
从而有X 与Z 的相关系数ρXZ =Cov(X , Z ) =0 DX DZ
6．设随机变量X 、Y 独立同服从参数为λ泊松分布，U =2X +Y ，V =2X -Y ，求U 与V 的相关系数ρUV 。
解：由条件X 、Y 独立同服从参数为λ泊松分布，所以EX =EY =λ, DX =DY =λ，因此
EY =EX =DX +(EX ) =λ+λ
EU =2EX +EY =3λ
EV =2EX -EY =λ
DU =DV =4DX +DY =4λ+λ=5λ
EUV =E (4X -Y ) =4EX -EY =3λ+3λ
Cov (U ，V ) =EUV -EUEV =3λ+3λ2-3λ2=3λ
于是U 与V 的相关系数ρUV =222222222Cov (U ，V )
DU DV =3λ3= 5λ5
7．设一部机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个
工作日内无故障可获利8万元，发生一次故障仍获利4万元，发生两次故障获利0元，发生三次或三次以上要亏损2万元，求一周内期望利润是多少。
解：设Y 表示生产利润, X 表示每周发生故障的次数，则Y 是X 的函数，而X ~B (5，0. 2) ，其概率分布为P {X =k }=C 5k p k q 5-k
Y 可能取值为－2，0，4，8。
P {Y =8}=P {X =0}=0. 85=45/55=1024/3125
1 P {Y =4}=P {X =1}=C 5⨯0. 2⨯0. 84=5⨯44/55=1280/3125
2 P {Y =0}=P {X =2}=C 5⨯02. 2⨯08. 3=10⨯43/55=640/3125
P {Y =-2}=P {X ≥3}=1-P {X
8．设ξ与η独立同分布，已知ξ的概率分布为P {ξ=i }=1/3(i =1，2，3) ，又设
（1）EX 、EY ；（2）随机变量X ，Y 的协方差。 X =max{ξ，η}，Y =min{ξ，η}。求：
解：（1）(X ，Y ) 的概率分布为
Y 1 2 3
1 1/9 2/9 2/9
2 0 1/9 2/9
3 0 0 1/9
关于X 、Y 的边缘概率分布分别为
X 1 2 3
P 1/9 3/9 5/9
P 5/9 3/9 1/9
从而得
13522+2⨯+3⨯= 9999
53114 EY =1⨯+2⨯+3⨯= 9999
12122136 （2）EXY =1⨯1⨯+2⨯1⨯+2⨯2⨯+3⨯1⨯+3⨯2⨯+3⨯3⨯= 9999999
36221416-⨯= Cov(X ，Y )=EXY -EXEY =99981 EX =1⨯
9．游客乘电梯从低层到电视塔顶层观光，电梯每个整点的第5分钟、25分钟、55分钟从
低层起行。假设一游客在早八点的第X 分钟到达低层候梯处，且X 在[0，60]上均匀分布，求
该游客等候时间的数学期望。
解：已知X 在[0，60]上均匀分布，其概率分布为
⎧1⎪, 0≤x ≤60 f (x ) =⎨60
⎪其它⎩0，
设Y 表示游客等候电梯时间（单位：分），则
⎧5-X ，0
因此
+∞EY =Eg (Y ) =⎰g (x ) f (x ) dx =-∞160g (x ) dx ⎰060
55256015[(5-x ) dx +⎰(25-x ) dx +⎰(55-x ) dx +⎰(65-x ) dx ] =5255560⎰0
=35/3≈11. 67
第四章随机变量及其分布
三、解答题
1．已知随机变量X 的概率分布为
X 1 2 3
P k 0.2 0.3 0.5
试利用切比雪夫不等式估计事件X -E (X )
解：依题意，EX =2. 3，DX =0. 61，故由切比雪夫不等式知，所求事件的概率为
P {X -EX
DX 0. 61=1-≈0. 7289 1. 521. 52
第五章随机变量及其分布
三、解答题
1．设X 1，X 2， ，X n 为X 的一个样本，
λ⎧⎪(λ+1) x , 0
其中λ>-1为未知参数，求λ的极大似然法估计量。
解：设x 1，x 2， ，x n 为X 1，X 2， ，X n 观测值，则构造似然函数
L (λ) =(λ+1) (∏x i ) λ n
i =1n
ln L =n ln(λ+1) +λ∑ln x i
i =1n
令
n d ln L n =+∑ln x i =0 d λλ+1i =1
解得λ的极大似然估计量为
ˆ=-1-λn
∑ln X
i =1n i
2．设总体X 的分布列为
X 1 0
p k p 1-p
X 1，X 2， ，X n 为X 的一个样本，求p 的极大似然估计。
解：设x 1，x 2， ，x n 为X 1，X 2， ，X n 观测值，X 的分布律为
p (x , p ) =p x (1-p ) 1-x （x =1，0）
于是似然函数
L (p ) =∏p (x , p ) =∏p i
i =1i =1n n x i (1-p ) 1-x i
=p i =1(1-p )
n
i =1∑x i n n -∑x i i =1n ln L =ln p ∑x i +(n -∑x i ) ln(1-p )
i =1n
d ln L = dp ∑x i i =1n
p -n -∑x i i =1n
1-p
1n d ln L =0，解得p =∑x i =，因此p 的极大似然估计为 令n i =1dp
1n =∑x i = p n i =1
3．设X 1，X 2， ，X n 为总体X 的一个样本，且X 的概率分布为
P {X =k }=(1-p ) k -1p , k =1, 2, 3, 。x 1，x 2， ，x n 为来自总体X 的一个样本观察值，求p 的极大似然估计值。
解：构造似然函数
L （p ) =∏p (x i , p ) =∏p (1-p )
i =1i =1n n x i -1
=p (1-p ) i =1n n ∑x i -n n ln L =n ln p +(∑x i -n ) ln(1-p )
i =1
∑x -n d ln L n i =1i
=- dp p 1-p
n d ln L =0，解得p =n /∑x i ，因此p 的极大似然估计值为 令dp i =1n
ˆ=n /∑x i 。 p
i =1n
4．设X 1，X 2， ，X n 为总体X 的一个样本，且X 服从参数为m , p 的二项分布，求
p 的极大似然估计量。
解：设x 1，x 2， ，x n 为X 1，X 2， ，X n 观测值，则构造似然函数
L （p ) =∏p (x i , p ) =∏C m i p i (1-p )
i =1i =1n n x x m -x i
=∏i =1n x i C m ⨯p ∑x i i =1n ⨯(1-p ) nm -∑x i i =1n
ln L =∑x i ln C m +ln p ∑x i +(nm -∑x i ) ln(1-p )
i =1i =1n n
d ln L =dp ∑x i i =1n nm -∑x i
-i =1n
p 1-p 1n d ln L 令=0，解得p =∑x i /m ， dp n i =1
因此p 的极大似然估计量为
=/m p 5．设X 1，X 2， ，X n 为来自总体X 的样本，为样本均值，试问
1n
Q =∑(X i -) 2是否为总体方差DX 的无偏估计量？为什么？ n i =1
1n 2解：Q =∑(X i -) 不是总体方差DX 的无偏估计量。 n i =1
设EX =μ，DX =σ，因为 2
1n 1n
E =E (∑X i ) =∑EX i =u n i =1n i =1
1n 1 DX =D (∑X i ) =2n i =1n ∑DX i i =1n =σ2n
21n 1n 22 EQ =E [∑(X i -X ) ] =E [∑(X i -2X X i +X )] n i =1n i =1
n 212 =E (∑X i -n X ) n i =1
1n 22 =[∑(DX i +(EX i ) ) -n (D X +(E X ) )] n i =1
n -121n σ222σ≠DX =[∑(σ+u ) -n (+u 2)] =n n i =1n
6．设X 1，X 2，X 3为来自总体X ~N (μ, σ2) 的一个样本，且EX =μ存在，验证统
计量(1)、(2)都是μ的无偏估计，并指出哪一个较好。
ˆ1= （1）μ131111ˆ2=X 1+X 2+X 3。 X 1+X 2+X 3； （2）μ5102362
解：（1）由于
ˆ1=E (X 1+ E μ
ˆ1=所以μ1531X 2+X 3) =μ 102131X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计； 5102
1
311X 2+X 3) =μ 62ˆ2=E (X 1+ （2） E μ
ˆ2=所以μ111X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计。 362
1
53119X 2+X 3) =σ2 10250
117X 2+X 3) =σ2 6218ˆ1=D (X 1+而 D μ13ˆ2=D (X 1+ D μ
显然19272131ˆ1=X 1+X 2+X 3较好。 σ
7．设X =a (X 1-2X 2) 2+b (3X 3-4X 4) 2，其中X 1，X 2，X 3，X 4是来自总体
N (0，22) 的简单随机样本。试问当a 、b 各为何值时，统计量X 服从χ2分布，并指出其自由度。
解：依题意，要使统计量X 服从χ2分布，则必需使a 1/2(X 1-2X 2) 及b 1/2(3X 3-4X 4)
服从标准正态分布。
由相互独立的正态随机变量的性质知
a 1/2(X 1-2X 2) ~N (0，(4a +16a ))
从而解得a =1/20。
b 1/2(3X 3-4X 4) ~N (0, (36b +64b ))
从而解得b =1/100。
故a =1/20，b =1/100时，统计量X 服从χ2分布。且自由度为2。
8．某车间生产滚珠，从长期实践中知，滚珠直径X 可以认为服从正态分布，其方差为0.05，
从某天的产品中随机抽取6个，量得直径（mm ）如下：14.70, 15.21, 14.90, 14.91, 15.32, 15.32。试求μ=EX 的置信度为0.95的置信区间。
解：依题意取样本函数 U =-μ
2~N （0，1）
对于给定的α=0.05，由
P {U
20. 05=0975. 216
求得λ=1.96，又n =6，σ=0. 05，=∑x i =1506. 6i =1
于是得μ的置信度为0.95的置信区间是1506. -018. ，1506. +018. ) =(14. 08，1524. ）
三、解答题
1．设对于事件A 、B 、C 有P (A ) =P (B ) =P (C ) =1/4，P (AB ) =P (BC ) =0，P (AC ) =1/8，求A 、B 、C 至少出现一个的概率。
解：由于ABC ⊂AB ，从而由性质4知，P (ABC ) ≤P (AB ) =0，又由概率定义知P (ABC ) ≥0，所以P (ABC ) =0 ，从而由概率的加法公式得
P (A B C ) =P (A ) +P (B ) +P (C ) -P (AB ) -P (AC ) -P (BC ) +P (ABC )
=115⨯3-= 488
2．设有10件产品，其中有3件次品, 从中任意抽取5件，问其中恰有2件次品的概率是多少？
5 解：设A 表示：“任意抽取的5件中恰有2件次品”。则n (Ω) =C 10。5件产品中恰有2件
2323C 7种，即n (A ) =C 3C 7。于是所求概率为 次品的取法共有C 3
235C 7 /C 10P (A ) =n (A ) /n (Ω) =C 3=35/84
3．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。求：
（1）第二次取出的是次品的概率；
（2）两次都取到正品的概率；
（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率。
解：设A i 表示：“第i 次取出的是正品”（i =1，2），则
（1）第二次取到次品的概率为
P (A 12 12) =102221⨯+⨯= 121212126
101025⨯= 121236 （2）两次都取到正品的概率为 P (A 1A 2) =P (A 1) P (A 2|A 1) =
（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为
P (A 12) =1025⨯= 121236
4．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：
（1）至少取到一个正品的概率；
（2）第二次取到次品的概率；
（3）恰有一次取到次品的概率。
解：设A i 表示：“第i 次取出的是正品”（i =1，2），则
（1）至少取到一个正品的概率
1-P (12) =1-P (1) P (2|1) =1-
（2）第二次取到次品的概率为 2165⨯= 121166
P (A 12 12) =P (A 1) P (2|A 1) +P (1) P (2|1)
=102211⨯+⨯= 121112116
（3）恰有一次取到次品的概率为
P (A 12 1A 2) =P (A 1) P (2|A 1) +P (1) P (A 2|1)
=10221010⨯+⨯= 1211121133
5．一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件，求：
（1）两件都是正品的概率；
（2）恰有一件次品的概率；
（3）至少取到一件次品的概率。
解：设A 表示：“取出的两件都是正品是正品”；B 表示：“取出的两件恰有一件次品”； C 表示：“取出的两件至少取到一件次品”；则
（1）两件都是正品的概率
P (A ) =2C 10
2C 12=15 22
（2）恰有一件次品的概率
P (B ) =11C 10C 2
2C 12=10 33
（3）至少取到一件次品的概率
P (C ) =1-P (A ) =1-2C 10
2C 12=1-157= 2222
6．一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是0.6，乙机床和丙机床需
要照看的概率分别是0.5和0.8。求在一小时中，
（1）没有一台机床需要照看的概率；
（2）至少有一台机床不需要照看的概率。
解：设A 表示：“没有一台机床需要照看”；B 表示：“至少有一台机床不需要照看“；C i 表示：“第i 台机床需要照看”（i =1，2，3）。则A =123；B =1 2 3。 P (A ) =P (123) =P (1) P (2) P (3)
=(1-P (C 1))(1-P (C 2))(1-P (C 3)) =0. 04
P (B ) =P (1 2 3) =P (C 1C 2C 3) =1-P (C 1C 2C 3)
=1-P (C 1) P (C 2) P (C 3) =0. 76
7．在某城市中发行三种报纸A 、B 、C ，经调查，订阅A 报的有50%，订阅B 报的有30%，订阅C 报的有20%，同时订阅A 及B 报的有10%，同时订阅A 及C 报的有8%，同时订阅B 及C 报的有5%，同时订阅A 、B 、C 报的有3%，试求下列事件的概率：
（1）只订阅A 及B 报；（2）恰好订阅两种报纸。
解：（1）P (AB ) =P (AB -C ) =P (AB -ABC )
=P (AB ) -P (ABC ) =0. 1-0. 03=0. 07
（2）P (AB BC A C ) =P (AB ) +P (BC ) +P (A C ))
=0. 07+0. 02+0. 05=0. 14
8．一盒子中黑球、红球、白球各占50%、30%、20%，从中任取一球，结果不是红球，求：（1）取到的是白球的概率；
（2）取到的是黑球的概率。
解：设A i 分别表示：“取到的是黑球、红球、白球”（i =1，2，3），则问题（1）化为求P (A 3|2) ；问题（2）化为求P (A 1|2) 。由题意A 1、A 2、A 3两两互不相容，所以，
（1）P (A 32) =P (A 3-A 2) =P (A 3) 。因此由条件概率公式得
P (A 3|2) =P (A 32) P (A 3) 0. 22== =P (2) 1-0. 37P (2)
（2）P (A 12) =P (A 1-A 2) =P (A 1)
P (A 1|2) =P (A 12) P (A 1) 0. 55== =P (2) 1-0. 37P (2)
9．已知工厂A 、B 生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由A 、B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：
（1） 该产品是次品的概率；
（2） 若取到的是次品，那么该产品是B 工厂的概率 。
解：设C 表示“取到的产品是次品”；A “取到的产品是A 工厂的”；
。则 B “取到的产品是B 工厂的”
（1） 取到的产品是次品的概率为
P (C ) =P (A ) P (C |A ) +P (B ) P (C |B )
=6014027⨯+⨯= [**************]
（2）若取到的是次品，那么该产品是B 工厂的概率为
P (B |C ) =P (BC ) P (B ) P (C |B ) = P (C ) P (A ) P (C |A ) +P (B ) P (C |B )
402⨯4 == 77
500
10．有两个口袋，甲袋中盛有4个白球，2个黑球；乙袋中盛有2个白球，4个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。
解：设A 表示：“由甲袋取出的球是白球”；
B 表示：“由甲袋取出的球是黑球”；
C 表示：“从乙袋取出的球是白球”。则
P (C ) =P (A ) P (C |A ) +P (B ) P (C |B )
=42+1228⨯+⨯= 66+166+121
11．设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：
（1）取到的是次品的概率；
（2）若已知取到的是次品, 它是第一家工厂生产的概率。
解：设事件A 表示：“取到的产品是次品”；事件A i 表示：“取到的产品是第i 家工厂生产的”（i =1，2，3）。 则A 1 A 2 A 3=Ω，且P (A i ) >0，A 1、A 2、A 3两两互不相容，
（1） 由全概率公式得
P (A ) =∑P (A i ) ⋅P (A |A i ) =
i =1312141513⨯+⨯+⨯= [**************]
（2）由贝叶斯公式得
12⨯P (A 1) P (A |A 1) 4 P (A 1|A ) =3 == 1313∑P (A j ) P (A |A j )
j =1400
12．三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：
（1）恰好取到不合格品的概率；
（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。
解：设事件A 表示：“取到的产品是不合格品”；事件A i 表示：“取到的产品是第i 家工厂生产的”（i =1，2，3）。
则 A i =Ω，且P (A i ) >0，A 1、A 2、A 3两两互不相容，由全概率公式得
i =13
（1）P (A ) =∑P (A i ) ⋅P (A |A i )
i =13
=405254352⨯+⨯+⨯=37/1000 [***********]
（2）由贝叶斯公式得
P (A 2|A ) =P (A 2) P (A |A 2)
∑P (A j ) P (A |A j )
j =13
=0.25⨯0.04=10/37 37/1000
13．有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：
( 1 ) 此人来迟的概率；
( 2 ) 若已知来迟了，此人乘火车来的概率。
解：设事件A 表示：“此人来迟了”；事件A i 分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞机
来”（i =1，2，3，4）。则 A i =Ω，且P (A i ) >0，A 1、A 2、A 3、A 4两两互不相容
i =14
（1）由全概率公式得
P (A ) =∑P (A i ) ⋅P (A |A i )
i =14
=311111211⨯+⨯+⨯+⨯= [1**********]5
（2）由贝叶斯公式得
31⨯P (A 1) P (A |A 1) =3 P (A 1|A ) =4 =1/58∑P (A j ) P (A |A j )
j =1
14．有两箱同类零件，第一箱50只，其中一等品10只，第二箱30只，其中一等品18只，今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只（有放回），试求：（1）第一次取到的是一等品的概率；（2）两次都取到一等品的概率。
解：设A i 表示：“取到第i 箱零件”“第i 次取到的是一等品”(i =1，2) ；(i =1，2) ；B i 表示：
则
（1）P (B 1) =P (B 1A 1 B 1A 2) =P (B 1A 1) +P (B 1A 2)
=1101182⨯+⨯= 2502305
（2）P (B 1B 2) =P (B 1B 2A 1 B 1B 2A 2) =P (B 1B 2A 1) +P (B 1B A 2)
=110211821⨯() +⨯() = 2502305
15．设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03、0.04、0.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。
解：设A i 表示：“第i 个电子元件被损坏”（i =1，2，3），则有P (A 1) =0. 03；P (A 2) =0. 04；P (A 3) =0. 06。依题意所求概率为
P (A 1 A 2 A 3) =P (A 1) +P (A 2) +P (A 3) -P (A 1A 2) -P (A 1A 3) -P (A 2A 3)
+P (A 1A 2A 3)
=0. 03+0. 04+0. 06-0. 03⨯0. 04-0. 04⨯0. 06
-0. 03⨯0. 06+0. 03⨯0. 04⨯0. 06=0. 124672
=0. 07+0. 02+0. 05=0. 14
16．甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.8，乙击中敌机的概率为0.5，求下列事件的概率：( 1 ) 敌机被击中；（2）甲击中乙击不中；（3）乙击中甲击不中。
解：设事件A 表示：“甲击中敌机”；事件B 表示：“乙击中敌机”；事件C 表示：“敌机被击中”。则
（1）P (C ) =P (A B ) =1-P (A B ) =1-P ()
=1-0. 1=0. 9
（2） P (A ) =P (A ) P () =0. 8⨯(1-0. 5) =0. 4
（3） P (B ) =P () P (B ) =(1-0. 8) ⨯0. 5=0. 1
17．已知P (A ) =1/4，P (B |A ) =1/3，P (A |B ) =1/2，求P (A B ) 。
解：由于 P (A B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB )
P (AB ) =P (A ) P (B |A ) =111⨯= 4312
P (AB ) 1 P (B ) === P (A |B ) 6所以
P (A B ) =1111+-= 46123
18．设P () =0. 3，P (B ) =0. 4，P (A ) =0. 5，求P (B |(A )) 。
解：由于 P (B |(A )) =P (B (A )) ， P (A )
B (A ) =BA =BA ，A =AB ，AB =φ，
而
P (BA ) =P (A ) -P () =1-P () -P () =07. -05. =02. ，
P (A ) =P (A ) +P () -P () =0. 7-1+0. 4-05. =08. ，
故
P (B |(A )) =P (B (A )) 0. 21== 。 P (A ) 08. 4
19．设事件A 、B 相互独立，已知P (A ) =0. 4，P (A B ) =0. 7。求：
（1）P (A ) ； （2）P ( ) 。
解：由P (A B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB ) =0. 7
即
0. 4+P (B ) -0. 4⨯P (B ) =0. 7
解得
P (B ) =0. 5
所以
P (A ) =P (A ) P () =0. 4⨯(1-0. 5) =0. 2
P ( ) =0. 6+0. 5-0. 6⨯0. 5=0. 8
20．设A 、B 为随机事件，且P (A ) =0. 5，P (B ) =0. 6，P (B |A ) =0. 8，求：
（1）P (AB ) ；（2）P (A B ) 。
解：
（1）P (AB ) =P (A ) P (B |A ) =0. 5⨯0. 8=0. 4
（2）P (A B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB )
=0. 5+0. 6-0. 4=0. 7
21．设事件A 、B 相互独立，已知P (A ) =0. 5，P (A B ) =0. 8，求：
（1）P () ； （2）P ( ) 。
解：由条件
P (A B ) =P (A ) +P (B ) -P (AB )
=P (A ) +P (B ) -P (A ) P (B ) =0. 8
即
0. 5+P (B ) -0. 5P (B ) =0. 8
解得P (B ) =0. 6，所以
（1）P (A ) =P (A ) P () =0. 5⨯0. 4=0. 2
（2）P ( ) =P () +P () -P ( )
=0. 5+0. 4-0. 5⨯0. 4=0. 7
22．设事件A 与事件B 相互独立，试证明：
（1）事件A 与事件相互独立；
（2）事件与事件B 相互独立；
（3）事件与事件相互独立。
证明：（1）欲证明A 、相互独立，只需证P () =P (A ) P () 即可。而
P () =P (A -AB ) =P (A ) -P (A ) P (B ) =P (A )(1-P (B )) =P (A ) P () 所以事件A 与事件相互独立。
同理
（2）由于
P () =P (B -AB ) =P (B ) -P (A ) P (B ) =P (B )(1-P (A )) =P () P (B ) 所以事件与事件B 相互独立。
（3）由于
P () =P (A B ) =1-P (A B ) =1-P (A ) -P (B ) +P (AB )
=1-P (A ) -P (B ) +P (A ) P (B )
=[1-P (A )][1-P (B )]=P () P () 所以事件与事件相互独立。
23． 若P (A |B ) =P (A |) ，证明事件A 与事件B 相互独立。
证明：由于A =AB ，且AB =φ，所以
P (A ) =P (B ) P (A |B ) +P () P (A |)
=P (B ) P (A |B ) +P () P (A |B )
=[P (B ) +P ()]P (A |B ) =P (A |B )
从而有
P (AB ) =P (A |B ) P (B ) =P (A ) P (B )
故由独立性定义知，事件A 与事件B 相互独立。
第二章 随机变量及其分布
三、解答题
1．设X 的概率分布为
X 0 1 2
P 1/3 1/6 1/2
求：（1）X 的分布函数；
（2）P {X
⎧0，x ≤0⎪1，02
111P {X
331P {1≤X
P {1≤X ≤=P {1≤X
23231=。 26
2．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都相等。设X 表示途中遇到红灯的次数，求X 的分布律、分布函数。
解：由题意知X 服从二项分布B （3），从而
P {X =0}=(1-) =
P {X =1}=C 3⨯
21121231； 8113⨯(1-) 2=； 2281
22 P {X =2}=C 3⨯() ⨯(1-) =
P {X =3}=() =
即X 的概率分布列为 123 ； 81231 8
X 0 1 2 3
p k 1/8 3/8 3/8 1/8
由分布函数定义
⎧0，⎪1/8，⎪⎪
F (x ) =P {X
⎪7/8，⎪⎪⎩1，
x ≤00
2
x >3
3．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都是2/5。设X 表示途中遇到红灯的次数，求X 的分布律、分布函数。 解：由题意知X 服从二项分布B (3) ，从而 P {X =0}=(1-) =
P {X =1}=C 3⨯
21
2
5
25
3
27
125
2254⨯(1-) 2= 5512525
2
P {X =2}=C 3⨯() ⨯(1-) = P {X =3}=() =即X 的概率分布列为
2536
125
25
3
8 125
X 0 1 2 3
p k 27/125 54/125 36/125 8/125 由分布函数定义得
⎧0，⎪27/125，⎪⎪
F (x ) =P {X
⎪117/125，⎪⎪⎩1，
x ≤00
23
4．一台设备有三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为0.10，0.20，0.30，假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的概率分布。 解：设：A i (i =1“部件i 需要调整”。 ，2，3) 表示：
P {X =0}=P (123) =0. 9⨯0. 8⨯0. 7=0. 504；
P {X =1}=P (12A 3) +P (1A 23) +P (A 123) =0. 398； P {X =2}=P (1A 2A 3) +P (A 1A 23) +P (A 12A 3) =0. 092
P {X =3}=P (A 1A 2A 3) =P (A 1) P (A 2) P (A 3) =0. 006 故X 的概率分布列为
X 0 1 2 3
p k 0.504 0.398 0.092 0.006
5．已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5，今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数X 是一离散型随机变量，求X 的概率分布。
解：X 的可能取值为1，2，3， 。 记A k 表示“第k 次试验雷管发火”则k 表示“第
k 次试验雷管不发火”从而得
p 1=P {X =1}=P (A 1) =
4 5
p 2=P {X =2}=P (1A 2) =P (1) P (A 2) =
14⨯ 55
15
2
p 3=P {X =3}=P (12A 3) =P (1) P (2) P (A 3) =() ⨯
4 5
14
p k =P {X =k }=P (12 k -1A k ) =() k -1⨯
55
41k -1
⨯() 55
依次类推，得消耗的雷管数X 的概率分布为 P {X =k }=
（k =1，2，3， ）
π⎧
⎪A cos x ，x ≤
6．设随机变量X 的概率密度为f (x ) =⎨2，求：
⎪其它⎩0，
（1）系数A ；（2）X 的分布函数；（3）X 落在区间(-
π
，) 内的概率。
44
π
解：连续型随机变量X 的概率密度必须满足归一性，因此由归一性及定义可求出系数A 及
X 的分布函数，至于（3）可由X 的分布函数求得。
（1）由归一性， 解得A =1/2。
（2）由连续型随机变量的定义知X 的分布函数为
⎰
+∞
π
-∞
f (x ) dx =⎰2πA cos x dx =2A =1
-2
F (x ) = 当x ≤- 当-
⎰
x
x
-∞
f (u ) du
π
2
时，F (x ) =
⎰
-∞
f (u ) du =0；
π
2
π
2
时，
F (x ) =
⎰
x
-∞
f (u ) du =⎰0dx +⎰π
2-∞
-
π
111
cos xdx =+sin x -2222
x
当x >
π
2
时，
F (x ) =
⎰
x
-∞
f (u ) du =⎰
2
-∞
-
π
x 1
0dx +⎰πcos xdx +π0dx =1
-222
2
π
故X 的分布函数为
0，x ≤-π/2⎧
⎪
F (x ) =⎨(1+sin x ) /2，-π/2
⎪1，x >π/2，⎩
（3）所求概率为 P {-
π
πππ2
7．设随机变量X 的分布函数为 F (x ) =a +求：（1）系数a ；
（2）X 落在区间（－1，1）中的概率；
（3）随机变量X 的概率密度。（提示：Arc tan x 为反正切函数） 解：（1）由F (+∞) =a + F (x ) =
1
π
Arc tan x (-∞
⋅() =1，解得a =。故得
π22
1π
1
11
+Arc tan x (-∞
11π11π1+⨯-[+⨯(-)]= 2π42π42
（2）P {-1
（3）所求概率密度为 f (x ) =F '(x ) =(+
12
1
π
⋅A r c t a n x ) '=
1
π(1+x )
2
(-∞
8．设随机变量X 的概率分布为f (x ) =⎨
⎧Ax ，0
其它
，以Y 表示对X 的三次独立重
复观察中事件{X ≤
解：由归一性
1
出现的次数，试确定常数A ，并求概率P {Y =2}。 2
A
= 1=⎰-∞f (x ) dx =⎰0A x d x 2
所以A =2。即
+∞1
⎧2x ，0
f (x ) =⎨
0，其它⎩
11
111
P {X ≤=F () =⎰2f (x ) dx =⎰22x d x =-∞0224
所以Y ~B (3) ，从而 P {Y =2}=C 3() ⨯
2
1
4
14
2
39= 464
9．在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1，2，3路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从[0，5]上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。
解 ：设X 表示每个人等车时间，且X 服从[0，5]上的均匀分布，其概率分布为
⎧1/5, 0≤x ≤5
f (x ) =⎨
其它⎩0,
P {X
⎰
2
-∞
f (x ) dx =⎰1/5dx =0.4
2
又设Y 表示等车时间不超过2分钟的人数，则Y ~B (3,0.4)，所求概率为 P {Y ≥2}=1-P {Y ≤1}
01
=1-C 3⨯0. 63-C 3⨯0. 4⨯0. 62=0. 352
10．在电源电压不超过200，200~240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的
Φ(0. 8) =0. 788）概率分别为0.1，0.001和0.2, 假定电源电压X ~N (220试求： （提示： , 25) ，
2
（1） 该电子元件被损坏的概率α
（2） 电子元件被损坏时，电源电压在200~240伏内的概率β。 解：设A 1：“电源电压不超过200伏”；A 2：“电源电压在200~240伏”； “电源电压超过240伏”； B ：“电子元件被埙坏”。 A 3：
由于X ~N (220，252) ，所以
P (A 1) =P {X ≤200}=F (200) =Φ(
200-220
) 25
=Φ(-08. ) =1-Φ(08. ) =1-0. 788=0. 212 P (A 2) =P {200
240-220200-220
) -Φ() 2525
. ) -Φ(-08. ) =2Φ(08. ) -1=0576. =Φ(08
P (A 3) =P {X >240}=1-Φ(
240-220) 25
. ) =1-0. 788=0. 212 =1-Φ(08
. , P (B |A 2) =0. 001, P (B |A 3) =0. 2, 所以由全概率公式 由题设P (B |A 1) =01
α=P (B ) =由条件概率公式
β=P (A 2|B ) =
∑(A ) P (B |A ) =0. 0642
i
i
i =1
3
P (A 2) P (B |A 2)
=0. 009
P (B )
11．一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1，2，2。现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以X 、Y 分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：
（1）X 和Y 的联合概率分布； （2）关于X 和Y 边缘分布； （3）X 和Y 是否相互独立？为什么？
（X ，Y ）解：（1）的所有可能取值为(1，1) 、(1，2) 、 (2，1) 、(2，2) 。
p 11=P {X =1，Y =1}=
111
⨯= 339122
⨯= 339
，Y =2}= p 12=P {X =1
p 21=P {X =2，Y =1}= p 22=P {X =2，Y =2}=于是（X ，Y ）的概率分布表为
212
⨯= 339224⨯= 339
Y 1 2 11/9 2/9
2 2/9 4/9 （2）关于X 和Y
X 1 2 Y 1 2 p i ⋅ 1/3 2/3 p ⋅j 1/3 2/3
（3）X 和Y 相互独立。因为∀i , j 有p i ⋅⨯p ⋅j =p ij
12．一袋中装有3个球，分别标有号码1、2、3，从这袋中任取一球，不放回袋中，再任取一球。用X 、Y 分别表示第一次、第二次取得的球上的号码，试求：
（1）随机向量（X ，Y ）的概率分布；
（2）(X ，Y ) 关于X 和关于Y 的边缘概率分布； （3）X 和Y 是否相互独立？为什么？
解：（1）(X ，Y ) 的取值为(1，2) ，(1，3) ，(2，1) ，(2，3) ，(3，1) ，(3，2) ，由概率乘法公式可得
p 12=P {X =1，Y =2}=p 13=P {X =1，Y =3}=
111
⨯= 326111⨯= 326
同理可得 p 21=p 23=p 31=p 32=1/6
此外事件{X =1，Y =1}，{X =3，Y =3}，{X =2，Y =2}都是不可能事件，所以
p 11=p 33=p 22=0, 于是（X ，Y ）的概率分布表为
1 2 3 1 0 1/6 1/6 2 1/6 0 1/6 3 1/6 1/6 0 （2）（X ，Y ）关于X 的边缘概率分布
X 1 2 3 p i ⋅ 1/3 1/3 1/3 （X ，Y ）关于Y 的边缘概率分布
Y 1 2 3
p ⋅j 1/3 1/3 1/3 （3）X 和Y 不相互独立，由于P i ⋅⨯P ⋅j ≠P ij 。
13．一口袋中装有四只球，分别标有数字1，1，2，3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X 、Y 分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：
（1）X 和Y 的联合概率分布及关于X 和关于Y 边缘分布； （2）X 与Y 是否独立？为什么？ 解：（1）（X ，Y ）的概率分布表为
Y 1 2 3 11/6 1/6 1/6 2 1/6 0 1/12 3 1/6 1/12 0 X 的边缘概率分布为
X 1 2 3 p i ⋅ 1/2 1/4 1/4
Y 的边缘概率分布为
Y 1 2 3 p ⋅j 1/2 1/4 1/4
（2）X 与Y 不独立，由于
P {X =1，Y =1}≠P {X =1}P {Y =1}
2
14．设G 为由抛物线y =x 和y =x 所围成区域，(X ，Y ) 在区域G 上服从均匀分布，试
求：（1）X 、Y 的联合概率密度及边缘概率密度；
（2）判定随机变量X 与Y 是否相互独立。
解：如图所示，G 的面积为 y A =
⎰
1
(x -x 2) dx =
12
y =x 6
因此均匀分布定义得X 、Y 的联合概率密度为 o 1 x
⎧6, (x , y ) ∈G
f (x , y ) =⎨
0, 其他⎩
而
f X (x ) = f Y (y ) =
+∞
x
⎰
-∞
f (x , y ) dy =⎰26dy =6(x -x 2) ，0≤x ≤1
x
⎰
+∞
-∞
f (x , y ) dx =⎰6dx =6(y -y ) ，0≤y ≤1
y
y
所以关于X 和关于Y 的边缘分布密度分别为
⎧6(x -x 2), 0≤x ≤1
f X (x ) =⎨
0, 其他⎩
f Y (y ) =⎨
⎧6(y -y ), 0≤y ≤1
0, 其他⎩
（2）由于f X (x ) f Y (y ) =f (x , y ) ，故随机变量X 与Y 不相互独立。 15．设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为
⎧e -y , 0
f (x , y ) =⎨
0, 其它⎩
求：（1）随机变量X 的密度函数f X (x ) ； （2）概率P {X +Y ≤1}。
解：（1）x ≤0时，f X (x ) =0；
x >0时，f X (x ) =⎰f (x , y ) dy =⎰e -y dy =e -x
-∞
x
+∞+∞
⎧e -x ，0
故随机变量X 的密度函数f X (x ) =⎨
⎩0，x ≤0
（2）P {X +Y ≤1}=
X +Y ≤1
⎰⎰
-1
f (x , y ) dxdy =⎰dx ⎰
-12
120
1-x
x
e -y dy
=e +1-2e
16．设随机向量(X ，Y ) 的概率密度为
f (x , y ) =⎨
⎧A , 0
其他⎩0,
试求:（1）常数A ；（2）关于X 、Y 的边缘概率密度。
解：（1）由归一性 1=
⎰⎰
+∞+∞
f -∞-∞
(x , y ) dxdy =⎰0⎰0A dydx =
1x
A
2
所以A =2。
X 、Y 的联合概率密度为
f (x , y ) =⎨
⎧2, 0
0, 其他⎩
（2）关于X 、Y 的边缘概率密度为 f X (x ) =⎰f (x , y ) dy =⎰2dy =2x -∞0即
+∞
x
(0≤x ≤1)
⎧2x , 0≤x ≤1
f X (x ) =⎨
其它⎩0
同理可求得关于Y 的边缘分布密度为
f Y (y ) =⎨
⎧2(1-y ), 0≤y ≤1
0, 其他⎩
17．设随机变量（X ，Y ）具有概率密度
⎧Ce -(x +y ) , x ≥0, y ≥0
f (x , y ) =⎨，
其它⎩0,
求（1）常数C ；（2）边缘分布密度。 解：（1）由于 1=
⎰⎰
Ce
+∞+∞
-∞-∞
f (x ，y ) dxdy =1，故
dxdy =C ⎰e dx ⎰e -y dy =C
+∞
-x
+∞
⎰⎰
+∞+∞
-(x +y )
所以C =1，即
⎧e -(x +y ) ，x ≥0, y ≥0
f (x , y ) =⎨
0，其他⎩
（2）f X (x ) =⎰f (x , y ) dy =⎰-∞0
+∞
+∞
e -(x +y ) dy =e -x x ≥0，即
⎧⎪e -x , x ≥0
f X (x ) =⎨
⎪⎩0，其他
f Y (y ) =⎰-∞f (x , y ) dx =⎰0
+∞+∞
e -(x +y ) dx =e -y y ≥0，即
⎧⎪e -y , y ≥0
f Y (y ) =⎨
⎪⎩0，其他
18．设X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X ，Y ) 联合分布律及关于X 和关于
Y 的边缘分布律的部分值，试将其余数值填入表中的空白处。
解：
第三章 随机变量的数字特征
三、解答题
⎧1+x ，-1≤x ≤0
⎪
1．设随机变量X ~f (x ) =⎨A -x ，0
⎪0，其它⎩
（1） 常数
A ；（2）EX
；（3）DX 。
解：（1）由归一性 1=⎰
+∞01f (x ) dx =(1+x ) dx +(A -x ) dx =A ⎰⎰-∞-10
从而得，A =1；
（2）EX =⎰+∞xf (x ) dx -∞
01x (1+x ) dx +⎰0x ⋅(1-x ) dx =0 -1 =⎰
（3）由于
EX 2=⎰-∞x 2f (x ) dx
=⎰-1x (1+x ) dx +⎰0x (1-x ) dx =1/6
于是 0212+∞
DX =EX 2-(EX ) 2=1 6
⎧x ，当0
⎪0，其它⎩
解：EX =
2⎰+∞-∞xf (x ) dx =⎰0x ⋅xdx +⎰1x ⋅(2-x ) dx =1 x 2f (x ) dx =⎰x 2⋅xdx +⎰x 2(2-x ) dx =011212 EX =
于是 ⎰+∞-∞7 6
DX =EX -(EX ) =221 6
3．已知随机变量X 的分布列如下，
X 0 1 2
P k 0.3 0.2 0.5
试求：（1）EX 、DX ；（2）E (X -1) 2；（3）X 的分布函数。
解：
（1）EX =
2k =1∑x k p k 3=0⨯0. 3+1⨯0. 2+2⨯0. 5=1. 2 22 EX =0⨯0. 3+1⨯0. 2+2⨯0. 5=2. 2
DX =EX 2-(EX ) 2=2. 2-1. 22=0. 76
（2）经计算得(X -1) 2=ˆY 的概率分布列
Y 1 0
P k 0.8 0.2
EY =∑y k p k =1⨯0. 8+0⨯0. 2=0. 8
k =12
⎧0，x ≤0⎪0. 3，0
4．设X 、Y 的概率分布为
⎧1⎧4e -4y ，y >0, ⎪，1≤x ≤5, ϕ(x ) =⎨4 ϕ(y ) =⎨ 0，y ≤0, ⎩⎪⎩0，其它,
求：E (X +Y ) 和E (2X -3Y 2) 。
解：由于X 在有限区间[1，5]上服从均匀分布，所以EX =
为4的指数分布，所以EY =5+1=3；又由于Y 服从参数211、DY =， 因此由数学期望性质2、性质3及重要公式得 416
11=3 44 E (X +Y ) =EX +EY =3+
E (2X -3Y 2) =2E (X ) -3E (Y 2)
=6-3(DY +(EY ) 2) =6-
5．已知r ⋅v X 、Y 分别服从正态分布N (0, 35=5。 8832) 和N (2, 42) ，且X 与Y 的相关系数
ρXY =-1/2，设Z =X /3+Y /2，求：
（1）数学期望EZ ，方差DZ ；
（2）X 与Z 的相关系数ρXZ 。
解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得
EZ =E (X Y X Y 11+) =E () +E () =⨯0+⨯2=1 323232
DZ =D (X Y X Y X Y +) =D () +D () +2Cov (，) 323232
=
=1321
32DX +⨯32+11DY +2⨯⨯ρXY DX DY 23221112⨯4+2⨯⨯⨯(-) ⨯3⨯4=1+4-2=3 23222
1111X +Y ) =Cov (X , X ) +Cov (X , Y ) 323211 （2）Cov (X ，Z ) =Cov (X ，
=11DX +ρXY DX DY =0 32
从而有X 与Z 的相关系数ρXZ =Cov(X , Z ) =0 DX DZ
6．设随机变量X 、Y 独立同服从参数为λ泊松分布，U =2X +Y ，V =2X -Y ，求U 与V 的相关系数ρUV 。
解：由条件X 、Y 独立同服从参数为λ泊松分布，所以EX =EY =λ, DX =DY =λ，因此
EY =EX =DX +(EX ) =λ+λ
EU =2EX +EY =3λ
EV =2EX -EY =λ
DU =DV =4DX +DY =4λ+λ=5λ
EUV =E (4X -Y ) =4EX -EY =3λ+3λ
Cov (U ，V ) =EUV -EUEV =3λ+3λ2-3λ2=3λ
于是U 与V 的相关系数ρUV =222222222Cov (U ，V )
DU DV =3λ3= 5λ5
7．设一部机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个
工作日内无故障可获利8万元，发生一次故障仍获利4万元，发生两次故障获利0元，发生三次或三次以上要亏损2万元，求一周内期望利润是多少。
解：设Y 表示生产利润, X 表示每周发生故障的次数，则Y 是X 的函数，而X ~B (5，0. 2) ，其概率分布为P {X =k }=C 5k p k q 5-k
Y 可能取值为－2，0，4，8。
P {Y =8}=P {X =0}=0. 85=45/55=1024/3125
1 P {Y =4}=P {X =1}=C 5⨯0. 2⨯0. 84=5⨯44/55=1280/3125
2 P {Y =0}=P {X =2}=C 5⨯02. 2⨯08. 3=10⨯43/55=640/3125
P {Y =-2}=P {X ≥3}=1-P {X
8．设ξ与η独立同分布，已知ξ的概率分布为P {ξ=i }=1/3(i =1，2，3) ，又设
（1）EX 、EY ；（2）随机变量X ，Y 的协方差。 X =max{ξ，η}，Y =min{ξ，η}。求：
解：（1）(X ，Y ) 的概率分布为
Y 1 2 3
1 1/9 2/9 2/9
2 0 1/9 2/9
3 0 0 1/9
关于X 、Y 的边缘概率分布分别为
X 1 2 3
P 1/9 3/9 5/9
P 5/9 3/9 1/9
从而得
13522+2⨯+3⨯= 9999
53114 EY =1⨯+2⨯+3⨯= 9999
12122136 （2）EXY =1⨯1⨯+2⨯1⨯+2⨯2⨯+3⨯1⨯+3⨯2⨯+3⨯3⨯= 9999999
36221416-⨯= Cov(X ，Y )=EXY -EXEY =99981 EX =1⨯
9．游客乘电梯从低层到电视塔顶层观光，电梯每个整点的第5分钟、25分钟、55分钟从
低层起行。假设一游客在早八点的第X 分钟到达低层候梯处，且X 在[0，60]上均匀分布，求
该游客等候时间的数学期望。
解：已知X 在[0，60]上均匀分布，其概率分布为
⎧1⎪, 0≤x ≤60 f (x ) =⎨60
⎪其它⎩0，
设Y 表示游客等候电梯时间（单位：分），则
⎧5-X ，0
因此
+∞EY =Eg (Y ) =⎰g (x ) f (x ) dx =-∞160g (x ) dx ⎰060
55256015[(5-x ) dx +⎰(25-x ) dx +⎰(55-x ) dx +⎰(65-x ) dx ] =5255560⎰0
=35/3≈11. 67
第四章随机变量及其分布
三、解答题
1．已知随机变量X 的概率分布为
X 1 2 3
P k 0.2 0.3 0.5
试利用切比雪夫不等式估计事件X -E (X )
解：依题意，EX =2. 3，DX =0. 61，故由切比雪夫不等式知，所求事件的概率为
P {X -EX
DX 0. 61=1-≈0. 7289 1. 521. 52
第五章随机变量及其分布
三、解答题
1．设X 1，X 2， ，X n 为X 的一个样本，
λ⎧⎪(λ+1) x , 0
其中λ>-1为未知参数，求λ的极大似然法估计量。
解：设x 1，x 2， ，x n 为X 1，X 2， ，X n 观测值，则构造似然函数
L (λ) =(λ+1) (∏x i ) λ n
i =1n
ln L =n ln(λ+1) +λ∑ln x i
i =1n
令
n d ln L n =+∑ln x i =0 d λλ+1i =1
解得λ的极大似然估计量为
ˆ=-1-λn
∑ln X
i =1n i
2．设总体X 的分布列为
X 1 0
p k p 1-p
X 1，X 2， ，X n 为X 的一个样本，求p 的极大似然估计。
解：设x 1，x 2， ，x n 为X 1，X 2， ，X n 观测值，X 的分布律为
p (x , p ) =p x (1-p ) 1-x （x =1，0）
于是似然函数
L (p ) =∏p (x , p ) =∏p i
i =1i =1n n x i (1-p ) 1-x i
=p i =1(1-p )
n
i =1∑x i n n -∑x i i =1n ln L =ln p ∑x i +(n -∑x i ) ln(1-p )
i =1n
d ln L = dp ∑x i i =1n
p -n -∑x i i =1n
1-p
1n d ln L =0，解得p =∑x i =，因此p 的极大似然估计为 令n i =1dp
1n =∑x i = p n i =1
3．设X 1，X 2， ，X n 为总体X 的一个样本，且X 的概率分布为
P {X =k }=(1-p ) k -1p , k =1, 2, 3, 。x 1，x 2， ，x n 为来自总体X 的一个样本观察值，求p 的极大似然估计值。
解：构造似然函数
L （p ) =∏p (x i , p ) =∏p (1-p )
i =1i =1n n x i -1
=p (1-p ) i =1n n ∑x i -n n ln L =n ln p +(∑x i -n ) ln(1-p )
i =1
∑x -n d ln L n i =1i
=- dp p 1-p
n d ln L =0，解得p =n /∑x i ，因此p 的极大似然估计值为 令dp i =1n
ˆ=n /∑x i 。 p
i =1n
4．设X 1，X 2， ，X n 为总体X 的一个样本，且X 服从参数为m , p 的二项分布，求
p 的极大似然估计量。
解：设x 1，x 2， ，x n 为X 1，X 2， ，X n 观测值，则构造似然函数
L （p ) =∏p (x i , p ) =∏C m i p i (1-p )
i =1i =1n n x x m -x i
=∏i =1n x i C m ⨯p ∑x i i =1n ⨯(1-p ) nm -∑x i i =1n
ln L =∑x i ln C m +ln p ∑x i +(nm -∑x i ) ln(1-p )
i =1i =1n n
d ln L =dp ∑x i i =1n nm -∑x i
-i =1n
p 1-p 1n d ln L 令=0，解得p =∑x i /m ， dp n i =1
因此p 的极大似然估计量为
=/m p 5．设X 1，X 2， ，X n 为来自总体X 的样本，为样本均值，试问
1n
Q =∑(X i -) 2是否为总体方差DX 的无偏估计量？为什么？ n i =1
1n 2解：Q =∑(X i -) 不是总体方差DX 的无偏估计量。 n i =1
设EX =μ，DX =σ，因为 2
1n 1n
E =E (∑X i ) =∑EX i =u n i =1n i =1
1n 1 DX =D (∑X i ) =2n i =1n ∑DX i i =1n =σ2n
21n 1n 22 EQ =E [∑(X i -X ) ] =E [∑(X i -2X X i +X )] n i =1n i =1
n 212 =E (∑X i -n X ) n i =1
1n 22 =[∑(DX i +(EX i ) ) -n (D X +(E X ) )] n i =1
n -121n σ222σ≠DX =[∑(σ+u ) -n (+u 2)] =n n i =1n
6．设X 1，X 2，X 3为来自总体X ~N (μ, σ2) 的一个样本，且EX =μ存在，验证统
计量(1)、(2)都是μ的无偏估计，并指出哪一个较好。
ˆ1= （1）μ131111ˆ2=X 1+X 2+X 3。 X 1+X 2+X 3； （2）μ5102362
解：（1）由于
ˆ1=E (X 1+ E μ
ˆ1=所以μ1531X 2+X 3) =μ 102131X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计； 5102
1
311X 2+X 3) =μ 62ˆ2=E (X 1+ （2） E μ
ˆ2=所以μ111X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计。 362
1
53119X 2+X 3) =σ2 10250
117X 2+X 3) =σ2 6218ˆ1=D (X 1+而 D μ13ˆ2=D (X 1+ D μ
显然19272131ˆ1=X 1+X 2+X 3较好。 σ
7．设X =a (X 1-2X 2) 2+b (3X 3-4X 4) 2，其中X 1，X 2，X 3，X 4是来自总体
N (0，22) 的简单随机样本。试问当a 、b 各为何值时，统计量X 服从χ2分布，并指出其自由度。
解：依题意，要使统计量X 服从χ2分布，则必需使a 1/2(X 1-2X 2) 及b 1/2(3X 3-4X 4)
服从标准正态分布。
由相互独立的正态随机变量的性质知
a 1/2(X 1-2X 2) ~N (0，(4a +16a ))
从而解得a =1/20。
b 1/2(3X 3-4X 4) ~N (0, (36b +64b ))
从而解得b =1/100。
故a =1/20，b =1/100时，统计量X 服从χ2分布。且自由度为2。
8．某车间生产滚珠，从长期实践中知，滚珠直径X 可以认为服从正态分布，其方差为0.05，
从某天的产品中随机抽取6个，量得直径（mm ）如下：14.70, 15.21, 14.90, 14.91, 15.32, 15.32。试求μ=EX 的置信度为0.95的置信区间。
解：依题意取样本函数 U =-μ
2~N （0，1）
对于给定的α=0.05，由
P {U
20. 05=0975. 216
求得λ=1.96，又n =6，σ=0. 05，=∑x i =1506. 6i =1
于是得μ的置信度为0.95的置信区间是1506. -018. ，1506. +018. ) =(14. 08，1524. ）