练习1（08广东）某单位用2160万元购得一块空地，
计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米
的楼房. 经测算，如果将楼房建为x (x ≥10) 层，则每平方米
的平均建筑费用为560+48x （单位：元）. 为了使楼房每平方米
的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用） 建筑总面积
【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f （x ）元，则
+ f (x )=(560
f '(x )=48-4x 8)+216⨯[1**********]+x ≥10, x ∈Z =5+60x +4 ()2000x x 10800, 令 f '(x )=0 得 x =15 2x
当 x >15 时，f '(x )>0 ；当 0
因此 当x =15时，f （x ）取最小值f (15)=2000；
12、某村计划建造一个室内面积800m 为的矩形蔬菜温室.
在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留宽1m 的通道，
沿前侧内墙保留宽3m 的空地. 当矩形温室的边长各为多少时，
蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
12、解：设矩形温室的左侧边长为am ，后侧边长为bm ，则ab =800.
蔬菜的种植面积S =(a -4)(b -2) =ab -4b -2a +8=808-2a - 从而S =-2+' 23200 a 32003200' S =-2+=0 ，令a 2a 2
得a =40(m )(a =-40舍去)
因为函数S 只有一个极值点a =40(m ) ，从而a =40(m )
也是最大值点，所以当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长
为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是
S 最大值=648m 2.
11.用长为90cm ，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，
0先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90角，再焊接而成，
问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？
解：设容器的高为x ，容器的体积为V.
则V =(90-2x )(48-2x ) x , (0
＝4x 3-276x 2+4320x
∵V ‘=12x 2-552x +4320x
由V ’= 0 得 x 1=10, x 2=36（舍去）
‘∴00; 10
所以 当x =10, V 有最大值 V(10)=19600
又V (0) =0 ， V (24) =0
＝19600 所以 当x =10 时， V （10）
答：该容器的高为10cm 时，容器有最大容积19600cm
用长为90cm, 宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,
先在四角分别截去一个小正方形, 然后把四边翻转90° 角,
再焊接而成( 如图), 问该容器的高为多少时,
容器的容积最大? 最大容积是多少
解：设容器的高为x ，容器的体积为V ，
则V=（90－2x ）（48－2x ）x,(0
=4x3－276x 2+4320x ∵V ′=12 x2－552x+4320
由V ′=12 x2－552x+4320=0得x 1=10，x 2=36
∵x0, 10
x>36时，V ′>0,
所以, 当x=10,V有极大值V(10)=19600
又V(0)=0,V(24)=0,
所以当x=10,V有最大值V(10)=19600
12. 某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体， 每人收费1000元。如果团体的人数超过100人，那么每超过1人， 每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，如何组团可
使旅行社的收费最多? (不到100人不组团)
12. ．解：设参加旅游的人数为x ，旅游团收费为y 则依题意有
f (x ) =1000x-5（x-100）x （100≤x ≤180）令f '(x )=1500-10x=0 得x=150
又f (100)=100000， f (150)=112500，f (180)=
108000
3
所以当参加人数为150人时，旅游团的收费最高，可达112500元。
12. 某厂生产某种产品x 件的总成本c (x ) =1200+23x （万元）， 75
已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产
品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？
分析：先建立总利润的目标函数，总利润=
总销售量-总成本C(x)= 产品件数*产品单价-C(x),
因而应首先求出产品单价P(x)的解析式.
解：设产品的单价P 元，据已知，P =2k , x =100, P =50, ∴k =250000， x
∴P 2=250000500, ∴P =, x >0设利润为y 万元，则 x x
y =50022⋅x -1200-x 3=x -x 3-1200, 7575x
5⎛5⎫2⎪ 2 5-x ⎪25022⎭，∴x =25, y '=0, y '=-x =⎝
x x 25
∴x ∈(0, 25), y '>0, y 递增；∴x ∈(25, +∞), y '
∴x =25, y 极大=y 最大.
答：当产量为25万件时，总利润最大
练习3：如图6所示，等腰三角形△ABC 的底边
AB=
高CD=3，点E 是线段BD 上异于B 、D 的动点，点F 在BC 边上，
且E F ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使
P E ⊥AE ，记BE=x，V （x ）表示四棱锥P-ACFE 的体积。
（1）求V(x)的表达式；
（2）当x 为何值时，V(x)取得最大值？
（3）当V （x ）取得最大值时，求异面直线AC 与PF
所成角的余弦值。
A
（1）由折起的过程可知，P E ⊥平面ABC
，S ∆ABC =
S ∆BEF x 22=⋅S ∆BDC = ,
V(x)=541(9-
x 2) 12E 图6
（0
（2
）V '(x ) =1-x 2) ，所以x ∈(0,6)时，v '(x ) >0 ， 4
V(x)
单调递增；6
因此x=6时，V(x)
取得最大值
（3）过F 作MF//AC交AD 与M, 则BM BF BE BE ===, MB =2BE =12，
AB BC BD AB 2
PM=
MF =BF =PF ==
84-721=， 2⨯427
1∴异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为； 7在△PFM 中，cos ∠PFM =
练习1（08广东）某单位用2160万元购得一块空地，
计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米
的楼房. 经测算，如果将楼房建为x (x ≥10) 层，则每平方米
的平均建筑费用为560+48x （单位：元）. 为了使楼房每平方米
的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用） 建筑总面积
【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f （x ）元，则
+ f (x )=(560
f '(x )=48-4x 8)+216⨯[1**********]+x ≥10, x ∈Z =5+60x +4 ()2000x x 10800, 令 f '(x )=0 得 x =15 2x
当 x >15 时，f '(x )>0 ；当 0
因此 当x =15时，f （x ）取最小值f (15)=2000；
12、某村计划建造一个室内面积800m 为的矩形蔬菜温室.
在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留宽1m 的通道，
沿前侧内墙保留宽3m 的空地. 当矩形温室的边长各为多少时，
蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
12、解：设矩形温室的左侧边长为am ，后侧边长为bm ，则ab =800.
蔬菜的种植面积S =(a -4)(b -2) =ab -4b -2a +8=808-2a - 从而S =-2+' 23200 a 32003200' S =-2+=0 ，令a 2a 2
得a =40(m )(a =-40舍去)
因为函数S 只有一个极值点a =40(m ) ，从而a =40(m )
也是最大值点，所以当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长
为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是
S 最大值=648m 2.
11.用长为90cm ，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，
0先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90角，再焊接而成，
问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？
解：设容器的高为x ，容器的体积为V.
则V =(90-2x )(48-2x ) x , (0
＝4x 3-276x 2+4320x
∵V ‘=12x 2-552x +4320x
由V ’= 0 得 x 1=10, x 2=36（舍去）
‘∴00; 10
所以 当x =10, V 有最大值 V(10)=19600
又V (0) =0 ， V (24) =0
＝19600 所以 当x =10 时， V （10）
答：该容器的高为10cm 时，容器有最大容积19600cm
用长为90cm, 宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,
先在四角分别截去一个小正方形, 然后把四边翻转90° 角,
再焊接而成( 如图), 问该容器的高为多少时,
容器的容积最大? 最大容积是多少
解：设容器的高为x ，容器的体积为V ，
则V=（90－2x ）（48－2x ）x,(0
=4x3－276x 2+4320x ∵V ′=12 x2－552x+4320
由V ′=12 x2－552x+4320=0得x 1=10，x 2=36
∵x0, 10
x>36时，V ′>0,
所以, 当x=10,V有极大值V(10)=19600
又V(0)=0,V(24)=0,
所以当x=10,V有最大值V(10)=19600
12. 某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体， 每人收费1000元。如果团体的人数超过100人，那么每超过1人， 每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，如何组团可
使旅行社的收费最多? (不到100人不组团)
12. ．解：设参加旅游的人数为x ，旅游团收费为y 则依题意有
f (x ) =1000x-5（x-100）x （100≤x ≤180）令f '(x )=1500-10x=0 得x=150
又f (100)=100000， f (150)=112500，f (180)=
108000
3
所以当参加人数为150人时，旅游团的收费最高，可达112500元。
12. 某厂生产某种产品x 件的总成本c (x ) =1200+23x （万元）， 75
已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产
品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？
分析：先建立总利润的目标函数，总利润=
总销售量-总成本C(x)= 产品件数*产品单价-C(x),
因而应首先求出产品单价P(x)的解析式.
解：设产品的单价P 元，据已知，P =2k , x =100, P =50, ∴k =250000， x
∴P 2=250000500, ∴P =, x >0设利润为y 万元，则 x x
y =50022⋅x -1200-x 3=x -x 3-1200, 7575x
5⎛5⎫2⎪ 2 5-x ⎪25022⎭，∴x =25, y '=0, y '=-x =⎝
x x 25
∴x ∈(0, 25), y '>0, y 递增；∴x ∈(25, +∞), y '
∴x =25, y 极大=y 最大.
答：当产量为25万件时，总利润最大
练习3：如图6所示，等腰三角形△ABC 的底边
AB=
高CD=3，点E 是线段BD 上异于B 、D 的动点，点F 在BC 边上，
且E F ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使
P E ⊥AE ，记BE=x，V （x ）表示四棱锥P-ACFE 的体积。
（1）求V(x)的表达式；
（2）当x 为何值时，V(x)取得最大值？
（3）当V （x ）取得最大值时，求异面直线AC 与PF
所成角的余弦值。
A
（1）由折起的过程可知，P E ⊥平面ABC
，S ∆ABC =
S ∆BEF x 22=⋅S ∆BDC = ,
V(x)=541(9-
x 2) 12E 图6
（0
（2
）V '(x ) =1-x 2) ，所以x ∈(0,6)时，v '(x ) >0 ， 4
V(x)
单调递增；6
因此x=6时，V(x)
取得最大值
（3）过F 作MF//AC交AD 与M, 则BM BF BE BE ===, MB =2BE =12，
AB BC BD AB 2
PM=
MF =BF =PF ==
84-721=， 2⨯427
1∴异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为； 7在△PFM 中，cos ∠PFM =