现代数值计算方法习题答案
习 题 一
1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以
有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求. 因此
49×10
-2
：E = 0.005； E r = 0.0102； 2位有效数字.
0.0490 ：E = 0.00005；E r = 0.00102； 3位有效数字. 490.00 ：E = 0.005； E r = 0.0000102；5位有效数字.
22
= 3.1428 …… ， π = 3.1415 …… ， 7
取它们的相同部分3.14，故有3位有效数字.
E 0. 0013
E = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ；E r = = = 0.00041.
3. 143. 14
2、解：
3、解：的近似值的首位非0数字α1 = 1,因此有 |E r *(x ) |=
*
11-4
⨯10-(n -1) = 5，所以 n = 5 . 2⨯12
1
1
1*n -11*n -1*
4、证：E (x ) ≈(x ) E (x ) =(x ) (x -x *)
n n
E r (x ) =
*
E (x )
*
x *
1(x )
≈n
1-1*n
(x -x *) x *
1x -x *1*==E (x ) r *
n x n
5、解：(1)因为20=4.4721…… ，
又E (x *) =|x -x *| = |20-4. 47| = 0.0021
(2)20的近似值的首位非0数字α1 = 4,因此有 |E r *(x ) |=
1
⨯10-(n -1) = 3 .所以，x *= 4.47. 2⨯4
6、解：设正方形的边长为x , 则其面积为y =x 2，由题设知x 的近似值为x *= 10 cm .
记y *为y 的近似值，则
E (y *) =2x *(x -x *) =20(x -x *) =20E (x *)
所以E (x *)
7、解：因为E (x n ) ≈nx n -1(x -x *) ,
E (x n ) x -x *
≈n =nE r (x ) =0. 01n . 所以E r (x ) =n
x x
n
8、解：
9、证：E (S ) =S -S *≈gt (t -t *) =gtE (t )
S -S *gt (t -t *) 2E (t )
E r (S ) = 由上述两式易知，结论. ≈=
S t gt 2/210、解：代入求解, 经过计算可知第(3)个计算结果最好.
11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形…… （1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函数恒等变形.
1**
12、解： 因为x 0=2, x 0|
2
于是有
***
|x 1-x 1| = |10x 0-1-10x 0|
*
类推有 |x 10-x 10|
1
⨯108 2
即计算到x 10，其误差限为1010δ，亦即若在x 0处有误差限为δ，则x 10的
误差将扩大1010倍，可见这个计算过程是不稳定的.
习 题 二
1、 解：只用一种方法.
（1）方程组的增广矩阵为：
⎡2-1-1 4⎤⎡2-1-1 4⎤⎡2-1-1 4⎤
⎥ → ⎢011-1 10⎥ → ⎢011-1 10⎥ 34-2 11 ⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎢⎢1 1⎥⎣0-111 10⎥⎦⎣00⎦⎣3-24 11⎥⎦
→ x 1=3 , x 2=1 , x 3=1 . （2）方程组的增广矩阵为：
⎡3-14 7⎤⎡3-14 7⎤⎡3-14 7⎤⎥ → ⎢05-2 4⎥ → ⎢05-2 4⎥ -12-2 -1 ⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎢⎢2 2⎥2 1⎥⎣2-3-2 0⎥⎦⎣01⎦⎣00⎦
→ x 1=2 , x 2=1 , x 3=1/2 .
（3）适用于计算机编程计算.
2、 解：第一步：计算U 的第一行，L 的第一列，得
u 11=6 u 12=2 u 13=1 u 14=-1
l 21=a 21/u 11=1/3 l 31=a 31/u 11=1/6 l 41=a 41/u 11=-1/6
第二步：计算U 的第二行，L 的第二列，得
u 22=a 22-l 21u 12=10/3 u 23=a 23-l 21u 13=2/3 u 24=a 24-l 21u 14=1/3 l 32=(a 32-l 31u 12) /u 22=1/5 l 42=(a 42-l 41u 12) /u 22=1/10
第三步：计算U 的第三行，L 的第三列，得
u 33=a 33-l 31u 13-l 32u 23=37/10 u 34=a 34-l 31u 14-l 32u 24=-9/10 l 43=(a 43-l 41u 13-l 42u 23) /u 33=-9/37
第四步：计算U 的第四行，得
u 44=a 44-l 41u 14-l 42u 24-l 43u 34=-955/370
⎡6⎢2
从而， ⎢
⎢1⎢⎣-121-1⎤410⎥⎥ 14-1⎥
⎥
0-13⎦
000⎤⎡621-1⎡1⎤
⎢1/3⎥⎢010/32/3⎥1001/3⎥⎢⎥ = ⎢
⎢1/61/510⎥⎢0037/10-9/10⎥⎢⎥⎢⎥-1/61/10-9/371000-955/370⎣⎦⎣⎦
由LY =b , 解得Y =（6，-3，23/5，－955/370）T . 由UX =Y , 解得X =（1，-1，1，－1）T . 3、（1）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式
是否大于零来判断. a 11＝ 3 > 0,
32
= 2 > 0, 220 = 4 > 0, 所以系数矩阵是对称22
103
321
正定的. 记系数矩阵为A ，则平方根法可按如下三步进行：
第一步 分解：A = L LT . 由公式计算出矩阵的各元素：
l 11= l 21=
26
l 22= 33
l 31=
6 l 32=- l 33=2
33
⎡
⎢3⎢2 因此， L ＝⎢
⎢3⎢3⎢⎣3
063-3
⎤0⎥⎥0⎥. ⎥⎥2⎥⎦
56
，，2）T . 33
第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （
第三步 求解方程组L T X = Y . 解得X =（0，2，1）T .
（2）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式
是否大于零来判断.
323
32
= 2 > 0, 220 = 6 > 0, 所以系数矩阵是对称a 11＝ 3 > 0,
22
3012
正定的. 记系数矩阵为A ，则平方根法可按如下三步进行：
第一步 分解：A = L LT . 由公式计算出矩阵的各元素：
l 11= l 21=
23
l 22=
6 3
l 31= l 32=- l 33=3
⎡3⎢2 因此， L ＝⎢
⎢3⎢⎣3
063-0⎤⎥
0⎥ . ⎥3⎥⎦
56T
，-）. 363
11
，）T . 23
第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （
第三步 求解方程组L T X = Y . 解得X = （1，4、解： 对i =1 , d 1=a 11=2 ；
15
对i =2 , t 21=-1 , l 21=- , d 2=- ；
22
17727
对i =3 , t 31=1 , t 32= ,l 31= , l 32=- ,d 3= .
2525
⎡⎢20⎢15
所以数组A 的形式为： A =⎢--
2⎢2
⎢1-7⎢5⎣2
⎤
0⎥⎥0⎥ ⎥27⎥5⎥⎦
69T
求解方程组LY = b . 解得Y = （4，7，）.
5
10723
求解方程组DL T X = Y . 解得X = （，，）T .
999
00⎤⎡10000⎤⎡u 160
⎢l 1000⎥⎢0u ⎥60022⎢⎥⎢⎥
5、解：（1）设A = LU = ⎢0l 3100⎥ ⎢00u 360⎥
⎢00l 10⎥⎢000u 46⎥4⎢⎥⎢⎥
l 10u 000000⎢⎥⎥55⎦⎣⎦⎢⎣15565
计算各元素得： u 1=5 , l 2= , u 2= , l 3= , u 3= ,
5191919
1921165665l 4= , u 4= , l 5= , u 5= .
6565211211
111212T
求解方程组LY = d. 解得Y = （1，-，，-，）.
[***********]3395212T
求解方程组UX = Y. 解得X = （，，，-，）.
[**************]
⎡1
（2）设A = LU = ⎢⎢l 2
⎢⎣0
01l 3
0⎤
0⎥⎥ 1⎥⎦
⎡u 1
⎢0⎢⎢⎣0
1u 2
0⎤1⎥⎥ u 3⎥⎦
1245115
，u 2= ，l 3= ，u 3= . 552424
53115T
求解方程组LY = d . 解得Y = （17，，）.
245
求解方程组UX = Y . 解得X = （3，2，1）T . 6、证：（1）（2）相同.
因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应
的高斯－赛德尔迭代法都收敛. （1）雅可比迭代公式：
1(k ) 2(k ) 10
x 1(k +1) =-x 2-x 3+
77711(k ) (k +1)
x 2=-x 1(k ) -x 3+1
4422(k ) 2(k +1)
x 3=-x 1(k ) -x 2+
993
高斯－赛德尔迭代公式：
1(k ) 2(k ) 10
x 1(k +1) =-x 2-x 3+
77711(k ) (k +1)
x 2=-x 1(k +1) -x 3+1
4422(k +1) 2(k +1)
x 3=-x 1(k +1) -x 2+
993
（2）雅可比迭代公式：
计算各元素得：u 1=5 ，l 2=
x 1(k +1) =
(k +1) x 2(k +1) x 3
高斯－赛德尔迭代公式：
2(k ) 1(k ) 4x 2-x 3+ 55513(k ) 2=-x 1(k ) +x 3+ 55521(k ) 11=x 1(k ) +x 2+ 555
2(k ) 1(k ) 4x 2-x 3+ 55513(k ) 2(k +1)
x 2=-x 1(k +1) +x 3+
55521(k +1) 11(k +1)
x 3=x 1(k +1) +x 2+
555
7、(1)证：因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相
应的高斯－赛德尔迭代法都收敛。
(2) 雅可比迭代法：
写出雅可比迭代法公式：
2(k ) 1(k ) 12
x 1(k +1) =-x 2-x 3-
55511(k ) (k +1)
x 2=x 1(k ) -x 3+5
4213(k ) 3(k +1)
x 3=-x 1(k ) +x 2+
51010
x 1(k +1) =
取x (0) = （－3，1，1）T ，迭代到18次达到精度要求,
x (18) = （－3.999，2.999，1.999）T .
高斯－赛德尔迭代法：
写出高斯－赛德尔迭代法公式：
2(k ) 1(k ) 12
x 1(k +1) =-x 2-x 3-
55511(k ) (k +1)
x 2=x 1(k +1) -x 3+5
4213(k +1) 3(k +1)
x 3=-x 1(k +1) +x 2+
51010
取x (0) = （－3，1，1）T ，迭代到8次达到精度要求,
x (8) = （－4.000，2.999，2.000）T .
8、SOR 方法考试不考。
9、证明：雅可比法的迭代矩阵为：
⎡
0⎢0
B J =-D -1(L +U ) =-⎢-10
⎢12--⎢
3⎣3⎤
-1⎥λ00⎥ , λI -B J =-1λ⎥120⎥--
33⎦
-1
λ
解得ρ(B J ) >=1, 所以雅可比迭代法不收敛. 高斯-赛德尔法的迭代矩阵为：
λ0-1⎡00-1⎤
⎥ , λI -M =0λ-1 00-1 M =-(D +L ) -1U =-⎢⎢⎥
⎢00λ-1⎣00-1⎥⎦
求得λ1=λ2=0，λ3=1，则ρ(M ) =1 , 所以高斯-赛德尔迭代法不收敛. 10、证明：雅可比法的迭代矩阵为：
⎡⎢0
B J =-D -1(L +U ) =-⎢1
⎢1⎢-⎢⎣2
1
201-2-
1⎤
λ⎥2
1⎥ , λI -B J =1⎥10⎥-
2⎥⎦
--1
212
121
λ
λ
求得λ1=0，λ2=
5
i ，则ρ(B J ) =1 , i ，λ3=-22
所以雅可比迭代法不收敛.
高斯-赛德尔法的迭代矩阵为：
11⎤11⎡0-λ-⎢22⎥22⎢⎥1111
⎥ , λI -M =0λ-- M =-(D +L ) -1U =-⎢0 2222⎢⎥1313⎢0⎥0λ-⎢44⎥44⎣⎦1
求得λ1=λ2=-，λ3=0，则ρ(M )
2
11、证明：当 - 0.5
1a
1a a
= 1 - a 2 > 0 , a 1a = (1 - a) 2(1 + 2a ) > 0 , 所以A 正定. a 1
a a 1
⎡0-a -a ⎤
⎥，所以， -a 0-a 雅可比迭代矩阵B J ＝⎢⎢⎥
⎢⎣-a -a 0⎥⎦
λ
|λI -BJ | = a
a
a a
a = λ3-3λa 3+2a 2=(λ-a ) 2(λ+2a )
λ
a
λ
所以， ρ(B J ) =|2a | , 故当-0.5
⎡0. 60. 1⎤⎡0. 60. 5⎤
A T A = ⎢ ⎢ = ⎥⎥
⎣0. 50. 3⎦⎣0. 10. 3⎦
|λI -A A | =
T
⎡0. 370. 33⎤⎢0. 330. 34⎥ ⎣⎦
λ-0. 37
-0. 33-0. 33
= λ2 － 0.71λ ＋ 0.0169 ＝ 0
λ-0. 34
所以 λmax (A T A ) = 0.685，所以 A 2＝ 13、证明：(1)由定义知, x
∞
n
n
. 685 = 0.83.
=m a x i ≤∑x i =x 1≤∑m a x i =∑x
1≤i ≤n
i =1
i =1
1≤i ≤1
i =1
n
∞
=n x ∞
故 x
(2)由范数定义知,
∞
≤x 1≤n x ∞
T T T T
A 2=λm a (x A A ) ≤λ1(A A ) +λ2(A A ) + +λn (A A )
2
2 =∑a +∑a + +∑a =∑∑a ij =A F
2
i 1
2i 2
2in
i =1
i =1
i =1
j =1i =1
n n n n n
2
1122T
[λ1(A T A ) +λ2(A T A ) + +λn (A T A )]=A F A 2=λm a (x A A ) ≥n n
故
1n
A
F
≤A 2≤A F
习 题 三
1、解：f (x ) =x 4-3x +1在区间[0.3,0.4]上f ' (x ) =4x 3-3
上严格单调减少，又f (0. 3) >0，f (0. 4)
1
唯一实根。令（0.4－0.3）/ 2k +1 = 4 ,即应至少分4
2
次, 取x 0=0. 35开始计算, 于是有:
当k = 1 时, x 1 = 0.35 , f (x 1) 0 ,隔根区间是[0. 325, 0. 35],
, 0. 35], 当k = 3 时, x 3 = 0.3375 , f (x 3) >0 ,隔根区间是[0. 3375
, 0. 34375]. 当k = 4 时, x 4 = 0.34375 , f (x 4)
所以 x *≈(0.3375 + 0.34375)/2 ≈ 0.341.
2、解：f (x ) =x 3+x -4在区间[1,2]上f ' (x ) =3x 2+1>0，故f (x ) 在区间[1,2]上
严格单调增加，又f (2) >0，f (1)
2-11-4
⨯10 = 13.3 ,即应至少分14次. k +1
22
3、解：作图, 判断根的数目、找隔根的区间.
令
(1)有唯一实根, 隔根区间[0,π/4],收敛迭代公式:x k +1=
cos x k +sin x k
.
4
(2)有唯一实根, 隔根区间[1,2],收敛迭代公式:x k +1=log 2(4-x k ) . 4、解：取x 0=1. 5的邻域[1.3,1.6]来考察.
(1)当x ∈[1.3,1.6]时, ϕ(x ) =+x 2∈[1.3,1.6] ,|ϕ' (x ) |
2
所以，x k +1=+x k 在[1.3,1.6]上收敛.
(2)当x ∈[1.3,1.6]时, ϕ(x ) =1+1/x 2∈[1.3,1.6] ,|ϕ' (x ) |
2
所以，x k +1=1+1/x k 在[1.3,1.6]上收敛.
(3)当x ∈[1.3,1.6]时, ϕ(x ) =1/x -1∈[1.3,1.6] ,|ϕ' (x ) | = L > 1, 所以， x k +1=x k -1在[1.3,1.6]上发散.
3
-1在(4)当x ∈[1.3,1.6]时, ϕ(x ) =x 3-1∉[1.3,1.6] ,所以，x k +1=x k
[1.3,1.6]上发散. 取x 0=1. 5开始计算, 于是有：
x 1 = 1.481448 , x 2 = 1.472705 , x 3 = 1.468817 ,
x 4= 1.467047 , x 5 = 1.466243 , x 6 = 1.465876 .
1
由于|x 6-x 5|
2
5、解：方程的等价形式为x 5=x +0. 2=ϕ(x ) , 迭代公式为x k +1=x k +0. 2. 作函数y =x 5和y =x +0. 2的图像, 可知其正根区间为[0.5,1.5].
当x ∈[0.5,1.5]时, ϕ(x ) =x +0. 2∈[0.5,1.5] ,|ϕ' (x ) |
2
所以，x k +1=+x k 在[0.5,1.5]上收敛.
取x 0=0. 5开始计算, 于是有：
x 1 = 0.93114992, x 2 = 1.0249532 , x 3 = 1.04141516 ,
x 4 = 1.04419321, x 5 = 1.0446673 , x 6 = 1.04474582,
x 7 = 1.04475903, x 8= 1.0447613 , x 9= 1.04476123. 由于|x 9-x 8|
1
⨯10-3, 故可取 x *≈ x 9 = 1.04476. 2
6、解：当x ∈[0,0.5]时, ϕ(x ) =(2-e x ) /10∈[0,0.5] ,|ϕ' (x ) |
所以x k +1=(2-e x k ) /10在区间[0,0.5]上收敛. 取x 0=0. 5开始计算, 于是有：
x 1 = 0.10000000, x 2 = 0.08948290 , x 3 = 0.09063913 ,
x 4 = 0.09051262, x 5 = 0.09052647 , x 6 = 0.09052495. 由于|x 6-x 5|
1
⨯10-4, 故可取 x *≈ x 6 = 0.0905. 2
7、解：由于ϕ' (x ) 在根x *=0. 5附近变化不大, ϕ' (x ) =-e -x |x =0. 5= - 0.607 = q .
~⎧x k +1=e -x k
迭代--加速公式为⎨ ~
⎩x k +1=x k +1/1. 607+0. 6x k /1. 607
取x 0=0. 5开始计算, 于是有：
x 1= 0.5662917, x 2 = 0.5671223, x 3 = 0.56714277.
1
⨯10-4, 故可取 x *≈ x 3 = 0.5671. 2
8、解：埃特金加速公式为：
由于|x 3-x 2|
⎧
~⎪x k +1=x k +1⎪⎪
⎨ k +2=x k +1+1
⎪k +2x k -~x 2k +1⎪x k +1=⎪k +2-2x k +1+x k ⎩
取x 0=1. 5开始计算, 于是有:
x 1= 1.32489918, x 2 = 1.32471796, x 3 = 1.32471637.
由于|x 3-x 2|
1
⨯10-4, 故可取 x *≈ x 3 = 1.3247. 2
9、解：对于f (x ) =x n -a , f ' (x ) =nx n -1, 因此牛顿迭代法为 x k +1
n x k -a 1⎡a ⎤
,k =0,1,2,3, … =x k -=(n -1) x +⎢k n -1n -1⎥n nx k x k ⎦⎣
对于f (x ) =1-
a na '
f (x ) =, , 因此牛顿迭代法为 x n x n +1
x k +1
n
⎤f (x k ) x k ⎡x k
=x k -' =(n +1) x -⎢⎥ ,k =0,1,2,3, … k
a ⎦f (x k ) n ⎣
因为 ϕ' ' (a ) =-
n +1
a
所以，
k →∞n
对于f (x ) =x -a =0, lim
n
-x k +1
2
(a -x k )
=-
n -12a
n
.
a -x k +1a n +1
对于f (x ) =1-n =0, lim . =2k →∞x (a -x k ) 2a
10、解：f (x ) =x 3-3x -1在区间[1,2]上, f (1) 0,
f ' (x ) =3x 2-3>=0，f ' ' (x ) =6x >0.
又因为f (2) f ' ' (2) >0，所以收敛且以x 0=2作初值。 取x 0=2, 用牛顿迭代法, x k +1
33
x k -3x k -12x k +1
=x k -=22
3x k -33(x k -1)
计算得 x 1= 1.8889, x 2 = 1.8794, x 3 = 1.8794, 由于|x 3-x 2|
1
⨯10-3, 故可取 x *≈ x 3 = 1.879. 2
11、解：设f (x ) =x 3-C ,则 f ' (x ) =3x 2 ，f ' ' (x ) =6x .牛顿法迭代公式为：
1C
x k +1=(2x k +2) k =0,1,2,3, …
3x k
当x >0时, f ' (x ) >0 ，f ' ' (x ) >0 , 当x 0 ，f ' ' (x ) 0, 当x 0>C 时, f (x 0) f ' ' (x 0) >0, 牛顿序列{x k }收敛到
.
2
2x 0+C (-x 0) 2 当x 0∈(0, ) 时, x 1-C =-=(+2x 0) >0, 22
3x 03x 0
所以x 1>C , 因此, 从x 1起 , 牛顿序列{x k }收敛到C .
对于C 0, 牛顿序列{x k }收敛到
.
222x +C (C -x ) 0
当x 0∈(C , 0) 时, x 1-=02-C =(+2x 0)
3x 03x 0
所以x 1
3
x k 2
=x k -2=x k .
3x k 3
该迭代对任何x 0∈R 均收敛, 但收敛速度是线性的.
取x 0=1开始计算, 于是有：
x 1 = 1.66666667 , x 2 = 1.23111111 , x 3 = 1.48053039 ,
x 4 = 1.44323083 , x 5 = 1.44225024 , x 6 = 1.44224957 ,
x 7 = 1.44224957 . 由于|x 7-x 6|
1
⨯10-6, 故可取 x *≈ x 7 = 1.442250 . 2
12、解：令f (x ) =1-x -sin x , 取x 0=0, x 1=1开始计算,
经过4次计算可以得到 x *≈ x 4 = 0.51098 .
习 题 五
1、解：L 2(x ) =f (x 0) l 0(x ) +f (x 1) l 1(x ) +f (x 2) l 2(x )
(x -1)(x -2) (x -1)(x +1) 5237
+4=x +x -.
(-1-1)(-1-2) (2-1)(2+1) 623
=0+(-3)
2、解：L 3(x ) =f (x 0) l 0(x ) +f (x 1) l 1(x ) +f (x 2) l 2(x ) +f (x 3) l 3(x )
(x -1)(x -2)(x -3) x (x -2)(x -3) x (x -1)(x -2)
+3+0-
(-1) ⋅(-2) ⋅(-3) (-1) ⋅(-2) 3⋅2⋅1(x -1)(x -2)(x -3) 3x (x -2)(x -3) x (x -1)(x -2)
+-.
326
=2
=-
3、解：L 3(x ) =f (x 0) l 0(x ) +f (x 1) l 1(x ) +f (x 2) l 2(x ) +f (x 3) l 3(x ) =0. 1214.(直接代入数据，因较复杂，省略) 4、证：（1）当（2）中的k =0时，即可得结论.
（2）函数x 及∑x i k l i (x ) 均为被插值函数x k 的关于互异节点x i 的不超过n 次
k
n
i =0
的插值多项式，利用插值多项式的唯一性可知结论.
5、证：以x =a 和x =b 为插值点，建立f (x ) 的不超过一次的插值多项式：
L 1(x ) =f (a )
x -b x -a
+f (b ) ≡0 a -b b -a
应用插值余项公式有：
f (x ) -L 1(x ) =
1' ' 1
f (ξ)(x -a )(x -b ) ≤max f ' ' (ξ) (x -a )(x -b )
a ≤x ≤b 2! 2a ≤x ≤b
1
≤(b -a ) 2max f ' ' (ξ) ，因此可得结论。
a ≤x ≤b 8
6、解：选x 0=1. 4，x 1=1. 5，x 2=1. 6为节点，计算得：
L 2(1. 54) =f (1. 4) l 0(1. 54) +f (1. 5) l 1(1. 54) +f (1. 6) l 2(1. 54)
(1. 54-1. 5)(1. 54-1. 6) (1. 54-1. 4)(1. 54-1. 6)
+1. 837⋅+
(1. 4-1. 5)(1. 4-1. 6) (1. 5-1. 4)(1. 5-1. 6) (1. 54-1. 4)(1. 54-1. 5)
=1. 94472.
(1. 6-1. 4)(1. 6-1. 5)
=1. 602⋅
+2. 121⋅
7、解：L 3(x ) =f (x 0) l 0(x ) +f (x 1) l 1(x ) +f (x 2) l 2(x ) +f (x 3) l 3(x )
x (x -3)(x -6) x (x +3)(x -6) x (x +3)(x +2)
+0-2+10
(-3) ⋅(-6) ⋅(-9) 6⋅3⋅(-3) 9⋅6⋅3
=-
=8、解：（略）
1
(23x 3-63x 2-234x +324) . 162
9、证：设F (x ) =αf (x ) +βg (x ) ，ωn +1(x ) =(x -x 0)(x -x 1) (x -x n ) . 将差商（均差）用函数值表示，则有： F [x 0, x 1, x n ]=∑
j =0n
F (x j )
ωn +1(x j )
f (x j )
'
=∑
j =0
n
αf (x j ) +βg (x j ) ωn +1(x j )
n
'
=α∑
j =0
n
ωn +1(x j )
'
+β∑
j =0
βg (x j ) ωn +1(x j )
'
=αf [x 0, x 1 , x n ]+βg [x 0, x 1 , x n ] 取β=0, α=c 得结论（1），取β=α=1得结论（2）.
n
10、证：f [x 0, x 1, , x n ]=∑
j =0
f (x j )
ω(x j ) '
n +1
=∑
j =0
n
f (x j )
(x j -x 0) (x j -x j -1)(x j -x j +1) (x j -x n )
.
11、解：制造向前查分表：
由题意，x 0=0，h =1. 当x =0. 5时，t =
x -x 0
=0. 5. h
将查分表上部那些画横线的数及t =0. 5代入公式，有
N 3(0. 5) =1+0. 5+
0. 5(-0. 5) 0. 5(-0. 5)(-1. 5)
⨯14+⨯18=0. 875. 26
当x =2. 5时，t =公式，有
x 0-x
=0. 5. 将查分表下部那些画横线的数及t =0. 5代入h
N 3(2. 5) =64-47⨯0. 5+
0. 5(-0. 5) 0. 5(-0. 5)(-1. 5)
⨯32-⨯18=35. 375. 26
12、解：制造向前查分表：
由于其根在[-1,2]之间，故采用牛顿后插公式，
计算得 t =1. 5，所以x =0. 5.
13、证：采用差分的定义来证明. 14、解：方法同第11题.
15、解：以x i -1，x i 和x i +1为插值节点的插值多项式的截断误差，则有 R 2(x ) =
1' ' '
f (ξ)(x -x i -1)(x -x i )(x -x i +1) ， 3!
式中 ξ∈(x i -1, x i +1) ，x i -1=x i -h ，x i +1=x i +h
1414213e 43
则R 2(x ) ≤e max (x -x i -1)(x -x i )(x -x i +1) ≤e h =h
x ≤x ≤x i -1i +1663393
e 498h 3≤10-5 得 h ≤0. 065.
令
习 题 六
⎡2⎢3
1、解：由题意得A =⎢
⎢1⎢⎣44⎤⎡11⎤
⎢3⎥303⎤-5⎥⎡73⎤T ⎥ , b =⎢⎥ , 所以A T A =⎡ , A b =⎢349⎥⎢29⎥. ⎢6⎥2⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎥
2⎦⎣14⎦
⎡2. 4555⎤
又A T AX =A T b , 所以X =⎢ . ⎥
⎣0. 4456⎦
2、解：设拟合曲线为一次多项式:y 1=ϕ1(x ) =a 0+a 1x . 计算各元素:
n =8, ∑x i =15. 26, ∑x =30. 1556, ∑y i =145. 227, ∑x i y i =286. 93628,
2i
i =1
i =1
i =1
i =1
8
8
8
8
15. 26⎤⎡8
故法方程组为⎢⎥
⎣15. 2630. 1556⎦⎡a 0⎤⎡145. 227⎤
⎢a ⎥=⎢⎥, 286. 93628⎣1⎦⎣⎦
解得 a 0=3. 916, a 1=7. 464. 所以y 1=ϕ1(x ) =7. 464x +3. 916. 二次多项式拟合曲线与一次多项式拟合曲线类似(略).
3、解：设拟合曲线为二次多项式:y =a +bx 2 . 计算各元素:
5
5
5
5
n =5, ∑x =5327, ∑x =7277699, ∑y i =271. 4, ∑x i 2y i =369321. 5,
2
i
4i
i =1
i =1
i =1
i =1
5327⎤⎡a ⎤⎡271. 4⎤⎡5
故法方程组为⎢⎥⎢b ⎥=⎢369321⎥, [1**********]. 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦
解得 a =0. 973, b =0. 050. 所以y =0. 973+0. 050x 2.
4、解：经描图发现t 和s 符合二次曲线.
设拟合曲线为二次多项式:s =a +bt +ct 2 . 计算各元素:
n =6, ∑t i =14. 7, ∑t =53. 63, ∑t = ,∑t i 4=
2i
3i
i =1
i =1
i =1
i =1
6
6
6
6
∑s
i =1
6
i
=280, ∑t i s i =1078, ∑t i 2s i =
i =1
i =1
66
14. 753. 63⎤⎡6
⎥14. 753. 63 故法方程组为⎢⎢⎥
⎢⎥⎣53. 63⎦⎡a ⎤⎡280⎤
⎢b ⎥=⎢1078⎥, ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣c ⎥⎦⎢⎣⎦
解得 a = ,b = ,c = .所以s =a +bt +ct 2.
5、略.
6、解：对公式I =I 0e -at 两边取常用对数有 lg I =lg I 0-at lg e .
令u =lg I , A =lg I 0, B =-a lg e , 则得线性模型 u =A +Bt . 计算各元素: n =7, ∑t i =3. 5, ∑t =2. 03, ∑u i =0. 8638, ∑t i u i =0. 08067,
2
i
i =1
i =1
i =1
i =1
7
7
7
7
3. 5⎤⎡7
故法方程组为⎢⎥
⎣3. 52. 03⎦⎡A ⎤⎡0. 8638⎤⎢B ⎥=⎢0. 08067⎥, ⎣⎦⎣⎦
解得 A =0. 7509, B =-1. 2546, 得I 0=5. 635, a =2. 889.
所以 I =5. 635e
-2. 889t
.
7、解：对公式y =ae bx 两边取常用对数有 lg y =lg a +bx lg e .
令u =lg y , A =lg a , B =b lg e , 则得线性模型 u =A +Bt . 计算各元素:
n =5, ∑x i =7. 5, ∑x =11. 875, ∑y i =4. 0848, ∑x i y i =6. 2645,
2i
i =1
i =1
i =1
i =1
5555
7. 5⎤⎡A ⎤⎡4. 0848⎡5⎤
故法方程组为⎢=, ⎥⎢⎥⎢⎥
⎣7. 511. 875⎦⎣B ⎦⎣6. 2645⎦
解得 A =0. 4874, B =0. 2197, 得a =3. 072, b =0. 5057.
所以 y =3. 072e 0. 5057x .
8、解：令ln x =X , 则 y =ϕ(x ) =a +bX . 计算各元素:
4
4
4
4
n =4, ∑X i =3. 178, ∑X =3. 60914, ∑y i =14. 4, ∑X i y i =12. 9605,
2
i
i =1
i =1
i =1
i =1
故法方程组为⎢
3. 178⎤⎡4
⎥3. 1783. 60914⎣⎦⎡a ⎤⎡14. 4⎤
⎥, ⎢b ⎥=⎢12. 9605⎦⎣⎦⎣
解得 a =2. 496, b =1. 402, 所以y =ϕ(x ) =2. 49+1. 402ln x .
习 题 七
11
1、解：利用梯形公式: I 1=⎰e -x dx ≈[e -1+e 0]=0. 68394.
02
-1
利用辛普森公式: I 2=⎰e dx ≈[e -1+4e 2+e 0]=0. 63233.
06
1
-x
1
(b -a ) 3' ' 1
计算误差: R 1=-f (ξ) ≤e 0=0. 08333.
1212
1(b -a ) 5(4) 110
. 5[]f (ξ) ≤⋅5e =0. 0003
902902
R 2=-5、解：利用复化梯形公式:
I =⎰e
010
-x 2
91-100
dx =[e +2∑f (x i ) +1]=0. 886319.
2i =1
利用复化辛普森公式:
6、解：由f (x ) =
121
, f ' ' (x ) =3 得 max f ' ' (x ) =
x ∈[2, 8]2x 4x
616291
又R T [f ]≤⋅⋅2=2≤⨯10-5,
124n 22n
解出n ≥671, 故用复化梯形公式n 至少取671, 即需672个节点.
7、解：计算如下:
故I 0. 7132717.
习 题 八
1、解：将f (x , y ) =x 2-y 2代入相关公式. (1)欧拉公式计算:
22
⎧y n +1=y n +h (x n -y n )
⎨
y 0=1, h =0. 1⎩
(2)预估-校正公式计算:
-
⎧22
y =y +h (x -y ) n n n n +1⎪
-2h 2⎪22
⎨y n +1=y n +[x n -y n +x n +1-y n +1]
2⎪
y 0=1, h =0. 1⎪
⎩
分别计算, 其结果如下:
2、证明：将f (x , y ) =ax +b 代入欧拉预估-校正公式，可得
-
⎧
y n +1=y n +h (ax +b ) ⎪
⎨h
⎪y n +1=y n +(ax n +b +ax n +1+b )
2⎩
又因为 y n +1=y n +⎰
所以结论可得。
x n +1
x n
(ax +b ) dx ，R [⎰
x n +1
x n
(ax +b ) dx ]=0
3、解：利用经典四阶龙格-库塔公式有,
y n ⎧
k =1⎪1+x n
⎪
3(y n +0. 1k 1) ⎪k 2=
⎪1. 1+x n ⎪3(y n +0. 1k 2) ⎪
⎨ k 3=
1. 1+x n ⎪
3(y n +0. 2k 3) ⎪
k =4⎪1. 2+x n
⎪
⎪y =y +0. 1[k +2k +2k +k ]n +1n 1234⎪3⎩
计算结果见下表:
1
11
6、解：y n +1=y n +⎰[(t +1)(t +2) F (x ) -t (t +2) F (x n -1) +t (t +1) F (x n -2)]hdt
022
=y n +h [
2345
F (x n ) -F (x n -1) +F (x n -2)] 12312
根据对应关系，可得： a =
2345 ， b =- ， c = . 12312
现代数值计算方法习题答案
习 题 一
1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以
有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求. 因此
49×10
-2
：E = 0.005； E r = 0.0102； 2位有效数字.
0.0490 ：E = 0.00005；E r = 0.00102； 3位有效数字. 490.00 ：E = 0.005； E r = 0.0000102；5位有效数字.
22
= 3.1428 …… ， π = 3.1415 …… ， 7
取它们的相同部分3.14，故有3位有效数字.
E 0. 0013
E = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ；E r = = = 0.00041.
3. 143. 14
2、解：
3、解：的近似值的首位非0数字α1 = 1,因此有 |E r *(x ) |=
*
11-4
⨯10-(n -1) = 5，所以 n = 5 . 2⨯12
1
1
1*n -11*n -1*
4、证：E (x ) ≈(x ) E (x ) =(x ) (x -x *)
n n
E r (x ) =
*
E (x )
*
x *
1(x )
≈n
1-1*n
(x -x *) x *
1x -x *1*==E (x ) r *
n x n
5、解：(1)因为20=4.4721…… ，
又E (x *) =|x -x *| = |20-4. 47| = 0.0021
(2)20的近似值的首位非0数字α1 = 4,因此有 |E r *(x ) |=
1
⨯10-(n -1) = 3 .所以，x *= 4.47. 2⨯4
6、解：设正方形的边长为x , 则其面积为y =x 2，由题设知x 的近似值为x *= 10 cm .
记y *为y 的近似值，则
E (y *) =2x *(x -x *) =20(x -x *) =20E (x *)
所以E (x *)
7、解：因为E (x n ) ≈nx n -1(x -x *) ,
E (x n ) x -x *
≈n =nE r (x ) =0. 01n . 所以E r (x ) =n
x x
n
8、解：
9、证：E (S ) =S -S *≈gt (t -t *) =gtE (t )
S -S *gt (t -t *) 2E (t )
E r (S ) = 由上述两式易知，结论. ≈=
S t gt 2/210、解：代入求解, 经过计算可知第(3)个计算结果最好.
11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形…… （1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函数恒等变形.
1**
12、解： 因为x 0=2, x 0|
2
于是有
***
|x 1-x 1| = |10x 0-1-10x 0|
*
类推有 |x 10-x 10|
1
⨯108 2
即计算到x 10，其误差限为1010δ，亦即若在x 0处有误差限为δ，则x 10的
误差将扩大1010倍，可见这个计算过程是不稳定的.
习 题 二
1、 解：只用一种方法.
（1）方程组的增广矩阵为：
⎡2-1-1 4⎤⎡2-1-1 4⎤⎡2-1-1 4⎤
⎥ → ⎢011-1 10⎥ → ⎢011-1 10⎥ 34-2 11 ⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎢⎢1 1⎥⎣0-111 10⎥⎦⎣00⎦⎣3-24 11⎥⎦
→ x 1=3 , x 2=1 , x 3=1 . （2）方程组的增广矩阵为：
⎡3-14 7⎤⎡3-14 7⎤⎡3-14 7⎤⎥ → ⎢05-2 4⎥ → ⎢05-2 4⎥ -12-2 -1 ⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎢⎢2 2⎥2 1⎥⎣2-3-2 0⎥⎦⎣01⎦⎣00⎦
→ x 1=2 , x 2=1 , x 3=1/2 .
（3）适用于计算机编程计算.
2、 解：第一步：计算U 的第一行，L 的第一列，得
u 11=6 u 12=2 u 13=1 u 14=-1
l 21=a 21/u 11=1/3 l 31=a 31/u 11=1/6 l 41=a 41/u 11=-1/6
第二步：计算U 的第二行，L 的第二列，得
u 22=a 22-l 21u 12=10/3 u 23=a 23-l 21u 13=2/3 u 24=a 24-l 21u 14=1/3 l 32=(a 32-l 31u 12) /u 22=1/5 l 42=(a 42-l 41u 12) /u 22=1/10
第三步：计算U 的第三行，L 的第三列，得
u 33=a 33-l 31u 13-l 32u 23=37/10 u 34=a 34-l 31u 14-l 32u 24=-9/10 l 43=(a 43-l 41u 13-l 42u 23) /u 33=-9/37
第四步：计算U 的第四行，得
u 44=a 44-l 41u 14-l 42u 24-l 43u 34=-955/370
⎡6⎢2
从而， ⎢
⎢1⎢⎣-121-1⎤410⎥⎥ 14-1⎥
⎥
0-13⎦
000⎤⎡621-1⎡1⎤
⎢1/3⎥⎢010/32/3⎥1001/3⎥⎢⎥ = ⎢
⎢1/61/510⎥⎢0037/10-9/10⎥⎢⎥⎢⎥-1/61/10-9/371000-955/370⎣⎦⎣⎦
由LY =b , 解得Y =（6，-3，23/5，－955/370）T . 由UX =Y , 解得X =（1，-1，1，－1）T . 3、（1）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式
是否大于零来判断. a 11＝ 3 > 0,
32
= 2 > 0, 220 = 4 > 0, 所以系数矩阵是对称22
103
321
正定的. 记系数矩阵为A ，则平方根法可按如下三步进行：
第一步 分解：A = L LT . 由公式计算出矩阵的各元素：
l 11= l 21=
26
l 22= 33
l 31=
6 l 32=- l 33=2
33
⎡
⎢3⎢2 因此， L ＝⎢
⎢3⎢3⎢⎣3
063-3
⎤0⎥⎥0⎥. ⎥⎥2⎥⎦
56
，，2）T . 33
第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （
第三步 求解方程组L T X = Y . 解得X =（0，2，1）T .
（2）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式
是否大于零来判断.
323
32
= 2 > 0, 220 = 6 > 0, 所以系数矩阵是对称a 11＝ 3 > 0,
22
3012
正定的. 记系数矩阵为A ，则平方根法可按如下三步进行：
第一步 分解：A = L LT . 由公式计算出矩阵的各元素：
l 11= l 21=
23
l 22=
6 3
l 31= l 32=- l 33=3
⎡3⎢2 因此， L ＝⎢
⎢3⎢⎣3
063-0⎤⎥
0⎥ . ⎥3⎥⎦
56T
，-）. 363
11
，）T . 23
第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （
第三步 求解方程组L T X = Y . 解得X = （1，4、解： 对i =1 , d 1=a 11=2 ；
15
对i =2 , t 21=-1 , l 21=- , d 2=- ；
22
17727
对i =3 , t 31=1 , t 32= ,l 31= , l 32=- ,d 3= .
2525
⎡⎢20⎢15
所以数组A 的形式为： A =⎢--
2⎢2
⎢1-7⎢5⎣2
⎤
0⎥⎥0⎥ ⎥27⎥5⎥⎦
69T
求解方程组LY = b . 解得Y = （4，7，）.
5
10723
求解方程组DL T X = Y . 解得X = （，，）T .
999
00⎤⎡10000⎤⎡u 160
⎢l 1000⎥⎢0u ⎥60022⎢⎥⎢⎥
5、解：（1）设A = LU = ⎢0l 3100⎥ ⎢00u 360⎥
⎢00l 10⎥⎢000u 46⎥4⎢⎥⎢⎥
l 10u 000000⎢⎥⎥55⎦⎣⎦⎢⎣15565
计算各元素得： u 1=5 , l 2= , u 2= , l 3= , u 3= ,
5191919
1921165665l 4= , u 4= , l 5= , u 5= .
6565211211
111212T
求解方程组LY = d. 解得Y = （1，-，，-，）.
[***********]3395212T
求解方程组UX = Y. 解得X = （，，，-，）.
[**************]
⎡1
（2）设A = LU = ⎢⎢l 2
⎢⎣0
01l 3
0⎤
0⎥⎥ 1⎥⎦
⎡u 1
⎢0⎢⎢⎣0
1u 2
0⎤1⎥⎥ u 3⎥⎦
1245115
，u 2= ，l 3= ，u 3= . 552424
53115T
求解方程组LY = d . 解得Y = （17，，）.
245
求解方程组UX = Y . 解得X = （3，2，1）T . 6、证：（1）（2）相同.
因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应
的高斯－赛德尔迭代法都收敛. （1）雅可比迭代公式：
1(k ) 2(k ) 10
x 1(k +1) =-x 2-x 3+
77711(k ) (k +1)
x 2=-x 1(k ) -x 3+1
4422(k ) 2(k +1)
x 3=-x 1(k ) -x 2+
993
高斯－赛德尔迭代公式：
1(k ) 2(k ) 10
x 1(k +1) =-x 2-x 3+
77711(k ) (k +1)
x 2=-x 1(k +1) -x 3+1
4422(k +1) 2(k +1)
x 3=-x 1(k +1) -x 2+
993
（2）雅可比迭代公式：
计算各元素得：u 1=5 ，l 2=
x 1(k +1) =
(k +1) x 2(k +1) x 3
高斯－赛德尔迭代公式：
2(k ) 1(k ) 4x 2-x 3+ 55513(k ) 2=-x 1(k ) +x 3+ 55521(k ) 11=x 1(k ) +x 2+ 555
2(k ) 1(k ) 4x 2-x 3+ 55513(k ) 2(k +1)
x 2=-x 1(k +1) +x 3+
55521(k +1) 11(k +1)
x 3=x 1(k +1) +x 2+
555
7、(1)证：因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相
应的高斯－赛德尔迭代法都收敛。
(2) 雅可比迭代法：
写出雅可比迭代法公式：
2(k ) 1(k ) 12
x 1(k +1) =-x 2-x 3-
55511(k ) (k +1)
x 2=x 1(k ) -x 3+5
4213(k ) 3(k +1)
x 3=-x 1(k ) +x 2+
51010
x 1(k +1) =
取x (0) = （－3，1，1）T ，迭代到18次达到精度要求,
x (18) = （－3.999，2.999，1.999）T .
高斯－赛德尔迭代法：
写出高斯－赛德尔迭代法公式：
2(k ) 1(k ) 12
x 1(k +1) =-x 2-x 3-
55511(k ) (k +1)
x 2=x 1(k +1) -x 3+5
4213(k +1) 3(k +1)
x 3=-x 1(k +1) +x 2+
51010
取x (0) = （－3，1，1）T ，迭代到8次达到精度要求,
x (8) = （－4.000，2.999，2.000）T .
8、SOR 方法考试不考。
9、证明：雅可比法的迭代矩阵为：
⎡
0⎢0
B J =-D -1(L +U ) =-⎢-10
⎢12--⎢
3⎣3⎤
-1⎥λ00⎥ , λI -B J =-1λ⎥120⎥--
33⎦
-1
λ
解得ρ(B J ) >=1, 所以雅可比迭代法不收敛. 高斯-赛德尔法的迭代矩阵为：
λ0-1⎡00-1⎤
⎥ , λI -M =0λ-1 00-1 M =-(D +L ) -1U =-⎢⎢⎥
⎢00λ-1⎣00-1⎥⎦
求得λ1=λ2=0，λ3=1，则ρ(M ) =1 , 所以高斯-赛德尔迭代法不收敛. 10、证明：雅可比法的迭代矩阵为：
⎡⎢0
B J =-D -1(L +U ) =-⎢1
⎢1⎢-⎢⎣2
1
201-2-
1⎤
λ⎥2
1⎥ , λI -B J =1⎥10⎥-
2⎥⎦
--1
212
121
λ
λ
求得λ1=0，λ2=
5
i ，则ρ(B J ) =1 , i ，λ3=-22
所以雅可比迭代法不收敛.
高斯-赛德尔法的迭代矩阵为：
11⎤11⎡0-λ-⎢22⎥22⎢⎥1111
⎥ , λI -M =0λ-- M =-(D +L ) -1U =-⎢0 2222⎢⎥1313⎢0⎥0λ-⎢44⎥44⎣⎦1
求得λ1=λ2=-，λ3=0，则ρ(M )
2
11、证明：当 - 0.5
1a
1a a
= 1 - a 2 > 0 , a 1a = (1 - a) 2(1 + 2a ) > 0 , 所以A 正定. a 1
a a 1
⎡0-a -a ⎤
⎥，所以， -a 0-a 雅可比迭代矩阵B J ＝⎢⎢⎥
⎢⎣-a -a 0⎥⎦
λ
|λI -BJ | = a
a
a a
a = λ3-3λa 3+2a 2=(λ-a ) 2(λ+2a )
λ
a
λ
所以， ρ(B J ) =|2a | , 故当-0.5
⎡0. 60. 1⎤⎡0. 60. 5⎤
A T A = ⎢ ⎢ = ⎥⎥
⎣0. 50. 3⎦⎣0. 10. 3⎦
|λI -A A | =
T
⎡0. 370. 33⎤⎢0. 330. 34⎥ ⎣⎦
λ-0. 37
-0. 33-0. 33
= λ2 － 0.71λ ＋ 0.0169 ＝ 0
λ-0. 34
所以 λmax (A T A ) = 0.685，所以 A 2＝ 13、证明：(1)由定义知, x
∞
n
n
. 685 = 0.83.
=m a x i ≤∑x i =x 1≤∑m a x i =∑x
1≤i ≤n
i =1
i =1
1≤i ≤1
i =1
n
∞
=n x ∞
故 x
(2)由范数定义知,
∞
≤x 1≤n x ∞
T T T T
A 2=λm a (x A A ) ≤λ1(A A ) +λ2(A A ) + +λn (A A )
2
2 =∑a +∑a + +∑a =∑∑a ij =A F
2
i 1
2i 2
2in
i =1
i =1
i =1
j =1i =1
n n n n n
2
1122T
[λ1(A T A ) +λ2(A T A ) + +λn (A T A )]=A F A 2=λm a (x A A ) ≥n n
故
1n
A
F
≤A 2≤A F
习 题 三
1、解：f (x ) =x 4-3x +1在区间[0.3,0.4]上f ' (x ) =4x 3-3
上严格单调减少，又f (0. 3) >0，f (0. 4)
1
唯一实根。令（0.4－0.3）/ 2k +1 = 4 ,即应至少分4
2
次, 取x 0=0. 35开始计算, 于是有:
当k = 1 时, x 1 = 0.35 , f (x 1) 0 ,隔根区间是[0. 325, 0. 35],
, 0. 35], 当k = 3 时, x 3 = 0.3375 , f (x 3) >0 ,隔根区间是[0. 3375
, 0. 34375]. 当k = 4 时, x 4 = 0.34375 , f (x 4)
所以 x *≈(0.3375 + 0.34375)/2 ≈ 0.341.
2、解：f (x ) =x 3+x -4在区间[1,2]上f ' (x ) =3x 2+1>0，故f (x ) 在区间[1,2]上
严格单调增加，又f (2) >0，f (1)
2-11-4
⨯10 = 13.3 ,即应至少分14次. k +1
22
3、解：作图, 判断根的数目、找隔根的区间.
令
(1)有唯一实根, 隔根区间[0,π/4],收敛迭代公式:x k +1=
cos x k +sin x k
.
4
(2)有唯一实根, 隔根区间[1,2],收敛迭代公式:x k +1=log 2(4-x k ) . 4、解：取x 0=1. 5的邻域[1.3,1.6]来考察.
(1)当x ∈[1.3,1.6]时, ϕ(x ) =+x 2∈[1.3,1.6] ,|ϕ' (x ) |
2
所以，x k +1=+x k 在[1.3,1.6]上收敛.
(2)当x ∈[1.3,1.6]时, ϕ(x ) =1+1/x 2∈[1.3,1.6] ,|ϕ' (x ) |
2
所以，x k +1=1+1/x k 在[1.3,1.6]上收敛.
(3)当x ∈[1.3,1.6]时, ϕ(x ) =1/x -1∈[1.3,1.6] ,|ϕ' (x ) | = L > 1, 所以， x k +1=x k -1在[1.3,1.6]上发散.
3
-1在(4)当x ∈[1.3,1.6]时, ϕ(x ) =x 3-1∉[1.3,1.6] ,所以，x k +1=x k
[1.3,1.6]上发散. 取x 0=1. 5开始计算, 于是有：
x 1 = 1.481448 , x 2 = 1.472705 , x 3 = 1.468817 ,
x 4= 1.467047 , x 5 = 1.466243 , x 6 = 1.465876 .
1
由于|x 6-x 5|
2
5、解：方程的等价形式为x 5=x +0. 2=ϕ(x ) , 迭代公式为x k +1=x k +0. 2. 作函数y =x 5和y =x +0. 2的图像, 可知其正根区间为[0.5,1.5].
当x ∈[0.5,1.5]时, ϕ(x ) =x +0. 2∈[0.5,1.5] ,|ϕ' (x ) |
2
所以，x k +1=+x k 在[0.5,1.5]上收敛.
取x 0=0. 5开始计算, 于是有：
x 1 = 0.93114992, x 2 = 1.0249532 , x 3 = 1.04141516 ,
x 4 = 1.04419321, x 5 = 1.0446673 , x 6 = 1.04474582,
x 7 = 1.04475903, x 8= 1.0447613 , x 9= 1.04476123. 由于|x 9-x 8|
1
⨯10-3, 故可取 x *≈ x 9 = 1.04476. 2
6、解：当x ∈[0,0.5]时, ϕ(x ) =(2-e x ) /10∈[0,0.5] ,|ϕ' (x ) |
所以x k +1=(2-e x k ) /10在区间[0,0.5]上收敛. 取x 0=0. 5开始计算, 于是有：
x 1 = 0.10000000, x 2 = 0.08948290 , x 3 = 0.09063913 ,
x 4 = 0.09051262, x 5 = 0.09052647 , x 6 = 0.09052495. 由于|x 6-x 5|
1
⨯10-4, 故可取 x *≈ x 6 = 0.0905. 2
7、解：由于ϕ' (x ) 在根x *=0. 5附近变化不大, ϕ' (x ) =-e -x |x =0. 5= - 0.607 = q .
~⎧x k +1=e -x k
迭代--加速公式为⎨ ~
⎩x k +1=x k +1/1. 607+0. 6x k /1. 607
取x 0=0. 5开始计算, 于是有：
x 1= 0.5662917, x 2 = 0.5671223, x 3 = 0.56714277.
1
⨯10-4, 故可取 x *≈ x 3 = 0.5671. 2
8、解：埃特金加速公式为：
由于|x 3-x 2|
⎧
~⎪x k +1=x k +1⎪⎪
⎨ k +2=x k +1+1
⎪k +2x k -~x 2k +1⎪x k +1=⎪k +2-2x k +1+x k ⎩
取x 0=1. 5开始计算, 于是有:
x 1= 1.32489918, x 2 = 1.32471796, x 3 = 1.32471637.
由于|x 3-x 2|
1
⨯10-4, 故可取 x *≈ x 3 = 1.3247. 2
9、解：对于f (x ) =x n -a , f ' (x ) =nx n -1, 因此牛顿迭代法为 x k +1
n x k -a 1⎡a ⎤
,k =0,1,2,3, … =x k -=(n -1) x +⎢k n -1n -1⎥n nx k x k ⎦⎣
对于f (x ) =1-
a na '
f (x ) =, , 因此牛顿迭代法为 x n x n +1
x k +1
n
⎤f (x k ) x k ⎡x k
=x k -' =(n +1) x -⎢⎥ ,k =0,1,2,3, … k
a ⎦f (x k ) n ⎣
因为 ϕ' ' (a ) =-
n +1
a
所以，
k →∞n
对于f (x ) =x -a =0, lim
n
-x k +1
2
(a -x k )
=-
n -12a
n
.
a -x k +1a n +1
对于f (x ) =1-n =0, lim . =2k →∞x (a -x k ) 2a
10、解：f (x ) =x 3-3x -1在区间[1,2]上, f (1) 0,
f ' (x ) =3x 2-3>=0，f ' ' (x ) =6x >0.
又因为f (2) f ' ' (2) >0，所以收敛且以x 0=2作初值。 取x 0=2, 用牛顿迭代法, x k +1
33
x k -3x k -12x k +1
=x k -=22
3x k -33(x k -1)
计算得 x 1= 1.8889, x 2 = 1.8794, x 3 = 1.8794, 由于|x 3-x 2|
1
⨯10-3, 故可取 x *≈ x 3 = 1.879. 2
11、解：设f (x ) =x 3-C ,则 f ' (x ) =3x 2 ，f ' ' (x ) =6x .牛顿法迭代公式为：
1C
x k +1=(2x k +2) k =0,1,2,3, …
3x k
当x >0时, f ' (x ) >0 ，f ' ' (x ) >0 , 当x 0 ，f ' ' (x ) 0, 当x 0>C 时, f (x 0) f ' ' (x 0) >0, 牛顿序列{x k }收敛到
.
2
2x 0+C (-x 0) 2 当x 0∈(0, ) 时, x 1-C =-=(+2x 0) >0, 22
3x 03x 0
所以x 1>C , 因此, 从x 1起 , 牛顿序列{x k }收敛到C .
对于C 0, 牛顿序列{x k }收敛到
.
222x +C (C -x ) 0
当x 0∈(C , 0) 时, x 1-=02-C =(+2x 0)
3x 03x 0
所以x 1
3
x k 2
=x k -2=x k .
3x k 3
该迭代对任何x 0∈R 均收敛, 但收敛速度是线性的.
取x 0=1开始计算, 于是有：
x 1 = 1.66666667 , x 2 = 1.23111111 , x 3 = 1.48053039 ,
x 4 = 1.44323083 , x 5 = 1.44225024 , x 6 = 1.44224957 ,
x 7 = 1.44224957 . 由于|x 7-x 6|
1
⨯10-6, 故可取 x *≈ x 7 = 1.442250 . 2
12、解：令f (x ) =1-x -sin x , 取x 0=0, x 1=1开始计算,
经过4次计算可以得到 x *≈ x 4 = 0.51098 .
习 题 五
1、解：L 2(x ) =f (x 0) l 0(x ) +f (x 1) l 1(x ) +f (x 2) l 2(x )
(x -1)(x -2) (x -1)(x +1) 5237
+4=x +x -.
(-1-1)(-1-2) (2-1)(2+1) 623
=0+(-3)
2、解：L 3(x ) =f (x 0) l 0(x ) +f (x 1) l 1(x ) +f (x 2) l 2(x ) +f (x 3) l 3(x )
(x -1)(x -2)(x -3) x (x -2)(x -3) x (x -1)(x -2)
+3+0-
(-1) ⋅(-2) ⋅(-3) (-1) ⋅(-2) 3⋅2⋅1(x -1)(x -2)(x -3) 3x (x -2)(x -3) x (x -1)(x -2)
+-.
326
=2
=-
3、解：L 3(x ) =f (x 0) l 0(x ) +f (x 1) l 1(x ) +f (x 2) l 2(x ) +f (x 3) l 3(x ) =0. 1214.(直接代入数据，因较复杂，省略) 4、证：（1）当（2）中的k =0时，即可得结论.
（2）函数x 及∑x i k l i (x ) 均为被插值函数x k 的关于互异节点x i 的不超过n 次
k
n
i =0
的插值多项式，利用插值多项式的唯一性可知结论.
5、证：以x =a 和x =b 为插值点，建立f (x ) 的不超过一次的插值多项式：
L 1(x ) =f (a )
x -b x -a
+f (b ) ≡0 a -b b -a
应用插值余项公式有：
f (x ) -L 1(x ) =
1' ' 1
f (ξ)(x -a )(x -b ) ≤max f ' ' (ξ) (x -a )(x -b )
a ≤x ≤b 2! 2a ≤x ≤b
1
≤(b -a ) 2max f ' ' (ξ) ，因此可得结论。
a ≤x ≤b 8
6、解：选x 0=1. 4，x 1=1. 5，x 2=1. 6为节点，计算得：
L 2(1. 54) =f (1. 4) l 0(1. 54) +f (1. 5) l 1(1. 54) +f (1. 6) l 2(1. 54)
(1. 54-1. 5)(1. 54-1. 6) (1. 54-1. 4)(1. 54-1. 6)
+1. 837⋅+
(1. 4-1. 5)(1. 4-1. 6) (1. 5-1. 4)(1. 5-1. 6) (1. 54-1. 4)(1. 54-1. 5)
=1. 94472.
(1. 6-1. 4)(1. 6-1. 5)
=1. 602⋅
+2. 121⋅
7、解：L 3(x ) =f (x 0) l 0(x ) +f (x 1) l 1(x ) +f (x 2) l 2(x ) +f (x 3) l 3(x )
x (x -3)(x -6) x (x +3)(x -6) x (x +3)(x +2)
+0-2+10
(-3) ⋅(-6) ⋅(-9) 6⋅3⋅(-3) 9⋅6⋅3
=-
=8、解：（略）
1
(23x 3-63x 2-234x +324) . 162
9、证：设F (x ) =αf (x ) +βg (x ) ，ωn +1(x ) =(x -x 0)(x -x 1) (x -x n ) . 将差商（均差）用函数值表示，则有： F [x 0, x 1, x n ]=∑
j =0n
F (x j )
ωn +1(x j )
f (x j )
'
=∑
j =0
n
αf (x j ) +βg (x j ) ωn +1(x j )
n
'
=α∑
j =0
n
ωn +1(x j )
'
+β∑
j =0
βg (x j ) ωn +1(x j )
'
=αf [x 0, x 1 , x n ]+βg [x 0, x 1 , x n ] 取β=0, α=c 得结论（1），取β=α=1得结论（2）.
n
10、证：f [x 0, x 1, , x n ]=∑
j =0
f (x j )
ω(x j ) '
n +1
=∑
j =0
n
f (x j )
(x j -x 0) (x j -x j -1)(x j -x j +1) (x j -x n )
.
11、解：制造向前查分表：
由题意，x 0=0，h =1. 当x =0. 5时，t =
x -x 0
=0. 5. h
将查分表上部那些画横线的数及t =0. 5代入公式，有
N 3(0. 5) =1+0. 5+
0. 5(-0. 5) 0. 5(-0. 5)(-1. 5)
⨯14+⨯18=0. 875. 26
当x =2. 5时，t =公式，有
x 0-x
=0. 5. 将查分表下部那些画横线的数及t =0. 5代入h
N 3(2. 5) =64-47⨯0. 5+
0. 5(-0. 5) 0. 5(-0. 5)(-1. 5)
⨯32-⨯18=35. 375. 26
12、解：制造向前查分表：
由于其根在[-1,2]之间，故采用牛顿后插公式，
计算得 t =1. 5，所以x =0. 5.
13、证：采用差分的定义来证明. 14、解：方法同第11题.
15、解：以x i -1，x i 和x i +1为插值节点的插值多项式的截断误差，则有 R 2(x ) =
1' ' '
f (ξ)(x -x i -1)(x -x i )(x -x i +1) ， 3!
式中 ξ∈(x i -1, x i +1) ，x i -1=x i -h ，x i +1=x i +h
1414213e 43
则R 2(x ) ≤e max (x -x i -1)(x -x i )(x -x i +1) ≤e h =h
x ≤x ≤x i -1i +1663393
e 498h 3≤10-5 得 h ≤0. 065.
令
习 题 六
⎡2⎢3
1、解：由题意得A =⎢
⎢1⎢⎣44⎤⎡11⎤
⎢3⎥303⎤-5⎥⎡73⎤T ⎥ , b =⎢⎥ , 所以A T A =⎡ , A b =⎢349⎥⎢29⎥. ⎢6⎥2⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎥
2⎦⎣14⎦
⎡2. 4555⎤
又A T AX =A T b , 所以X =⎢ . ⎥
⎣0. 4456⎦
2、解：设拟合曲线为一次多项式:y 1=ϕ1(x ) =a 0+a 1x . 计算各元素:
n =8, ∑x i =15. 26, ∑x =30. 1556, ∑y i =145. 227, ∑x i y i =286. 93628,
2i
i =1
i =1
i =1
i =1
8
8
8
8
15. 26⎤⎡8
故法方程组为⎢⎥
⎣15. 2630. 1556⎦⎡a 0⎤⎡145. 227⎤
⎢a ⎥=⎢⎥, 286. 93628⎣1⎦⎣⎦
解得 a 0=3. 916, a 1=7. 464. 所以y 1=ϕ1(x ) =7. 464x +3. 916. 二次多项式拟合曲线与一次多项式拟合曲线类似(略).
3、解：设拟合曲线为二次多项式:y =a +bx 2 . 计算各元素:
5
5
5
5
n =5, ∑x =5327, ∑x =7277699, ∑y i =271. 4, ∑x i 2y i =369321. 5,
2
i
4i
i =1
i =1
i =1
i =1
5327⎤⎡a ⎤⎡271. 4⎤⎡5
故法方程组为⎢⎥⎢b ⎥=⎢369321⎥, [1**********]. 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦
解得 a =0. 973, b =0. 050. 所以y =0. 973+0. 050x 2.
4、解：经描图发现t 和s 符合二次曲线.
设拟合曲线为二次多项式:s =a +bt +ct 2 . 计算各元素:
n =6, ∑t i =14. 7, ∑t =53. 63, ∑t = ,∑t i 4=
2i
3i
i =1
i =1
i =1
i =1
6
6
6
6
∑s
i =1
6
i
=280, ∑t i s i =1078, ∑t i 2s i =
i =1
i =1
66
14. 753. 63⎤⎡6
⎥14. 753. 63 故法方程组为⎢⎢⎥
⎢⎥⎣53. 63⎦⎡a ⎤⎡280⎤
⎢b ⎥=⎢1078⎥, ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣c ⎥⎦⎢⎣⎦
解得 a = ,b = ,c = .所以s =a +bt +ct 2.
5、略.
6、解：对公式I =I 0e -at 两边取常用对数有 lg I =lg I 0-at lg e .
令u =lg I , A =lg I 0, B =-a lg e , 则得线性模型 u =A +Bt . 计算各元素: n =7, ∑t i =3. 5, ∑t =2. 03, ∑u i =0. 8638, ∑t i u i =0. 08067,
2
i
i =1
i =1
i =1
i =1
7
7
7
7
3. 5⎤⎡7
故法方程组为⎢⎥
⎣3. 52. 03⎦⎡A ⎤⎡0. 8638⎤⎢B ⎥=⎢0. 08067⎥, ⎣⎦⎣⎦
解得 A =0. 7509, B =-1. 2546, 得I 0=5. 635, a =2. 889.
所以 I =5. 635e
-2. 889t
.
7、解：对公式y =ae bx 两边取常用对数有 lg y =lg a +bx lg e .
令u =lg y , A =lg a , B =b lg e , 则得线性模型 u =A +Bt . 计算各元素:
n =5, ∑x i =7. 5, ∑x =11. 875, ∑y i =4. 0848, ∑x i y i =6. 2645,
2i
i =1
i =1
i =1
i =1
5555
7. 5⎤⎡A ⎤⎡4. 0848⎡5⎤
故法方程组为⎢=, ⎥⎢⎥⎢⎥
⎣7. 511. 875⎦⎣B ⎦⎣6. 2645⎦
解得 A =0. 4874, B =0. 2197, 得a =3. 072, b =0. 5057.
所以 y =3. 072e 0. 5057x .
8、解：令ln x =X , 则 y =ϕ(x ) =a +bX . 计算各元素:
4
4
4
4
n =4, ∑X i =3. 178, ∑X =3. 60914, ∑y i =14. 4, ∑X i y i =12. 9605,
2
i
i =1
i =1
i =1
i =1
故法方程组为⎢
3. 178⎤⎡4
⎥3. 1783. 60914⎣⎦⎡a ⎤⎡14. 4⎤
⎥, ⎢b ⎥=⎢12. 9605⎦⎣⎦⎣
解得 a =2. 496, b =1. 402, 所以y =ϕ(x ) =2. 49+1. 402ln x .
习 题 七
11
1、解：利用梯形公式: I 1=⎰e -x dx ≈[e -1+e 0]=0. 68394.
02
-1
利用辛普森公式: I 2=⎰e dx ≈[e -1+4e 2+e 0]=0. 63233.
06
1
-x
1
(b -a ) 3' ' 1
计算误差: R 1=-f (ξ) ≤e 0=0. 08333.
1212
1(b -a ) 5(4) 110
. 5[]f (ξ) ≤⋅5e =0. 0003
902902
R 2=-5、解：利用复化梯形公式:
I =⎰e
010
-x 2
91-100
dx =[e +2∑f (x i ) +1]=0. 886319.
2i =1
利用复化辛普森公式:
6、解：由f (x ) =
121
, f ' ' (x ) =3 得 max f ' ' (x ) =
x ∈[2, 8]2x 4x
616291
又R T [f ]≤⋅⋅2=2≤⨯10-5,
124n 22n
解出n ≥671, 故用复化梯形公式n 至少取671, 即需672个节点.
7、解：计算如下:
故I 0. 7132717.
习 题 八
1、解：将f (x , y ) =x 2-y 2代入相关公式. (1)欧拉公式计算:
22
⎧y n +1=y n +h (x n -y n )
⎨
y 0=1, h =0. 1⎩
(2)预估-校正公式计算:
-
⎧22
y =y +h (x -y ) n n n n +1⎪
-2h 2⎪22
⎨y n +1=y n +[x n -y n +x n +1-y n +1]
2⎪
y 0=1, h =0. 1⎪
⎩
分别计算, 其结果如下:
2、证明：将f (x , y ) =ax +b 代入欧拉预估-校正公式，可得
-
⎧
y n +1=y n +h (ax +b ) ⎪
⎨h
⎪y n +1=y n +(ax n +b +ax n +1+b )
2⎩
又因为 y n +1=y n +⎰
所以结论可得。
x n +1
x n
(ax +b ) dx ，R [⎰
x n +1
x n
(ax +b ) dx ]=0
3、解：利用经典四阶龙格-库塔公式有,
y n ⎧
k =1⎪1+x n
⎪
3(y n +0. 1k 1) ⎪k 2=
⎪1. 1+x n ⎪3(y n +0. 1k 2) ⎪
⎨ k 3=
1. 1+x n ⎪
3(y n +0. 2k 3) ⎪
k =4⎪1. 2+x n
⎪
⎪y =y +0. 1[k +2k +2k +k ]n +1n 1234⎪3⎩
计算结果见下表:
1
11
6、解：y n +1=y n +⎰[(t +1)(t +2) F (x ) -t (t +2) F (x n -1) +t (t +1) F (x n -2)]hdt
022
=y n +h [
2345
F (x n ) -F (x n -1) +F (x n -2)] 12312
根据对应关系，可得： a =
2345 ， b =- ， c = . 12312