实 验 四 验证牛顿运动定律
一、实验目的
1．学会用控制变量法研究物理规律。 2．探究加速度与力、质量的关系。 3．掌握利用图像处理数据的方法。 二、实验器材
小车、砝码、小盘、细绳、附有定滑轮的长木板、垫木、打点计时器、低压交流电源、导线、纸带、天平、米尺。
突破点(一) 实验原理与操作
[典例1] (2013·天津高考) 某实验小组利用如图所示的装置探究加速度与力、质量的关系。 (1)下列做法正确的是________(填字母代号) 。
A ．调节滑轮的高度，使牵引木块的细绳与长木板保持平行
B ．在调节木板倾斜度平衡木块受到的滑动摩擦力时，将装有砝码的砝码桶通过定滑轮拴在木块上
C ．实验时，先放开木块再接通打点计时器的电源
D ．通过增减木块上的砝码改变质量时，不需要重新调节木板倾斜度
(2)为使砝码桶及桶内砝码的总重力在数值上近似等于木块运动时受到的拉力，应满足的条件是砝码桶及桶内砝码的总质量________木块和木块上砝码的总质量。(选填“远大于”“远小于”或“近似等于”)
(3)甲、乙两同学在同一实验室，各取一套图示的装置放在水平桌面上，木块上均不放砝码，在没有平衡摩擦力的情况下，研究加速度a 与拉力F 的关系，分别得到图中甲、乙两条直线。设甲、乙用的木块质量分别为m 甲、m 乙，甲、乙用的木块与木板间的动摩擦因数分别为μ甲、μ乙，由图可知，m 甲________m 乙，μ甲________μ乙。(选填“大于”“小于”或“等于”) [答案] (1)AD (2)远小于 (3)小于 大于
[由题引知·要点谨记]
1. 实验操作步骤[对应第1题]
（1）平衡木块的滑动摩擦力时，砝码桶不能拴在木块上。 （2）改变木块质量时，不需要重新平衡摩擦力。 （3）实验过程中，应先接通电源，再放开木块。 2. 实验原理的理解[对应第(2)题]
(1)平衡木块摩擦力后，细绳的拉力即为木块的合外力。
(2)只有满足砝码桶及桶内砝码的总质量远小于木块和木块上砝码的总质量时，细绳的拉力才近似等于砝码桶及桶内砝码的总重力。 3. 利用图像分析实验结果[对应第(3)题] (1)因没有平衡摩擦力，a -F 图线为不过原点的倾斜直线。
(2)利用a -F 图线的斜率、截距的意义比较m 、μ的大小。
[集训冲关]
1．利用如图所示装置可以做力学中的许多实验。 (1)以下说法正确的是( )
A ．用此装置“研究匀变速直线运动”时，必须设法消除小车和长木板间的摩擦阻力的影响
B ．用此装置“研究匀变速直线运动”时，应使小盘和盘内砝码的总质量远小于小车的质量
C ．用此装置“探究加速度a 与力F 的关系”时，必须设法消除小车和长木板间的摩擦阻力的影响 D ．用此装置“探究加速度a 与力F 的关系”时，应使小盘和盘内砝码的总质量远小于小车的质量 (2)本装置中要用到打点计时器，如图所示为实验室常用的两种计时器，其中图甲用的电源要求是( )
A ．交流220 V B ．直流
220 V
C ．交流4～6 V D ．直流4～6 V
(3)在利用此装置“探究加速度a 与力F 的关系”时，实验中按规范操作打出的一条纸带的一部分如图所示。已知打点计时器接在频率为50 Hz的交流电源上，则此次实验中打点计时器打下A 点时小车的瞬时速度为________ m/s。(结果保留2位有效数字
)
解析：(1)用题图所示装置“研究匀变速直线运动”时，没必要消除小车和长木板间的摩擦阻力的影响，也没有必要使小盘和盘内砝码的总质量远小于小车的质量，A 、B 错误；在用此装置“探究加速度a 与力F 的关系”时，必须设法消除小车和长木板间的摩擦阻力的影响。还应使小盘和盘内砝码的总质量远小于小车的质量，这样才可认为细绳对小车的拉力等于盘和盘内砝码的重力，C 、D 正确。 (2)甲是电火花计时器，需要接220 V交流电源，A 正确。
0.021
(3)打点计时器打下A 点时小车的瞬时速度为v A
＝ m/s≈0.53 m/s。
0.04
答案：(1)CD (2)A (3)0.53 2．(2017·天津和平区检测) 小王同学在探究加速度与力、质量的关系时，小车及钩码的质量用M 表示，砂桶及砂的质量用m 表示，小车的加速度可由小车后拖动的纸带计算出。
(1)往砂桶中加入一定量的砂子，当M 与m 的大小关系满足________时，可近似认为绳对小车的拉力大小等于砂桶和砂的重力；在释放小车________(填“之前”或“之后”)接通打点计时器的电源，在纸带上打出一系列的点。
(2)在平衡摩擦力后，他用打点计时器打出的纸带的一段如图所示，该纸带上相邻两个计数点间还有4个点未标出，打点计时器使用交流电的频率是50 Hz ，则小车的加速度大小是________m/s2，当打点计时器打B 点时小车的速度是________m/s。(结果保留三位有效数字)
(3)小张同学用同一装置做实验，他们俩在同一坐标系中画出的a -F 关系图线如图所示，小张和小王同学做实验，哪一个物理量是不同的______________。
mg mg
解析：(1)小车实际的加速度为a ＝，绳子拉力为F ＝Ma ＝m ，因此只有当m ≪M 时，拉力F 才M ＋m
1＋M
近似等于mg ；实验中应先接通电源再释放小车。
x BD －x OB x AC
(2)a ＝＝0.390 m/s2，v B ＝≈0.377 m/s。 2
4T 2T
(3)图线的斜率为小车及砝码的质量的倒数，因此小车及砝码的质量不同。 答案：(1)m ≪M 之前 (2)0.390 0.377 (3)小车及砝码的质量
突破点(二) 数据处理与误差分析
[典例2] 某次“探究加速度a 跟物体所受合力F 和质量m 的关系”实验过程是：
(1)图甲所示为实验装置图。图乙为某次实验得到的一段纸带，计数点A 、B 、C 、D 、E 间的时间间隔为0.1 s，根据纸带可求出小车的加速度大小为______ m/s2(结果保留两位有效数字) 。
(2)保持小车质量不变，改变砂和砂桶质量，进行多次测量。根据实验数据做出了加速度a 随拉力F 的变化图线，如图所示。图中直线没有通过原点，其主要原因是________________________________________。 (3)保持砂和砂桶质量不变，改变小车中砝码质量，进行多次测量，得到小车加速度a 、质量m 及其对应的1
m 的数据如表中所示：
1
a ．请在坐标纸中画出a m 图线：
1
b ．根据作出的a m 图线可以得到的结论是：
__________________________________。
[
答案
] (1)0.43 (2)实验前未平衡摩擦力(或平衡摩擦力不充分)
(3)a.如图所示b ．图线为过原点的直线，表明在合外力一定时，加速度跟质量成反比
[由题引知·要点谨记]
1. 利用纸带求解小车的加速度[对应第(1)题]
x 3＋x 4 － x 1＋x 2
4T
(1)逐差法求纸带加速度的公式 a ＝
(2)注意对计算结果的有效数字位数要求。
2. 利用图像分析a 、F 间的关系及误差分析[对应第(2)题] (1)保持小车质量不变时，a -F 图像应为一条过原点的直线。
(2)a -F 图像不过原点可能是平衡小车摩擦力时没有达到实验要求所致。 3. 利用图像分析a 、m 间的关系[对应第(3)题] (1)小车合力不变时，a 、m 之间成反比关系。
1
(2)利用化曲为直的思想，作出a m 关系图线，若得到过原点的倾斜直线，则小车合外力一定时，a 、m 之间成反比关系。
[集训冲关]
3．用如图甲所示装置做“探究物体的加速度跟力的关系”的实验。实验时保持小车的质量不变，用钩码所受的重力作为小车受到的合力，用打点计时器和小车后端拖动的纸带测出小车运动的加速度。
(1)实验时先不挂钩码，反复调整垫块的左右位置，直到小车做匀速直线运动，这样做的目的是_________________________________________________________________。
(2)图乙为实验中打出的一条纸带的一部分，从比较清晰的点迹起，在纸带上标出了连续的5个计数点A 、B 、C 、D 、E ，相邻两个计数点之间都有4个点迹没有标出，测出各计数点到A 点之间的距离，如图所示。已知打点计时器接在频率为50 Hz的交流电源两端，则此次实验中小车运动的加速度的测量值a ＝______ m/s2。(结果保留两位有效数字)
(3)实验时改变所挂钩码的质量，分别测量小车在不同外力作用下的加速度。根据测得的多组数据画出a -F 关系图像，如图丙所示。此图像的AB 段明显偏离直线，
造成此现象的主要原因可能是________。(选填下列选项的序号) A ．小车与平面轨道之间存在摩擦 B ．平面轨道倾斜角度过大 C ．所挂钩码的总质量过大 D ．所用小车的质量过大
解析：(1)使平面轨道的右端垫起，让小车重力沿斜面方向的分力与它受到的摩擦
阻力平衡，才能认为在实验中小车所受的合外力等于钩码的重力，所以这样做的目的是平衡小车运动中所受的摩擦阻力。
－
x CE －x AC 21.6－8.79－8.79 ×102
(2)由逐差法可知a ＝ m/s2≈1.0 m/s2。 4T 4× 0.1
(3)在实验中认为细绳的张力F 等于钩码的重力mg 实际上，细绳张力F ′＝Ma ，mg －F ′＝ma
M 11
即F ′＝mg ，a ＝mg ＝
M ＋m M ＋m M ＋m
1
所以当细绳的张力F 变大时，m 必定变大，必定减小。当M ≫m 时，a -F 图像为直线，当不满足
M ＋m
M ≫m 时，便有a -F 图像的斜率逐渐变小偏离直线，选项C 正确。
答案：(1)平衡小车运动中所受的摩擦阻力 (2)1.0 (3)C 4．(2016·全国丙卷) 某物理课外小组利用图(a)中的装置探究物体加速度与其所受合外力之间的关系。图中，置于实验台上的长木板水平放置，其右端固定一轻滑轮；轻绳跨过滑轮，一端与放在木板上的小滑车相连，另一端可悬挂钩码。本实验中可用的钩码共有N ＝5个，每个质量均为0.010 kg。实验步骤如下：
(a) (b) (c)
(1)将5个钩码全部放入小车中，在长木板左下方垫上适当厚度的小物块，使小车(和钩码) 可以在木板上匀速下滑。
(2)将n (依次取n ＝1,2,3,4,5) 个钩码挂在轻绳右端，其余N －n 个钩码仍留在小车内；用手按住小车并使轻绳与木板平行。释放小车，同时用传感器记录小车在时刻t 相对于其起始位置的位移s ，绘制s -t 图像，经
数据处理后可得到相应的加速度a 。
(3)对应于不同的n 的a 值见下表。n ＝2时的s -t 图像如图(b)所示；由图(b)求出此时小车的加速度(保留2
位有效数字)
(4)利用表中的数据在图(c)中补齐数据点，并作出a -n 图像。从图像可以看出：当物体质量一定时，物体的
加速度与其所受的合外力成正比。
－
(5)利用a -n 图像求得小车(空载) 的质量为________kg(保留2位有效数字，重力加速度取g ＝9.8 m·s 2) 。
(6)若以“保持木板水平”来代替步骤(1)，下列说法正确的是________(填入正确选项前的标号) 。 A ．a -n 图线不再是直线 B ．a -n 图线仍是直线，但该直线不过原点 C ．a -n 图线仍是直线，但该直线的斜率变大
1
解析：(3)根据题图(b)可知，当t ＝
2.00 s时，位移s ＝0.78 m，由s ＝2，
2
2s
得加速度a ＝0.39 m/s2。
t
(4)描点及图像如图所示。
(5)由(4)图像求得斜率k ＝0.20 m/s2。由牛顿第二定律得nm 0g ＝(m ＋
m g m g
Nm 0) a ，整理得a ＝，即k ＝，代入数据得m ＝0.44 kg。
m ＋Nm 0m ＋Nm 0
(6)若保持木板水平，则所挂钩码总重力与小车所受摩擦力的合力提供加
速度，即nm 0g －μ[m ＋(N －n ) m 0]g ＝(m ＋Nm 0) a ，整理得a ＝
1＋μ m 0g
n －μg，可见a -n 图线仍是直线，
m ＋Nm 0
但不过原点，且斜率变大，选项B 、C 正确。 答案：(3)0.39 (4)见解析 (5)0.44 (6)BC
突破点(三) 实验的改进与创新
[典例3] 如图所示是某同学探究加速度与力的关系的实验装置。他在气垫导轨上安装了一个光电门B 。滑块上固定一遮光条，滑块用细线绕过气垫导轨左端的定滑轮与力传感器相连，传感器下方悬挂钩码，每次滑块都从A 处由静止释放。
(1)该同学用游标卡尺测量遮光条的宽度d ，如图所示，则d ＝ ________mm。
(2)实验时，将滑块从A 位置由静止释放，由数字计时器读出遮光条通过光电门B 的时间t ，若要得到滑块的加速度，还需要测量的物理量是________________________。
(3)下列不必要的一项实验要求是________。(请填写选项前对应的字母) A ．应使滑块质量远大于钩码和力传感器的总质量 B ．应使A 位置与光电门间的距离适当大些 C ．应将气垫导轨调节水平 D ．应使细线与气垫导轨平行
(4)改变钩码质量，测出对应的力传感器的示数F 和遮光条通过光电门的时间t ，通过描点作出线性图像，
11
选填“t 2-F t F ”或F ”⎫ 研究滑块的加速度与力的关系，处理数据时应作出________图像。⎛t ⎝⎭
[解析] (1)由题图知第5条刻度线与主尺对齐，d ＝2 mm＋5×0.05 mm＝2.25 mm。
(2)实验时，将滑块从A 位置由静止释放，由数字计时器读出遮光条通过光电门B 的时间t ，滑块经过光电门时的瞬时速度可近似认为是滑块经过光电门的平均速度。
根据运动学公式知，若要得到滑块的加速度，还需要测量的物理量是遮光条到光电门的距离L 。
(3)拉力是直接通过传感器测量的，故与小车质量和钩码质量大小关系无关，故A 项不必要；应使A 位置与光电门间的距离适当大些，有利于减小误差，故B 项必要；应将气垫导轨调节水平，拉力才等于合力，故C 项必要；要保持细线方向与气垫导轨平面平行，拉力才等于合力，故D 项必要；故选A 。
d F d 2F 2
(4)由题意可知，该实验中保持滑块质量M 不变，因此有：v ＝2aL ，v t ，a ＝M ＝2M L
t
1
所以研究滑块的加速度与力的关系，为作出线性图像，处理数据时应作出-F 图像。 t
1
[答案] (1)2.25 (2)遮光条到光电门的距离L (3)A (4)-F t
[由题引知·要点谨记]
1. 实验器材的创新[对应题干部分]
(1)利用光电门测滑块上的遮光条通过光电门的时间。 (2)利用气垫导轨代替长木板。 (3)利用力传感器测绳中拉力大小。 2. 实验原理的创新[对应第3题]
利用力传感器测出细线拉力，消除了因m ≪M 得不到满足带来的实验误差。
v 2
3. 数据处理方法的创新[对应第(4)题]由v ＝2aL 得a ＝
2L
2
4．还可以从以下两个方面创新
(1)实验目的的创新：测木块与木板间的动摩擦因数。 (2)实验器材的创新：
①利用位移传感器测物体移动位移。 ②利用传感器测物体的速度或加速度。
[集训冲关]
5．(2017·威海模拟) 某实验小组利用如图所示的装置进行验证：当质量m 一定时，加速度a 与力F 成正比的关系，其中F ＝m 2g ，m ＝m 1＋m 2(m 1为小车及车内砝码的总质量，m 2为桶及桶中砝码的总质量) 。具体做法是：将小车从A 处由静止释放，用速度传感器测出它运动到B 处时的速度v ，然后将小车内的一个砝码拿到小桶中，小车仍从A 处由静止释放，测出它运动到B 处时对应的速度，重复上述操作。图中AB 相距x 。
(1)设加速度大小为a ，则a 与v 及x 间的关系式是________。
(2)如果实验操作无误，四位同学根据实验数据做出了下列图像，其中哪一个是正确的(
)
(3)下列哪些措施能够减小本实验的误差________。
A ．实验中必须保证m 2≪m 1 B ．实验前要平衡摩擦力
C ．细线在桌面上的部分应与长木板平行 D ．图中AB 之间的距离x 尽量小些
解析：(1)小车做初速度为零的匀加速直线运动，由匀变速直线运动的速度位移公式得：v 2＝2ax 。
F 2x
(2)由(1)可知：v 2＝2ax ，由牛顿第二定律得：a ＝v 2＝F ，v 2与F 成正比，故选A 。
m m
F m g
(3)以系统为研究对象，加速度：a ＝m m ，系统所受拉力等于m 2g ，不需要满足m 2≪m 1，故A 错误；为使系统所受合力等于桶与桶中砝码的重力，实验需要平衡摩擦力，还需要细线在桌面上的部分与长木板平行，故B 、C 正确；为减小实验误差，图中A 、B 之间的距离x 应尽量大些，故D 错误；故选B 、C 。 答案：(1)v 2＝2ax (2)A (3)BC 6．(2017·清远二模) 在用DIS 研究小车加速度与外力的关系时，某实验小组先用如图(a)所示的实验装置。重物通过滑轮用细线拉小车，位移传感器(发射器) 随小车一起沿倾斜轨道运动，位移传感器(接收器) 固定
(1)在图(c)所示的坐标纸上作出小车加速度a 随拉力F 变化的图线。 (2)从所得图线分析该实验小组在操作过程中的不当之处__________。
(3)如果实验时，在小车和重物之间接一不计质量的微型力传感器来测量拉力
F ，实验装置如图(b)所示，从理论上分析，该实验图线的斜率将________。(填“变大”“变小”或“不变”) 解析：(1)根据已知数据，画出小车加速度a 和拉力F 的关系图线如图所示： (2)由图像可知，当小车拉力为零时，已经产生了加速度，故在操作过程中轨道的倾角过大，平衡摩擦力过度。
F
(3)根据牛顿第二定律得a ＝m ，知图线的斜率表示质量的倒数。
F
挂重物时，a ＝M ＋m
F
度a ＝M ，图线的斜率表示小车质量M 的倒数，可知图线的斜率变大。 答案：(1)见解析图(2)轨道倾角过大(或平衡摩擦力过度)(3)变大
7．利用如图甲所示的气垫导轨实验装置来探究“合力一定时，物体的加速度与质量之间的关系”。
(1)做实验时，将滑块从图甲所示位置由静止释放，由数字计时器(图中未画出) 可读出遮光条通过光电门1、2的时间分别为Δt 1、Δt 2；用刻度尺测得两个光电门中心之间的距离L ，用游标卡尺测得遮光条宽度d ，则滑块经过光电门1时的速度表达式v 1＝____________；滑块加速度的表达式a ＝____________(以上表达式均用已知字母表示) 。如图乙所示，若用20分度的游标卡尺测量遮光条的宽度，其读数为________ mm。 (2)在实验过程中，当改变滑块质量M 时，通过改变________________________，保证滑块受到的合力大小不变。
d
解析：(1)滑块通过光电门的时间极短，以此时间内的平均速度近似作为瞬时速度，可得速度v 1＝。同
Δt 1
d
样通过光电门2的速度v 2＝1到光电门2的过程为匀变速直线运动，可得v 22－v 12＝2aL ，
Δt 2
v 22－v 12d 2[ Δt 1 2－ Δt 2 2]
即加速度a ＝20分度游标卡尺的精确度为0.05 mm，游标尺零刻线左侧
2L 2L Δt 2 Δt 1 对应的主尺刻线为8 mm，第3条刻线与主尺刻线对齐，最终读数为8 mm＋3×0.05 mm＝8.15 mm。
Mgh
(2)使用气垫导轨可以不考虑摩擦力，那么滑块沿斜面下滑合力为Mg sin θ＝L ，小车质量改变时，要保
Mgh
证合力Mg sin θ＝不变，只需要保证Mh 不变。
L 2
t 1 2－ Δt 2 2]d d [ Δ
答案：(1) 8.15 (2)高度h 使Mh 保持不变
Δt 12L Δt 1 Δt 2
1．(多选)(2012·全国卷) 伽利略根据小球在斜面上运动的实验和理想实验，提出了惯性的概念，从而奠定了牛顿力学的基础。早期物理学家关于惯性有下列说法，其中正确的是( ) A ．物体抵抗运动状态变化的性质是惯性 B ．没有力的作用，物体只能处于静止状态
C ．行星在圆周轨道上保持匀速率运动的性质是惯性
D ．运动物体如果没有受到力的作用，将继续以同一速度沿同一直线运动
解析：选AD 惯性是物体保持原来运动状态不变的性质，故A 对；根据惯性定律可知没有力的作用，物体将保持原来的状态，即静止状态或者匀速直线运动状态，故B 错；行星在圆周轨道上的运动是变速运动，是在万有引力作用下的运动，所以C 错；运动物体如果不受力作用，将保持原来的运动状态，即继续以同一速度沿着同一直线运动，D 对。 2．(2013·全国卷Ⅰ) 下图是伽利略1604年做斜面实验时的一页手稿照片，照片左上角的三列数据如下表。表中第二列是时间，第三列是物体沿斜面运动的距离，第一列是伽利略在分析实验数据时添加的。根据表中的数据，伽利略可以得出的结论是( )
A ．物体具有惯性
B ．斜面倾角一定时，加速度与质量无关 C ．物体运动的距离与时间的平方成正比 D ．物体运动的加速度与重力加速度成正比
解析：选C 由题表可以看出第二列数据与第一列为二次方关系，而第三列数据与第一列在误差的范围内成正比关系，说明物体沿斜面通过的距离与时间的二次方成正比，故选项C 正确。
命题点二：牛顿运动定律的应用 3．(2013·全国卷Ⅱ) 一物块静止在粗糙的水平桌面上。从某时刻开始，物块受到一方向不变的水平拉力作用。假设物块与桌面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。以a 表示物块的加速度大小，F 表示水平拉力的大小。能正确描述F 与a 之间关系的图像是( )
解析：选C 设物块所受滑动摩擦力为f ，在水平拉力F 作用下，物块做匀加速直线运动，由牛顿第二定律，F －f ＝ma ，F ＝ma ＋f ，所以能正确描述F 与a 之间关系的图像是C ，选项C 正确。 4．(多选)(2015·全国卷Ⅰ) 如图(a)，一物块在t ＝0时刻滑上一固定斜面，其运动的v -t 图线如图(b)所示。若重力加速度及图中的v 0、v 1、t 1均为已知量，则可求出( )
A ．斜面的倾角 B ．物块的质量
C ．物块与斜面间的动摩擦因数 D ．物块沿斜面向上滑行的最大高度
v v 解析：选ACD 由题图(b)可以求出物块上升过程中的加速度为a 1＝a 2＝。
t 1t 1
物块在上升和下降过程中，由牛顿第二定律得mg sin θ＋F f ＝ma 1，mg sin θ－F f ＝ma 2，由以上各式可求得
v 0＋v 1m v 0－v 1 sin θ＝，滑动摩擦力F f ＝F f ＝μFN ＝μmgcos θ，由以上分析可知，选项A 、C 正确；
2t 1g 2t 1
由v -t 图像中横轴上方的面积可求出物块沿斜面上滑的最大距离，可以求出物块沿斜面向上滑行的最大高度，选项D 正确。 5．(2014·全国卷Ⅰ) 公路上行驶的两汽车之间应保持一定的安全距离。当前车突然停止时，后车司机可以采取刹车措施，使汽车在安全距离内停下而不会与前车相碰。通常情况下，人的反应时间和汽车系统的反应时间之和为 1 s。当汽车在晴天干燥沥青路面上以108 km/h的速度匀速行驶时，安全距离为120 m。设
2
雨天时汽车轮胎与沥青路面间的动摩擦因数为晴天时的。若要求安全距离仍为120 m ，求汽车在雨天安
5
全行驶的最大速度。
解析：设路面干燥时，汽车与地面间的动摩擦因数为μ0，刹车时汽车的加速度大小为a 0，安全距离为x ，反应时间为t 0，由牛顿第二定律和运动学公式得μ0mg ＝ma 0①
v 2
x ＝v 0t 0＋②
2a 0
式中，m 和v 0分别为汽车的质量和刹车前的速度。
2
设在雨天行驶时，汽车与地面间的动摩擦因数为μ，依题意有μ＝μ0③
5
设在雨天行驶时汽车刹车的加速度大小为a ，安全行驶的最大速度为v ，由牛顿第二定律和运动学公式得 μmg＝ma ④
v 2
x ＝vt 0＋
2a
联立①②③④⑤式并代入题给数据得 v ＝20 m/s(或72 km/h)。⑥ 答案：20 m/s(或72 km/h)
命题点三：动力学中整体法与隔离法的应用 6.(2011·全国卷) 如图，在光滑水平面上有一质量为m 1的足够长的木板，其上叠放一质量为m 2的木块。假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等。现给木块施加一随时间t 增大的水平力F ＝kt (k 是常数) ，木板和木块加速度的大小分别为a 1和a 2。下列反映a 1和a 2变化的图线中正确的是(
)
F
解析：选A 开始阶段两物体一起做加速运动，有 F ＝(m 1＋m 2) a ，即a ＝m 1＋m 2
与时间成正比。当两物体间的摩擦力达到μm2g 后，两者发生相对滑动。对m 2有F －f ＝ma 2，在相对滑动
F －f
之前f 逐渐增大，相对滑动后f ＝μm2g 不再变化，a 2＝，故其图像斜率增大；而对m 1 ，在发生相
m 2
μmg
对滑动后，有μm2g ＝m 1a 1，故a 1＝为定值。故A 选项正确。
m 1
7．(多选)(2015·全国卷Ⅱ) 在一东西向的水平直铁轨上，停放着一列已用挂钩连接好的车厢。当机车在东边拉着这列车厢以大小为a 的加速度向东行驶时，连接某两相邻车厢的挂钩P 和Q 间的拉力大小为F ；当
2
机车在西边拉着车厢以大小为a 的加速度向西行驶时，P 和Q 间的拉力大小仍为F 。不计车厢与铁轨间
3
的摩擦，每节车厢质量相同，则这列车厢的节数可能为( ) A ．8 B ．10 C ．15 D ．18
解析：选BC 设该列车厢与P 相连的部分为P 部分，与Q 相连的部分为Q 部分。设该列车厢有n 节，Q
2
部分为n 1节，每节车厢质量为m ，当加速度为a 时，对Q 有F ＝n 1ma ；当加速度为时，对P 有F ＝(n
3
2
－n 1) m a ，联立得2n ＝5n 1。当n 1＝2，n 1＝4，n 1＝6时，n ＝5，n ＝10，n ＝15，由题中选项得该列车厢
3
节数可能为10或15，选项B 、C 正确。 8.(2013·全国卷Ⅱ) 一长木板在水平地面上运动，在t ＝0时刻将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，以后木板运动的速度－时间图像如图所示。已知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦。物块与木板 间的最大静摩擦力等于滑动摩擦
2
力，且物块始终在木板上。取重力加速度的大小g ＝10 m/s，求： (1)物块与木板间、木板与地面间的动摩擦因数；
(2)从t ＝0时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移的大小。 解析：(1)从t ＝0时开始，木板与物块之间的摩擦力使物块加速，使木板减速，此过程一直持续到物块和木板具有共同速度为止。
由题图可知，在t 1＝0.5 s 时，物块和木板的速度相同。设t ＝0到t ＝t 1的时间间隔内，物块和木板的加速
v 度大小分别为a 1和a 2，则a 1＝①
t 1
v 0－v 1a 2＝②
t 1
式中v 0＝5 m/s、v 1＝1 m/s分别为木板在t ＝0、t ＝t 1时速度的大小。
设物块和木板的质量均为m ，物块和木板间、木板与地面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2，由牛顿第二定律得
μ1mg ＝ma 1③
μ1mg ＋2μ2mg ＝ma 2④
联立①②③④式得μ1＝0.20⑤ μ2＝0.30。⑥
(2)在t 1时刻后，地面对木板的摩擦力阻碍木板运动，物块与木板之间的摩擦力改变方向。设物块与木板之间的摩擦力大小为F f ，物块和木板的加速度大小分别为a 1′和a 2′，则由牛顿第二定律得F f ＝ma 1′⑦ 2μ2mg －F f ＝ma 2′⑧
假设F f ＜μ1mg ，则a 1′＝a 2′；
由⑤⑥⑦⑧式得F f ＝μ2mg ＞μ1mg ，与假设矛盾，故F f ＝μ1mg ⑨ 由⑦⑨式知，物块加速度的大小a 1′等于a 1；物块的v -t 图像如图中点画线所示。
v 2
由运动学公式可推知，物块和木板相对于地面的运动距离分别为x 1＝2a 1
v 0＋v 1v 2x 2＝t ＋⑪
212a 2′
物块相对于木板的位移的大小为x ＝x 2－x 1⑫ 联立①⑤⑥⑧⑨⑩⑪⑫式得x ＝1.125 m。 答案：(1)0.20 0.30 (2)1.125 m 9．(2015·全国卷Ⅱ) 下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害。某地有一倾角为θ＝37°(sin 37°3
＝的山坡C ，上面有一质量为m 的石板B ，其上下表面与斜坡平行；B 上有一碎石5
堆A (含有大量泥土) ，A 和B 均处于静止状态，如图所示。假设某次暴雨中，A 浸透雨水后总质量也为m (可视为质量不变的滑块) ，在极短时间内，A 、B 间的动摩擦因数
3
μ1B 、C 间的动摩擦因数μ2减小为0.5，A 、B 开始运动，此时刻为计时起8
点；在第2 s 末，B 的上表面突然变为光滑，μ2保持不变。已知A 开始运动时，A 离B 下边缘的距离l ＝27 m，C 足够长，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取重力加速度大小g ＝10 m/s2。求： (1)在0～2 s时间内A 和B 加速度的大小； (2)A 在B 上总的运动时间。
解析：(1)在0～2 s时间内，A 和B 的受力如图所示，其中f 1、N 1是A 与B 之间的摩擦力和正压力的大小，f 2、N 2是B 与C 之间的摩擦力和正压力的大小，方向如图所示。由滑动摩擦力公式和力的平衡条件得
f 1＝μ1N 1①
N 1＝mg cos θ②
f 2＝μ2N 2③
N 2＝N 1′＋mg cos θ④
规定沿斜面向下为正。设A 和B 的加速度分别为a 1和a 2，由牛顿第二定律得 mg sin θ－f 1＝ma 1⑤
mg sin θ－f 2＋f 1′＝ma 2⑥
N 1＝N 1′⑦
f 1＝f 1′⑧
联立①②③④⑤⑥⑦⑧式，并代入题给数据得 a 1＝3 m/s2⑨
a 2＝1 m/s2。⑩
(2)在t 1＝2 s时，设A 和B 的速度分别为v 1和v 2，则 v 1＝a 1t 1＝6 m/s⑪
v 2＝a 2t 1＝2 m/s⑫
t ＞t 1时，设A 和B 的加速度分别为a 1′和a 2′。此时A 与B 之间的摩擦力为零，同理可得 a 1′＝6 m/s2⑬
a 2′＝－2 m/s2⑭
B 做减速运动。设经过时间t 2，B 的速度减为零，则有 v 2＋a 2′t 2＝0⑮
联立⑫⑭⑮式得
t 2＝1 s⑯
在t 1＋t 2时间内，A 相对于B 运动的距离为
1111x ＝1t 12＋v 1t 21′t 22－a 2t 12＋v 2t 2＋a 2′t 22 2222
＝12 m＜27 m⑰
此后B 静止，A 继续在B 上滑动。设再经过时间t 3后A 离开B ，则有
1l －x ＝(v 1＋a 1′t 2) t 3＋1′t 32⑱ 2
可得t 3＝1 s(另一解不合题意，舍去) ⑲
设A 在B 上总的运动时间为t 总，有
t 总＝t 1＋t 2＋t 3＝4 s。
答案：(1)3 m/s2 1 m/s2 (2)4 s
11
实 验 四 验证牛顿运动定律
一、实验目的
1．学会用控制变量法研究物理规律。 2．探究加速度与力、质量的关系。 3．掌握利用图像处理数据的方法。 二、实验器材
小车、砝码、小盘、细绳、附有定滑轮的长木板、垫木、打点计时器、低压交流电源、导线、纸带、天平、米尺。
突破点(一) 实验原理与操作
[典例1] (2013·天津高考) 某实验小组利用如图所示的装置探究加速度与力、质量的关系。 (1)下列做法正确的是________(填字母代号) 。
A ．调节滑轮的高度，使牵引木块的细绳与长木板保持平行
B ．在调节木板倾斜度平衡木块受到的滑动摩擦力时，将装有砝码的砝码桶通过定滑轮拴在木块上
C ．实验时，先放开木块再接通打点计时器的电源
D ．通过增减木块上的砝码改变质量时，不需要重新调节木板倾斜度
(2)为使砝码桶及桶内砝码的总重力在数值上近似等于木块运动时受到的拉力，应满足的条件是砝码桶及桶内砝码的总质量________木块和木块上砝码的总质量。(选填“远大于”“远小于”或“近似等于”)
(3)甲、乙两同学在同一实验室，各取一套图示的装置放在水平桌面上，木块上均不放砝码，在没有平衡摩擦力的情况下，研究加速度a 与拉力F 的关系，分别得到图中甲、乙两条直线。设甲、乙用的木块质量分别为m 甲、m 乙，甲、乙用的木块与木板间的动摩擦因数分别为μ甲、μ乙，由图可知，m 甲________m 乙，μ甲________μ乙。(选填“大于”“小于”或“等于”) [答案] (1)AD (2)远小于 (3)小于 大于
[由题引知·要点谨记]
1. 实验操作步骤[对应第1题]
（1）平衡木块的滑动摩擦力时，砝码桶不能拴在木块上。 （2）改变木块质量时，不需要重新平衡摩擦力。 （3）实验过程中，应先接通电源，再放开木块。 2. 实验原理的理解[对应第(2)题]
(1)平衡木块摩擦力后，细绳的拉力即为木块的合外力。
(2)只有满足砝码桶及桶内砝码的总质量远小于木块和木块上砝码的总质量时，细绳的拉力才近似等于砝码桶及桶内砝码的总重力。 3. 利用图像分析实验结果[对应第(3)题] (1)因没有平衡摩擦力，a -F 图线为不过原点的倾斜直线。
(2)利用a -F 图线的斜率、截距的意义比较m 、μ的大小。
[集训冲关]
1．利用如图所示装置可以做力学中的许多实验。 (1)以下说法正确的是( )
A ．用此装置“研究匀变速直线运动”时，必须设法消除小车和长木板间的摩擦阻力的影响
B ．用此装置“研究匀变速直线运动”时，应使小盘和盘内砝码的总质量远小于小车的质量
C ．用此装置“探究加速度a 与力F 的关系”时，必须设法消除小车和长木板间的摩擦阻力的影响 D ．用此装置“探究加速度a 与力F 的关系”时，应使小盘和盘内砝码的总质量远小于小车的质量 (2)本装置中要用到打点计时器，如图所示为实验室常用的两种计时器，其中图甲用的电源要求是( )
A ．交流220 V B ．直流
220 V
C ．交流4～6 V D ．直流4～6 V
(3)在利用此装置“探究加速度a 与力F 的关系”时，实验中按规范操作打出的一条纸带的一部分如图所示。已知打点计时器接在频率为50 Hz的交流电源上，则此次实验中打点计时器打下A 点时小车的瞬时速度为________ m/s。(结果保留2位有效数字
)
解析：(1)用题图所示装置“研究匀变速直线运动”时，没必要消除小车和长木板间的摩擦阻力的影响，也没有必要使小盘和盘内砝码的总质量远小于小车的质量，A 、B 错误；在用此装置“探究加速度a 与力F 的关系”时，必须设法消除小车和长木板间的摩擦阻力的影响。还应使小盘和盘内砝码的总质量远小于小车的质量，这样才可认为细绳对小车的拉力等于盘和盘内砝码的重力，C 、D 正确。 (2)甲是电火花计时器，需要接220 V交流电源，A 正确。
0.021
(3)打点计时器打下A 点时小车的瞬时速度为v A
＝ m/s≈0.53 m/s。
0.04
答案：(1)CD (2)A (3)0.53 2．(2017·天津和平区检测) 小王同学在探究加速度与力、质量的关系时，小车及钩码的质量用M 表示，砂桶及砂的质量用m 表示，小车的加速度可由小车后拖动的纸带计算出。
(1)往砂桶中加入一定量的砂子，当M 与m 的大小关系满足________时，可近似认为绳对小车的拉力大小等于砂桶和砂的重力；在释放小车________(填“之前”或“之后”)接通打点计时器的电源，在纸带上打出一系列的点。
(2)在平衡摩擦力后，他用打点计时器打出的纸带的一段如图所示，该纸带上相邻两个计数点间还有4个点未标出，打点计时器使用交流电的频率是50 Hz ，则小车的加速度大小是________m/s2，当打点计时器打B 点时小车的速度是________m/s。(结果保留三位有效数字)
(3)小张同学用同一装置做实验，他们俩在同一坐标系中画出的a -F 关系图线如图所示，小张和小王同学做实验，哪一个物理量是不同的______________。
mg mg
解析：(1)小车实际的加速度为a ＝，绳子拉力为F ＝Ma ＝m ，因此只有当m ≪M 时，拉力F 才M ＋m
1＋M
近似等于mg ；实验中应先接通电源再释放小车。
x BD －x OB x AC
(2)a ＝＝0.390 m/s2，v B ＝≈0.377 m/s。 2
4T 2T
(3)图线的斜率为小车及砝码的质量的倒数，因此小车及砝码的质量不同。 答案：(1)m ≪M 之前 (2)0.390 0.377 (3)小车及砝码的质量
突破点(二) 数据处理与误差分析
[典例2] 某次“探究加速度a 跟物体所受合力F 和质量m 的关系”实验过程是：
(1)图甲所示为实验装置图。图乙为某次实验得到的一段纸带，计数点A 、B 、C 、D 、E 间的时间间隔为0.1 s，根据纸带可求出小车的加速度大小为______ m/s2(结果保留两位有效数字) 。
(2)保持小车质量不变，改变砂和砂桶质量，进行多次测量。根据实验数据做出了加速度a 随拉力F 的变化图线，如图所示。图中直线没有通过原点，其主要原因是________________________________________。 (3)保持砂和砂桶质量不变，改变小车中砝码质量，进行多次测量，得到小车加速度a 、质量m 及其对应的1
m 的数据如表中所示：
1
a ．请在坐标纸中画出a m 图线：
1
b ．根据作出的a m 图线可以得到的结论是：
__________________________________。
[
答案
] (1)0.43 (2)实验前未平衡摩擦力(或平衡摩擦力不充分)
(3)a.如图所示b ．图线为过原点的直线，表明在合外力一定时，加速度跟质量成反比
[由题引知·要点谨记]
1. 利用纸带求解小车的加速度[对应第(1)题]
x 3＋x 4 － x 1＋x 2
4T
(1)逐差法求纸带加速度的公式 a ＝
(2)注意对计算结果的有效数字位数要求。
2. 利用图像分析a 、F 间的关系及误差分析[对应第(2)题] (1)保持小车质量不变时，a -F 图像应为一条过原点的直线。
(2)a -F 图像不过原点可能是平衡小车摩擦力时没有达到实验要求所致。 3. 利用图像分析a 、m 间的关系[对应第(3)题] (1)小车合力不变时，a 、m 之间成反比关系。
1
(2)利用化曲为直的思想，作出a m 关系图线，若得到过原点的倾斜直线，则小车合外力一定时，a 、m 之间成反比关系。
[集训冲关]
3．用如图甲所示装置做“探究物体的加速度跟力的关系”的实验。实验时保持小车的质量不变，用钩码所受的重力作为小车受到的合力，用打点计时器和小车后端拖动的纸带测出小车运动的加速度。
(1)实验时先不挂钩码，反复调整垫块的左右位置，直到小车做匀速直线运动，这样做的目的是_________________________________________________________________。
(2)图乙为实验中打出的一条纸带的一部分，从比较清晰的点迹起，在纸带上标出了连续的5个计数点A 、B 、C 、D 、E ，相邻两个计数点之间都有4个点迹没有标出，测出各计数点到A 点之间的距离，如图所示。已知打点计时器接在频率为50 Hz的交流电源两端，则此次实验中小车运动的加速度的测量值a ＝______ m/s2。(结果保留两位有效数字)
(3)实验时改变所挂钩码的质量，分别测量小车在不同外力作用下的加速度。根据测得的多组数据画出a -F 关系图像，如图丙所示。此图像的AB 段明显偏离直线，
造成此现象的主要原因可能是________。(选填下列选项的序号) A ．小车与平面轨道之间存在摩擦 B ．平面轨道倾斜角度过大 C ．所挂钩码的总质量过大 D ．所用小车的质量过大
解析：(1)使平面轨道的右端垫起，让小车重力沿斜面方向的分力与它受到的摩擦
阻力平衡，才能认为在实验中小车所受的合外力等于钩码的重力，所以这样做的目的是平衡小车运动中所受的摩擦阻力。
－
x CE －x AC 21.6－8.79－8.79 ×102
(2)由逐差法可知a ＝ m/s2≈1.0 m/s2。 4T 4× 0.1
(3)在实验中认为细绳的张力F 等于钩码的重力mg 实际上，细绳张力F ′＝Ma ，mg －F ′＝ma
M 11
即F ′＝mg ，a ＝mg ＝
M ＋m M ＋m M ＋m
1
所以当细绳的张力F 变大时，m 必定变大，必定减小。当M ≫m 时，a -F 图像为直线，当不满足
M ＋m
M ≫m 时，便有a -F 图像的斜率逐渐变小偏离直线，选项C 正确。
答案：(1)平衡小车运动中所受的摩擦阻力 (2)1.0 (3)C 4．(2016·全国丙卷) 某物理课外小组利用图(a)中的装置探究物体加速度与其所受合外力之间的关系。图中，置于实验台上的长木板水平放置，其右端固定一轻滑轮；轻绳跨过滑轮，一端与放在木板上的小滑车相连，另一端可悬挂钩码。本实验中可用的钩码共有N ＝5个，每个质量均为0.010 kg。实验步骤如下：
(a) (b) (c)
(1)将5个钩码全部放入小车中，在长木板左下方垫上适当厚度的小物块，使小车(和钩码) 可以在木板上匀速下滑。
(2)将n (依次取n ＝1,2,3,4,5) 个钩码挂在轻绳右端，其余N －n 个钩码仍留在小车内；用手按住小车并使轻绳与木板平行。释放小车，同时用传感器记录小车在时刻t 相对于其起始位置的位移s ，绘制s -t 图像，经
数据处理后可得到相应的加速度a 。
(3)对应于不同的n 的a 值见下表。n ＝2时的s -t 图像如图(b)所示；由图(b)求出此时小车的加速度(保留2
位有效数字)
(4)利用表中的数据在图(c)中补齐数据点，并作出a -n 图像。从图像可以看出：当物体质量一定时，物体的
加速度与其所受的合外力成正比。
－
(5)利用a -n 图像求得小车(空载) 的质量为________kg(保留2位有效数字，重力加速度取g ＝9.8 m·s 2) 。
(6)若以“保持木板水平”来代替步骤(1)，下列说法正确的是________(填入正确选项前的标号) 。 A ．a -n 图线不再是直线 B ．a -n 图线仍是直线，但该直线不过原点 C ．a -n 图线仍是直线，但该直线的斜率变大
1
解析：(3)根据题图(b)可知，当t ＝
2.00 s时，位移s ＝0.78 m，由s ＝2，
2
2s
得加速度a ＝0.39 m/s2。
t
(4)描点及图像如图所示。
(5)由(4)图像求得斜率k ＝0.20 m/s2。由牛顿第二定律得nm 0g ＝(m ＋
m g m g
Nm 0) a ，整理得a ＝，即k ＝，代入数据得m ＝0.44 kg。
m ＋Nm 0m ＋Nm 0
(6)若保持木板水平，则所挂钩码总重力与小车所受摩擦力的合力提供加
速度，即nm 0g －μ[m ＋(N －n ) m 0]g ＝(m ＋Nm 0) a ，整理得a ＝
1＋μ m 0g
n －μg，可见a -n 图线仍是直线，
m ＋Nm 0
但不过原点，且斜率变大，选项B 、C 正确。 答案：(3)0.39 (4)见解析 (5)0.44 (6)BC
突破点(三) 实验的改进与创新
[典例3] 如图所示是某同学探究加速度与力的关系的实验装置。他在气垫导轨上安装了一个光电门B 。滑块上固定一遮光条，滑块用细线绕过气垫导轨左端的定滑轮与力传感器相连，传感器下方悬挂钩码，每次滑块都从A 处由静止释放。
(1)该同学用游标卡尺测量遮光条的宽度d ，如图所示，则d ＝ ________mm。
(2)实验时，将滑块从A 位置由静止释放，由数字计时器读出遮光条通过光电门B 的时间t ，若要得到滑块的加速度，还需要测量的物理量是________________________。
(3)下列不必要的一项实验要求是________。(请填写选项前对应的字母) A ．应使滑块质量远大于钩码和力传感器的总质量 B ．应使A 位置与光电门间的距离适当大些 C ．应将气垫导轨调节水平 D ．应使细线与气垫导轨平行
(4)改变钩码质量，测出对应的力传感器的示数F 和遮光条通过光电门的时间t ，通过描点作出线性图像，
11
选填“t 2-F t F ”或F ”⎫ 研究滑块的加速度与力的关系，处理数据时应作出________图像。⎛t ⎝⎭
[解析] (1)由题图知第5条刻度线与主尺对齐，d ＝2 mm＋5×0.05 mm＝2.25 mm。
(2)实验时，将滑块从A 位置由静止释放，由数字计时器读出遮光条通过光电门B 的时间t ，滑块经过光电门时的瞬时速度可近似认为是滑块经过光电门的平均速度。
根据运动学公式知，若要得到滑块的加速度，还需要测量的物理量是遮光条到光电门的距离L 。
(3)拉力是直接通过传感器测量的，故与小车质量和钩码质量大小关系无关，故A 项不必要；应使A 位置与光电门间的距离适当大些，有利于减小误差，故B 项必要；应将气垫导轨调节水平，拉力才等于合力，故C 项必要；要保持细线方向与气垫导轨平面平行，拉力才等于合力，故D 项必要；故选A 。
d F d 2F 2
(4)由题意可知，该实验中保持滑块质量M 不变，因此有：v ＝2aL ，v t ，a ＝M ＝2M L
t
1
所以研究滑块的加速度与力的关系，为作出线性图像，处理数据时应作出-F 图像。 t
1
[答案] (1)2.25 (2)遮光条到光电门的距离L (3)A (4)-F t
[由题引知·要点谨记]
1. 实验器材的创新[对应题干部分]
(1)利用光电门测滑块上的遮光条通过光电门的时间。 (2)利用气垫导轨代替长木板。 (3)利用力传感器测绳中拉力大小。 2. 实验原理的创新[对应第3题]
利用力传感器测出细线拉力，消除了因m ≪M 得不到满足带来的实验误差。
v 2
3. 数据处理方法的创新[对应第(4)题]由v ＝2aL 得a ＝
2L
2
4．还可以从以下两个方面创新
(1)实验目的的创新：测木块与木板间的动摩擦因数。 (2)实验器材的创新：
①利用位移传感器测物体移动位移。 ②利用传感器测物体的速度或加速度。
[集训冲关]
5．(2017·威海模拟) 某实验小组利用如图所示的装置进行验证：当质量m 一定时，加速度a 与力F 成正比的关系，其中F ＝m 2g ，m ＝m 1＋m 2(m 1为小车及车内砝码的总质量，m 2为桶及桶中砝码的总质量) 。具体做法是：将小车从A 处由静止释放，用速度传感器测出它运动到B 处时的速度v ，然后将小车内的一个砝码拿到小桶中，小车仍从A 处由静止释放，测出它运动到B 处时对应的速度，重复上述操作。图中AB 相距x 。
(1)设加速度大小为a ，则a 与v 及x 间的关系式是________。
(2)如果实验操作无误，四位同学根据实验数据做出了下列图像，其中哪一个是正确的(
)
(3)下列哪些措施能够减小本实验的误差________。
A ．实验中必须保证m 2≪m 1 B ．实验前要平衡摩擦力
C ．细线在桌面上的部分应与长木板平行 D ．图中AB 之间的距离x 尽量小些
解析：(1)小车做初速度为零的匀加速直线运动，由匀变速直线运动的速度位移公式得：v 2＝2ax 。
F 2x
(2)由(1)可知：v 2＝2ax ，由牛顿第二定律得：a ＝v 2＝F ，v 2与F 成正比，故选A 。
m m
F m g
(3)以系统为研究对象，加速度：a ＝m m ，系统所受拉力等于m 2g ，不需要满足m 2≪m 1，故A 错误；为使系统所受合力等于桶与桶中砝码的重力，实验需要平衡摩擦力，还需要细线在桌面上的部分与长木板平行，故B 、C 正确；为减小实验误差，图中A 、B 之间的距离x 应尽量大些，故D 错误；故选B 、C 。 答案：(1)v 2＝2ax (2)A (3)BC 6．(2017·清远二模) 在用DIS 研究小车加速度与外力的关系时，某实验小组先用如图(a)所示的实验装置。重物通过滑轮用细线拉小车，位移传感器(发射器) 随小车一起沿倾斜轨道运动，位移传感器(接收器) 固定
(1)在图(c)所示的坐标纸上作出小车加速度a 随拉力F 变化的图线。 (2)从所得图线分析该实验小组在操作过程中的不当之处__________。
(3)如果实验时，在小车和重物之间接一不计质量的微型力传感器来测量拉力
F ，实验装置如图(b)所示，从理论上分析，该实验图线的斜率将________。(填“变大”“变小”或“不变”) 解析：(1)根据已知数据，画出小车加速度a 和拉力F 的关系图线如图所示： (2)由图像可知，当小车拉力为零时，已经产生了加速度，故在操作过程中轨道的倾角过大，平衡摩擦力过度。
F
(3)根据牛顿第二定律得a ＝m ，知图线的斜率表示质量的倒数。
F
挂重物时，a ＝M ＋m
F
度a ＝M ，图线的斜率表示小车质量M 的倒数，可知图线的斜率变大。 答案：(1)见解析图(2)轨道倾角过大(或平衡摩擦力过度)(3)变大
7．利用如图甲所示的气垫导轨实验装置来探究“合力一定时，物体的加速度与质量之间的关系”。
(1)做实验时，将滑块从图甲所示位置由静止释放，由数字计时器(图中未画出) 可读出遮光条通过光电门1、2的时间分别为Δt 1、Δt 2；用刻度尺测得两个光电门中心之间的距离L ，用游标卡尺测得遮光条宽度d ，则滑块经过光电门1时的速度表达式v 1＝____________；滑块加速度的表达式a ＝____________(以上表达式均用已知字母表示) 。如图乙所示，若用20分度的游标卡尺测量遮光条的宽度，其读数为________ mm。 (2)在实验过程中，当改变滑块质量M 时，通过改变________________________，保证滑块受到的合力大小不变。
d
解析：(1)滑块通过光电门的时间极短，以此时间内的平均速度近似作为瞬时速度，可得速度v 1＝。同
Δt 1
d
样通过光电门2的速度v 2＝1到光电门2的过程为匀变速直线运动，可得v 22－v 12＝2aL ，
Δt 2
v 22－v 12d 2[ Δt 1 2－ Δt 2 2]
即加速度a ＝20分度游标卡尺的精确度为0.05 mm，游标尺零刻线左侧
2L 2L Δt 2 Δt 1 对应的主尺刻线为8 mm，第3条刻线与主尺刻线对齐，最终读数为8 mm＋3×0.05 mm＝8.15 mm。
Mgh
(2)使用气垫导轨可以不考虑摩擦力，那么滑块沿斜面下滑合力为Mg sin θ＝L ，小车质量改变时，要保
Mgh
证合力Mg sin θ＝不变，只需要保证Mh 不变。
L 2
t 1 2－ Δt 2 2]d d [ Δ
答案：(1) 8.15 (2)高度h 使Mh 保持不变
Δt 12L Δt 1 Δt 2
1．(多选)(2012·全国卷) 伽利略根据小球在斜面上运动的实验和理想实验，提出了惯性的概念，从而奠定了牛顿力学的基础。早期物理学家关于惯性有下列说法，其中正确的是( ) A ．物体抵抗运动状态变化的性质是惯性 B ．没有力的作用，物体只能处于静止状态
C ．行星在圆周轨道上保持匀速率运动的性质是惯性
D ．运动物体如果没有受到力的作用，将继续以同一速度沿同一直线运动
解析：选AD 惯性是物体保持原来运动状态不变的性质，故A 对；根据惯性定律可知没有力的作用，物体将保持原来的状态，即静止状态或者匀速直线运动状态，故B 错；行星在圆周轨道上的运动是变速运动，是在万有引力作用下的运动，所以C 错；运动物体如果不受力作用，将保持原来的运动状态，即继续以同一速度沿着同一直线运动，D 对。 2．(2013·全国卷Ⅰ) 下图是伽利略1604年做斜面实验时的一页手稿照片，照片左上角的三列数据如下表。表中第二列是时间，第三列是物体沿斜面运动的距离，第一列是伽利略在分析实验数据时添加的。根据表中的数据，伽利略可以得出的结论是( )
A ．物体具有惯性
B ．斜面倾角一定时，加速度与质量无关 C ．物体运动的距离与时间的平方成正比 D ．物体运动的加速度与重力加速度成正比
解析：选C 由题表可以看出第二列数据与第一列为二次方关系，而第三列数据与第一列在误差的范围内成正比关系，说明物体沿斜面通过的距离与时间的二次方成正比，故选项C 正确。
命题点二：牛顿运动定律的应用 3．(2013·全国卷Ⅱ) 一物块静止在粗糙的水平桌面上。从某时刻开始，物块受到一方向不变的水平拉力作用。假设物块与桌面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。以a 表示物块的加速度大小，F 表示水平拉力的大小。能正确描述F 与a 之间关系的图像是( )
解析：选C 设物块所受滑动摩擦力为f ，在水平拉力F 作用下，物块做匀加速直线运动，由牛顿第二定律，F －f ＝ma ，F ＝ma ＋f ，所以能正确描述F 与a 之间关系的图像是C ，选项C 正确。 4．(多选)(2015·全国卷Ⅰ) 如图(a)，一物块在t ＝0时刻滑上一固定斜面，其运动的v -t 图线如图(b)所示。若重力加速度及图中的v 0、v 1、t 1均为已知量，则可求出( )
A ．斜面的倾角 B ．物块的质量
C ．物块与斜面间的动摩擦因数 D ．物块沿斜面向上滑行的最大高度
v v 解析：选ACD 由题图(b)可以求出物块上升过程中的加速度为a 1＝a 2＝。
t 1t 1
物块在上升和下降过程中，由牛顿第二定律得mg sin θ＋F f ＝ma 1，mg sin θ－F f ＝ma 2，由以上各式可求得
v 0＋v 1m v 0－v 1 sin θ＝，滑动摩擦力F f ＝F f ＝μFN ＝μmgcos θ，由以上分析可知，选项A 、C 正确；
2t 1g 2t 1
由v -t 图像中横轴上方的面积可求出物块沿斜面上滑的最大距离，可以求出物块沿斜面向上滑行的最大高度，选项D 正确。 5．(2014·全国卷Ⅰ) 公路上行驶的两汽车之间应保持一定的安全距离。当前车突然停止时，后车司机可以采取刹车措施，使汽车在安全距离内停下而不会与前车相碰。通常情况下，人的反应时间和汽车系统的反应时间之和为 1 s。当汽车在晴天干燥沥青路面上以108 km/h的速度匀速行驶时，安全距离为120 m。设
2
雨天时汽车轮胎与沥青路面间的动摩擦因数为晴天时的。若要求安全距离仍为120 m ，求汽车在雨天安
5
全行驶的最大速度。
解析：设路面干燥时，汽车与地面间的动摩擦因数为μ0，刹车时汽车的加速度大小为a 0，安全距离为x ，反应时间为t 0，由牛顿第二定律和运动学公式得μ0mg ＝ma 0①
v 2
x ＝v 0t 0＋②
2a 0
式中，m 和v 0分别为汽车的质量和刹车前的速度。
2
设在雨天行驶时，汽车与地面间的动摩擦因数为μ，依题意有μ＝μ0③
5
设在雨天行驶时汽车刹车的加速度大小为a ，安全行驶的最大速度为v ，由牛顿第二定律和运动学公式得 μmg＝ma ④
v 2
x ＝vt 0＋
2a
联立①②③④⑤式并代入题给数据得 v ＝20 m/s(或72 km/h)。⑥ 答案：20 m/s(或72 km/h)
命题点三：动力学中整体法与隔离法的应用 6.(2011·全国卷) 如图，在光滑水平面上有一质量为m 1的足够长的木板，其上叠放一质量为m 2的木块。假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等。现给木块施加一随时间t 增大的水平力F ＝kt (k 是常数) ，木板和木块加速度的大小分别为a 1和a 2。下列反映a 1和a 2变化的图线中正确的是(
)
F
解析：选A 开始阶段两物体一起做加速运动，有 F ＝(m 1＋m 2) a ，即a ＝m 1＋m 2
与时间成正比。当两物体间的摩擦力达到μm2g 后，两者发生相对滑动。对m 2有F －f ＝ma 2，在相对滑动
F －f
之前f 逐渐增大，相对滑动后f ＝μm2g 不再变化，a 2＝，故其图像斜率增大；而对m 1 ，在发生相
m 2
μmg
对滑动后，有μm2g ＝m 1a 1，故a 1＝为定值。故A 选项正确。
m 1
7．(多选)(2015·全国卷Ⅱ) 在一东西向的水平直铁轨上，停放着一列已用挂钩连接好的车厢。当机车在东边拉着这列车厢以大小为a 的加速度向东行驶时，连接某两相邻车厢的挂钩P 和Q 间的拉力大小为F ；当
2
机车在西边拉着车厢以大小为a 的加速度向西行驶时，P 和Q 间的拉力大小仍为F 。不计车厢与铁轨间
3
的摩擦，每节车厢质量相同，则这列车厢的节数可能为( ) A ．8 B ．10 C ．15 D ．18
解析：选BC 设该列车厢与P 相连的部分为P 部分，与Q 相连的部分为Q 部分。设该列车厢有n 节，Q
2
部分为n 1节，每节车厢质量为m ，当加速度为a 时，对Q 有F ＝n 1ma ；当加速度为时，对P 有F ＝(n
3
2
－n 1) m a ，联立得2n ＝5n 1。当n 1＝2，n 1＝4，n 1＝6时，n ＝5，n ＝10，n ＝15，由题中选项得该列车厢
3
节数可能为10或15，选项B 、C 正确。 8.(2013·全国卷Ⅱ) 一长木板在水平地面上运动，在t ＝0时刻将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，以后木板运动的速度－时间图像如图所示。已知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦。物块与木板 间的最大静摩擦力等于滑动摩擦
2
力，且物块始终在木板上。取重力加速度的大小g ＝10 m/s，求： (1)物块与木板间、木板与地面间的动摩擦因数；
(2)从t ＝0时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移的大小。 解析：(1)从t ＝0时开始，木板与物块之间的摩擦力使物块加速，使木板减速，此过程一直持续到物块和木板具有共同速度为止。
由题图可知，在t 1＝0.5 s 时，物块和木板的速度相同。设t ＝0到t ＝t 1的时间间隔内，物块和木板的加速
v 度大小分别为a 1和a 2，则a 1＝①
t 1
v 0－v 1a 2＝②
t 1
式中v 0＝5 m/s、v 1＝1 m/s分别为木板在t ＝0、t ＝t 1时速度的大小。
设物块和木板的质量均为m ，物块和木板间、木板与地面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2，由牛顿第二定律得
μ1mg ＝ma 1③
μ1mg ＋2μ2mg ＝ma 2④
联立①②③④式得μ1＝0.20⑤ μ2＝0.30。⑥
(2)在t 1时刻后，地面对木板的摩擦力阻碍木板运动，物块与木板之间的摩擦力改变方向。设物块与木板之间的摩擦力大小为F f ，物块和木板的加速度大小分别为a 1′和a 2′，则由牛顿第二定律得F f ＝ma 1′⑦ 2μ2mg －F f ＝ma 2′⑧
假设F f ＜μ1mg ，则a 1′＝a 2′；
由⑤⑥⑦⑧式得F f ＝μ2mg ＞μ1mg ，与假设矛盾，故F f ＝μ1mg ⑨ 由⑦⑨式知，物块加速度的大小a 1′等于a 1；物块的v -t 图像如图中点画线所示。
v 2
由运动学公式可推知，物块和木板相对于地面的运动距离分别为x 1＝2a 1
v 0＋v 1v 2x 2＝t ＋⑪
212a 2′
物块相对于木板的位移的大小为x ＝x 2－x 1⑫ 联立①⑤⑥⑧⑨⑩⑪⑫式得x ＝1.125 m。 答案：(1)0.20 0.30 (2)1.125 m 9．(2015·全国卷Ⅱ) 下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害。某地有一倾角为θ＝37°(sin 37°3
＝的山坡C ，上面有一质量为m 的石板B ，其上下表面与斜坡平行；B 上有一碎石5
堆A (含有大量泥土) ，A 和B 均处于静止状态，如图所示。假设某次暴雨中，A 浸透雨水后总质量也为m (可视为质量不变的滑块) ，在极短时间内，A 、B 间的动摩擦因数
3
μ1B 、C 间的动摩擦因数μ2减小为0.5，A 、B 开始运动，此时刻为计时起8
点；在第2 s 末，B 的上表面突然变为光滑，μ2保持不变。已知A 开始运动时，A 离B 下边缘的距离l ＝27 m，C 足够长，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取重力加速度大小g ＝10 m/s2。求： (1)在0～2 s时间内A 和B 加速度的大小； (2)A 在B 上总的运动时间。
解析：(1)在0～2 s时间内，A 和B 的受力如图所示，其中f 1、N 1是A 与B 之间的摩擦力和正压力的大小，f 2、N 2是B 与C 之间的摩擦力和正压力的大小，方向如图所示。由滑动摩擦力公式和力的平衡条件得
f 1＝μ1N 1①
N 1＝mg cos θ②
f 2＝μ2N 2③
N 2＝N 1′＋mg cos θ④
规定沿斜面向下为正。设A 和B 的加速度分别为a 1和a 2，由牛顿第二定律得 mg sin θ－f 1＝ma 1⑤
mg sin θ－f 2＋f 1′＝ma 2⑥
N 1＝N 1′⑦
f 1＝f 1′⑧
联立①②③④⑤⑥⑦⑧式，并代入题给数据得 a 1＝3 m/s2⑨
a 2＝1 m/s2。⑩
(2)在t 1＝2 s时，设A 和B 的速度分别为v 1和v 2，则 v 1＝a 1t 1＝6 m/s⑪
v 2＝a 2t 1＝2 m/s⑫
t ＞t 1时，设A 和B 的加速度分别为a 1′和a 2′。此时A 与B 之间的摩擦力为零，同理可得 a 1′＝6 m/s2⑬
a 2′＝－2 m/s2⑭
B 做减速运动。设经过时间t 2，B 的速度减为零，则有 v 2＋a 2′t 2＝0⑮
联立⑫⑭⑮式得
t 2＝1 s⑯
在t 1＋t 2时间内，A 相对于B 运动的距离为
1111x ＝1t 12＋v 1t 21′t 22－a 2t 12＋v 2t 2＋a 2′t 22 2222
＝12 m＜27 m⑰
此后B 静止，A 继续在B 上滑动。设再经过时间t 3后A 离开B ，则有
1l －x ＝(v 1＋a 1′t 2) t 3＋1′t 32⑱ 2
可得t 3＝1 s(另一解不合题意，舍去) ⑲
设A 在B 上总的运动时间为t 总，有
t 总＝t 1＋t 2＋t 3＝4 s。
答案：(1)3 m/s2 1 m/s2 (2)4 s
11