摘要： 运用物理学的方法和微积分的知识来建立数学模型，借促MATLAB软件，得到结果：在第60秒引擎刚关闭时，火箭的高度为9317.8米，速度为274m/s，加速度为132.7931m/s2；火箭达到最高点的时间为70.2s，高度为14604m.k的值估计为0.4904.
Abstract: Using physics and calculus knowledge to build a mathematical model, with the aid of MATLAB software, find the result: when the engine was shut down at the sixtieth second, the height of the rocket is 9317.8m, speed is 274 m/s, acceleration is 132.7931m/s2. When the rocket reached the highest point, the time is 70.2s, height is 14604m in the case that the estimated scale factork is 0.4904.
关键词： 火箭升空；牛顿第二定律；MATLAB软件
Key words: rocketing；Newton's second law；MATLAB software
中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）04-0227-02
1问题重述
火箭的质量为300千克（kg），携带900千克燃料并以15kg/s速率燃烧而产生恒定40000牛顿推力。同时受与速度的平方成正比，比例系数为k的空气阻力，在t时间时高度x（t），速度为v（t），取重力加速度g为9.8m/s2。
2问题假设
①空气的阻力f与速度平方v2成正比，比例系数为k；
②燃料以15千克/秒的速率燃烧，并产生40000牛顿的恒定推力；
③重力加速度g为9.8m/s2；
④火箭本身的质量为m1，剩下燃料的质量为m2；
⑤火箭运行的高度x（米）与时间t（秒）和速度v（米/秒）对应的关系，x（t）为火箭在t时的高度测有一组数据如下：
3模型求解
3.1 建立模型由物理学可知，在t时刻，火箭和燃料的质量为1200-15t；重力产生的阻力为（1200-15t）×9.8；空气阻力为kv2；那么，由牛顿第二定律可得
=；0 =t>60
由=v，可得到=；0 = t>60（2）
k= （3）
3.2 模型求解当0 t=10:20；
v=[[***********][**************]]；
for i=3:10
a(i)=(1/12)*(v(i-2)-8*v(i-1)+8*v(i+1)-v(i+2))；
end
a=[10 10 7.7500 7.667 6.25 2.5 2.833 4.3333 2.75 3.5 8.5]
将a的值代入（3）中，在matlab中可求得k=0.4904.
在（1）式中，由=x（2），得
=（4）
求解过程，编写m文件如下：
----------------------------------------------------------------
function xdot=wf(t，x) xspan=0:1:60；x0=[0 0]'；
xdot=zeros(2，1) [t，x]=ode45('wf'，xspan，x0)；
xdot(1)=x(2) plot(t，x)
xdot(2)=[28240+147*t-0.4904*x(2).^2]/(1200-15*t) 结果为：
在命令窗口中执行: ans=1.0e+004 *
----------------------------------------------------------------
Columns 1 through 10
………………
Column 61
1.3807
0.0274
故在t=60s时，x（t）=1.3807*104，v（t）=0.0274*104m/s.
此时关闭引擎，t=60s，火箭推力为0时只受空气阻力与自身重力作用m1=300kg，所以加速度a===132.7931m/s2
火箭关闭引擎后（t>60）
=，转化为=
设=y（2），得微分方程组
=y（2），=（5）
求解过程，编写m文件如下：
----------------------------------------------------------------
function act=wf(t，y) vspan=60：0.2：74；
act=zeros(2，1)； [t，y]=act（‘wf’，vspan，[13807 274]）；
act(1)=y(2)； 输出的结果：
act(2)=-[0.4904*y(2).^2/300+9.8] ans=1.0e+004*
在命令窗口中执行：
----------------------------------------------------------------
Columns 1 through 10
………………
1.4604
0.0000
由输出的结果可知道:当t=70.2时，y(1)=14604，y(2)=0，即此时的速度v=0m/s；而且此时火箭达到最大高度。
所以火箭升到最大高度所花的总时间T=70.2s。关闭引擎后，火箭上升到最大高度H=14604m。至此，问题得到解决。
参考文献：
[1]阳明盛，熊西文.MATLAB基础及数学软件.大连：大连理工大学出版社，2003，8.
[2]夏玮,李朝晖.控制系统仿真与实例详解.北京：人民邮电出版社，2008，10.
[3]胡祥青.大学物理.北京：北京师范大学出版社，2005，5.
摘要： 运用物理学的方法和微积分的知识来建立数学模型，借促MATLAB软件，得到结果：在第60秒引擎刚关闭时，火箭的高度为9317.8米，速度为274m/s，加速度为132.7931m/s2；火箭达到最高点的时间为70.2s，高度为14604m.k的值估计为0.4904.
Abstract: Using physics and calculus knowledge to build a mathematical model, with the aid of MATLAB software, find the result: when the engine was shut down at the sixtieth second, the height of the rocket is 9317.8m, speed is 274 m/s, acceleration is 132.7931m/s2. When the rocket reached the highest point, the time is 70.2s, height is 14604m in the case that the estimated scale factork is 0.4904.
关键词： 火箭升空；牛顿第二定律；MATLAB软件
Key words: rocketing；Newton's second law；MATLAB software
中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）04-0227-02
1问题重述
火箭的质量为300千克（kg），携带900千克燃料并以15kg/s速率燃烧而产生恒定40000牛顿推力。同时受与速度的平方成正比，比例系数为k的空气阻力，在t时间时高度x（t），速度为v（t），取重力加速度g为9.8m/s2。
2问题假设
①空气的阻力f与速度平方v2成正比，比例系数为k；
②燃料以15千克/秒的速率燃烧，并产生40000牛顿的恒定推力；
③重力加速度g为9.8m/s2；
④火箭本身的质量为m1，剩下燃料的质量为m2；
⑤火箭运行的高度x（米）与时间t（秒）和速度v（米/秒）对应的关系，x（t）为火箭在t时的高度测有一组数据如下：
3模型求解
3.1 建立模型由物理学可知，在t时刻，火箭和燃料的质量为1200-15t；重力产生的阻力为（1200-15t）×9.8；空气阻力为kv2；那么，由牛顿第二定律可得
=；0 =t>60
由=v，可得到=；0 = t>60（2）
k= （3）
3.2 模型求解当0 t=10:20；
v=[[***********][**************]]；
for i=3:10
a(i)=(1/12)*(v(i-2)-8*v(i-1)+8*v(i+1)-v(i+2))；
end
a=[10 10 7.7500 7.667 6.25 2.5 2.833 4.3333 2.75 3.5 8.5]
将a的值代入（3）中，在matlab中可求得k=0.4904.
在（1）式中，由=x（2），得
=（4）
求解过程，编写m文件如下：
----------------------------------------------------------------
function xdot=wf(t，x) xspan=0:1:60；x0=[0 0]'；
xdot=zeros(2，1) [t，x]=ode45('wf'，xspan，x0)；
xdot(1)=x(2) plot(t，x)
xdot(2)=[28240+147*t-0.4904*x(2).^2]/(1200-15*t) 结果为：
在命令窗口中执行: ans=1.0e+004 *
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Columns 1 through 10
………………
Column 61
1.3807
0.0274
故在t=60s时，x（t）=1.3807*104，v（t）=0.0274*104m/s.
此时关闭引擎，t=60s，火箭推力为0时只受空气阻力与自身重力作用m1=300kg，所以加速度a===132.7931m/s2
火箭关闭引擎后（t>60）
=，转化为=
设=y（2），得微分方程组
=y（2），=（5）
求解过程，编写m文件如下：
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function act=wf(t，y) vspan=60：0.2：74；
act=zeros(2，1)； [t，y]=act（‘wf’，vspan，[13807 274]）；
act(1)=y(2)； 输出的结果：
act(2)=-[0.4904*y(2).^2/300+9.8] ans=1.0e+004*
在命令窗口中执行：
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Columns 1 through 10
………………
1.4604
0.0000
由输出的结果可知道:当t=70.2时，y(1)=14604，y(2)=0，即此时的速度v=0m/s；而且此时火箭达到最大高度。
所以火箭升到最大高度所花的总时间T=70.2s。关闭引擎后，火箭上升到最大高度H=14604m。至此，问题得到解决。
参考文献：
[1]阳明盛，熊西文.MATLAB基础及数学软件.大连：大连理工大学出版社，2003，8.
[2]夏玮,李朝晖.控制系统仿真与实例详解.北京：人民邮电出版社，2008，10.
[3]胡祥青.大学物理.北京：北京师范大学出版社，2005，5.