中文题目：凸函数的性质及其应用
英文题目：The Property and Applications of Convex
Functions
完 成 人： 指导教师：
系（院）别：数学与信息科技学院 专业、班级：数学与应用数学0602班 完成时间：二〇一〇年六月
河北科技师范学院数信学院 制
目 录
中文摘要 ............................................................. 1 1 引言 ............................................................... 1 2 预备知识 ........................................................... 1 2.1 凸函数的定义 .................................................... 2 2.2凸函数的运算性质 ................................................. 2 2.3 Jesen不等式 ...................................................... 2 3 本文的主要结果 . ..................................................... 3 3.1 凸函数的连续性 .................................................. 3 3.2 凸函数的微分性质 ................................................ 3 3.3 凸函数的积分性质 ................................................ 6 3.4 Jesen不等式及凸函数性质的应用 .................................... 7 结束语 .............................................................. 12 参考文献 ............................................................ 12 英文摘要 ............................................................ 13 致谢 .................................................................. 13
凸函数的性质及其应用
(河北科技师范学院数学与信息科技学院 数学与应用数学专业0602班)
指导教师：
摘 要: 凸函数是一类重要的函数，它在数学理论研究中涉及了许多数学命题的讨论证明和应用。本文将散见于多种文献中的材料加以汇总并系统化，从凸函数的定义出发, 讨论了定义在某区间上的凸函数经四则运算生成新的函数的凸性以及连续凸函数的一些性质，对凸函数的连续性、可微性、可积性等分析性质加以系统论述。并且讨论了凸函数Jesen 不等式和凸函数性质在不等式证明中的应用。 关键词: 凸函数；不等式；证明
1 引言
凸分析是近年来凹凸函数发展起来的一门应用十分广泛的数学分支, 它在数学规划、控制论、
【3】
多元统计等领域都有广泛的应用，尤其是在最优化理论方面的应用更为突出。对函数凹凸性的研究, 在数学分析的多个分支都有用处，特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面, 凸函数有
【】
着十分重要的作用4。人们对凸分析的自身理论发展也进行了广泛深入的研究, 凸函数的性质也有所发展。函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态, 把握区间上的整体性态, 不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象, 而且有助于对函数的定性分析。对函数凹凸性的研究, 在数学分析的多个分支都有用处。在凸规划理论、尤其是非线性最优化中，函数的凸性分析是最基本的，又是
【】
最重要的7。
凸函数的定义, 最早是由Jenser 给出。本世纪初建立了凸函数理论以来, 凸函数这一重要概念
【】
已在许多数学分支中得到了广泛应用8。凸函数涉及了许多数学命题的讨论证明和应用，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。应用研究方面，凸函数作为一类特殊函数在
【】
现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用10。由于凸函数具有较好的几何和代数性质, 在数学规划中有着广泛的应用背景, 一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出。数理经济学中, 对风险厌恶的度量, 也可以表现为对效用函数凸性的选
【】
择，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了11。另外, 由于凸函数理论的广泛性, 因此对其理论的研究成果还有待进一步的深入和推广。
2 预备知识
2.1 凸函数的定义
定义1
【10】
设f (x ) 在区间I 内有定义, 如果对任意的x 1 , x 2∈I , (x 1≠x 2) , 总有
, 则称函数f (x ) 是区间I 内的凸函数, 并称f (x ) f [(1-λ) x 1+λx 2]
f [(-1λx ) +λx >]12
函数。
定义2
【
, x 则称函数f (x ) 是区间I 内的凹函数, 并称f (x ) (-1λf ) 1x (+λ) f 2()
在I 内的图形是向上凸的。若式子中的不等式改为严格不等式, 则相应的函数称为严格凸（凹）
10】
设f (x ) 在区间I 上连续, 如果对I 上任意两点x 1, x 2(x 1≠x 2) , 恒有
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
)
x +x 2f (x 1) +f (x 2)
)
内的图形是向上的。
定义3
【10】
设函数f (x ) 在I 内可导, 对任意x 0∈I , 如果过点M (x , f (x 0)) 的切线位于
y =f (x ) 的下方, 即f (x ) >f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) , x 0∈I 则称函数f (x ) 为I 内的凸函数; 如
果有过点M (x , f (x 0)) 的切线位于y =f (x ) 的上方, 即f (x )
定义4
【10】
设函数f (x ) 在I 内可导, 如果f '(x ) 在I 内是递增的, 则称函数y=f '(x ) 为I 内
的凸函数; 如果f '(x ) 在I 内是递减的, 则称函数y=f '(x ) 为I 内的凹函数。
2.2凸函数的运算性质
定理2.2.1定理2.2.2
【7】
若f (x ), g (x ) 均为[a , b ]上的凸函数，则f (x ) +g (x ) 也是[a , b ]上的凸函数。 设f 1(x ) 为[a , b ]上的凸函数，λ为正常则λf (x ) 也为[a , b ]上的凸函数。 若ϕ(u ) 是单调递增的凸函数，u =f (x ) 也是凸函数，则复合函数ϕ[f (x )]也是
【7】
定理2.2.3凸函数。
【7】
定理2.2.4
【7】
设f (x ) 与g (x ) 都是[a , b ]上的非单调递增的凸函数，则h (x ) =f (x ) g (x ) 也是
其上的凸函数。
2.3 Jesen不等式
定理2.3.1
【9】
该不等式称为Jensen 不等式, 该性质是凸函数的一个重要性质, 也是定义的一般情况. 可以说,
凸函数在不等式证明中的应用很大程度上是由Jensen 不等式来体现的, 因为每个凸函数都有一个Jensen 不等式, 因而它在一些不等式证明中有着广泛的应用. 利用它我们可以推出常用的一些重要公式, 为我们证明不等式开辟了一条新路。
推论1：设f (x )在(a , b )为凸函数，x i ∈(a , b )，i =1,2, , n ，则
⎛n ⎫n
i =1, 2, , n , ∑λi =1 ，有f ∑λi x i ⎪≤∑λi f (x i )
i =1⎝i =1⎭i =1
n
Jesen 不等式：若f 为[a , b ]上的凸函数, 则对任意x i ∈[a , b ]，λi >0,
f (x 1)+f (x 2)+ +f (x n )⎛x +x + +x n ⎫
≤f 12⎪，
n n ⎝⎭
当且仅当x 1=x 2= =x n 时等号成立。
3 本文的主要结果
下面我们探讨凸函数的分析性质：
3.1凸函数的连续性
定理3.1.1若f (x ) 在区间I 为凸函数，则f (x ) 在区间I 的任意一点x 连续。 证明：因x 为内点，故∃x 1, x 2∈I ，使x 1
f (x 1) -f (x ) f (x 2) -f (x )
，≤
x 1-x x 2-x
且当x 1f (x 1) -f (x ) f (x 1) -f (x ) '
严格增加，由单调有界性定理知f -(x ) =lim -存
x →x x 1-x x 1-x 1
在，即f (x ) 在内点x 左可导，同理可证f (x ) 在内点x 右可导，从而f (x ) 在内点x 连续，因此
f (x ) 在区间I 的任意一点x 连续。
3.2凸函数的微分性质
定义 1 设f 为[a , b ]上的凸函数，x ∈(a , b )若常数p 满足：
f (y )≥f (x )+p (y -x ), ∀y ∈[a , b ]
则称常数p 为f 在x 的一个次梯度；f 在x 的所有次梯度构成一个集合, 称为f 在x 的次微 分 ，记为∂f (x )，即
∂f (x )={
p ∈R f (y )≥f (x )+p (y -x ), ∀y ∈[a , b ]}
因为∂f (x )是一个非空闭凸集，且当f 在x 可 微时有∂f (x )={f ' (x )}
。
引理 1 设f 为[a , b ]上的连续凸函数, x ∈(a , b )，则x 为f 在[a , b ]上的极小值 点当且仅当0∈∂f (x )。
证明 因为f 在[a , b ]上连续，所以f 在[a , b ]上有界。 设若p ∈∂f (x )。则有
f (y )≥f (x ), ∀y ∈[a , b ]
即f (y )≥f (x ), ∀y ∈[a , b ]，所以x 为f 在[a , b ]上的极小值点。 反之，如果x 为f 在[a , b ]上的极小值点，则必有
f (y )≥f (x ), ∀y ∈[a , b ]
所以由定义1 知p ∈∂f (x )。
定理3.2.1 设f 为[a , b ]上的连续凸函数，则对于任意的x 0∈(a , b )及任意的p ∈∂f (x 0)，总存在两个异于x 0的点x 1 ，x 2∈[a , b ], 使得
证明 我们分两种情况来证明结论： 1) p =0 的情形。
此时，据引理1 可知f (x 0) 为f 在[a , b ]上的极小值 ( i) 如果f (a )=f (b )，可取x 1=a ，x 2=b ，使得：
f (x 2)-f (x 1)
=p
x 2-x 1
f (x 2)-f (x 1)
=0=p
x 2-x 1
( ii) 如果f (a )≠f (b )。 不失一般性 ，可设f (a )
当f (a )=f (x 0) 时 ，由f (x 0)为f 在[a , b ]上的极小值及f 的凸性可知
f (x 0)≤f (λa +(1-λ)x 0)≤λf (a )+(1-λ)f (x 0)=f (x 0)，∀λ∈[0,1]
这表明f 在[a , x 0]上取常值, 此时令x 1=
2a +x 0a +2x 0
，x 2=就有 33
f (x 2)-f (x 1)
=0=p
x 2-x 1
当f (a )>f (x 0)时 ，注意到f (x 0)
f (x 2)-f (x 1)
=0=p
x 2-x 1
2) p ≠0的情形。
构造函数F :[a , b ]→R , 这里F (x )=f (x )-f (a )-p (x -a )。 则F 满足： ( i) F 为[a , b ]上的连续凸函数； ( ii) p ∈∂F (x 0)。
第一点很容易验证. 以下来说明第二点.
事实上, 由于p ∈∂F (x 0)，据次梯度的定义可知
f (x )≥f (x 0)+p (x -x 0)，∀x ∈[a , b ]
于是有
f (x )-f (a )-p (x -a )≥f (x 0)-f (a )-p (x 0-a )+p (x -x 0), ∀x ∈[a , b ]
这表明p ∈∂F (x 0)。由情形1 可知, 此时存在两个异于x 0的点x 1 ，x 2∈[a , b ] 使得
F (x 2)-F (x 1)
=0
x 2-x 1
即
F (x 2)-F (x 1)
=P 证毕.
x 2-x 1
当f 在x 可微时有f 在∂f (x )=f (x )。于是得到:
推论2 设f 在[a , b ]上为连续凸函数， 在(a , b )内可导，则对于任意的x 0∈(a , b )， 总存在两个异于x 1 ，x 2∈[a , b ]，使得 F (x 2)-F (x 1)
=f ' (x 0)
x 2-x 1
当f 严格凸时 ，必有f (x 0)≠f (a )，或f (x 0)≠f (b )，于是由定理3.2.1可得：
推论3 设f 为[a , b ]上的连续严格凸函数 ，则对于任意的x 0∈(a , b )及任意的p ∈∂f (x 0)， 总存x 1, x 2∈[a , b ]，x 1≤x 0≤x 2, 使得 f (x 2)-f (x 1)
=p
x 2-x 1结合推论1又可得
推论4 设f 在[a , b ]上为连续严格凸函数，在(a , b )内可导，则对于任意的x 0∈(a , b )， 总存在x 1, x 2∈[a , b ]，x 1≤x 0≤x 2，使得
{}
f (x 2)-f (x 1)
=p .
x 2-x 1
3.3凸函数的积分性质
' '
引理1 设f 是[a , b ]上的连续凸函数，则f -(x )与f +(x )在(a , b )内存在，且对
∀x 1, x 2∈(a , b )，x 1
f -' (x 1)≤f +' (x 1)≤f -' (x 2)≤f +' (x 2)
引理2 设f 是[a , b ]上的凸函数，对∀x 1, x 2∈[a , b ], x 1
f -' (ζ)≤
f (x 1)-f (x 2)
≤f +' (ζ)
x 1-x 2
引理3 设f 是(a , b )上的凸函数，则f 在(a , b )上除至多只有可数个点外，处处可导。 定理3.3.1设f 是[a , b ]上的连续凸函数， f ([a , b ])=[c , d ]. 若g 在[c , d ]上连续且不变号，其一个原函数是F ，则
b
F (f (b )) -F (f (a )) =⎰g (f (x )) f -'(x ) dx =⎰g (f (x )) f +' (x ) dx （1）
a
a
b
证明 情形1 f +(a )与f -(b )均存在。定义f -' (a )=f +' (a )与f +' (b )=f -' (b )，由引理1可知：
f +' 与f -' 在[a , b ]上单调递增。从而可知（1）中两个积分有意义，
不妨设g 在[c , d ]上非负，令
x i =a +
(b -a )i (i =
n
0, 1, 2, n 。,
由微分中值定理及引理2可知：存在ζi ，ζi ∈[x i -1, x i ]，使 F f (x i )-F f (x i -1)=g
()())-)(f x )， (f (ζ))(f (x
i
i
-i 1
f -' (ζi ' )
n
b -a b -a
≤f (x i )-f (x i -1)≤f +' (ζi ' )，(i =1,2, , n )。由g 非负及上两式可得 n n
∑g (f (ζi ))f -' (ζi ' )
i =1n
b -a
n
≤∑⎡⎣F (f (x i ))-F (f (x i -1))⎤⎦
i =1
=F f (b )-F f (a )≤
()(
'
)
∑g (f (ζi ))f +' (ζi )
i =1
n
b -a
（2） n
对式两端让n →+∞，则有
f a g f (x )f -(x )dx ≤F f (b )-F f (a )
b
()()()
≤f a b g f (x )f +(x )dx （3） 由引理3知：f -' =f +' 在[a , b ]上几乎处处成立，则（3）式两端相等，即（1）式成立。
情形2 条件1 f +' (a )=∞，f -' (b )存在；条件2 ，f +' (a )存在，f -' (b )=∞；条件3，f +' (a )=∞，
()
f -' (b )=∞。由已知条件知：F (f (x ))在[a , b ]上连续。
当条件1成立时，则
⎰
b
a
g (f (x ))f +' (x )dx =lim +⎰
λ→0
b
a +λ
g (f (x ))f +' (x )dx
⎡F f (b )-F f (a +λ)⎤ =lim ⎦ λ→0+⎣
=F f (b )-F f (a )
即（1）式成立。
当条件2或条件3成立时，同理可证（1）成立，证毕。
推论5 设f 是[a , b ]上的连续凸函数，f
()()
()()
([a , b ])=[c , d ]若在[c , d ]上连续且至多只有有限
个零点，其一个原函数是F ，则（1）式仍成立。
定理3.3.2 设f 是[a , b ]上的连续凸函数，g 在[a , b ]上有连续的导函数且至多只有有限个零点，则
b
-
b
+
⎰g (f (x )) f '(x ) dx =⎰g (f (x )) f '(x ) dx =g (x ) f (x ) -⎰f (x ) g '(x ) dx . （4）
a
a
a
a
b
b
证明 先假设g 在[a , b ]上不变号，不妨设g 在[a , b ]上非负（同理可证非正的情形），且
f +' (a )与f -' (b )均存在，令
x i =a +
(b -a )
n
i
(i =0, 1, 2, n ), 。
由微分中值定理及引理2可得：存在ζi ，ζi ' ∈[x i -1, x i ]，使下式成立
b -a n ' ' ∑g (x i )f (ζi )+∑g (ζi )f -(x i -1)(x i -x i -1)
n i =1i =1
'
-
n
≤
x (g ))x (f )⎤)-(f x ))+((g )-∑⎡⎣g (x )(f (x ⎦ x
i
i
-i 1
i
-1i
-1i
i =1n
n
=
∑⎡⎣g (x )f (x )-g (x )f (x )⎤⎦
i
i
i -1
i -1
i =1
b -a n '
=g (x )f (x )⎰≤∑g (x i )f (ζi )+∑g (ζi )f (x i -1)(x i -x i -1)
a n i =1i =1
b
'
+
n
对上式两端让n →+∞，则有
⎰
b
a
g (x )f
b
' -
(x )dx +⎰a f (x )g ' (x )dx ≤g (x )f (x )a
' -
b
' +
b
b b
≤⎰a g (x )f (x )dx +⎰a g (x )f (x )dx +⎰a f (x )g ' (x )dx
由引理3知：f -' =f +' 在[a , b ]上几乎处处成立，则上式两端相等，即4式成立。
当f +' (a )=∞与f -' (b )存在，f +' (a )存在与f -' (b )=∞，f +' (a )=∞与f -' (b )=∞三者之一成立时，则仿照定理1中情形2的证法亦可证得（4）式成立。
当g 在[a , b ]上有有限个零点时，则仿照定理3.3.1的推论的证法亦可证得（4）式成立。证毕。
3.2 Jesen不等式及凸函数性质的应用
例1 用Jensen 不等式证明:霍尔德(H lder)不等式
设a i , b i >0, i =1, 2, n , 有
∑a i b i ≤[∑a i p ][∑b ]，其中p >0, q >0,
i =1
i =1
i =1
n n
1
p
n
1q q i
11+=1 p q
证明:(1)令f (x ) =x p , p >1, x >0, 因为f ''(x ) =p (p -1) x p -1>0，由判定定理知f (x ) =x p ，
p >1, x >0，在(0, +∞) 上是严格凸函数，由Jensen 不等式，得到(∑λi x i ) ≤∑λi x i p ，今设
p
i =1
i =1
n n
u 1, u 2 u n 为非负实数且∑u i ≠0，在上述表达式中以
i =1
n
u i
∑
i =1
n
u i
代替λi ，得到
(∑u i x i ) ≤(∑u x )(∑u i ) p -1
p
p i i
i =1
i =1
i =1
n n n
n
11q 1-q p
由题设+=1知q =-1，令u i =b i , x i =a i b i ，不妨设∑b i ≠0，代入上式便得Holder
p q i =1
不等式
∑a b
i =1
n
i i
≤[∑a ][∑b ].
p
i i =1
i =1
n
1p
n
1q q i
特别地，取p =q =2时就得到Cauchy 不等式：
∑a b ≤∑a ∑b
i i
2i
i =1
i =1
i =1
n n n
2i
.
例2 Minkowski 不等式：设a i >0，b i >0，(i =1,2, , n )k >1，证明：
⎛
(a i +b i ) ∑⎝i =1
n
k
⎫⎛⎫⎛⎫
≤ ∑a i k ⎪+ ∑b i k ⎪ ⎪⎪⎝i =1⎭⎝i =1⎭⎭
n
n
1k
1k 1k
证 因为
∑(a i +b i )
i =1k
n
n
k
=∑a i (a i +b i )
i =1
n
k -1
+∑b i (a i +b i )
i =1
n
k -1
利用 Hoeder 不等式得
∑(a i +b i )
i =1
n
⎛⎫≤ ∑a i k ⎪⎝i =1⎭
1k
∑(a i +b i )
i =1
n
(k -1)
⎛⎫k ' + ∑b i k ⎪
⎝i =1⎭
⎫⎪⎪ ⎪⎭
n
1k
∑(a i +b i )
i =1
n
k -1
k '
111⎛⎡n ⎤k k ' n n k k ⎛⎫⎛⎛k ⎫k ⎫⎥ ⎢= ∑a i ⎪+ ∑b i ⎪ ∑(a i +b i )⎪⎪⎢⎝i =1⎭⎝i =1⎭⎥ i =1⎝⎭⎣⎦⎝
1
'
11⎛k ⎫k
（其中+' =1），并对此式两边除以 ∑(a i +b i )⎪
k k ⎝i =1⎭
n
即得
⎛
(a +b )∑⎝
i
i
i =1
n
k
⎫⎛⎛k ⎫k ⎫≤a +b ∑∑i ⎪i ⎪ ⎪
⎭⎝i =1⎭⎝i =1⎭
1k
n
1k
n
1k
例3 利用凸函数导出常用的不等式 1 几何平均值不大于算术平均值
设a >0, a ≠1考虑指数函数y =a ，x ∈(0, +∞)是凸函数，从而对∀x 1, x 2, , x n ∈(0, +∞)，
x
∀λ1, λ2, , λn ∈(0,1), ∑λk =1，有
k =1
n
a λ1x 1+λ2x 2+ +λn x n ≤λ1a x 1+λ2a x 2+ +λn a x n
令λ1=λ2= =λn =则得到，
∀a 1, a 2, , a n ≥0，(a 1a 2 a n )≤
1n
1x x x
，a 1=a 1，a 2=a 2，„„，a n =a n n
a 1+a 2+ +a n
n
这就是人们熟知的“几何平均值大于算术平均值”定理。 2 算术平均值不大于平方平均值
考虑二次函数y =x ，x ∈(0, +∞)是凸函数，从而有
2
∀x 1, x 2, , x n ∈(0, +∞)
∀λ1, λ2, , λn ∈(0,1), ∑λk =1
k =12
n
(λ1x 1+λ2x 2+ +λn x n )
≤λ1x 12+λ2x 22+ +λn x n 2，令λ1=λ2= =λn =
1
，即得
n
x 1+x 2+ +x n ≤
n 这就是“算术平均值不大于平方平均值”
3 一般的平均值定理
考虑一般的冥函数y =x p ，p ≥1，x ∈(0, +∞)是凸函数，那么同样可以有
x 1+x 2+ +x n ⎛x 1+x 2+ +x n ⎫
≤ ⎪
n n ⎝⎭
这就是一般的平均值定理，它可以称为：算术平均不大于p (p ≥1)次平均。 例4 已知：x i ∈(0, π), i =1,2, , n ，求证：
p p p
1
p
sin x 1+sin x 2+ +sin x n x +x + +x n
≤sin 12
n n
证明：设f (x )=sin x ，因为f '' (x )=-sin x ，所以f (x )在(0, π)为凸函数，由Jesen 不等式的推论知，
sin x 1+sin x 2+ +sin x n x +x + +x n
≤sin 12
n n
例5 求证：
1+
（n 为正整数） + >
n +1
3-5x >0) ，因为f ' (x )=-x 2，由定理1f (x )在(0,+∞) 为凸函数，证明：设f (
x )=4由Jesen 不等式的推论知，
所以
1 + >
n +1
例6
ϕ(t ) =⎨
⎧0t ∈(a , b )
这个函数显然在t =a , t =b 不连续，但ϕ(t ) 在[a , b ]上是凸函数。因
⎩1t =a , b
∀t 1
ϕ[qt 1+(1-q ) t 2]≤q ϕ(t 1) +(1-q ) ϕ(t 2) （1）这是由于：ϕ[qt 1+(1-q ) t 2]=0. 因qt 1+(1-q ) t 2∈(a , b )
⎧0
⎪q ⎪
而q ϕ(t 1) +(1-q ) ϕ(t 2) =⎨
⎪1-q ⎪⎩1
t 1≠a , t 2
t 1=a , t 2t 1≠a , t 2t 1=a , t 2
≠b ≠b =b =b
综上所述，式（1）是恒成立的。即ϕ(t ) 在[a , b ]上是凸函数。ϕ(t ) 只在(a , b ) 内连续，在端点处不连续。
例7 设f 是[a , b ]上非常值的单调连续凸函数(0
⎰
b
a
x (f -'(x )) 2dx
b a
bf (x ) -af (a ) -⎰f (x ) dx
(1)
在（1）式中，将“f -'”换成“f +'”，则（1）式仍成立。 证明： 由推论5可得
f (b ) -f (a ) =⎰f -'(x ) dx （2）
a
b
由定理3.3.1可得
bf (b ) -af (a ) -⎰f (x ) dx =⎰x f -'(x ) dx （3）
a
a
b b
由（2）（3）式及已知可得（1）式等价于
⎰
b
a
x (f -'(x )) 2dx ⎰f -'(x ) ≥⎰(f -'(x )) 2dx ⎰x f -'(x ) dx （4）
a
a
a
b b b
记I =
⎰
b
a
x (f -'(x )) 2dx ⎰f -'(x ) dx -⎰(f -'(x )) 2dx ⎰x f -'(x ) dx
a
a
a
b b b
b
b
=⎰dx ⎰y f -'(y ) f -'(x )(f -'(y ) -f -'(x )) dy （5）
a
a
交换上式中x 与y 的位置，则可得
I =⎰dx ⎰x f -'(x ) f -'(y )(f -'(x ) -f -'(y )) dy （6）
a
a
b b
将（5）与（6）两式相加可得
I =
b 1b
dx f -'(x ) f -'(y )(f -'(x ) -f -'(y ))(x -y ) dy （7） 2⎰a ⎰a
'(x ) f -'(y ) ≥0，f -'(x ) 单调递增。再由（7）式由f 是[a , b ]上非常值的单调连续凸函数可得：f -
可得I ≥0. 从而由（5）式可知（4）式成立，即（1）式成立，证毕。 例8 设f 是[a , b ]上连续凸函数，记m =inf{f (x ) |x ∈(a , b )}. 则有
c
⎰|f '(x ) |dx ≤f (a ) +f (b ) -2m . (1)
a
-
'(x ) ”换成“f +'(x ) ”仍成立。 在上式中将“f -
证明：由设f 是[a , b ]上连续凸函数可得：存在c ∈[a , b ]使m =f (c ) ，且f (x ) 在[a , c ]与[c , b ]上分别单调递减与单调递增且均连续，再由推论5可得
⎰
c
a b
|f -'(x ) |dx =-⎰f -'(x ) dx =-(f (c ) -f (a )) ，
a
c
⎰
c
|f -'(x ) |dx =⎰f -'(x ) dx =(f (b ) -f (c )) .
c
b
将上两式相加并整理可得（1）式。证毕。
结束语：
从上述对凸函数的性质的讨论和在一些证明中的应用可知, 连续凸函数具有一些非常好的性质, 在数学各个领域中都有着广泛的应用。 但由于凸函数理论的广泛性, 因此对凸函数理论的研究成果还需进一步的深入和推广.
参考文献：
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southwest University for Nationalities, 2005, 2 (31): 2-3.
[2] Hehua Jiao. h-Convex Functions [J]. Journal of Kunming University of Science and Technology,
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[3] 张景丽, 陈蒂. 凸函数在不等式证明中的应用[N]. 教学与方法. [4] 蒲义书, 陈露. 凸函数概述[N]. 高等数学研究, 2006, 4 (9): 1-2.
[5] Mi Zhou, Yong Wang, Xiaolan Liu, Qiang Bai. Properties of D- -properly Prequasiinvex
Functions [J]. Journal of Hainan Normal University, 2009, 4 (22): 2-3.
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The Property and Applications of Convex Functions
Zhang Lu-ying
Class 0602, Major of mathematics and applied mathematics,
Department of Mathematics and Physics, He bei Normal University of Science & Technology
Tutor: Liu Li-jing
Abstract Convex function is a function of importance in mathematical analysis. In mathematics theory study it involves a lot of mathematical proposition’s discussion and proof. This paper will study several convex function definitions and have the literature materials summarized and systematized. Based on the definition of convex function, it will discuss the new function generated from the four arithmetic operations of the convex functions which are defined in a interval. Also convex functions’ continuity, differentiability and integrability will be systematically discussed in this paper. Then it studies the application of the properties of convex function and Jessen inequality in the proof of inequality, and takes examples to illustrate the ideas and solving methods. Several common important inequations will be proved.
Key words Convex function; Inequality; Prove
致 谢
在论文进行过程中，刘丽静给予我大力支持，提供了大量重要文献，指导我完成论文初稿并帮助我反复修改，在此表示衷心的感谢。四年以来许多老师为我顺利完成学业倾注了大量心血，在此也谨致谢意!
中文题目：凸函数的性质及其应用
英文题目：The Property and Applications of Convex
Functions
完 成 人： 指导教师：
系（院）别：数学与信息科技学院 专业、班级：数学与应用数学0602班 完成时间：二〇一〇年六月
河北科技师范学院数信学院 制
目 录
中文摘要 ............................................................. 1 1 引言 ............................................................... 1 2 预备知识 ........................................................... 1 2.1 凸函数的定义 .................................................... 2 2.2凸函数的运算性质 ................................................. 2 2.3 Jesen不等式 ...................................................... 2 3 本文的主要结果 . ..................................................... 3 3.1 凸函数的连续性 .................................................. 3 3.2 凸函数的微分性质 ................................................ 3 3.3 凸函数的积分性质 ................................................ 6 3.4 Jesen不等式及凸函数性质的应用 .................................... 7 结束语 .............................................................. 12 参考文献 ............................................................ 12 英文摘要 ............................................................ 13 致谢 .................................................................. 13
凸函数的性质及其应用
(河北科技师范学院数学与信息科技学院 数学与应用数学专业0602班)
指导教师：
摘 要: 凸函数是一类重要的函数，它在数学理论研究中涉及了许多数学命题的讨论证明和应用。本文将散见于多种文献中的材料加以汇总并系统化，从凸函数的定义出发, 讨论了定义在某区间上的凸函数经四则运算生成新的函数的凸性以及连续凸函数的一些性质，对凸函数的连续性、可微性、可积性等分析性质加以系统论述。并且讨论了凸函数Jesen 不等式和凸函数性质在不等式证明中的应用。 关键词: 凸函数；不等式；证明
1 引言
凸分析是近年来凹凸函数发展起来的一门应用十分广泛的数学分支, 它在数学规划、控制论、
【3】
多元统计等领域都有广泛的应用，尤其是在最优化理论方面的应用更为突出。对函数凹凸性的研究, 在数学分析的多个分支都有用处，特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面, 凸函数有
【】
着十分重要的作用4。人们对凸分析的自身理论发展也进行了广泛深入的研究, 凸函数的性质也有所发展。函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态, 把握区间上的整体性态, 不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象, 而且有助于对函数的定性分析。对函数凹凸性的研究, 在数学分析的多个分支都有用处。在凸规划理论、尤其是非线性最优化中，函数的凸性分析是最基本的，又是
【】
最重要的7。
凸函数的定义, 最早是由Jenser 给出。本世纪初建立了凸函数理论以来, 凸函数这一重要概念
【】
已在许多数学分支中得到了广泛应用8。凸函数涉及了许多数学命题的讨论证明和应用，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。应用研究方面，凸函数作为一类特殊函数在
【】
现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用10。由于凸函数具有较好的几何和代数性质, 在数学规划中有着广泛的应用背景, 一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出。数理经济学中, 对风险厌恶的度量, 也可以表现为对效用函数凸性的选
【】
择，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了11。另外, 由于凸函数理论的广泛性, 因此对其理论的研究成果还有待进一步的深入和推广。
2 预备知识
2.1 凸函数的定义
定义1
【10】
设f (x ) 在区间I 内有定义, 如果对任意的x 1 , x 2∈I , (x 1≠x 2) , 总有
, 则称函数f (x ) 是区间I 内的凸函数, 并称f (x ) f [(1-λ) x 1+λx 2]
f [(-1λx ) +λx >]12
函数。
定义2
【
, x 则称函数f (x ) 是区间I 内的凹函数, 并称f (x ) (-1λf ) 1x (+λ) f 2()
在I 内的图形是向上凸的。若式子中的不等式改为严格不等式, 则相应的函数称为严格凸（凹）
10】
设f (x ) 在区间I 上连续, 如果对I 上任意两点x 1, x 2(x 1≠x 2) , 恒有
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
)
x +x 2f (x 1) +f (x 2)
)
内的图形是向上的。
定义3
【10】
设函数f (x ) 在I 内可导, 对任意x 0∈I , 如果过点M (x , f (x 0)) 的切线位于
y =f (x ) 的下方, 即f (x ) >f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) , x 0∈I 则称函数f (x ) 为I 内的凸函数; 如
果有过点M (x , f (x 0)) 的切线位于y =f (x ) 的上方, 即f (x )
定义4
【10】
设函数f (x ) 在I 内可导, 如果f '(x ) 在I 内是递增的, 则称函数y=f '(x ) 为I 内
的凸函数; 如果f '(x ) 在I 内是递减的, 则称函数y=f '(x ) 为I 内的凹函数。
2.2凸函数的运算性质
定理2.2.1定理2.2.2
【7】
若f (x ), g (x ) 均为[a , b ]上的凸函数，则f (x ) +g (x ) 也是[a , b ]上的凸函数。 设f 1(x ) 为[a , b ]上的凸函数，λ为正常则λf (x ) 也为[a , b ]上的凸函数。 若ϕ(u ) 是单调递增的凸函数，u =f (x ) 也是凸函数，则复合函数ϕ[f (x )]也是
【7】
定理2.2.3凸函数。
【7】
定理2.2.4
【7】
设f (x ) 与g (x ) 都是[a , b ]上的非单调递增的凸函数，则h (x ) =f (x ) g (x ) 也是
其上的凸函数。
2.3 Jesen不等式
定理2.3.1
【9】
该不等式称为Jensen 不等式, 该性质是凸函数的一个重要性质, 也是定义的一般情况. 可以说,
凸函数在不等式证明中的应用很大程度上是由Jensen 不等式来体现的, 因为每个凸函数都有一个Jensen 不等式, 因而它在一些不等式证明中有着广泛的应用. 利用它我们可以推出常用的一些重要公式, 为我们证明不等式开辟了一条新路。
推论1：设f (x )在(a , b )为凸函数，x i ∈(a , b )，i =1,2, , n ，则
⎛n ⎫n
i =1, 2, , n , ∑λi =1 ，有f ∑λi x i ⎪≤∑λi f (x i )
i =1⎝i =1⎭i =1
n
Jesen 不等式：若f 为[a , b ]上的凸函数, 则对任意x i ∈[a , b ]，λi >0,
f (x 1)+f (x 2)+ +f (x n )⎛x +x + +x n ⎫
≤f 12⎪，
n n ⎝⎭
当且仅当x 1=x 2= =x n 时等号成立。
3 本文的主要结果
下面我们探讨凸函数的分析性质：
3.1凸函数的连续性
定理3.1.1若f (x ) 在区间I 为凸函数，则f (x ) 在区间I 的任意一点x 连续。 证明：因x 为内点，故∃x 1, x 2∈I ，使x 1
f (x 1) -f (x ) f (x 2) -f (x )
，≤
x 1-x x 2-x
且当x 1f (x 1) -f (x ) f (x 1) -f (x ) '
严格增加，由单调有界性定理知f -(x ) =lim -存
x →x x 1-x x 1-x 1
在，即f (x ) 在内点x 左可导，同理可证f (x ) 在内点x 右可导，从而f (x ) 在内点x 连续，因此
f (x ) 在区间I 的任意一点x 连续。
3.2凸函数的微分性质
定义 1 设f 为[a , b ]上的凸函数，x ∈(a , b )若常数p 满足：
f (y )≥f (x )+p (y -x ), ∀y ∈[a , b ]
则称常数p 为f 在x 的一个次梯度；f 在x 的所有次梯度构成一个集合, 称为f 在x 的次微 分 ，记为∂f (x )，即
∂f (x )={
p ∈R f (y )≥f (x )+p (y -x ), ∀y ∈[a , b ]}
因为∂f (x )是一个非空闭凸集，且当f 在x 可 微时有∂f (x )={f ' (x )}
。
引理 1 设f 为[a , b ]上的连续凸函数, x ∈(a , b )，则x 为f 在[a , b ]上的极小值 点当且仅当0∈∂f (x )。
证明 因为f 在[a , b ]上连续，所以f 在[a , b ]上有界。 设若p ∈∂f (x )。则有
f (y )≥f (x ), ∀y ∈[a , b ]
即f (y )≥f (x ), ∀y ∈[a , b ]，所以x 为f 在[a , b ]上的极小值点。 反之，如果x 为f 在[a , b ]上的极小值点，则必有
f (y )≥f (x ), ∀y ∈[a , b ]
所以由定义1 知p ∈∂f (x )。
定理3.2.1 设f 为[a , b ]上的连续凸函数，则对于任意的x 0∈(a , b )及任意的p ∈∂f (x 0)，总存在两个异于x 0的点x 1 ，x 2∈[a , b ], 使得
证明 我们分两种情况来证明结论： 1) p =0 的情形。
此时，据引理1 可知f (x 0) 为f 在[a , b ]上的极小值 ( i) 如果f (a )=f (b )，可取x 1=a ，x 2=b ，使得：
f (x 2)-f (x 1)
=p
x 2-x 1
f (x 2)-f (x 1)
=0=p
x 2-x 1
( ii) 如果f (a )≠f (b )。 不失一般性 ，可设f (a )
当f (a )=f (x 0) 时 ，由f (x 0)为f 在[a , b ]上的极小值及f 的凸性可知
f (x 0)≤f (λa +(1-λ)x 0)≤λf (a )+(1-λ)f (x 0)=f (x 0)，∀λ∈[0,1]
这表明f 在[a , x 0]上取常值, 此时令x 1=
2a +x 0a +2x 0
，x 2=就有 33
f (x 2)-f (x 1)
=0=p
x 2-x 1
当f (a )>f (x 0)时 ，注意到f (x 0)
f (x 2)-f (x 1)
=0=p
x 2-x 1
2) p ≠0的情形。
构造函数F :[a , b ]→R , 这里F (x )=f (x )-f (a )-p (x -a )。 则F 满足： ( i) F 为[a , b ]上的连续凸函数； ( ii) p ∈∂F (x 0)。
第一点很容易验证. 以下来说明第二点.
事实上, 由于p ∈∂F (x 0)，据次梯度的定义可知
f (x )≥f (x 0)+p (x -x 0)，∀x ∈[a , b ]
于是有
f (x )-f (a )-p (x -a )≥f (x 0)-f (a )-p (x 0-a )+p (x -x 0), ∀x ∈[a , b ]
这表明p ∈∂F (x 0)。由情形1 可知, 此时存在两个异于x 0的点x 1 ，x 2∈[a , b ] 使得
F (x 2)-F (x 1)
=0
x 2-x 1
即
F (x 2)-F (x 1)
=P 证毕.
x 2-x 1
当f 在x 可微时有f 在∂f (x )=f (x )。于是得到:
推论2 设f 在[a , b ]上为连续凸函数， 在(a , b )内可导，则对于任意的x 0∈(a , b )， 总存在两个异于x 1 ，x 2∈[a , b ]，使得 F (x 2)-F (x 1)
=f ' (x 0)
x 2-x 1
当f 严格凸时 ，必有f (x 0)≠f (a )，或f (x 0)≠f (b )，于是由定理3.2.1可得：
推论3 设f 为[a , b ]上的连续严格凸函数 ，则对于任意的x 0∈(a , b )及任意的p ∈∂f (x 0)， 总存x 1, x 2∈[a , b ]，x 1≤x 0≤x 2, 使得 f (x 2)-f (x 1)
=p
x 2-x 1结合推论1又可得
推论4 设f 在[a , b ]上为连续严格凸函数，在(a , b )内可导，则对于任意的x 0∈(a , b )， 总存在x 1, x 2∈[a , b ]，x 1≤x 0≤x 2，使得
{}
f (x 2)-f (x 1)
=p .
x 2-x 1
3.3凸函数的积分性质
' '
引理1 设f 是[a , b ]上的连续凸函数，则f -(x )与f +(x )在(a , b )内存在，且对
∀x 1, x 2∈(a , b )，x 1
f -' (x 1)≤f +' (x 1)≤f -' (x 2)≤f +' (x 2)
引理2 设f 是[a , b ]上的凸函数，对∀x 1, x 2∈[a , b ], x 1
f -' (ζ)≤
f (x 1)-f (x 2)
≤f +' (ζ)
x 1-x 2
引理3 设f 是(a , b )上的凸函数，则f 在(a , b )上除至多只有可数个点外，处处可导。 定理3.3.1设f 是[a , b ]上的连续凸函数， f ([a , b ])=[c , d ]. 若g 在[c , d ]上连续且不变号，其一个原函数是F ，则
b
F (f (b )) -F (f (a )) =⎰g (f (x )) f -'(x ) dx =⎰g (f (x )) f +' (x ) dx （1）
a
a
b
证明 情形1 f +(a )与f -(b )均存在。定义f -' (a )=f +' (a )与f +' (b )=f -' (b )，由引理1可知：
f +' 与f -' 在[a , b ]上单调递增。从而可知（1）中两个积分有意义，
不妨设g 在[c , d ]上非负，令
x i =a +
(b -a )i (i =
n
0, 1, 2, n 。,
由微分中值定理及引理2可知：存在ζi ，ζi ∈[x i -1, x i ]，使 F f (x i )-F f (x i -1)=g
()())-)(f x )， (f (ζ))(f (x
i
i
-i 1
f -' (ζi ' )
n
b -a b -a
≤f (x i )-f (x i -1)≤f +' (ζi ' )，(i =1,2, , n )。由g 非负及上两式可得 n n
∑g (f (ζi ))f -' (ζi ' )
i =1n
b -a
n
≤∑⎡⎣F (f (x i ))-F (f (x i -1))⎤⎦
i =1
=F f (b )-F f (a )≤
()(
'
)
∑g (f (ζi ))f +' (ζi )
i =1
n
b -a
（2） n
对式两端让n →+∞，则有
f a g f (x )f -(x )dx ≤F f (b )-F f (a )
b
()()()
≤f a b g f (x )f +(x )dx （3） 由引理3知：f -' =f +' 在[a , b ]上几乎处处成立，则（3）式两端相等，即（1）式成立。
情形2 条件1 f +' (a )=∞，f -' (b )存在；条件2 ，f +' (a )存在，f -' (b )=∞；条件3，f +' (a )=∞，
()
f -' (b )=∞。由已知条件知：F (f (x ))在[a , b ]上连续。
当条件1成立时，则
⎰
b
a
g (f (x ))f +' (x )dx =lim +⎰
λ→0
b
a +λ
g (f (x ))f +' (x )dx
⎡F f (b )-F f (a +λ)⎤ =lim ⎦ λ→0+⎣
=F f (b )-F f (a )
即（1）式成立。
当条件2或条件3成立时，同理可证（1）成立，证毕。
推论5 设f 是[a , b ]上的连续凸函数，f
()()
()()
([a , b ])=[c , d ]若在[c , d ]上连续且至多只有有限
个零点，其一个原函数是F ，则（1）式仍成立。
定理3.3.2 设f 是[a , b ]上的连续凸函数，g 在[a , b ]上有连续的导函数且至多只有有限个零点，则
b
-
b
+
⎰g (f (x )) f '(x ) dx =⎰g (f (x )) f '(x ) dx =g (x ) f (x ) -⎰f (x ) g '(x ) dx . （4）
a
a
a
a
b
b
证明 先假设g 在[a , b ]上不变号，不妨设g 在[a , b ]上非负（同理可证非正的情形），且
f +' (a )与f -' (b )均存在，令
x i =a +
(b -a )
n
i
(i =0, 1, 2, n ), 。
由微分中值定理及引理2可得：存在ζi ，ζi ' ∈[x i -1, x i ]，使下式成立
b -a n ' ' ∑g (x i )f (ζi )+∑g (ζi )f -(x i -1)(x i -x i -1)
n i =1i =1
'
-
n
≤
x (g ))x (f )⎤)-(f x ))+((g )-∑⎡⎣g (x )(f (x ⎦ x
i
i
-i 1
i
-1i
-1i
i =1n
n
=
∑⎡⎣g (x )f (x )-g (x )f (x )⎤⎦
i
i
i -1
i -1
i =1
b -a n '
=g (x )f (x )⎰≤∑g (x i )f (ζi )+∑g (ζi )f (x i -1)(x i -x i -1)
a n i =1i =1
b
'
+
n
对上式两端让n →+∞，则有
⎰
b
a
g (x )f
b
' -
(x )dx +⎰a f (x )g ' (x )dx ≤g (x )f (x )a
' -
b
' +
b
b b
≤⎰a g (x )f (x )dx +⎰a g (x )f (x )dx +⎰a f (x )g ' (x )dx
由引理3知：f -' =f +' 在[a , b ]上几乎处处成立，则上式两端相等，即4式成立。
当f +' (a )=∞与f -' (b )存在，f +' (a )存在与f -' (b )=∞，f +' (a )=∞与f -' (b )=∞三者之一成立时，则仿照定理1中情形2的证法亦可证得（4）式成立。
当g 在[a , b ]上有有限个零点时，则仿照定理3.3.1的推论的证法亦可证得（4）式成立。证毕。
3.2 Jesen不等式及凸函数性质的应用
例1 用Jensen 不等式证明:霍尔德(H lder)不等式
设a i , b i >0, i =1, 2, n , 有
∑a i b i ≤[∑a i p ][∑b ]，其中p >0, q >0,
i =1
i =1
i =1
n n
1
p
n
1q q i
11+=1 p q
证明:(1)令f (x ) =x p , p >1, x >0, 因为f ''(x ) =p (p -1) x p -1>0，由判定定理知f (x ) =x p ，
p >1, x >0，在(0, +∞) 上是严格凸函数，由Jensen 不等式，得到(∑λi x i ) ≤∑λi x i p ，今设
p
i =1
i =1
n n
u 1, u 2 u n 为非负实数且∑u i ≠0，在上述表达式中以
i =1
n
u i
∑
i =1
n
u i
代替λi ，得到
(∑u i x i ) ≤(∑u x )(∑u i ) p -1
p
p i i
i =1
i =1
i =1
n n n
n
11q 1-q p
由题设+=1知q =-1，令u i =b i , x i =a i b i ，不妨设∑b i ≠0，代入上式便得Holder
p q i =1
不等式
∑a b
i =1
n
i i
≤[∑a ][∑b ].
p
i i =1
i =1
n
1p
n
1q q i
特别地，取p =q =2时就得到Cauchy 不等式：
∑a b ≤∑a ∑b
i i
2i
i =1
i =1
i =1
n n n
2i
.
例2 Minkowski 不等式：设a i >0，b i >0，(i =1,2, , n )k >1，证明：
⎛
(a i +b i ) ∑⎝i =1
n
k
⎫⎛⎫⎛⎫
≤ ∑a i k ⎪+ ∑b i k ⎪ ⎪⎪⎝i =1⎭⎝i =1⎭⎭
n
n
1k
1k 1k
证 因为
∑(a i +b i )
i =1k
n
n
k
=∑a i (a i +b i )
i =1
n
k -1
+∑b i (a i +b i )
i =1
n
k -1
利用 Hoeder 不等式得
∑(a i +b i )
i =1
n
⎛⎫≤ ∑a i k ⎪⎝i =1⎭
1k
∑(a i +b i )
i =1
n
(k -1)
⎛⎫k ' + ∑b i k ⎪
⎝i =1⎭
⎫⎪⎪ ⎪⎭
n
1k
∑(a i +b i )
i =1
n
k -1
k '
111⎛⎡n ⎤k k ' n n k k ⎛⎫⎛⎛k ⎫k ⎫⎥ ⎢= ∑a i ⎪+ ∑b i ⎪ ∑(a i +b i )⎪⎪⎢⎝i =1⎭⎝i =1⎭⎥ i =1⎝⎭⎣⎦⎝
1
'
11⎛k ⎫k
（其中+' =1），并对此式两边除以 ∑(a i +b i )⎪
k k ⎝i =1⎭
n
即得
⎛
(a +b )∑⎝
i
i
i =1
n
k
⎫⎛⎛k ⎫k ⎫≤a +b ∑∑i ⎪i ⎪ ⎪
⎭⎝i =1⎭⎝i =1⎭
1k
n
1k
n
1k
例3 利用凸函数导出常用的不等式 1 几何平均值不大于算术平均值
设a >0, a ≠1考虑指数函数y =a ，x ∈(0, +∞)是凸函数，从而对∀x 1, x 2, , x n ∈(0, +∞)，
x
∀λ1, λ2, , λn ∈(0,1), ∑λk =1，有
k =1
n
a λ1x 1+λ2x 2+ +λn x n ≤λ1a x 1+λ2a x 2+ +λn a x n
令λ1=λ2= =λn =则得到，
∀a 1, a 2, , a n ≥0，(a 1a 2 a n )≤
1n
1x x x
，a 1=a 1，a 2=a 2，„„，a n =a n n
a 1+a 2+ +a n
n
这就是人们熟知的“几何平均值大于算术平均值”定理。 2 算术平均值不大于平方平均值
考虑二次函数y =x ，x ∈(0, +∞)是凸函数，从而有
2
∀x 1, x 2, , x n ∈(0, +∞)
∀λ1, λ2, , λn ∈(0,1), ∑λk =1
k =12
n
(λ1x 1+λ2x 2+ +λn x n )
≤λ1x 12+λ2x 22+ +λn x n 2，令λ1=λ2= =λn =
1
，即得
n
x 1+x 2+ +x n ≤
n 这就是“算术平均值不大于平方平均值”
3 一般的平均值定理
考虑一般的冥函数y =x p ，p ≥1，x ∈(0, +∞)是凸函数，那么同样可以有
x 1+x 2+ +x n ⎛x 1+x 2+ +x n ⎫
≤ ⎪
n n ⎝⎭
这就是一般的平均值定理，它可以称为：算术平均不大于p (p ≥1)次平均。 例4 已知：x i ∈(0, π), i =1,2, , n ，求证：
p p p
1
p
sin x 1+sin x 2+ +sin x n x +x + +x n
≤sin 12
n n
证明：设f (x )=sin x ，因为f '' (x )=-sin x ，所以f (x )在(0, π)为凸函数，由Jesen 不等式的推论知，
sin x 1+sin x 2+ +sin x n x +x + +x n
≤sin 12
n n
例5 求证：
1+
（n 为正整数） + >
n +1
3-5x >0) ，因为f ' (x )=-x 2，由定理1f (x )在(0,+∞) 为凸函数，证明：设f (
x )=4由Jesen 不等式的推论知，
所以
1 + >
n +1
例6
ϕ(t ) =⎨
⎧0t ∈(a , b )
这个函数显然在t =a , t =b 不连续，但ϕ(t ) 在[a , b ]上是凸函数。因
⎩1t =a , b
∀t 1
ϕ[qt 1+(1-q ) t 2]≤q ϕ(t 1) +(1-q ) ϕ(t 2) （1）这是由于：ϕ[qt 1+(1-q ) t 2]=0. 因qt 1+(1-q ) t 2∈(a , b )
⎧0
⎪q ⎪
而q ϕ(t 1) +(1-q ) ϕ(t 2) =⎨
⎪1-q ⎪⎩1
t 1≠a , t 2
t 1=a , t 2t 1≠a , t 2t 1=a , t 2
≠b ≠b =b =b
综上所述，式（1）是恒成立的。即ϕ(t ) 在[a , b ]上是凸函数。ϕ(t ) 只在(a , b ) 内连续，在端点处不连续。
例7 设f 是[a , b ]上非常值的单调连续凸函数(0
⎰
b
a
x (f -'(x )) 2dx
b a
bf (x ) -af (a ) -⎰f (x ) dx
(1)
在（1）式中，将“f -'”换成“f +'”，则（1）式仍成立。 证明： 由推论5可得
f (b ) -f (a ) =⎰f -'(x ) dx （2）
a
b
由定理3.3.1可得
bf (b ) -af (a ) -⎰f (x ) dx =⎰x f -'(x ) dx （3）
a
a
b b
由（2）（3）式及已知可得（1）式等价于
⎰
b
a
x (f -'(x )) 2dx ⎰f -'(x ) ≥⎰(f -'(x )) 2dx ⎰x f -'(x ) dx （4）
a
a
a
b b b
记I =
⎰
b
a
x (f -'(x )) 2dx ⎰f -'(x ) dx -⎰(f -'(x )) 2dx ⎰x f -'(x ) dx
a
a
a
b b b
b
b
=⎰dx ⎰y f -'(y ) f -'(x )(f -'(y ) -f -'(x )) dy （5）
a
a
交换上式中x 与y 的位置，则可得
I =⎰dx ⎰x f -'(x ) f -'(y )(f -'(x ) -f -'(y )) dy （6）
a
a
b b
将（5）与（6）两式相加可得
I =
b 1b
dx f -'(x ) f -'(y )(f -'(x ) -f -'(y ))(x -y ) dy （7） 2⎰a ⎰a
'(x ) f -'(y ) ≥0，f -'(x ) 单调递增。再由（7）式由f 是[a , b ]上非常值的单调连续凸函数可得：f -
可得I ≥0. 从而由（5）式可知（4）式成立，即（1）式成立，证毕。 例8 设f 是[a , b ]上连续凸函数，记m =inf{f (x ) |x ∈(a , b )}. 则有
c
⎰|f '(x ) |dx ≤f (a ) +f (b ) -2m . (1)
a
-
'(x ) ”换成“f +'(x ) ”仍成立。 在上式中将“f -
证明：由设f 是[a , b ]上连续凸函数可得：存在c ∈[a , b ]使m =f (c ) ，且f (x ) 在[a , c ]与[c , b ]上分别单调递减与单调递增且均连续，再由推论5可得
⎰
c
a b
|f -'(x ) |dx =-⎰f -'(x ) dx =-(f (c ) -f (a )) ，
a
c
⎰
c
|f -'(x ) |dx =⎰f -'(x ) dx =(f (b ) -f (c )) .
c
b
将上两式相加并整理可得（1）式。证毕。
结束语：
从上述对凸函数的性质的讨论和在一些证明中的应用可知, 连续凸函数具有一些非常好的性质, 在数学各个领域中都有着广泛的应用。 但由于凸函数理论的广泛性, 因此对凸函数理论的研究成果还需进一步的深入和推广.
参考文献：
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southwest University for Nationalities, 2005, 2 (31): 2-3.
[2] Hehua Jiao. h-Convex Functions [J]. Journal of Kunming University of Science and Technology,
2007, 4 (32): 1-2.
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[5] Mi Zhou, Yong Wang, Xiaolan Liu, Qiang Bai. Properties of D- -properly Prequasiinvex
Functions [J]. Journal of Hainan Normal University, 2009, 4 (22): 2-3.
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Normal University, 2007, 4: 2-3.
[7] 白景华. 凸函数的性质、等价定义及应用[J]. 开封大学学报, 2003, 2 (17): 1-2. [8] 曹良干. 凸函数的定义及应用[J]. 阜阳师范学院学报, 1994, 2:1-2. [9] 段锋. 凸函数的定义和性质[J]. 和田师范专科学校学报, 2008, 3 (28):1-2. [10] 张勇. 凹凸函数定义探讨[J]. 牡丹江教育学院学报, 2009 , 3: 1-2. [11] 邹自德. 凸函数及应用[J]. 广州广播电视大学学报, 2008, 1: 2-3.
The Property and Applications of Convex Functions
Zhang Lu-ying
Class 0602, Major of mathematics and applied mathematics,
Department of Mathematics and Physics, He bei Normal University of Science & Technology
Tutor: Liu Li-jing
Abstract Convex function is a function of importance in mathematical analysis. In mathematics theory study it involves a lot of mathematical proposition’s discussion and proof. This paper will study several convex function definitions and have the literature materials summarized and systematized. Based on the definition of convex function, it will discuss the new function generated from the four arithmetic operations of the convex functions which are defined in a interval. Also convex functions’ continuity, differentiability and integrability will be systematically discussed in this paper. Then it studies the application of the properties of convex function and Jessen inequality in the proof of inequality, and takes examples to illustrate the ideas and solving methods. Several common important inequations will be proved.
Key words Convex function; Inequality; Prove
致 谢
在论文进行过程中，刘丽静给予我大力支持，提供了大量重要文献，指导我完成论文初稿并帮助我反复修改，在此表示衷心的感谢。四年以来许多老师为我顺利完成学业倾注了大量心血，在此也谨致谢意!