对数与对数函数
1. 对数
（1）对数的定义：
如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）. 两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.
（3）对数运算性质: ①log a （MN ）=loga M +loga N . ②log a M =loga M －log a N .
N
③log a M n =n log a M . （M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =2. 对数函数
（1）对数函数的定义
函数y =loga x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.
注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零, 如果有根号, 要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1
log a N
log a b
（a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.
对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？
在一个普通对数式里 a
实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nloga M 如果a
1) a
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .
③过点（1，0），即当x =1时，y =0.
④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，∞）上是减函数.
基础例题
1. 函数f （x ）=|log2x |的图象是
+
C D
解析：f （x ）=⎨答案：A
⎧log 2x , x ≥1,
-log x , 0
2. 若f －1（x ）为函数f （x ）=lg（x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.
解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg（x +1）的定义域. 由f （x ）=lg（x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）
3. 已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 1（3－x ）］的定义
2
域是__________.
解析：由0≤log 1（3－x ）≤1⇒log 11≤log 1（3－x ）≤log 1
2
2
2
2
1
2
⇒
1
≤3－x ≤1⇒2≤x ≤5. 22
答案：［2，5］
2
4. 若log x y =z ，则x 、y 、z 之间满足
A. y 7=x z C. y =7x z
y ⇒x
7z
B. y =x 7z D. y =z x
解析：由log x y =z ⇒x z ==y ，即y =x 7z . 答案：B
5. 已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =logn m 2，c =logn （log n m ），则
A. a ＜b ＜c C. b ＜a ＜c
B. a ＜c ＜b D. c ＜a ＜b
解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D
6. 若函数f （x ）=loga x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 A.
24
B.
22
C. 1
4
D. 1
2
解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=loga x 是减函数. ∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =1. ∴1+loga 2=1. ∴log a 2=－2. ∴a =
3
3
3
24
. 答案：A
7. 函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于 A.
1 2
B. －1
2
a
C.2
a
D. －2
a
解析：y =log2|ax －1|=log2|a （x －1）|，对称轴为x =1，由1=－2 得a =－1. 答案：B
2
注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－1.
2
8. 函数f （x ）=log2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是
A
B
C D
解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，
由此可排除A 、D. 又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C
9. 设f －1（x ）是f （x ）=log2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1
B.2
C.3
D.log 23
解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b . 由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C 10. 方程lg x +lg（x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg（x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2
典型例题
【例1】 已知函数A. 1
3
⎧1x
() , x ≥4,
f （x ）=⎪则⎨2
⎪⎩f (x +1), x
f （2+log23）的值为 C.
1
12
B. 1
6
D.
1 24
剖析：∵3＜2+log23＜4，3+log23＞4， ∴f （2+log23）=f （3+log23）=（1）3+log23=
2
1. 24
答案：D
【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.
解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝. 显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称. 又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x . 故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图. 由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.
注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.
【例3】 已知f （x ）=log1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调
3
区间.
解：∵真数3－（x －1）2≤3，
∴log 1［3－（x －1）2］≥log 13=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.
3
3
又3－（x －1）2＞0，得1－
3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，
3）时，
3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+f （x ）单调递增.
注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.
【例4】已知y =loga （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.
解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数. 依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0. ∴a ＜3. 故1＜a ＜3.
2
2
【例5】设函数f （x ）=lg（1－x ），g （x ）=lg（1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg（1－x ）|－|lg（1+x ）|.
（1）当0＜x ＜1时，|lg（1－x ）|－|lg（1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg（1－x ）|－|lg（1+x ）|=0；
（3）当－1＜x ＜0时，|lg（1－x ）|－|lg（1+x ）|=lg（1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；
当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg（x －2）－lg （x －3）的最小值.
(x -2) 2
解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg .
x -3
(x -2) 2(x -3) 2+2(x -3) +1x 2-4x +4又∵＝＝＝（x －3）＋1＋2≥4，
x -3x -3x -3x -3
∴当x ＝4时，y min ＝lg4.
【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x ，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log1x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使1［f
2
1
2
2
（x 1）+f （x 2）］＜f （
A. f 1（x ）=x C. f 3（x ）=2x
1
2
x 1+x 2
2
）成立的函数是
B. f 2（x ）=x 2
2
D. f 4（x ）=log1x
12
解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 为“上凸”的函数. 答案：A
探究创新
1. 若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；
（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，
从而f （log 2x ）=log22x －log 2x +2=（log 2x －1）2+7.
2
4
∴当log 2x =1即x =
2
2时，f （log 2x ）有最小值
7. 4
2
⎧⎧x >2或02
（2）由题意⎨ ⇒⇒0＜x ＜1. ⎨2-1
2. 已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.
（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；
（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +实数m 的取值范围.
解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点. ∴－2k =32+k . ∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3. ∴y = f －1（x ）=log3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log3x （x ＞0），要使2 f －1（x +即使2log 3（x +
m ）－log 3x ≥1
m －3）－g （x ）≥1
m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求
恒成立，在
恒成立，所以有x +m +2
x
m ）min ≥3.
m ≥3
x ＞0时恒成立，只要（x +m +2
x
又x +m ≥2
x
m （当且仅当
x =m ，即x =
x
m 时等号成立），
∴（x +m +2
x
m ）min =4m ，即4m ≥3. ∴m ≥
9
. 16
小结
1. 对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.
2. 比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型. 在具体比较时，
可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.
3. 在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.
对数与对数函数
1. 对数
（1）对数的定义：
如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）. 两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.
（3）对数运算性质: ①log a （MN ）=loga M +loga N . ②log a M =loga M －log a N .
N
③log a M n =n log a M . （M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =2. 对数函数
（1）对数函数的定义
函数y =loga x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.
注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零, 如果有根号, 要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1
log a N
log a b
（a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.
对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？
在一个普通对数式里 a
实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nloga M 如果a
1) a
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .
③过点（1，0），即当x =1时，y =0.
④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，∞）上是减函数.
基础例题
1. 函数f （x ）=|log2x |的图象是
+
C D
解析：f （x ）=⎨答案：A
⎧log 2x , x ≥1,
-log x , 0
2. 若f －1（x ）为函数f （x ）=lg（x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.
解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg（x +1）的定义域. 由f （x ）=lg（x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）
3. 已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 1（3－x ）］的定义
2
域是__________.
解析：由0≤log 1（3－x ）≤1⇒log 11≤log 1（3－x ）≤log 1
2
2
2
2
1
2
⇒
1
≤3－x ≤1⇒2≤x ≤5. 22
答案：［2，5］
2
4. 若log x y =z ，则x 、y 、z 之间满足
A. y 7=x z C. y =7x z
y ⇒x
7z
B. y =x 7z D. y =z x
解析：由log x y =z ⇒x z ==y ，即y =x 7z . 答案：B
5. 已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =logn m 2，c =logn （log n m ），则
A. a ＜b ＜c C. b ＜a ＜c
B. a ＜c ＜b D. c ＜a ＜b
解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D
6. 若函数f （x ）=loga x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 A.
24
B.
22
C. 1
4
D. 1
2
解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=loga x 是减函数. ∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =1. ∴1+loga 2=1. ∴log a 2=－2. ∴a =
3
3
3
24
. 答案：A
7. 函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于 A.
1 2
B. －1
2
a
C.2
a
D. －2
a
解析：y =log2|ax －1|=log2|a （x －1）|，对称轴为x =1，由1=－2 得a =－1. 答案：B
2
注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－1.
2
8. 函数f （x ）=log2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是
A
B
C D
解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，
由此可排除A 、D. 又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C
9. 设f －1（x ）是f （x ）=log2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1
B.2
C.3
D.log 23
解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b . 由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C 10. 方程lg x +lg（x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg（x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2
典型例题
【例1】 已知函数A. 1
3
⎧1x
() , x ≥4,
f （x ）=⎪则⎨2
⎪⎩f (x +1), x
f （2+log23）的值为 C.
1
12
B. 1
6
D.
1 24
剖析：∵3＜2+log23＜4，3+log23＞4， ∴f （2+log23）=f （3+log23）=（1）3+log23=
2
1. 24
答案：D
【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.
解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝. 显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称. 又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x . 故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图. 由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.
注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.
【例3】 已知f （x ）=log1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调
3
区间.
解：∵真数3－（x －1）2≤3，
∴log 1［3－（x －1）2］≥log 13=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.
3
3
又3－（x －1）2＞0，得1－
3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，
3）时，
3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+f （x ）单调递增.
注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.
【例4】已知y =loga （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.
解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数. 依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0. ∴a ＜3. 故1＜a ＜3.
2
2
【例5】设函数f （x ）=lg（1－x ），g （x ）=lg（1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg（1－x ）|－|lg（1+x ）|.
（1）当0＜x ＜1时，|lg（1－x ）|－|lg（1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg（1－x ）|－|lg（1+x ）|=0；
（3）当－1＜x ＜0时，|lg（1－x ）|－|lg（1+x ）|=lg（1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；
当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg（x －2）－lg （x －3）的最小值.
(x -2) 2
解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg .
x -3
(x -2) 2(x -3) 2+2(x -3) +1x 2-4x +4又∵＝＝＝（x －3）＋1＋2≥4，
x -3x -3x -3x -3
∴当x ＝4时，y min ＝lg4.
【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x ，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log1x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使1［f
2
1
2
2
（x 1）+f （x 2）］＜f （
A. f 1（x ）=x C. f 3（x ）=2x
1
2
x 1+x 2
2
）成立的函数是
B. f 2（x ）=x 2
2
D. f 4（x ）=log1x
12
解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 为“上凸”的函数. 答案：A
探究创新
1. 若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；
（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，
从而f （log 2x ）=log22x －log 2x +2=（log 2x －1）2+7.
2
4
∴当log 2x =1即x =
2
2时，f （log 2x ）有最小值
7. 4
2
⎧⎧x >2或02
（2）由题意⎨ ⇒⇒0＜x ＜1. ⎨2-1
2. 已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.
（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；
（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +实数m 的取值范围.
解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点. ∴－2k =32+k . ∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3. ∴y = f －1（x ）=log3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log3x （x ＞0），要使2 f －1（x +即使2log 3（x +
m ）－log 3x ≥1
m －3）－g （x ）≥1
m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求
恒成立，在
恒成立，所以有x +m +2
x
m ）min ≥3.
m ≥3
x ＞0时恒成立，只要（x +m +2
x
又x +m ≥2
x
m （当且仅当
x =m ，即x =
x
m 时等号成立），
∴（x +m +2
x
m ）min =4m ，即4m ≥3. ∴m ≥
9
. 16
小结
1. 对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.
2. 比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型. 在具体比较时，
可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.
3. 在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.