图形的相似与位似
一、选择题
1. （2014•山东潍坊，第8题3分）如图，已知矩形ABCD 的长AB 为5，宽BC 为4．E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥上EF , EF 交CD 于点F ．设BE =x , FC =y ，则点 E 从点B 运动到点C 时，能表示y 关于x 的函数关系的大致图象是（ ）
考点：动点问题的函数图象．
分析：易证△ABE ∽△ECF ，根据相似比得出函数表达式，在判断图像.
解答：因为△ABE ∽△ECF ，则BE ：CF =AB ：EC ，即x ：y =5：（4－x ）y ，
整理，得y =－ 14（x －2）2+， 55
4）的抛物线．对应A 选项． 5很明显函数图象是开口向下、顶点坐标是（2，
故选：A ．
点评：此题考查了动点问题的函数图象，关键列出动点的函数关系，再判断选项．
2. (2014•年山东东营, 第7题3分) 下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（ ）
A ． ②③ B ． ①② C ． ③④ D ． ②③④
考点： 位似变换；命题与定理．
分析： 利用位似图形的定义与性质分别判断得出即可．
解答： 解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故此选项错误； ②位似图形一定有位似中心，此选项正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，此选项正确；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比，此选项错误．
正确的选项为②③．
故选：A ．
点评： 此题主要考查了位似图形的性质与定义，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
3. （2014•四川凉山州，第7题，4分）如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似
4．（2014•四川泸州，第11题，3分）如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠DAB =90°，AC ⊥BC ，AC =BC ，∠ABC 的平分线分别交AD 、AC 于点E ，
F ，则的值是（ ）
斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC 、BC 相切于点D 、E ，则AD 为（ ）
6. （2014•甘肃白银、临夏, 第10题3分）如图，边长为1的正方形ABCD 中，点E 在CB 延长线上，连接ED 交AB 于点F ，
AF =x （0.2≤x ≤0.8），EC =y ．则在下面函数图象中，大致能反映y 与x 之闻函数关系的是（ ）
4.
5.
6.
7.
8.
二、填空题
1. （2014•湖南怀化，第11题，3分）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的中点，则S △ADE ：S △ABC =．
2. ．（2014•湖南张家界，第10题，3分）如图，△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积比为 1：4 ．
3. （2014•遵义17．（4分））“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD ，东边城墙AB 长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E 、南门点F 分别是AB ，AD
的中点，EG ⊥AB ，FE ⊥AD ，EG=15里，HG 经过A 点，则FH=
4. （2014•娄底17．（3分））如图，小明用长为3m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB 的高为 9 m ．
5. (2014年湖北咸宁16．（3分）) 如图，在△ABC 中，AB=AC=10，点D 是边BC 上一动点（不与B ，C 重合），∠ADE=∠B=α，DE 交AC 于点E ，且cos α=．下列结论：
①△ADE ∽△ACD ；
②当BD=6时，△ABD 与△DCE 全等；
③△DCE 为直角三角形时，BD 为8或；
④0＜CE ≤6.4．
其中正确的结论是 ①②③④ ．（把你认为正确结论的序号都填上）
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
分析： ①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明．
②由BD=6，则DC=10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得． ③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得．
④依据相似三角形对应边成比例即可求得．
解答： 解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C ，
又∵∠ADE=∠B
∴∠ADE=∠C ，
∴△ADE ∽△ACD ；
故①结论正确，
②AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cos α=，
∴BC=16，
∵BD=6，
∴DC=10，
∴AB=DC，
在△ABD 与△DCE 中，
∴△ABD ≌△DCE （ASA ）．
故②正确，
③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE ∽△ACD ，
∴∠ADC=∠AED ，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC=90°，
即AD ⊥BC ，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且cos α=．AB=10，
BD=8．
当∠CDE=90°时，易△CDE ∽△BAD ，
∵∠CDE=90°，
∴∠BADF=90°，
∵∠B=α且cos α=．AB=10，
∴cos ∠B=
∴BD==， ．
故③正确．
④易证得△CDE ∽△BAD ，由②可知BC=16，
设BD=y，CE=x， ∴
=
∴， =，
2整理得：y ﹣16y+64=64﹣10x ，
2即（y ﹣8）=64﹣10x ，
∴0＜y ＜8，0＜x ＜6.4．
故④正确．
点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及利用三角函数求边长等．
6．（2014•四川遂宁，第15题，4分）已知：如图，在△ABC 中，点A 1，B 1，C 1分别是BC 、AC 、AB 的中点，A 2，B 2，C 2分别是B 1C 1，A 1C 1，A 1B 1的中点，依此类推…．若△ABC 的周长为1，则△A n B n C n 的周长为
．
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
三、解答题
1. （2014•上海，第23题12分）已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC 延长线上一点，且∠CDE=∠ABD ．
（1）求证：四边形ACED 是平行四边形；
（2）联结AE ，交BD 于点G ，求证：=．
2. （2014•四川巴中，第24题7分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点坐标分别为A （﹣2，4），B （﹣2，1），C （﹣5，2）．
（1）请画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1．
（2）将△A 1B 1C 1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A 2，B 2，C 2，请画出△A 2B 2C 2．
（3）求△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积比，即答过程，直接写出结果）．
：
= 1：4 （不写解
考点：平面直角坐标系，相似三角形的面积比． 分析：
（1）根据关于x 轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据将△A 1B 1C 1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得出各点坐标，进而得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案． 解答：（1）如图所示：△A 1B 1C 1即为所求； （2）如图所示：△A 2B 2C 2即为所求；
（3）∵将△A 1B 1C 1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A 2，B 2，C 2，
∴△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为：1：2， ∴点评：
：
=1：4．故答案为：1：4．
此题主要考查了位似变换以及轴对对称变换，得出对应点位置是解题关键．
3. （2014•四川巴中，第29题10分）如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过D 作MN ⊥AC 于点M ，交AB 的延长线于点N ，过点B 作BG ⊥MN 于G ．
（1）求证：△BGD ∽△DMA ； （2）求证：直线MN 是⊙O 的切线．
考点：相似三角形的判定，切线的性质．
分析：（1）根据垂直定义得出∠BGD =∠DMA =90°，由圆周角定理、三角形内角和定理、对顶角性质及等角的余角相等得出∠DBG =∠ADM ，再根据两角对应相等的两三角形相似即可证明△BGD ∽△DMA ；
（2）连结OD ．由三角形中位线的性质得出OD ∥AC ，根据垂直于同一直线的两直线平行得出AC ∥BG ，由平行公理推论得到OD ∥BG ，再由BG ⊥MN ，可得OD ⊥MN ，然后根据切线的判定定理即可证明直线MN 是⊙O 的切线． 解答：证明：（1）∵MN ⊥AC 于点M ，BG ⊥MN 于G ， ∴∠BGD =∠DMA =90°．
∵以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，∴AD ⊥BC ，∠ADC =90°， ∴∠ADM +∠CDM =90°，
∵∠DBG +∠BDG =90°，∠CDM =∠BDG ， ∴∠DBG =∠ADM ． 在△BGD 与△DMA 中，
（2）连结OD ．∵BO =OA ，BD =DC ，
∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ．∵MN ⊥AC ，BG ⊥MN ， ∴AC ∥BG ，∴OD ∥BG ，∵BG ⊥MN ，∴OD ⊥MN ， ∴直线MN 是⊙O 的切线．
点评：本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
，∴△BGD ∽△DMA ；
4. （2014•山东潍坊，第22题12分）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE 、BF ，交点为G ． (1)求证：AE ⊥BF ；
(2)将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF （如图2），延长FP 交BA 的延长线于点Q ，求sin ∠BQP 的值；
(3)将△ABE 绕点A 逆时针方向旋转，使边AB 正好落在AE 上，得到△AHM （如图3），若AM 和BF 相交于点N ，当正方形ABCD 的面积为4时，求四边形GHMN 的面积．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形． 分析：（1）由四边形ABCD 是正方形，可得∠ABE =∠BCF =90°，AB =BC ，又由BE =CF ，即可证得△ABE ≌△BCF , 可得∠BAE =∠CBF ，由∠ABF +∠CBF =900可得∠ABF +∠BAE =900，即AE ⊥BF ；
（2）由△BCF ≌△BPF , 可得CF =PF , BC =BP , ∠BFE =∠BFP ，由CD ∥AB 得∠BFC =∠ABF , 从而QB =QF ，设PF 为x , 则BP 为2x , 在Rt △QBF 中可求 QB 为（3）由
5
x ，即可求得答案； 2
∆AGN AN 2
=() 可求出△AGN 的面积，进一步可求出四边形GHMN 的面积．
∆AHM AM
解答：(1)证明：∵E 、F 分别是正方形ABCD 边BC 、CD 的中点，∴CF =BE ，
∴Rt △ABE ≌Rt △BCF ∴∠BAE =∠CBF 又∵∠BAE +∠BEA =900，∴∠CBF +∠BEA =900， ∴∠BGE =900， ∴AE ⊥BF (2)根据题意得：FP =FC ，∠PFB =∠BFC ，∠FPB =900， ∵CD ∥AB , ∴∠CFB =∠ABF ，∴∠ABF =∠PFB ．∴QF =QB 令PF =k （k >O ），则PB =2k ， 在Rt △BPQ 中，设QB =x ， ∴x 2=(x －k ) 2+4k 2, ∴x =
5BP 2k 4
k ，∴sin ∠BQP === 2QP 5k 5
2
(3)由题意得：∠BAE =∠EAM , 又AE ⊥BF , ∴AN =AB =2, ∵ ∠AHM =900, ∴GN //HM , ∴
ΛAGN 24∆AGN AN 2
=() ∴=() 2=
∆AHM AM 155
44
= 55
∴ 四边形GHMN =SΔAHM － SΔAGN=1一答：四边形GHMN 的面积是4.
5
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
5. （2014•山东烟台，第24题8分）如图，AB 是⊙O 的直径，延长AB 至P ，使BP =OB ，BD 垂直于弦BC ，垂足为点B ，点D 在PC 上．设∠PCB =α，∠POC =β．求证：tanα•tan
=．
考点：圆的基本性质，相似三角形的判定，锐角三角函数. 分析：连接AC 先求出△PBD ∽△P AC ，再求出解答：证明：连接AC ，则∠A =∠POC =
，
，BD ∥AC ，
==．
，
=，最后得到tanα•tan
=．
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴tanα=
∴∠BPD =∠A ，∵∠P =∠P ，∴△PBD ∽△P AC ，∴∵PB =0B =OA ，∴
=，∴tana •tan
=
•
=
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识，本题解题的关键是求出△PBD ∽△P AC ，再求出tanα•tan
=．
6. （( 2014年河南) 20.9分）如图，在直角梯形OABC 中，BC //AO ，∠AOC =900，点A 、B 的坐标分别为(5,0)、(2,6)，点D 为AB 上一点，且BD =2AD . 双曲线y =交BC 于点E .
（1）求双曲线的解析式； （2）求四边形ODBE 的面积。
解：（1）过点B 、D 作x 轴的的垂线，垂足分别为点M 、N . ∵A (5.0)、B （2，6），∴OM =BC =2,BM =OC =6,AM =3
∵DN ∥BM , ∴△AND ∽△ABM . ∴
k
（x ＞0）经过点D , x
DN AN AD 1
=== BM AM AB 3
∴DN =2,AN =1, ∴ON =4
∴点D 的坐标为(4,2)．…………………………3分 又∵ 双曲线y = ∴k =2×4=8
k
(x ＞0) 经过点D ， x
∴双曲线的解析式为y =
8
．………………………5分 x
（2）∵点E 在BC 上，∴点E 的纵坐标为6. 又∵点E 在双曲线y =
∴点E 的坐标为(
8
上， x
44
,6), ∴CE =………………………7分 33
∴S 四边形ODBE =S 梯形OABC －S △OCE －S △AOD
111×(BC +OA )×OC －×OC ×CE －×OA ×DN 2221141
=×(2+5)×6－×6×－×5×2
2232
= =12
∴四边形ODBE 的面积为12. ………………………………9分
7. （2014•江苏盐城, 第25题10分）菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O
作一条直线分别交DA 、BC 的延长线于点E 、F ，连接BE 、DF ． （1）求证：四边形BFDE 是平行四边形；
（2）若EF ⊥AB ，垂足为M ，tan ∠MBO=，求EM ：MF 的值．
8. (2014•年山东东营, 第24题11分
) 【探究发现】如图1，△ABC 是等边三角形，∠AEF=60°，EF 交等边三角形外角平分线CF 所在的直线于点F ，当点E 是BC 的中点时，有AE=EF成立； 【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE 、EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：
当点E 是直线BC 上（B ，C 除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立． 假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E 是线段BC 上的任意一点”；“点E 时线段BC 延长线上的任意一点”；“点E 时线段BC 反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF．
【拓展应用】当点E 在线段BC 的延长线上时，若CE=BC，在图3中画出图形，并运用上述结论求出S △ABC ：S △AEF 的值．
考点： 相似形综合题．
分析： 根据等边三角形的性质，可得AB=BC，∠B=∠ACB=60°，根据三角形外角的性质，可得∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE ，根据ASA ，可得△AGE ≌△ECF （，根据全等三角形的性质，可得结论；
根据等边三角形的判定，可得△AEF 是等边三角形，根据根据等边三角形像似，可得△ABC 与△AEF 的关系，根据等腰三角形的性质，可得AC 与AH 的关系，AC 与AE 的关系，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得答案．
解答： 证明：如图一，在B 上截取AG ，使AG=EC，连接EG ，
∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°． ∵AG=EC， ∴BG=BE， ∴△BEG 是等边三角形，∠BGE=60°， ∴∠AGE=120°． ∵FC 是外角的平分线， ∠ECF=120°=∠AGE ． ∵∠AEC 是△ABE 的外角， ∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE ． ∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC ， ∴∠GAE=∠FEC ． 在△AGE 和△ECF 中
∴△AGE ≌△ECF （ASA ）， ∴AE=EF； 拓展应用：
如图二：作CH ⊥AE 于H 点，
，
∴∠AHC=90°．
由数学思考得AE=EF， 又∵∠AEF=60°， ∴△AEF 是等边三角形， ∴△ABC ∽△AEF ． ∵CE=BC=AC，△ABC 是等边三角形， ∴∠CAH=30°，AH=EH． ∴CH=AC，AH=∴
．
AC ，AE=
AC ，
∴
==．
点评： 本题考查了相似形综合题，利用了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题关键，题目稍有难度．
9. （2014•山东淄博, 第23题9分）如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 交BD 于点E ，点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，BN 平分∠ABE 交AM 于点N ，AB=AC=BD．连接MF ，NF ． （1）判断△BMN 的形状，并证明你的结论； （2）判断△MFN 与△BDC 之间的关系，并说明理由．
考点： 相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．
分析： （1）根据等腰三角形的性质，可得AM 是高线、顶角的角平分线，根据直角三角形的性质，可得∠EAB+∠EBA=90°，根据三角形外角的性质，可得答案；
（2）根据三角形中位线的性质，可得MF 与AC 的关系，根据等量代换，可得MF 与BD 的关系，根据等腰直角三角形，可得BM 与NM 的关系，根据等量代换，可得NM 与BC 的关系，根据同角的余角相等，可得∠CBD 与∠NMF 的关系，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案． 解答： （1）答：△BMN 是等腰直角三角形． 证明：∵AB=AC，点M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，AM 平分∠BAC ． ∵BN 平分∠ABE ，AC ⊥BD ， ∴∠AEB=90°， ∴∠EAB+∠EBA=90°， ∴∠MNB=∠NAB+∠ABN=（∠BAE+∠ABE ）=45°． ∴△BMN 是等腰直角三角形；
（2）答：△MFN ∽△BDC ． 证明：∵点F ，M 分别是AB ，BC 的中点， ∴FM ∥AC ，FM=AC． ∵AC=BD， ∴FM=BD，即
．
∵△BMN 是等腰直角三角形，
∴NM=BM=BC，即∴
．
，
∵AM ⊥BC ， ∴∠NMF+∠FMB=90°． ∵FM ∥AC ， ∴∠ACB=∠FMB ． ∵∠CEB=90°， ∴∠ACB+∠CBD=90°． ∴∠CBD+∠FMB=90°， ∴∠NMF=∠CBD ． ∴△MFN ∽△BDC ．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 10．（2014•四川凉山州，第27题，8分）已知：如图，P 是⊙O 外一点，过点P 引圆的切线PC （C 为切点）和割线PAB ，分别交⊙O 于A 、B ，连接AC ，BC ． （1）求证：∠PCA =∠PBC ；
（2）利用（1）的结论，已知PA =3，PB =5，求PC 的长．
11．（2014•四川内江，第26题，12分）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与点B 、C 重合），连结
AD ． 问题引入：
（1）如图①，当点D 是BC 边上的中点时，S △ABD ：S △ABC =；当点D 是BC 边上任意一点时，S △ABD ：S △ABC =
． 探索研究：
（2）如图②，在△ABC 中，O 点是线段AD 上一点（不与点A 、D 重合），连结BO 、CO ，试猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由． 拓展应用：
（3）如图③，O 是线段AD 上一点（不与点A 、D 重合），连结BO 并延长交AC 于点F ，连结CO 并延长交AB 于点E ，试猜想
+
+
的值，并说明理由．
12．（2014•四川南充，第25题，10分）如图，抛物线y =x 2+bx +c 与直线y =x ﹣1交于A 、B 两点．点A 的横坐标为﹣3，点B 在y 轴上，点P 是y 轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m ，过点P 作PC ⊥x 轴于C ，交直线AB 于D ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m 为何值时，S 四边形OBDC =2S △BPD ；
（3）是否存在点P ，使△P AD 是直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
分析（1）由x =0时带入y =x ﹣1求出y 的值求出B 的坐标，当x =﹣3时，代入y =x ﹣1求出y 的值就可以求出A 的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（2）连结OP ，由P 点的横坐标为m 可以表示出P 、D 的坐标，可以表示出S 四边形OBDC 和2S △BPD 建立方程求出其解即可．
（3）如图2，当∠APD =90°时，设出P 点的坐标，就可以表示出D 的坐标，由△APD ∽△FCD 就可与求出结论，如图3，当∠P AD =90°时，作AE ⊥x 轴于E ，就有
再由△P AD ∽△FEA 由相似三角形的性质就可以求出结论．
解：（1）∵y =x ﹣1，∴x =0时，y =﹣1，∴B （0，﹣1）．
当x =﹣3时，y =﹣4，∴A （﹣3，﹣4）．
∵y =x 2+bx +c 与直线y =x ﹣1交于A 、B 两点，∴∴抛物线的解析式为：y =x 2+4x ﹣1；
（2）∵P 点横坐标是m （m ＜0），∴P （m ，m 2+4m ﹣1），D （m ，m ﹣1）
如图1①，作BE ⊥PC 于E ，
∴BE =﹣m ．
CD =1﹣m ，OB =1，OC =﹣m ，CP =1﹣4m ﹣m 2， ，∴， ，可以表示出AD ，
∴PD =1﹣4m ﹣m 2﹣1+m =﹣3m ﹣m 2， ∴
解得：m 1=0（舍去），m 2=﹣2，m 3=﹣；
如图1②，作BE ⊥PC 于E ，
∴BE =﹣m ．
PD =1﹣4m ﹣m 2+1﹣m =2﹣4m ﹣m 2， ∴
解得：m =0（舍去）或m =﹣3，
∴m =﹣，﹣2或﹣3时S 四边形OBDC =2S △BPD ；
（3））如图2，当∠APD =90°时，设P （a ，a 2+4a ﹣1），则D （a ，a ﹣1），
∴AP =m +4，CD =1﹣m ，OC =﹣m ，CP =1﹣4m ﹣m 2，
∴DP =1﹣4m ﹣m 2﹣1+m =﹣3m ﹣m 2．
在y =x ﹣1中，当y =0时，x =1，∴（1，0），∴OF =1，
∴CF =1﹣m ．AF =4．∵PC ⊥x 轴，∴∠PCF =90°，
， ， ， ∴∠PCF =∠APD ，∴CF ∥AP ，∴△APD ∽△FCD ，
∴，
解得：m =1舍去或m =﹣2，
∴P （﹣2，﹣5）
如图3，当∠P AD =90°时，作AE ⊥x 轴于E ，
∴∠AEF =90°．CE =﹣3﹣m ，EF =4，AF =4，PD =1﹣m ﹣（1﹣4m ﹣m 2）=3m +m 2．
， ∵PC ⊥x 轴，∴∠DCF =90°，∴∠DCF =∠AEF ，∴AE ∥CD ．∴
∴AD =（﹣3﹣m ）．∵△P AD ∽△FEA ，∴，∴， ∴m =﹣2或m =﹣3
∴P （﹣2，﹣5）或（﹣3，﹣4）与点A 重合，舍去，
∴P （﹣2，﹣5）．
点评： 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，四边形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时函数的解析式是关键，用相似三角形的性质求解是难点．
图形的相似与位似
一、选择题
1. （2014•山东潍坊，第8题3分）如图，已知矩形ABCD 的长AB 为5，宽BC 为4．E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥上EF , EF 交CD 于点F ．设BE =x , FC =y ，则点 E 从点B 运动到点C 时，能表示y 关于x 的函数关系的大致图象是（ ）
考点：动点问题的函数图象．
分析：易证△ABE ∽△ECF ，根据相似比得出函数表达式，在判断图像.
解答：因为△ABE ∽△ECF ，则BE ：CF =AB ：EC ，即x ：y =5：（4－x ）y ，
整理，得y =－ 14（x －2）2+， 55
4）的抛物线．对应A 选项． 5很明显函数图象是开口向下、顶点坐标是（2，
故选：A ．
点评：此题考查了动点问题的函数图象，关键列出动点的函数关系，再判断选项．
2. (2014•年山东东营, 第7题3分) 下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（ ）
A ． ②③ B ． ①② C ． ③④ D ． ②③④
考点： 位似变换；命题与定理．
分析： 利用位似图形的定义与性质分别判断得出即可．
解答： 解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故此选项错误； ②位似图形一定有位似中心，此选项正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，此选项正确；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比，此选项错误．
正确的选项为②③．
故选：A ．
点评： 此题主要考查了位似图形的性质与定义，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
3. （2014•四川凉山州，第7题，4分）如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似
4．（2014•四川泸州，第11题，3分）如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠DAB =90°，AC ⊥BC ，AC =BC ，∠ABC 的平分线分别交AD 、AC 于点E ，
F ，则的值是（ ）
斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC 、BC 相切于点D 、E ，则AD 为（ ）
6. （2014•甘肃白银、临夏, 第10题3分）如图，边长为1的正方形ABCD 中，点E 在CB 延长线上，连接ED 交AB 于点F ，
AF =x （0.2≤x ≤0.8），EC =y ．则在下面函数图象中，大致能反映y 与x 之闻函数关系的是（ ）
4.
5.
6.
7.
8.
二、填空题
1. （2014•湖南怀化，第11题，3分）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的中点，则S △ADE ：S △ABC =．
2. ．（2014•湖南张家界，第10题，3分）如图，△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积比为 1：4 ．
3. （2014•遵义17．（4分））“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD ，东边城墙AB 长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E 、南门点F 分别是AB ，AD
的中点，EG ⊥AB ，FE ⊥AD ，EG=15里，HG 经过A 点，则FH=
4. （2014•娄底17．（3分））如图，小明用长为3m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB 的高为 9 m ．
5. (2014年湖北咸宁16．（3分）) 如图，在△ABC 中，AB=AC=10，点D 是边BC 上一动点（不与B ，C 重合），∠ADE=∠B=α，DE 交AC 于点E ，且cos α=．下列结论：
①△ADE ∽△ACD ；
②当BD=6时，△ABD 与△DCE 全等；
③△DCE 为直角三角形时，BD 为8或；
④0＜CE ≤6.4．
其中正确的结论是 ①②③④ ．（把你认为正确结论的序号都填上）
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
分析： ①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明．
②由BD=6，则DC=10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得． ③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得．
④依据相似三角形对应边成比例即可求得．
解答： 解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C ，
又∵∠ADE=∠B
∴∠ADE=∠C ，
∴△ADE ∽△ACD ；
故①结论正确，
②AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cos α=，
∴BC=16，
∵BD=6，
∴DC=10，
∴AB=DC，
在△ABD 与△DCE 中，
∴△ABD ≌△DCE （ASA ）．
故②正确，
③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE ∽△ACD ，
∴∠ADC=∠AED ，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC=90°，
即AD ⊥BC ，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且cos α=．AB=10，
BD=8．
当∠CDE=90°时，易△CDE ∽△BAD ，
∵∠CDE=90°，
∴∠BADF=90°，
∵∠B=α且cos α=．AB=10，
∴cos ∠B=
∴BD==， ．
故③正确．
④易证得△CDE ∽△BAD ，由②可知BC=16，
设BD=y，CE=x， ∴
=
∴， =，
2整理得：y ﹣16y+64=64﹣10x ，
2即（y ﹣8）=64﹣10x ，
∴0＜y ＜8，0＜x ＜6.4．
故④正确．
点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及利用三角函数求边长等．
6．（2014•四川遂宁，第15题，4分）已知：如图，在△ABC 中，点A 1，B 1，C 1分别是BC 、AC 、AB 的中点，A 2，B 2，C 2分别是B 1C 1，A 1C 1，A 1B 1的中点，依此类推…．若△ABC 的周长为1，则△A n B n C n 的周长为
．
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
三、解答题
1. （2014•上海，第23题12分）已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC 延长线上一点，且∠CDE=∠ABD ．
（1）求证：四边形ACED 是平行四边形；
（2）联结AE ，交BD 于点G ，求证：=．
2. （2014•四川巴中，第24题7分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点坐标分别为A （﹣2，4），B （﹣2，1），C （﹣5，2）．
（1）请画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1．
（2）将△A 1B 1C 1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A 2，B 2，C 2，请画出△A 2B 2C 2．
（3）求△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积比，即答过程，直接写出结果）．
：
= 1：4 （不写解
考点：平面直角坐标系，相似三角形的面积比． 分析：
（1）根据关于x 轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据将△A 1B 1C 1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得出各点坐标，进而得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案． 解答：（1）如图所示：△A 1B 1C 1即为所求； （2）如图所示：△A 2B 2C 2即为所求；
（3）∵将△A 1B 1C 1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以﹣2，得到对应的点A 2，B 2，C 2，
∴△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为：1：2， ∴点评：
：
=1：4．故答案为：1：4．
此题主要考查了位似变换以及轴对对称变换，得出对应点位置是解题关键．
3. （2014•四川巴中，第29题10分）如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过D 作MN ⊥AC 于点M ，交AB 的延长线于点N ，过点B 作BG ⊥MN 于G ．
（1）求证：△BGD ∽△DMA ； （2）求证：直线MN 是⊙O 的切线．
考点：相似三角形的判定，切线的性质．
分析：（1）根据垂直定义得出∠BGD =∠DMA =90°，由圆周角定理、三角形内角和定理、对顶角性质及等角的余角相等得出∠DBG =∠ADM ，再根据两角对应相等的两三角形相似即可证明△BGD ∽△DMA ；
（2）连结OD ．由三角形中位线的性质得出OD ∥AC ，根据垂直于同一直线的两直线平行得出AC ∥BG ，由平行公理推论得到OD ∥BG ，再由BG ⊥MN ，可得OD ⊥MN ，然后根据切线的判定定理即可证明直线MN 是⊙O 的切线． 解答：证明：（1）∵MN ⊥AC 于点M ，BG ⊥MN 于G ， ∴∠BGD =∠DMA =90°．
∵以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，∴AD ⊥BC ，∠ADC =90°， ∴∠ADM +∠CDM =90°，
∵∠DBG +∠BDG =90°，∠CDM =∠BDG ， ∴∠DBG =∠ADM ． 在△BGD 与△DMA 中，
（2）连结OD ．∵BO =OA ，BD =DC ，
∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ．∵MN ⊥AC ，BG ⊥MN ， ∴AC ∥BG ，∴OD ∥BG ，∵BG ⊥MN ，∴OD ⊥MN ， ∴直线MN 是⊙O 的切线．
点评：本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
，∴△BGD ∽△DMA ；
4. （2014•山东潍坊，第22题12分）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE 、BF ，交点为G ． (1)求证：AE ⊥BF ；
(2)将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF （如图2），延长FP 交BA 的延长线于点Q ，求sin ∠BQP 的值；
(3)将△ABE 绕点A 逆时针方向旋转，使边AB 正好落在AE 上，得到△AHM （如图3），若AM 和BF 相交于点N ，当正方形ABCD 的面积为4时，求四边形GHMN 的面积．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形． 分析：（1）由四边形ABCD 是正方形，可得∠ABE =∠BCF =90°，AB =BC ，又由BE =CF ，即可证得△ABE ≌△BCF , 可得∠BAE =∠CBF ，由∠ABF +∠CBF =900可得∠ABF +∠BAE =900，即AE ⊥BF ；
（2）由△BCF ≌△BPF , 可得CF =PF , BC =BP , ∠BFE =∠BFP ，由CD ∥AB 得∠BFC =∠ABF , 从而QB =QF ，设PF 为x , 则BP 为2x , 在Rt △QBF 中可求 QB 为（3）由
5
x ，即可求得答案； 2
∆AGN AN 2
=() 可求出△AGN 的面积，进一步可求出四边形GHMN 的面积．
∆AHM AM
解答：(1)证明：∵E 、F 分别是正方形ABCD 边BC 、CD 的中点，∴CF =BE ，
∴Rt △ABE ≌Rt △BCF ∴∠BAE =∠CBF 又∵∠BAE +∠BEA =900，∴∠CBF +∠BEA =900， ∴∠BGE =900， ∴AE ⊥BF (2)根据题意得：FP =FC ，∠PFB =∠BFC ，∠FPB =900， ∵CD ∥AB , ∴∠CFB =∠ABF ，∴∠ABF =∠PFB ．∴QF =QB 令PF =k （k >O ），则PB =2k ， 在Rt △BPQ 中，设QB =x ， ∴x 2=(x －k ) 2+4k 2, ∴x =
5BP 2k 4
k ，∴sin ∠BQP === 2QP 5k 5
2
(3)由题意得：∠BAE =∠EAM , 又AE ⊥BF , ∴AN =AB =2, ∵ ∠AHM =900, ∴GN //HM , ∴
ΛAGN 24∆AGN AN 2
=() ∴=() 2=
∆AHM AM 155
44
= 55
∴ 四边形GHMN =SΔAHM － SΔAGN=1一答：四边形GHMN 的面积是4.
5
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
5. （2014•山东烟台，第24题8分）如图，AB 是⊙O 的直径，延长AB 至P ，使BP =OB ，BD 垂直于弦BC ，垂足为点B ，点D 在PC 上．设∠PCB =α，∠POC =β．求证：tanα•tan
=．
考点：圆的基本性质，相似三角形的判定，锐角三角函数. 分析：连接AC 先求出△PBD ∽△P AC ，再求出解答：证明：连接AC ，则∠A =∠POC =
，
，BD ∥AC ，
==．
，
=，最后得到tanα•tan
=．
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴tanα=
∴∠BPD =∠A ，∵∠P =∠P ，∴△PBD ∽△P AC ，∴∵PB =0B =OA ，∴
=，∴tana •tan
=
•
=
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识，本题解题的关键是求出△PBD ∽△P AC ，再求出tanα•tan
=．
6. （( 2014年河南) 20.9分）如图，在直角梯形OABC 中，BC //AO ，∠AOC =900，点A 、B 的坐标分别为(5,0)、(2,6)，点D 为AB 上一点，且BD =2AD . 双曲线y =交BC 于点E .
（1）求双曲线的解析式； （2）求四边形ODBE 的面积。
解：（1）过点B 、D 作x 轴的的垂线，垂足分别为点M 、N . ∵A (5.0)、B （2，6），∴OM =BC =2,BM =OC =6,AM =3
∵DN ∥BM , ∴△AND ∽△ABM . ∴
k
（x ＞0）经过点D , x
DN AN AD 1
=== BM AM AB 3
∴DN =2,AN =1, ∴ON =4
∴点D 的坐标为(4,2)．…………………………3分 又∵ 双曲线y = ∴k =2×4=8
k
(x ＞0) 经过点D ， x
∴双曲线的解析式为y =
8
．………………………5分 x
（2）∵点E 在BC 上，∴点E 的纵坐标为6. 又∵点E 在双曲线y =
∴点E 的坐标为(
8
上， x
44
,6), ∴CE =………………………7分 33
∴S 四边形ODBE =S 梯形OABC －S △OCE －S △AOD
111×(BC +OA )×OC －×OC ×CE －×OA ×DN 2221141
=×(2+5)×6－×6×－×5×2
2232
= =12
∴四边形ODBE 的面积为12. ………………………………9分
7. （2014•江苏盐城, 第25题10分）菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O
作一条直线分别交DA 、BC 的延长线于点E 、F ，连接BE 、DF ． （1）求证：四边形BFDE 是平行四边形；
（2）若EF ⊥AB ，垂足为M ，tan ∠MBO=，求EM ：MF 的值．
8. (2014•年山东东营, 第24题11分
) 【探究发现】如图1，△ABC 是等边三角形，∠AEF=60°，EF 交等边三角形外角平分线CF 所在的直线于点F ，当点E 是BC 的中点时，有AE=EF成立； 【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE 、EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：
当点E 是直线BC 上（B ，C 除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立． 假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E 是线段BC 上的任意一点”；“点E 时线段BC 延长线上的任意一点”；“点E 时线段BC 反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF．
【拓展应用】当点E 在线段BC 的延长线上时，若CE=BC，在图3中画出图形，并运用上述结论求出S △ABC ：S △AEF 的值．
考点： 相似形综合题．
分析： 根据等边三角形的性质，可得AB=BC，∠B=∠ACB=60°，根据三角形外角的性质，可得∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE ，根据ASA ，可得△AGE ≌△ECF （，根据全等三角形的性质，可得结论；
根据等边三角形的判定，可得△AEF 是等边三角形，根据根据等边三角形像似，可得△ABC 与△AEF 的关系，根据等腰三角形的性质，可得AC 与AH 的关系，AC 与AE 的关系，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得答案．
解答： 证明：如图一，在B 上截取AG ，使AG=EC，连接EG ，
∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°． ∵AG=EC， ∴BG=BE， ∴△BEG 是等边三角形，∠BGE=60°， ∴∠AGE=120°． ∵FC 是外角的平分线， ∠ECF=120°=∠AGE ． ∵∠AEC 是△ABE 的外角， ∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE ． ∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC ， ∴∠GAE=∠FEC ． 在△AGE 和△ECF 中
∴△AGE ≌△ECF （ASA ）， ∴AE=EF； 拓展应用：
如图二：作CH ⊥AE 于H 点，
，
∴∠AHC=90°．
由数学思考得AE=EF， 又∵∠AEF=60°， ∴△AEF 是等边三角形， ∴△ABC ∽△AEF ． ∵CE=BC=AC，△ABC 是等边三角形， ∴∠CAH=30°，AH=EH． ∴CH=AC，AH=∴
．
AC ，AE=
AC ，
∴
==．
点评： 本题考查了相似形综合题，利用了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题关键，题目稍有难度．
9. （2014•山东淄博, 第23题9分）如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 交BD 于点E ，点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，BN 平分∠ABE 交AM 于点N ，AB=AC=BD．连接MF ，NF ． （1）判断△BMN 的形状，并证明你的结论； （2）判断△MFN 与△BDC 之间的关系，并说明理由．
考点： 相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．
分析： （1）根据等腰三角形的性质，可得AM 是高线、顶角的角平分线，根据直角三角形的性质，可得∠EAB+∠EBA=90°，根据三角形外角的性质，可得答案；
（2）根据三角形中位线的性质，可得MF 与AC 的关系，根据等量代换，可得MF 与BD 的关系，根据等腰直角三角形，可得BM 与NM 的关系，根据等量代换，可得NM 与BC 的关系，根据同角的余角相等，可得∠CBD 与∠NMF 的关系，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案． 解答： （1）答：△BMN 是等腰直角三角形． 证明：∵AB=AC，点M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，AM 平分∠BAC ． ∵BN 平分∠ABE ，AC ⊥BD ， ∴∠AEB=90°， ∴∠EAB+∠EBA=90°， ∴∠MNB=∠NAB+∠ABN=（∠BAE+∠ABE ）=45°． ∴△BMN 是等腰直角三角形；
（2）答：△MFN ∽△BDC ． 证明：∵点F ，M 分别是AB ，BC 的中点， ∴FM ∥AC ，FM=AC． ∵AC=BD， ∴FM=BD，即
．
∵△BMN 是等腰直角三角形，
∴NM=BM=BC，即∴
．
，
∵AM ⊥BC ， ∴∠NMF+∠FMB=90°． ∵FM ∥AC ， ∴∠ACB=∠FMB ． ∵∠CEB=90°， ∴∠ACB+∠CBD=90°． ∴∠CBD+∠FMB=90°， ∴∠NMF=∠CBD ． ∴△MFN ∽△BDC ．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 10．（2014•四川凉山州，第27题，8分）已知：如图，P 是⊙O 外一点，过点P 引圆的切线PC （C 为切点）和割线PAB ，分别交⊙O 于A 、B ，连接AC ，BC ． （1）求证：∠PCA =∠PBC ；
（2）利用（1）的结论，已知PA =3，PB =5，求PC 的长．
11．（2014•四川内江，第26题，12分）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与点B 、C 重合），连结
AD ． 问题引入：
（1）如图①，当点D 是BC 边上的中点时，S △ABD ：S △ABC =；当点D 是BC 边上任意一点时，S △ABD ：S △ABC =
． 探索研究：
（2）如图②，在△ABC 中，O 点是线段AD 上一点（不与点A 、D 重合），连结BO 、CO ，试猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由． 拓展应用：
（3）如图③，O 是线段AD 上一点（不与点A 、D 重合），连结BO 并延长交AC 于点F ，连结CO 并延长交AB 于点E ，试猜想
+
+
的值，并说明理由．
12．（2014•四川南充，第25题，10分）如图，抛物线y =x 2+bx +c 与直线y =x ﹣1交于A 、B 两点．点A 的横坐标为﹣3，点B 在y 轴上，点P 是y 轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m ，过点P 作PC ⊥x 轴于C ，交直线AB 于D ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m 为何值时，S 四边形OBDC =2S △BPD ；
（3）是否存在点P ，使△P AD 是直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
分析（1）由x =0时带入y =x ﹣1求出y 的值求出B 的坐标，当x =﹣3时，代入y =x ﹣1求出y 的值就可以求出A 的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（2）连结OP ，由P 点的横坐标为m 可以表示出P 、D 的坐标，可以表示出S 四边形OBDC 和2S △BPD 建立方程求出其解即可．
（3）如图2，当∠APD =90°时，设出P 点的坐标，就可以表示出D 的坐标，由△APD ∽△FCD 就可与求出结论，如图3，当∠P AD =90°时，作AE ⊥x 轴于E ，就有
再由△P AD ∽△FEA 由相似三角形的性质就可以求出结论．
解：（1）∵y =x ﹣1，∴x =0时，y =﹣1，∴B （0，﹣1）．
当x =﹣3时，y =﹣4，∴A （﹣3，﹣4）．
∵y =x 2+bx +c 与直线y =x ﹣1交于A 、B 两点，∴∴抛物线的解析式为：y =x 2+4x ﹣1；
（2）∵P 点横坐标是m （m ＜0），∴P （m ，m 2+4m ﹣1），D （m ，m ﹣1）
如图1①，作BE ⊥PC 于E ，
∴BE =﹣m ．
CD =1﹣m ，OB =1，OC =﹣m ，CP =1﹣4m ﹣m 2， ，∴， ，可以表示出AD ，
∴PD =1﹣4m ﹣m 2﹣1+m =﹣3m ﹣m 2， ∴
解得：m 1=0（舍去），m 2=﹣2，m 3=﹣；
如图1②，作BE ⊥PC 于E ，
∴BE =﹣m ．
PD =1﹣4m ﹣m 2+1﹣m =2﹣4m ﹣m 2， ∴
解得：m =0（舍去）或m =﹣3，
∴m =﹣，﹣2或﹣3时S 四边形OBDC =2S △BPD ；
（3））如图2，当∠APD =90°时，设P （a ，a 2+4a ﹣1），则D （a ，a ﹣1），
∴AP =m +4，CD =1﹣m ，OC =﹣m ，CP =1﹣4m ﹣m 2，
∴DP =1﹣4m ﹣m 2﹣1+m =﹣3m ﹣m 2．
在y =x ﹣1中，当y =0时，x =1，∴（1，0），∴OF =1，
∴CF =1﹣m ．AF =4．∵PC ⊥x 轴，∴∠PCF =90°，
， ， ， ∴∠PCF =∠APD ，∴CF ∥AP ，∴△APD ∽△FCD ，
∴，
解得：m =1舍去或m =﹣2，
∴P （﹣2，﹣5）
如图3，当∠P AD =90°时，作AE ⊥x 轴于E ，
∴∠AEF =90°．CE =﹣3﹣m ，EF =4，AF =4，PD =1﹣m ﹣（1﹣4m ﹣m 2）=3m +m 2．
， ∵PC ⊥x 轴，∴∠DCF =90°，∴∠DCF =∠AEF ，∴AE ∥CD ．∴
∴AD =（﹣3﹣m ）．∵△P AD ∽△FEA ，∴，∴， ∴m =﹣2或m =﹣3
∴P （﹣2，﹣5）或（﹣3，﹣4）与点A 重合，舍去，
∴P （﹣2，﹣5）．
点评： 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，四边形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时函数的解析式是关键，用相似三角形的性质求解是难点．