双曲线及其性质3

双曲线及其性质

1．双曲线的概念：

(1)第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做 双曲线 ．这两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距 ．

集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a、c 为常数且a>0，c>0：

①当ac时，P点的轨迹是双曲线； ②当a＝c时，P点的轨迹是 两条射线 ； ③当ac时，P点不存在． （2）双曲线的第二义：

平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(e1)的点的轨迹为双曲线.

2．双曲线的标准方程和几何性质

x2y2x2y2

与双曲线221共渐近线的双曲线系方程为：22(0)

ababy2x2x2y2

与双曲线221共轭的双曲线为221

abba

等轴双曲线x2y2a2的渐近线方程为yx ，离心率为e2.； [难点正本 疑点清源]

1.双曲线中a，b，c的关系双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如右图)， 它的三边长分别是a、b、c.易见c2＝a2＋b2， c1

若记∠AOB＝θ，则e＝＝.

acos θ

2．双曲线的定义用代数式表示为|MF1－MF2|＝2a，其中2a

(2)2a

①当MF1－MF2＝2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； ②当MF1－MF2＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支； ③当2a＝F1F2时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线； ④当2a>|F1F2|时，动点轨迹不存在． 3．渐近线与离心率：

x2y2b－＝1 (a>0，b>0)＝aba

ac－ae－1.可以看出，双曲a

线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 自我检测：

1．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为( ) A.－



250 B.－，0

226，0 2

D.(3，0)

C.－



x22

2．若双曲线－y＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为( )

a2

5

323 23

2

D．2

y2

3．设F1，F2是双曲线x－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则

24△PF1F2的面积等于( )

A．42

B．83

C．24 D．48

x22

4－y＝1(a＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________．

a

5．已知F1(0，－5)，F2(0,5)，一曲线上任意一点M满足|MF1|－|MF2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k，该曲线的离心率为e，则|k|·e＝________.

典型例题分析

考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义

例1、已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．

例2、某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)

【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．

变式练习1、

x2

1、在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6，0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线

25sin A－sin Cy2

－1的左支上，则________. 11sin B

y2

1上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，2、设P为双曲线x12

2

则△PF1F2的面积为

A．6

（ ）

C．3

D．24

B．12

x2y2

1的左 3、如图2所示，F为双曲线C:

916

焦点，双曲线C上的点Pi与P7ii1,2,3关于y轴对称，

则P1FP2FP3FP4FP5FP6F的值是（ ） A．9 B．16 C．18 D．27

x2y2

4、 P是双曲线221(a0,b0)左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距

ab

为2c，则PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A）a

题型2 求双曲线的标准方程：

例3、根据下列条件，求双曲线方程：

x2y2

(1)－1有共同的渐近线，且过点(－3,23)；

916x2y2

(2)1有公共焦点，且过点2，2)．

164

（B）b

（C）c

（D）abc

y2x2

例4、已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C的

164

方程．

变式练习2、

1、(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的一个焦点是10，0)，求双曲线的方程； 4

(2)已知双曲线的渐近线方程为y＝x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，求双曲线的方程．

3

2、已知双曲线的渐近线方程是y，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；

3、以抛物线y28x的焦点F为右焦点,且两条渐近线是x3y0的双曲线方程为___________________.

4、已知点M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为

x2

y2y22

1(x1) B．x1(x1) A．x88

2

y2y22

1（x > 0） D．x1(x1) C．x810

2

考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围

x2y2

例5、已知双曲线221,(a0,b0)的左，右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线的

ab

右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为

变式练习3、

4x2y2

1的一条渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率e为 1、已知双曲线

3mn

．

x2y2

2、已知双曲线221(a0,b0)的右顶点为E，双曲线的左准线与该双曲线的两

ab

渐近线的交点分别为A、B两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e是（ ）

题型2 与渐近线有关的问题

A．51 B．2 C．1或2 D．不存在

22

x2y2

例6、若双曲线221(a0,b0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的

ab

离心率为 （ ） A.2

B.

C. D.2

变式练习4、

x2y2

1、双曲线1的渐近线方程是.( )

49243

A. yx B. yx C. yx

392

9

D. yx

4

x2

2、焦点为（0，6），且与双曲线y21有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）

2

A．

y2x2y2x2x2y2x2y2

1 B．1 C．1 D．1

[**************]4

例5、中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F2＝，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.

(1)求这两曲线方程；

(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．

变式练习3、

x2y2

1、如图，已知F1、F2为双曲线1 (a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交

ab双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，

求：(1)双曲线的离心率；(2)双曲线的渐近线方程．

类型四、直线与双曲线的位置关系：

x2y2

例6、过双曲线1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐

36标原点，F1为左焦点．

(1)求AB；

(2)求△AOB的面积；

(3)求证：AF2＋BF2＝AF1＋BF1.

变式练习5、

1、直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B. (1)求实数k的取值范围；

(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

综合练习

1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为2,0

，右顶点为（Ⅰ）求双曲线C的方程

（Ⅱ）若直线l:ykxA和B且OAOB2（其中O为原点），求k的取值范围

.



2、已知直线yax1与双曲线3x2y21交于A、B点。

（1）求a的取值范围；

（2）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值； （3）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y

请求出a的值；若不存在，说明理由。

1

x对称？若存在， 2

x2y2

3、已知双曲线C：221(a0,b0)的两个焦点为F1,F2，点P是双曲线C上的

ab

． 一点，

1PF20（1）求双曲线的离心率e；

（2）过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1OP21,P2两点，若OP

27

，4

2PP1PP20，求双曲线C的方程．

1．已知双曲线的渐近线为y＝3x，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )

x2y2

－1 412x2y2

1 248

x2y2

B.1 24x2y2

D.＝1 824

x2y2

解析：选A 由题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由已知条件可得

ab

bba3，a3，即 c＝4，a2＋b2＝42，

2

a＝4，x2y2

解得2故双曲线方程为－1.

412b＝12，

2．若双曲线过点(m，n)(m＞n＞0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点( )

A．在x轴上

B．在y轴上

D．无法判断是否在坐标轴上

C．在x轴或y轴上

解析：选A ∵m＞n＞0，∴点(m，n)在第一象限且在直线y＝x的下方，故焦点在x轴上．

y2

3．已知m是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x＋＝1的离心率为( )

m

2

35或 22

2

B.D.

3

23

或 5 2

5

a－bc

解析：选D ∵m＝16，∴m＝±4，故该曲线为椭圆或双曲线．当m＝4时，eaaa＋b3c

＝.当m＝－4时，e＝5. 2aa

4.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )

A．3 3

B．2 2

c解析：选B 设焦点为F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1＝，椭圆的

ace离心率e2＝，所以2

2ae2

x2y25

5．已知P是双曲线1(a＞0，b＞0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是ab4且PF1,·PF2,＝0，若△PF1F2的面积为9，则a＋b的值为( )

A．5 C．7

B．6 D．8

解析：选C 由PF1,·PF2,＝0得PF1,⊥PF2,，设|PF1,|＝m，|PF2,|＝n，不妨设m

a＝4，1c5

＞n，则m＋n＝4c，m－n＝2a，mn＝9，，解得∴b＝

3，∴a＋b＝7.

2a4c＝5，

2

2

2

6．平面内有一固定线段AB，|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB中点，则|OP|的最小值为( )

A．3 3 2

B．2 D．1

解析：选C 依题意得，动点P位于以点A，B为焦点、实轴长为3的双曲线的一支上，结合图形可知，该曲线上与点O距离最近的点是该双曲线的一个顶点，因此|OP|的最小值等3于2

7．若双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3,0)，则实数k＝________.

解析：∵双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3,0)， 11∴132＝9，可得k＝.

k81答案：8

x2y2x2y2

8．已知双曲线C1：＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－1有相同的渐近线，且C1

ab416的右焦点为F(5，0)，则a＝________，b＝________.

x2y2b

解析：双曲线－1的渐近线为y＝±2x，则＝2，即b＝2a，又因为c＝5，a2＋

416ab2＝c2，所以a＝1，b＝2.

答案：1 2

x2y2a222

9．过双曲线1(a＞0，b＞0)的左焦点F作圆x＋y＝的切线，切点为E，延长FE

ab4交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．

解析：设双曲线的右焦点为F′.由于E为PF的中点，坐标原点O为FF′的中点，所a

以EO∥PF′，又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且|PF′|＝2×＝a，故|PF|＝3a，根据勾股定

2理得|FF′|＝a.答案：

10 2

a＝2a2

10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，2，且过点(4，－10)．点M(3，m)在双曲线上．

(1)求双曲线方程； (2)求证：MF1·MF2＝0.

解：(1)∵e2，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.

x2y2

∴双曲线方程为－＝1.

66

(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b6，∴c＝3，

∴F1(－3，0)，F23，0)， mm

∴kMF1kMF2＝，

3＋233－3m2m2

kMF1·kMF2＝39－12

∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3， 故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2. ∴MF1·MF2＝0.

11．已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.

(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2

的大小．

x2y2

解：(1)由16x－9y＝144得－1，

916

2

2

所以a＝3，b＝4，c＝5，

54

所以焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝.

33(2)由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝6， |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2

cos ∠F1PF2＝

2|PF1||PF2||PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|2＝2|PF1||PF2|＝

36＋64－100

0，

64

则∠F1PF2＝90°.

x2y2

12．如图，P是以F1、F2为焦点的双曲线C：－＝1上的一点，

ab

PF2＝0，且|PF1|＝2|PF2|. 已知PF1·

(1)求双曲线的离心率e；

(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1，P2两点，27

OP242PP1＋PP2＝0.求双曲线C的方程． 若OP1·

PF2＝0，解：(1)由PF1·得PF1⊥PF2，即△F1PF2为直角三角形．设|PF2|＝r，|PF1|

＝2r，所以(2r)2＋r2＝4c2，2r－r＝2a，即5×(2a)2＝4c

2.所以e＝5.

b

(2)e－1＝2，可设P1(x1,2x1)，P2(x2，－2x2)，P(x，y)， a27

OP2＝x1x2－4x1x2＝－4 则OP1·9

所以x1x2.①

4由2PP1＋PP

x2－x＝－2x1－x，

2＝0，得

－2x2－y＝－22x1－y，

2x1＋x222x1－x2x2y2

即x＝，y＝.又因为点P在双曲线＝1上，

33ab2x1＋x2242x1－x22

＝1.

9a9b9

又b2＝4a2，代入上式整理得x1x2＝a2.②

8由①②得a2＝2，b2＝8. x2y2

故所求双曲线方程为

1.

28

1．(2012·长春模拟)设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|PF1,＋PF2,|＝|F1F2,|2

2

B．2 D．1

ee的值为( ) e＋e12

2

解析：选A 依题意，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，不妨设m＞n.则由|PF1,＋PF2,|＝|F1F2,|得|PF1,＋PF2,|＝|PF2,－PF1,|＝|PF1,－PF2,|，即|PF1,＋PF2,|2＝|PF1,2c2c11

－PF2,|2，所以PF1,·PF2,＝0，所以m2＋n2＝4c2.又e1＝m＋n，e2＝m－ne＋e122m2＋n2ee24ce1＋e2

12＋e2e1

x2y2

2．已知双曲线1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，点(1,0)到直线

ab4

l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和sc，则双曲线的离心率e的取值范围为________．

5

xy

解析：由题意知直线l的方程为＝1，即bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式得，

ab点(1,0)到直线l的距离d1＝

ba－1

ba＋1

，同理得，点(－1,0)到直线l的距离d＝，s＝d12

a＋ba＋b

＋d2＝

2ab2ab42ab4

.由s，得≥，即5c－a≥2c2. c5c5a＋b

5

所以e－1≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，解得e2≤5.

4由于e＞1，所以e的取值范围为 答案：

5 2

5 .

2

x2y2

3．设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦

ab点到渐近线的距离为 (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y＝

－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点3

D，使OM,＋ON,＝tOD,，求t的值及点D的坐标．

b

解：(1)由题意知a＝3，故一条渐近线为yx，

2即bx－23y＝02

|bc|

3， b＋12

x2y2

得b＝3，故双曲线的方程为1.

123(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)， 则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，

将直线方程代入双曲线方程得x2－3x＋84＝0， 则x1＋x2＝3，y1＋y2＝12， 43xy3则xy

12－3＝1，

022

x0＝3，得 y0＝3，

故t＝4，点

D的坐标为3，3)．

x22

1．直线x＝2与双曲线C：－y＝1的渐近线交于E1，E2两点，记OE1,＝e1，OE2,＝e2，

4任取双曲线C上的点P，若OP,＝ae1＋be2，则实数a和b满足的一个等式是________．

2a＋2b＝x0，

解析：可求出e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)，设P(x0，y0)，则则(a＋b)2－(a

a－b＝y0，

1

－b)2＝1，得ab＝4

1

答案：ab＝4

x2y2

2．已知双曲线＝1的左，右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲

abπ

线一个交点为P，且∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为________________．

6

bbπ2bc，，则|PF2|＝，又∠PF1F2＝|PF1|＝解析：根据已知得点P的坐标为aa6a2b2b2b2b

故2a，所以22，所以该双曲线的渐近线方程为y＝2x. aaaa

答案：y＝2x

3．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA―→,·OB―→,＞2(其中O为原点)，求k的取值范围．

x2y2

解：(1)设双曲线C的方程为－1(a＞0，b＞0)，

ab由已知得a3，c＝2，再由c2＝a2＋b2得b2＝1， x22

所以双曲线C的方程为－y＝1.

3x22

(2)将y＝kx＋代入y＝1，

3

整理得(1－3k2)x2－2kx－9＝0，

2

2

2

1－3k≠0，

由题意得

Δ＝6k2＋361－3k2＝361－k2＞0，

1

故k2≠且k2＜1，①

3

6k

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB

1－3k－9

xA·xB

1－3k2

OB,＞2得xAxB＋yAyB＞2， 由OA,·

又xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋kxB＋＝(k2＋1)xAxB＋2k(xA＋xB)＋2

－93k2＋762k

＝(k＋2k＋2＝，

1－3k1－3k3k－1

2

3k2＋7－3k2＋9

于是2＞0，

3k－13k－1

1

解不等式得k2＜3，②

31

由①②得＜k2＜1，

3所以k的取值范围为－1，－



3∪1. 33

双曲线及其性质

1．双曲线的概念：

(1)第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做 双曲线 ．这两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距 ．

集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a、c 为常数且a>0，c>0：

①当ac时，P点的轨迹是双曲线； ②当a＝c时，P点的轨迹是 两条射线 ； ③当ac时，P点不存在． （2）双曲线的第二义：

平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(e1)的点的轨迹为双曲线.

2．双曲线的标准方程和几何性质

x2y2x2y2

与双曲线221共渐近线的双曲线系方程为：22(0)

ababy2x2x2y2

与双曲线221共轭的双曲线为221

abba

等轴双曲线x2y2a2的渐近线方程为yx ，离心率为e2.； [难点正本 疑点清源]

1.双曲线中a，b，c的关系双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如右图)， 它的三边长分别是a、b、c.易见c2＝a2＋b2， c1

若记∠AOB＝θ，则e＝＝.

acos θ

2．双曲线的定义用代数式表示为|MF1－MF2|＝2a，其中2a

(2)2a

①当MF1－MF2＝2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； ②当MF1－MF2＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支； ③当2a＝F1F2时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线； ④当2a>|F1F2|时，动点轨迹不存在． 3．渐近线与离心率：

x2y2b－＝1 (a>0，b>0)＝aba

ac－ae－1.可以看出，双曲a

线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 自我检测：

1．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为( ) A.－



250 B.－，0

226，0 2

D.(3，0)

C.－



x22

2．若双曲线－y＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为( )

a2

5

323 23

2

D．2

y2

3．设F1，F2是双曲线x－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则

24△PF1F2的面积等于( )

A．42

B．83

C．24 D．48

x22

4－y＝1(a＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________．

a

5．已知F1(0，－5)，F2(0,5)，一曲线上任意一点M满足|MF1|－|MF2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k，该曲线的离心率为e，则|k|·e＝________.

典型例题分析

考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义

例1、已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．

例2、某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)

【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．

变式练习1、

x2

1、在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6，0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线

25sin A－sin Cy2

－1的左支上，则________. 11sin B

y2

1上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，2、设P为双曲线x12

2

则△PF1F2的面积为

A．6

（ ）

C．3

D．24

B．12

x2y2

1的左 3、如图2所示，F为双曲线C:

916

焦点，双曲线C上的点Pi与P7ii1,2,3关于y轴对称，

则P1FP2FP3FP4FP5FP6F的值是（ ） A．9 B．16 C．18 D．27

x2y2

4、 P是双曲线221(a0,b0)左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距

ab

为2c，则PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A）a

题型2 求双曲线的标准方程：

例3、根据下列条件，求双曲线方程：

x2y2

(1)－1有共同的渐近线，且过点(－3,23)；

916x2y2

(2)1有公共焦点，且过点2，2)．

164

（B）b

（C）c

（D）abc

y2x2

例4、已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C的

164

方程．

变式练习2、

1、(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的一个焦点是10，0)，求双曲线的方程； 4

(2)已知双曲线的渐近线方程为y＝x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，求双曲线的方程．

3

2、已知双曲线的渐近线方程是y，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；

3、以抛物线y28x的焦点F为右焦点,且两条渐近线是x3y0的双曲线方程为___________________.

4、已知点M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为

x2

y2y22

1(x1) B．x1(x1) A．x88

2

y2y22

1（x > 0） D．x1(x1) C．x810

2

考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围

x2y2

例5、已知双曲线221,(a0,b0)的左，右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线的

ab

右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为

变式练习3、

4x2y2

1的一条渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率e为 1、已知双曲线

3mn

．

x2y2

2、已知双曲线221(a0,b0)的右顶点为E，双曲线的左准线与该双曲线的两

ab

渐近线的交点分别为A、B两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e是（ ）

题型2 与渐近线有关的问题

A．51 B．2 C．1或2 D．不存在

22

x2y2

例6、若双曲线221(a0,b0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的

ab

离心率为 （ ） A.2

B.

C. D.2

变式练习4、

x2y2

1、双曲线1的渐近线方程是.( )

49243

A. yx B. yx C. yx

392

9

D. yx

4

x2

2、焦点为（0，6），且与双曲线y21有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）

2

A．

y2x2y2x2x2y2x2y2

1 B．1 C．1 D．1

[**************]4

例5、中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F2＝，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.

(1)求这两曲线方程；

(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．

变式练习3、

x2y2

1、如图，已知F1、F2为双曲线1 (a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交

ab双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，

求：(1)双曲线的离心率；(2)双曲线的渐近线方程．

类型四、直线与双曲线的位置关系：

x2y2

例6、过双曲线1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐

36标原点，F1为左焦点．

(1)求AB；

(2)求△AOB的面积；

(3)求证：AF2＋BF2＝AF1＋BF1.

变式练习5、

1、直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B. (1)求实数k的取值范围；

(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

综合练习

1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为2,0

，右顶点为（Ⅰ）求双曲线C的方程

（Ⅱ）若直线l:ykxA和B且OAOB2（其中O为原点），求k的取值范围

.



2、已知直线yax1与双曲线3x2y21交于A、B点。

（1）求a的取值范围；

（2）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值； （3）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y

请求出a的值；若不存在，说明理由。

1

x对称？若存在， 2

x2y2

3、已知双曲线C：221(a0,b0)的两个焦点为F1,F2，点P是双曲线C上的

ab

． 一点，

1PF20（1）求双曲线的离心率e；

（2）过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1OP21,P2两点，若OP

27

，4

2PP1PP20，求双曲线C的方程．

1．已知双曲线的渐近线为y＝3x，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )

x2y2

－1 412x2y2

1 248

x2y2

B.1 24x2y2

D.＝1 824

x2y2

解析：选A 由题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由已知条件可得

ab

bba3，a3，即 c＝4，a2＋b2＝42，

2

a＝4，x2y2

解得2故双曲线方程为－1.

412b＝12，

2．若双曲线过点(m，n)(m＞n＞0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点( )

A．在x轴上

B．在y轴上

D．无法判断是否在坐标轴上

C．在x轴或y轴上

解析：选A ∵m＞n＞0，∴点(m，n)在第一象限且在直线y＝x的下方，故焦点在x轴上．

y2

3．已知m是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x＋＝1的离心率为( )

m

2

35或 22

2

B.D.

3

23

或 5 2

5

a－bc

解析：选D ∵m＝16，∴m＝±4，故该曲线为椭圆或双曲线．当m＝4时，eaaa＋b3c

＝.当m＝－4时，e＝5. 2aa

4.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )

A．3 3

B．2 2

c解析：选B 设焦点为F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1＝，椭圆的

ace离心率e2＝，所以2

2ae2

x2y25

5．已知P是双曲线1(a＞0，b＞0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是ab4且PF1,·PF2,＝0，若△PF1F2的面积为9，则a＋b的值为( )

A．5 C．7

B．6 D．8

解析：选C 由PF1,·PF2,＝0得PF1,⊥PF2,，设|PF1,|＝m，|PF2,|＝n，不妨设m

a＝4，1c5

＞n，则m＋n＝4c，m－n＝2a，mn＝9，，解得∴b＝

3，∴a＋b＝7.

2a4c＝5，

2

2

2

6．平面内有一固定线段AB，|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB中点，则|OP|的最小值为( )

A．3 3 2

B．2 D．1

解析：选C 依题意得，动点P位于以点A，B为焦点、实轴长为3的双曲线的一支上，结合图形可知，该曲线上与点O距离最近的点是该双曲线的一个顶点，因此|OP|的最小值等3于2

7．若双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3,0)，则实数k＝________.

解析：∵双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3,0)， 11∴132＝9，可得k＝.

k81答案：8

x2y2x2y2

8．已知双曲线C1：＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－1有相同的渐近线，且C1

ab416的右焦点为F(5，0)，则a＝________，b＝________.

x2y2b

解析：双曲线－1的渐近线为y＝±2x，则＝2，即b＝2a，又因为c＝5，a2＋

416ab2＝c2，所以a＝1，b＝2.

答案：1 2

x2y2a222

9．过双曲线1(a＞0，b＞0)的左焦点F作圆x＋y＝的切线，切点为E，延长FE

ab4交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．

解析：设双曲线的右焦点为F′.由于E为PF的中点，坐标原点O为FF′的中点，所a

以EO∥PF′，又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且|PF′|＝2×＝a，故|PF|＝3a，根据勾股定

2理得|FF′|＝a.答案：

10 2

a＝2a2

10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，2，且过点(4，－10)．点M(3，m)在双曲线上．

(1)求双曲线方程； (2)求证：MF1·MF2＝0.

解：(1)∵e2，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.

x2y2

∴双曲线方程为－＝1.

66

(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b6，∴c＝3，

∴F1(－3，0)，F23，0)， mm

∴kMF1kMF2＝，

3＋233－3m2m2

kMF1·kMF2＝39－12

∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3， 故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2. ∴MF1·MF2＝0.

11．已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.

(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2

的大小．

x2y2

解：(1)由16x－9y＝144得－1，

916

2

2

所以a＝3，b＝4，c＝5，

54

所以焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝.

33(2)由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝6， |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2

cos ∠F1PF2＝

2|PF1||PF2||PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|2＝2|PF1||PF2|＝

36＋64－100

0，

64

则∠F1PF2＝90°.

x2y2

12．如图，P是以F1、F2为焦点的双曲线C：－＝1上的一点，

ab

PF2＝0，且|PF1|＝2|PF2|. 已知PF1·

(1)求双曲线的离心率e；

(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1，P2两点，27

OP242PP1＋PP2＝0.求双曲线C的方程． 若OP1·

PF2＝0，解：(1)由PF1·得PF1⊥PF2，即△F1PF2为直角三角形．设|PF2|＝r，|PF1|

＝2r，所以(2r)2＋r2＝4c2，2r－r＝2a，即5×(2a)2＝4c

2.所以e＝5.

b

(2)e－1＝2，可设P1(x1,2x1)，P2(x2，－2x2)，P(x，y)， a27

OP2＝x1x2－4x1x2＝－4 则OP1·9

所以x1x2.①

4由2PP1＋PP

x2－x＝－2x1－x，

2＝0，得

－2x2－y＝－22x1－y，

2x1＋x222x1－x2x2y2

即x＝，y＝.又因为点P在双曲线＝1上，

33ab2x1＋x2242x1－x22

＝1.

9a9b9

又b2＝4a2，代入上式整理得x1x2＝a2.②

8由①②得a2＝2，b2＝8. x2y2

故所求双曲线方程为

1.

28

1．(2012·长春模拟)设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|PF1,＋PF2,|＝|F1F2,|2

2

B．2 D．1

ee的值为( ) e＋e12

2

解析：选A 依题意，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，不妨设m＞n.则由|PF1,＋PF2,|＝|F1F2,|得|PF1,＋PF2,|＝|PF2,－PF1,|＝|PF1,－PF2,|，即|PF1,＋PF2,|2＝|PF1,2c2c11

－PF2,|2，所以PF1,·PF2,＝0，所以m2＋n2＝4c2.又e1＝m＋n，e2＝m－ne＋e122m2＋n2ee24ce1＋e2

12＋e2e1

x2y2

2．已知双曲线1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，点(1,0)到直线

ab4

l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和sc，则双曲线的离心率e的取值范围为________．

5

xy

解析：由题意知直线l的方程为＝1，即bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式得，

ab点(1,0)到直线l的距离d1＝

ba－1

ba＋1

，同理得，点(－1,0)到直线l的距离d＝，s＝d12

a＋ba＋b

＋d2＝

2ab2ab42ab4

.由s，得≥，即5c－a≥2c2. c5c5a＋b

5

所以e－1≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，解得e2≤5.

4由于e＞1，所以e的取值范围为 答案：

5 2

5 .

2

x2y2

3．设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦

ab点到渐近线的距离为 (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y＝

－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点3

D，使OM,＋ON,＝tOD,，求t的值及点D的坐标．

b

解：(1)由题意知a＝3，故一条渐近线为yx，

2即bx－23y＝02

|bc|

3， b＋12

x2y2

得b＝3，故双曲线的方程为1.

123(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)， 则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，

将直线方程代入双曲线方程得x2－3x＋84＝0， 则x1＋x2＝3，y1＋y2＝12， 43xy3则xy

12－3＝1，

022

x0＝3，得 y0＝3，

故t＝4，点

D的坐标为3，3)．

x22

1．直线x＝2与双曲线C：－y＝1的渐近线交于E1，E2两点，记OE1,＝e1，OE2,＝e2，

4任取双曲线C上的点P，若OP,＝ae1＋be2，则实数a和b满足的一个等式是________．

2a＋2b＝x0，

解析：可求出e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)，设P(x0，y0)，则则(a＋b)2－(a

a－b＝y0，

1

－b)2＝1，得ab＝4

1

答案：ab＝4

x2y2

2．已知双曲线＝1的左，右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲

abπ

线一个交点为P，且∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为________________．

6

bbπ2bc，，则|PF2|＝，又∠PF1F2＝|PF1|＝解析：根据已知得点P的坐标为aa6a2b2b2b2b

故2a，所以22，所以该双曲线的渐近线方程为y＝2x. aaaa

答案：y＝2x

3．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA―→,·OB―→,＞2(其中O为原点)，求k的取值范围．

x2y2

解：(1)设双曲线C的方程为－1(a＞0，b＞0)，

ab由已知得a3，c＝2，再由c2＝a2＋b2得b2＝1， x22

所以双曲线C的方程为－y＝1.

3x22

(2)将y＝kx＋代入y＝1，

3

整理得(1－3k2)x2－2kx－9＝0，

2

2

2

1－3k≠0，

由题意得

Δ＝6k2＋361－3k2＝361－k2＞0，

1

故k2≠且k2＜1，①

3

6k

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB

1－3k－9

xA·xB

1－3k2

OB,＞2得xAxB＋yAyB＞2， 由OA,·

又xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋kxB＋＝(k2＋1)xAxB＋2k(xA＋xB)＋2

－93k2＋762k

＝(k＋2k＋2＝，

1－3k1－3k3k－1

2

3k2＋7－3k2＋9

于是2＞0，

3k－13k－1

1

解不等式得k2＜3，②

31

由①②得＜k2＜1，

3所以k的取值范围为－1，－



3∪1. 33