有限元法-基础

4 有限单元法

在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如位移场、应力场、流场、温度场等。求解这类场问题的方法主要有两种：解析法求得精确解（不过微分方程的建立过程需要近似）；用数值法求得近似解。应该指出，能用解析法求出精确解的只是性质比较简单、几何边界相当规则的少数问题。而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。这就需要研究它的数值解法，以求出近似解。

目前工程中实用的数值解法主要有三种：有限差分法、有限元法和边界元法。其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，目前在工程中的应用最为广泛。

4.1概 述

4.1.1有限单元法的概念

先来看一个小例题，如图4-1所示，今有变截面圆轴，它一端固定、一端受到轴向拉力F的作用，材料的弹性模量为E，求结构内任意一点的位移。 显然，这是一个简单的材料力学问题，可以利用经典材料力学理论进行直接求取。另外也可以采用设置基本未知量、列方程的方式来求解：

(1)变截面轴的分解如图4-1所示，如果把原变截面轴当成一个整体来看的话，结构上具有不规则性，为此，以截面变化位置为分界线，把原结构分成两个单元（见图4-2），这样每个单无都变成了规则形状结构：等截面轴；然后，单元①与单元②通过一个节点进行连接，加上不相连的另外两个端点一共得到三个节点，三个节点在x轴上的坐标分别为

图4-1受轴向载荷变截面轴 图4-2变截面轴的分解

(2)假设三个节点的节点位移Ax1、Ax2：、Ax3，为基本未知量，并列出方程对于单元①，其受力与变形的关系遵循虎克定律：

4 有限单元法

在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如位移场、应力场、流场、温度场等。求解这类场问题的方法主要有两种：解析法求得精确解（不过微分方程的建立过程需要近似）；用数值法求得近似解。应该指出，能用解析法求出精确解的只是性质比较简单、几何边界相当规则的少数问题。而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。这就需要研究它的数值解法，以求出近似解。

目前工程中实用的数值解法主要有三种：有限差分法、有限元法和边界元法。其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，目前在工程中的应用最为广泛。

4.1概 述

4.1.1有限单元法的概念

先来看一个小例题，如图4-1所示，今有变截面圆轴，它一端固定、一端受到轴向拉力F的作用，材料的弹性模量为E，求结构内任意一点的位移。 显然，这是一个简单的材料力学问题，可以利用经典材料力学理论进行直接求取。另外也可以采用设置基本未知量、列方程的方式来求解：

(1)变截面轴的分解如图4-1所示，如果把原变截面轴当成一个整体来看的话，结构上具有不规则性，为此，以截面变化位置为分界线，把原结构分成两个单元（见图4-2），这样每个单无都变成了规则形状结构：等截面轴；然后，单元①与单元②通过一个节点进行连接，加上不相连的另外两个端点一共得到三个节点，三个节点在x轴上的坐标分别为

图4-1受轴向载荷变截面轴 图4-2变截面轴的分解

(2)假设三个节点的节点位移Ax1、Ax2：、Ax3，为基本未知量，并列出方程对于单元①，其受力与变形的关系遵循虎克定律：


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