《空间向量基本定理》教案 湘潭县第五中学 黄伟林
一、教材分析：
1．教材的地位和作用
空间向量基本定理是立体几何重要的定理之一，为向量的运算中向量的线性表示提供了理论依据，也是后面学习空间向量的计算和证明的基础。
2．重点、难点分析
重点：空间向量基本定理及其推论
难点：运用空间作图证明空间向量基本定理
二、目标分析
1、知识目标：
掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向
量唯一线性表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底表示其它向量。
2、技能目标：
渗透数形结合的基本数学思想方法；培养学生观察、类比、猜想和归纳的能力。
3、情感目标：
培养学生分工合作的能力；通过互动教学促进师生的情感交流，激发学生的学习兴
趣；提高学生的抽象、概括、分析和综合能力。
三、过程分析
1．情景设置
问题1．试叙述平面向量的基本定理；
答：平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，
那么对于平面内任一向量a ，有且只有一对实数λ1, λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2
把不共线的向量
e 1、e 2叫做这个平面内所以向量的一组基底。
问题2．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1=a ，
A 1D 1=b ，A 1=c ，则下列向量中与B 1相等的向量是（ A ）
1111
A ．-a+b +c B ．a+b +c A 2222
C ．
D
C
1111
a-b +c D ．-a-b +c 2222
A 1
D 1
C 1
设计目的：①为学生总结空间向量基本定理做铺垫。②引导学生猜想空间任一
向量也可以用三个不共面的向量线性表示。③导入新课。
2．组织探究
探究离不开问题，问题教学有赖于教师对问题情景的创设，以及问题的呈现方式。 依据学生的认知规律，设计了以下问题：
问题3．已知空间三个向量a 、b 、c 不共面，对空间零向量p ，是否存在唯一的有
序实数组x 、y 、z ，使p =xa +yb +zc ？
解：存在唯一的有序实数组0、0、0，使p =0a +0b +0c
问题4．已知空间三个向量a 、b 、c 不共面，对空间任一与向量a 共线的向量p ，是否存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使p =xa +yb +zc ？
解：存在唯一的有序实数组x 、0、0，使p =xa +0b +0c
问题5．已知空间三个向量a 、b 、c 不共面，对空间任一与向量a 、b 共面的向量p ，是存在有唯一的有序实数组x 、y 、z ，使p =xa +yb +zc ？
解：存在有唯一的有序实数组x 、y 、0，使p =xa +yb +0c
问题6．已知空间三个向量a 、b 、c 不共面，对空间任一向量p ，是否存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使p =xa +yb +zc ？并说明理由？
解：存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使p =xa +yb +zc
设a 、b 、c 不共面，过O 作=a ，= b，=c ，=p ；
过点P 作直线PP`平行OC ，交平面OAB 于点P`；
在平面OAB 内，过P`作直线P`A`∥OB ，P`B`∥OA ， 分别与直线OA ，OB 相交于点A '、B '。 于是存在三个实数x 、y 、z ，
使O =x= x a，O B =y=yb ，P P ∴=O +O B +P P = x+ y= x a+ yb + z c ∴ p = x a+ yb + z c
注：唯一性的证明教学大纲不做要求，有兴趣的同学课后可以自己证明。（提示：反证法） 操作程序：
学生大约6人分为一组，组内分工合作，作出空间图形。教师下组指导并搜集信息，然后从一组选一代表上台展示探究结果。教师根据学生探究的实际情况加以引导和启发。
3．探索发现：
① 空间向量基本定理 ： 如果空间三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任意向量p ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z 使p =xa +yb +zc 。
基底：｛a ，b ，c ｝ 基向量：a 、b 、c
② 推论 ： 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组x ，y ，z ，使OP =xOA +yOB +zOC 。
4．尝试练习
问题7．已知空间四边行OABC ，其中对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG=2GN（如图），用基向量OA 、OB 、OC
表示OG 。
操作程序：一名学生上台尝试，集体评议。 解： =+=+ =
2
3
21
+（-）
32
2111
=+［（OB +OC ）-OA ］
3222111
=++
633
A
C
题后感悟：用已知向量表示未知向量时，要数形结合，以图形为指导，利用向量
的加法、减法、数乘向量等的意义，将所涉及的向量转化为符合最终目标要求的向量。 变式练习：
问题8．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求证：AC 1 =操作程序：一名学生上台尝试，集体评议。
证明： 平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的各个面都是平行四边形。 ∴AB 1=+1，AD 1+，AC =+， 1= ∴+AB 1+1=2（++， 1） CC 1=1，
∴ AC 1=+CC 1=++1 =
A 1
D 1
C 1
B 1
1
（+AB 1+AD 1） 2
A
C
1
（AC +AB 1+AD 1） 2
题后感悟：空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，且空间任一向量在给定的基底下，其表示形式是唯一确定的。
5．总结提炼
1、空间向量基本定理及其推论。
2、空间任意三个不共面的向量均可构成空间的一个基底。 3、在运用基向量表示空间的任一向量时，
四、教法、学法分析
（1）、教法分析
课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动的发现问题解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则。根据这样的原则及所要完成的教学目标，采用如下的教学方法和手段：
教学方法：启发式和讨论式相结合的教学方法。
--以“问”之方式来启发学生深思； --以“变”之方式来诱导学生灵活善变； --以“梳”之方式来引导学生归纳总结
教学手段：利用多媒体等教学手段。
（2）、学法指导
在实际教学中，根据学生对问题的感受程度不同，对学生进行针对性的学法指导。主要运用引导、启发等隐性形式来影响学生。提供机会让学生去想、去做，让学生自己动手、参与教学过程、发现问题、讨论问题，在学生解决问题的过程中，适时的启发鼓励学生去新发现。把教材创新、教法创新以及学法创新有机地统一起来。在空间向量基本定理引入上，变课本上的“直接给出定理”为“实验——猜想——操作——定义归纳”，也就是变封闭的、逻辑演绎体系为开放的、探索性的发现过程。另外，引入的过程中从学生原有的经验出发，从具体到抽象，引到学生类比发现空间向量基本定理。教师通过创设问题情境，引导学生逐步发现知识的形成过程，使教学活动真正建立在学生自主活动和探索的基础上，着力培养学生的创新能力。
《空间向量基本定理》教案 湘潭县第五中学 黄伟林
一、教材分析：
1．教材的地位和作用
空间向量基本定理是立体几何重要的定理之一，为向量的运算中向量的线性表示提供了理论依据，也是后面学习空间向量的计算和证明的基础。
2．重点、难点分析
重点：空间向量基本定理及其推论
难点：运用空间作图证明空间向量基本定理
二、目标分析
1、知识目标：
掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向
量唯一线性表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底表示其它向量。
2、技能目标：
渗透数形结合的基本数学思想方法；培养学生观察、类比、猜想和归纳的能力。
3、情感目标：
培养学生分工合作的能力；通过互动教学促进师生的情感交流，激发学生的学习兴
趣；提高学生的抽象、概括、分析和综合能力。
三、过程分析
1．情景设置
问题1．试叙述平面向量的基本定理；
答：平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，
那么对于平面内任一向量a ，有且只有一对实数λ1, λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2
把不共线的向量
e 1、e 2叫做这个平面内所以向量的一组基底。
问题2．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1=a ，
A 1D 1=b ，A 1=c ，则下列向量中与B 1相等的向量是（ A ）
1111
A ．-a+b +c B ．a+b +c A 2222
C ．
D
C
1111
a-b +c D ．-a-b +c 2222
A 1
D 1
C 1
设计目的：①为学生总结空间向量基本定理做铺垫。②引导学生猜想空间任一
向量也可以用三个不共面的向量线性表示。③导入新课。
2．组织探究
探究离不开问题，问题教学有赖于教师对问题情景的创设，以及问题的呈现方式。 依据学生的认知规律，设计了以下问题：
问题3．已知空间三个向量a 、b 、c 不共面，对空间零向量p ，是否存在唯一的有
序实数组x 、y 、z ，使p =xa +yb +zc ？
解：存在唯一的有序实数组0、0、0，使p =0a +0b +0c
问题4．已知空间三个向量a 、b 、c 不共面，对空间任一与向量a 共线的向量p ，是否存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使p =xa +yb +zc ？
解：存在唯一的有序实数组x 、0、0，使p =xa +0b +0c
问题5．已知空间三个向量a 、b 、c 不共面，对空间任一与向量a 、b 共面的向量p ，是存在有唯一的有序实数组x 、y 、z ，使p =xa +yb +zc ？
解：存在有唯一的有序实数组x 、y 、0，使p =xa +yb +0c
问题6．已知空间三个向量a 、b 、c 不共面，对空间任一向量p ，是否存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使p =xa +yb +zc ？并说明理由？
解：存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使p =xa +yb +zc
设a 、b 、c 不共面，过O 作=a ，= b，=c ，=p ；
过点P 作直线PP`平行OC ，交平面OAB 于点P`；
在平面OAB 内，过P`作直线P`A`∥OB ，P`B`∥OA ， 分别与直线OA ，OB 相交于点A '、B '。 于是存在三个实数x 、y 、z ，
使O =x= x a，O B =y=yb ，P P ∴=O +O B +P P = x+ y= x a+ yb + z c ∴ p = x a+ yb + z c
注：唯一性的证明教学大纲不做要求，有兴趣的同学课后可以自己证明。（提示：反证法） 操作程序：
学生大约6人分为一组，组内分工合作，作出空间图形。教师下组指导并搜集信息，然后从一组选一代表上台展示探究结果。教师根据学生探究的实际情况加以引导和启发。
3．探索发现：
① 空间向量基本定理 ： 如果空间三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任意向量p ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z 使p =xa +yb +zc 。
基底：｛a ，b ，c ｝ 基向量：a 、b 、c
② 推论 ： 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组x ，y ，z ，使OP =xOA +yOB +zOC 。
4．尝试练习
问题7．已知空间四边行OABC ，其中对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG=2GN（如图），用基向量OA 、OB 、OC
表示OG 。
操作程序：一名学生上台尝试，集体评议。 解： =+=+ =
2
3
21
+（-）
32
2111
=+［（OB +OC ）-OA ］
3222111
=++
633
A
C
题后感悟：用已知向量表示未知向量时，要数形结合，以图形为指导，利用向量
的加法、减法、数乘向量等的意义，将所涉及的向量转化为符合最终目标要求的向量。 变式练习：
问题8．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求证：AC 1 =操作程序：一名学生上台尝试，集体评议。
证明： 平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的各个面都是平行四边形。 ∴AB 1=+1，AD 1+，AC =+， 1= ∴+AB 1+1=2（++， 1） CC 1=1，
∴ AC 1=+CC 1=++1 =
A 1
D 1
C 1
B 1
1
（+AB 1+AD 1） 2
A
C
1
（AC +AB 1+AD 1） 2
题后感悟：空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，且空间任一向量在给定的基底下，其表示形式是唯一确定的。
5．总结提炼
1、空间向量基本定理及其推论。
2、空间任意三个不共面的向量均可构成空间的一个基底。 3、在运用基向量表示空间的任一向量时，
四、教法、学法分析
（1）、教法分析
课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动的发现问题解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则。根据这样的原则及所要完成的教学目标，采用如下的教学方法和手段：
教学方法：启发式和讨论式相结合的教学方法。
--以“问”之方式来启发学生深思； --以“变”之方式来诱导学生灵活善变； --以“梳”之方式来引导学生归纳总结
教学手段：利用多媒体等教学手段。
（2）、学法指导
在实际教学中，根据学生对问题的感受程度不同，对学生进行针对性的学法指导。主要运用引导、启发等隐性形式来影响学生。提供机会让学生去想、去做，让学生自己动手、参与教学过程、发现问题、讨论问题，在学生解决问题的过程中，适时的启发鼓励学生去新发现。把教材创新、教法创新以及学法创新有机地统一起来。在空间向量基本定理引入上，变课本上的“直接给出定理”为“实验——猜想——操作——定义归纳”，也就是变封闭的、逻辑演绎体系为开放的、探索性的发现过程。另外，引入的过程中从学生原有的经验出发，从具体到抽象，引到学生类比发现空间向量基本定理。教师通过创设问题情境，引导学生逐步发现知识的形成过程，使教学活动真正建立在学生自主活动和探索的基础上，着力培养学生的创新能力。