一、 填空（2分/空，共30分）
1. 对一个1Hz 的正弦波信号进行10Hz 抽样。请问该信号的连续角频率Ω是【2πrad/s】，圆频率ω是
【0.2πrad 】。
2. 假定信号的功率为P S , 噪声功率为P U , 若信噪比SNR=50d B，则P S 是P U 的【100 000】倍。
注：SNR=10lg(Ps/Pu)
3. 已知离散时间信号x(n)离散化时的抽样频率为f s 。请问x(n)的傅立叶变换(DTFT)以圆频率ω为自变量时，
其周期是【2π】；以频率f =f s ω/(2π) 为自变量时，其周期是【f s 】。
4. 已知数字滤波器的极零图，此时，若用此数字滤波器对一个信号进行滤波，可基于Matlab 中的两个函数
【filter 】和【 】来实现。
5. 要求离散信号中两个分量ω1和ω2在频域的主瓣完全不能混叠，那么，若加矩形窗的话，则窗长点数N 须
满足【N ≤4π/|w 2-w 1|】；若加汉宁窗的话，则窗长点数N 须满足【N ≤8π/|w 2-w 1|】。
6. 时间抽取基2FFT 算法，在序列点数N=1024时，乘法计算次数约是直接DFT 乘法计算次数的多少分之一
【205】。
7. 最小相位系统的零点分布特点是：【所有的零点都在单位圆内】；最大相位系统的零点分布特点是：【所
有零点都在单位圆外】；稳定系统的极点分布特点是：【极点都在单位圆内】。
8. 抽样信号x(n)的L 倍插值的一种方法是：先在x(n)每两个点之间补【L-1】个零，然后再对该信号作【低通
滤波处理】处理。
二、 选择题（16分）
1. 对两个不同频率的正弦波分别抽样，抽样产生的两个序列数值【（b ）】不相同。
（a ）必定 （b ）不一定
注：抽样频率不同，可能结果相同。
2. 关于离散白噪声信号的下列说法，哪些是正确的？【（a ）（b ）】
（a ）功率谱为一直线； （b ）不同时刻的相关值为0； （c ）一定服从正态分布
注：可以服从均匀分布，也可以服从高斯分布。
3. 定义了复数范数和内积的完备信号空间叫【（b ）】
（a ）欧式空间 （b ）Hilbert 空间
注：欧式空间是实数域上的定义。
4. 下面哪些方法可以提高序列频谱的计算分辨率：【（a ）（b ）】
（a ）序列尾部补0，增加FFT 长度 （b ）CZT （c ）AR 建模
5. 下面哪些滤波器的设计基于最小二乘法优化准则：【（b ）（c ）】
（a ）平滑滤波器 （b ）维纳滤波器 （c ）自适应滤波器 （d ）最佳一致逼近滤波器
6. 下面哪些变换不依赖于基函数的选取？【（d ）】
（a ）DFT （b ）DCT （c ）DST （d ）EMD
7. 乘性噪声可依靠下面哪些手段进行信噪分离：【（a ）】
（a ）同态滤波 （b ）复倒频 （c ）经典低通滤波器
8. 下面哪些方法主要用于多通道盲源信号分离：【（b ）】
（a ）主要分量分析(PCA) （b ）独立分量分析(ICA)
三、 判断（30分）：
1. （√）周期信号抽样后不一定还是周期信号。
2. （√）频率为f 的正弦波信号按抽样频率f s =2f 抽样，获得的序列不一定能重建原信号。
3. （×）离散时间信号x(n)的傅立叶变换(DTFT)不是周期函数。
4. （√）有系统y (n ) =ax (n ) +b ，其中a ，b 为非0常数，它不是线性系统。
5. （√）有系统y (n ) =x (-n ) ，它不是因果系统。
6. （×）有系统y (n ) =x 2(n ) ，它不是移不变系统。
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. （√）可以用自相关函数去检测信号的周期性。 （√）实序列x(n)的幅频响应为偶函数、相频响应为奇函数。 （√）一个经过加窗的有限时间序列，它的傅立叶变换一定是收敛的。 （√）由于时域加窗的原因，序列x(n)的频谱肯定会有一定混叠。 （×）FFT 时，通过给定序列后面增加0，可以提高频谱的物理分辨率。 （√）实序列通过Hilbert 变换获得的解析信号，其频谱在一个周期内不是镜像对应。 （×）K-L 变换和奇异值分解(SVD)不可以用于信号降噪。 ...........................
四、 简答题（12分）
1. 数字系统在什么情况下使用IIR 滤波器比FIR 滤波器更合适？简述设计一个IIR 数字滤波器的步骤。
答：从性能上来说，IIR 滤波器传递函数包括零点和极点两组可调因素，对极点的惟一限制是在单位圆内。因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存储单元少，计算量小，效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的。
在相同的技术指标下, IIR 滤波器由于存在着输出对输入的反馈，因而可用比 FIR 滤波器较少的阶数来满足指标的要求，这样一来所用的存储单元少，运算次数少，较为经济。
从设计上看， IIR 滤波器可以利用模拟滤波器设计的现成的闭合公式，数据和表格，因而计算工作量较小，对计算工具要求不高。FIR 滤波器则一般没有现成设计公式，窗函数法只给出窗函数的计算公式，但计算通带、阻带衰减仍无显示表达式。一般FIR 滤波器设计只有计算机程序可资利用，因而要借助于计算机。
在对相位要求不敏感的场合，如语言通信等，选用IIR 较为合适，这样可以充分发挥其经济高效的特点。
数字IIR 滤波器的设计步骤：
①. 将数字低通、高通、带通、带阻滤波器的技术指标转化为相应的模拟滤波器的技术指标
②. 将模拟低通、高通、带通、带阻滤波器的技术指标统一转化为模拟低通滤波器的技术指标
③. 根据该技术指标设计模拟低通原型滤波器G(p)
④. 按照一定规则转化为模拟低通、高通、带通、带阻滤波器的转移函数G(s)/H(s)
⑤. 再按一定规则转化为H(z)。
2. 数字系统在什么情况下使用FIR 滤波器比IIR 滤波器更合适？简述FIR 数字滤波器设计的窗函数法步骤。
答：FIR 滤波器传递函数的极点固定在原点，是不能动的，它只能靠改变零点位置来改变它的性能。所以要达到高的选择性，必须用较高的阶数；对于同样的滤波器设计指标，FIR 滤波器所要求的阶数可能比IIR 滤波器高5-10倍，结果，成本较高，信号延时也较大；如果按线性相位要求来说，则IIR 滤波器就必须加全通网络进行相位校正，同样要大大增加滤波器的阶数和复杂性。而FIR 滤波器却可以得到严格的线性相位。
FIR 滤波器，由于冲激响应是有限长的， 因而可以用快速傅里叶变换算法, 这样运算速度可以快得多，IIR 滤波器则不能这样运算。
FIR 滤波器只要采用非递归结构，不论在理论上还是在实际的有限精度运算中都不存在稳定性问题，因此造成的频率特性误差也较小。此外FIR 滤波器可以采用快速傅里叶变换算法，在相同阶数的条件下，运算速度可以快得多。
对于图像信号处理，数据传输等以波形携带信息的系统，则对线性相位要求较高。如果有条件，采
用FIR 滤波器较好。当然，在实际应用中可能还要考虑更多方面的因素。
窗函数设计法：
①. 利用欲求的理想滤波器的频率特性, 推导其单位抽样响应的解析表达式hd(n)。
②. 加窗截断获得h(n)：窗长、窗类型。 矩形窗、三角窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗。归一化。 ③. 检验特性，调整窗长和类型。
3. 什么情况下采用参数模型功率谱估计比经典功率谱估计更合适？简述AR 功率谱估计的步骤。
答：由第11章的讨论可知，经典功率谱估计方法的方差性能较差，分辨率较低。方差性能差的原因是无法实现功率谱密度原始定义中的求平均值和求极限的运算。分辨率低的原因，对周期图法是假定了数据窗以外的数据全为零，对自相关是假定了在延迟窗以外的自相关函数全为零。当然，这种假定是不符合实际的，正是由于这些不符合实际的假设产生了经典谱估计较差的分辨率。
五、 计算题（12分）
已知一离散时间系统y (n ) =x (n +1) /3+x (n ) /3+x (n -1) /3，系统的激励
回答下列问题：
1) 系统的单位抽样响应h (n ) ；
2) 系统频率响应（DTFT ）H (e j ωx (n ) ={1n =0,1,20其它。计算并) , 包括幅频响应和相频响应;
3) 系统是低通、带通、高通滤波器；
4) 系统的输出。
解：
1) 由y (n ) =x (n +1) /3+x (n ) /3+x (n -1) /3，等式两边去Z 变换得：
111Y(z ) =z X(z )+X(z )+z -1X(z ) 333
整理后求得系统传输函数为：
H(z ) =Y (z ) 11=(z +1+) ，ROC ：0
取逆z 变换得到单位抽样响应为：
1h (n ) =[δ(n +1) +δ(n ) +δ(n -1)] 3
2) H (e j ω) =1-j ωn j ω-j ωh (n ) e =h (-1) e +h (0) +h (1) e =(1+2cos ω) ∑3n =0
(1+2cos ω)/3， -2π/3
-(1+2cos ω)/3， 2π/3
ϕ(ω) ={
4) 低通滤波器
5) 0, -2π/3
一、 填空（2分/空，共30分）
1. 对一个1Hz 的正弦波信号进行10Hz 抽样。请问该信号的连续角频率Ω是【2πrad/s】，圆频率ω是
【0.2πrad 】。
2. 假定信号的功率为P S , 噪声功率为P U , 若信噪比SNR=50d B，则P S 是P U 的【100 000】倍。
注：SNR=10lg(Ps/Pu)
3. 已知离散时间信号x(n)离散化时的抽样频率为f s 。请问x(n)的傅立叶变换(DTFT)以圆频率ω为自变量时，
其周期是【2π】；以频率f =f s ω/(2π) 为自变量时，其周期是【f s 】。
4. 已知数字滤波器的极零图，此时，若用此数字滤波器对一个信号进行滤波，可基于Matlab 中的两个函数
【filter 】和【 】来实现。
5. 要求离散信号中两个分量ω1和ω2在频域的主瓣完全不能混叠，那么，若加矩形窗的话，则窗长点数N 须
满足【N ≤4π/|w 2-w 1|】；若加汉宁窗的话，则窗长点数N 须满足【N ≤8π/|w 2-w 1|】。
6. 时间抽取基2FFT 算法，在序列点数N=1024时，乘法计算次数约是直接DFT 乘法计算次数的多少分之一
【205】。
7. 最小相位系统的零点分布特点是：【所有的零点都在单位圆内】；最大相位系统的零点分布特点是：【所
有零点都在单位圆外】；稳定系统的极点分布特点是：【极点都在单位圆内】。
8. 抽样信号x(n)的L 倍插值的一种方法是：先在x(n)每两个点之间补【L-1】个零，然后再对该信号作【低通
滤波处理】处理。
二、 选择题（16分）
1. 对两个不同频率的正弦波分别抽样，抽样产生的两个序列数值【（b ）】不相同。
（a ）必定 （b ）不一定
注：抽样频率不同，可能结果相同。
2. 关于离散白噪声信号的下列说法，哪些是正确的？【（a ）（b ）】
（a ）功率谱为一直线； （b ）不同时刻的相关值为0； （c ）一定服从正态分布
注：可以服从均匀分布，也可以服从高斯分布。
3. 定义了复数范数和内积的完备信号空间叫【（b ）】
（a ）欧式空间 （b ）Hilbert 空间
注：欧式空间是实数域上的定义。
4. 下面哪些方法可以提高序列频谱的计算分辨率：【（a ）（b ）】
（a ）序列尾部补0，增加FFT 长度 （b ）CZT （c ）AR 建模
5. 下面哪些滤波器的设计基于最小二乘法优化准则：【（b ）（c ）】
（a ）平滑滤波器 （b ）维纳滤波器 （c ）自适应滤波器 （d ）最佳一致逼近滤波器
6. 下面哪些变换不依赖于基函数的选取？【（d ）】
（a ）DFT （b ）DCT （c ）DST （d ）EMD
7. 乘性噪声可依靠下面哪些手段进行信噪分离：【（a ）】
（a ）同态滤波 （b ）复倒频 （c ）经典低通滤波器
8. 下面哪些方法主要用于多通道盲源信号分离：【（b ）】
（a ）主要分量分析(PCA) （b ）独立分量分析(ICA)
三、 判断（30分）：
1. （√）周期信号抽样后不一定还是周期信号。
2. （√）频率为f 的正弦波信号按抽样频率f s =2f 抽样，获得的序列不一定能重建原信号。
3. （×）离散时间信号x(n)的傅立叶变换(DTFT)不是周期函数。
4. （√）有系统y (n ) =ax (n ) +b ，其中a ，b 为非0常数，它不是线性系统。
5. （√）有系统y (n ) =x (-n ) ，它不是因果系统。
6. （×）有系统y (n ) =x 2(n ) ，它不是移不变系统。
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. （√）可以用自相关函数去检测信号的周期性。 （√）实序列x(n)的幅频响应为偶函数、相频响应为奇函数。 （√）一个经过加窗的有限时间序列，它的傅立叶变换一定是收敛的。 （√）由于时域加窗的原因，序列x(n)的频谱肯定会有一定混叠。 （×）FFT 时，通过给定序列后面增加0，可以提高频谱的物理分辨率。 （√）实序列通过Hilbert 变换获得的解析信号，其频谱在一个周期内不是镜像对应。 （×）K-L 变换和奇异值分解(SVD)不可以用于信号降噪。 ...........................
四、 简答题（12分）
1. 数字系统在什么情况下使用IIR 滤波器比FIR 滤波器更合适？简述设计一个IIR 数字滤波器的步骤。
答：从性能上来说，IIR 滤波器传递函数包括零点和极点两组可调因素，对极点的惟一限制是在单位圆内。因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存储单元少，计算量小，效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的。
在相同的技术指标下, IIR 滤波器由于存在着输出对输入的反馈，因而可用比 FIR 滤波器较少的阶数来满足指标的要求，这样一来所用的存储单元少，运算次数少，较为经济。
从设计上看， IIR 滤波器可以利用模拟滤波器设计的现成的闭合公式，数据和表格，因而计算工作量较小，对计算工具要求不高。FIR 滤波器则一般没有现成设计公式，窗函数法只给出窗函数的计算公式，但计算通带、阻带衰减仍无显示表达式。一般FIR 滤波器设计只有计算机程序可资利用，因而要借助于计算机。
在对相位要求不敏感的场合，如语言通信等，选用IIR 较为合适，这样可以充分发挥其经济高效的特点。
数字IIR 滤波器的设计步骤：
①. 将数字低通、高通、带通、带阻滤波器的技术指标转化为相应的模拟滤波器的技术指标
②. 将模拟低通、高通、带通、带阻滤波器的技术指标统一转化为模拟低通滤波器的技术指标
③. 根据该技术指标设计模拟低通原型滤波器G(p)
④. 按照一定规则转化为模拟低通、高通、带通、带阻滤波器的转移函数G(s)/H(s)
⑤. 再按一定规则转化为H(z)。
2. 数字系统在什么情况下使用FIR 滤波器比IIR 滤波器更合适？简述FIR 数字滤波器设计的窗函数法步骤。
答：FIR 滤波器传递函数的极点固定在原点，是不能动的，它只能靠改变零点位置来改变它的性能。所以要达到高的选择性，必须用较高的阶数；对于同样的滤波器设计指标，FIR 滤波器所要求的阶数可能比IIR 滤波器高5-10倍，结果，成本较高，信号延时也较大；如果按线性相位要求来说，则IIR 滤波器就必须加全通网络进行相位校正，同样要大大增加滤波器的阶数和复杂性。而FIR 滤波器却可以得到严格的线性相位。
FIR 滤波器，由于冲激响应是有限长的， 因而可以用快速傅里叶变换算法, 这样运算速度可以快得多，IIR 滤波器则不能这样运算。
FIR 滤波器只要采用非递归结构，不论在理论上还是在实际的有限精度运算中都不存在稳定性问题，因此造成的频率特性误差也较小。此外FIR 滤波器可以采用快速傅里叶变换算法，在相同阶数的条件下，运算速度可以快得多。
对于图像信号处理，数据传输等以波形携带信息的系统，则对线性相位要求较高。如果有条件，采
用FIR 滤波器较好。当然，在实际应用中可能还要考虑更多方面的因素。
窗函数设计法：
①. 利用欲求的理想滤波器的频率特性, 推导其单位抽样响应的解析表达式hd(n)。
②. 加窗截断获得h(n)：窗长、窗类型。 矩形窗、三角窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗。归一化。 ③. 检验特性，调整窗长和类型。
3. 什么情况下采用参数模型功率谱估计比经典功率谱估计更合适？简述AR 功率谱估计的步骤。
答：由第11章的讨论可知，经典功率谱估计方法的方差性能较差，分辨率较低。方差性能差的原因是无法实现功率谱密度原始定义中的求平均值和求极限的运算。分辨率低的原因，对周期图法是假定了数据窗以外的数据全为零，对自相关是假定了在延迟窗以外的自相关函数全为零。当然，这种假定是不符合实际的，正是由于这些不符合实际的假设产生了经典谱估计较差的分辨率。
五、 计算题（12分）
已知一离散时间系统y (n ) =x (n +1) /3+x (n ) /3+x (n -1) /3，系统的激励
回答下列问题：
1) 系统的单位抽样响应h (n ) ；
2) 系统频率响应（DTFT ）H (e j ωx (n ) ={1n =0,1,20其它。计算并) , 包括幅频响应和相频响应;
3) 系统是低通、带通、高通滤波器；
4) 系统的输出。
解：
1) 由y (n ) =x (n +1) /3+x (n ) /3+x (n -1) /3，等式两边去Z 变换得：
111Y(z ) =z X(z )+X(z )+z -1X(z ) 333
整理后求得系统传输函数为：
H(z ) =Y (z ) 11=(z +1+) ，ROC ：0
取逆z 变换得到单位抽样响应为：
1h (n ) =[δ(n +1) +δ(n ) +δ(n -1)] 3
2) H (e j ω) =1-j ωn j ω-j ωh (n ) e =h (-1) e +h (0) +h (1) e =(1+2cos ω) ∑3n =0
(1+2cos ω)/3， -2π/3
-(1+2cos ω)/3， 2π/3
ϕ(ω) ={
4) 低通滤波器
5) 0, -2π/3