PROCEEDINGS,Annual RELIABILITY and MAINTAINABILITY Symposium（1996）
可靠性数据分析的计算方法
Gordon Johnston, SAS Institute Inc., Cary
关键词：寿命数据分析 加速试验 修复数据分析 软件工具
摘要&结论
许多从事组件和系统可靠度研究的专业人员并没有意识到，通过廉价的台式电脑的普及使用，很多用于可靠度分析的功能强大的统计工具已经用于实践中。软件的计算功能还可以将复杂的计算统计和图形技术应用于可靠度分析问题。这大大的便利了工业统计学家和可靠性工程师，他们可以将这些灵活精确的方法应用于在可靠度分析时所遇到的许多不同类型的数据。
在本文中，我们在SAS@系统中将一些最有用的统计数据和图形技术应用到例子的当中，这些例子主要包涵了寿命数据，加速试验数据，以及可修复系统中的数据。随着越来越多的人意识到创新性软件在可靠性数据分析中解决问题的需要，毫无疑问，计算密集型技术在可靠性数据分析中的应用的趋势将会继续扩大。 1. 介绍
本文探讨了人们在可靠性数据分析普遍遇到的三个方面：
寿命数据分析 试验加速数据分析 可修复系统数据的分析 在上述各领域，图形和分析的统计方法已被开发用于探索性数据分析，可靠性预测，并用于比较不同的设计系统，供应商等的可靠性性能。
为了体现将现代统计方法用于结合使用高分辨率图形的使用价值，在下面的章节中图形和统计方法将被应用于含有上述三个方面的可靠性数据的例子中。
2. 寿命数据分析
概率统计图的寿命数据分析中使
用的最常见的图形工具之一。Weibull 图是最常见的使用可靠性的概率图的类型，但是当Weibull 概率分布并不符合实际数据的时候，类似于对数正态分布和指数分布这一类的概率图在寿命数据分析中也能够起到帮助。
在许多情况下，可用的数据不仅包含故障时间，但也包含在分析时没有发生故障的单位的运行时间。在某些情况下，只能够知道两次故障发生之间的时间间隔。例如，在测试大量的电子元件时，如果记录每一个发生故障的元件的故障时间，那么这可能不经济。相反，在固定的时间间隔内检查这些电子元件，并在每个时间间隔内记录下故障的数量。概率图，可以构建右删失，间隔删失这两种不完整数据的类型，在这两种类型中所有
的元件都有相同的检测时间间隔。
通常，这些概率图都是通过计算绘制位置来构造，并且将它们绘制在专业的可靠度论文上。这是一项繁琐而耗时的过程。Hazard 图含有类似的信息和更容易绘制，但手工绘制这些图仍然是耗时的。利用计算机程序绘制概率图可以更快速，更精准。而且它也更容易与不同的概率分布和模型，从而提高结果的准确性。
Nelson 在下文给出了柴油发动机风扇装置出现故障的例子。在观测的70个风扇单元中，在进行数据分析时有12个发生了故障。其他的能够正常工作，分析的目的是为了预测在8000
个小时的保修期内故障的发生率。图1显示了风扇数据的Weibull 概率分布图。
上图所标示的点代表一个风扇的寿命数据的概率分布函数的估计值。由于图像是呈Weibull 分布，所以当所标示的点大致呈直线分布的时候，那么Weibull 概率分布就能与观测数据大致吻合。在这种情况下，Weibull 分布比较适用。顶端的点代表没有发生故障的风扇的检查时间和运行时间
在图中的位置。
图1发动机风扇数据的Weibull 概率分布图
确定了Weibull 概率分布与数据完全拟合之后，下一步就是进行分布参数的估计。许多统计学家和工程师更倾向于用最大似然法来估计参数。
最大似然法涉及数似然函数的最大化。
这是一个计算密集型程序，并且在没有计算机程序时难以执行，除非
在某些特殊情况下。这个软件还可进行分布参数、可靠度函数以及分布百分比的最大似然估计。 最大似然方法有以下几个优点：
1. 它提供了具有良好的统计特性的客观估计值（参考文献1）
2. 它提供常见性的错误，这有利于评估参数估计和相关的概率分布百分比和可靠性函数估计的精确性。
3. 它适用于任何数据类型的组合。
4. 它适用于任何概率分布 对于发动机风扇的数据，最大似然Weibull 的规模和形状参数估计如图1的插图所示。实直线代表拟合的Weibull 分布，实曲线代表拟合的Weibull 分布的95%置信区间。由于分析的目的是预测未来在8000小时的保修期内会失效的部件的概率，所以在8000小时的时间范围内绘制了一条参考线。这使得预测在8000小时内发生失效的概率更容易在Y 轴上读取约25%。相同的信息可以用表格的形式表达，但是通过拟合线将用于报告或演示的所需的信息和结果表示在图上是显示数据的一种简便方法。
3. 加速寿命试验模型
产品在设计的温度，荷载，电压，或其他应力的水平上操作时，可能有很长的寿命。加速试验主要是对产品进行过度加载，让产品快速产生故障，然后收集可靠度信息。统计模型已应用于许多类型的产品加速寿命试验分析，并用来显示产品可靠度和应力之间的关系。最大似然法通常用于拟合结合了加速试验的统计模型因为这类方法可用于多种模型和数据类型。除了分析方法，利用图形的方法也可用于显示数据，评估模型拟合程度，显示拟合的模型。这些都是计算密集型的程序，并且需要专业软件来完成它们。
在下面改编自Nelson 的例子中，在电力变压器绝缘液体中做加速寿命试验来显示电压和时间之间的关系。在图2中并列的显示了两张图，用于显示加速寿命试验的数据和分析结果。
图2. 绝缘液体数据的Weibull 分布图和关系图
数据的Weibull 概率图绘制在左侧，不同的电压等级对应不同的标准。每条对电压的拟合线代表拟合的统计模型。对于所有电压等级，模型都有相等的Weibull 形状参数，在这种情况下，它是拟合的。这表现为在Weibull 图上的平行拟合线。相同形状的模型的拟合度可以直观的从图2的绘图中进行评估。尽管没有显示出来，但结合利用计算机程序的最大似然拟合可以让你轻松的完成平行线假设的统计检验。
关于数据和拟合关系的曲线图绘制在图2右侧。在这种情况下，寿命与电源能量有关。当在日志记录表上绘制时，关系图是一条直线。例如，在中间的直线代表拟合关系的中位数（第五十百分位）。你可以利用这张图去推断在任何所需压力值下的寿命中点。为了保证关系图的完整性，还绘
制了第10位和第90位的百分比。
其他的相关曲线可以很容易的绘制出来，例如Arrhenius 这类寿命与绝对温度呈倒数的关系。像温度和电压这类模型，因为它们的寿命不仅仅只与某一个应力向量有关，所以这类模型也比较容易绘制。同时，上述这些模型也可以很容易与最大似然法拟合。
4. 可修复系统
可修复系统就是在故障发生的状态下能还原和修复的系统。在可修复系统中，发生故障之间的时间不一定都具有相同的统计特性。例如，平均故障间隔时间可能会随时间变化。作为一个可修系统应用广泛的时代，它累计需要维修的次数和修理费用。修复数据分析不同于平常的数据分析，在修复数据分析中元件只能发生一次故障。
Nelson （注释4）和Doganoksoy
（注释5）提出了一个为维修或可修复系统的样本维修记录的维修成本估算平均累计函数（MCF ）的方法。他们还给出了为平均累计函数计算置信区间的方法。MCF M(t)定义为t 时每个维修系统的累积数的总体均值。MCF 对系统样本的估计可以帮助可靠度工作者确定在某一时期的修复率，在预测数量或未来维修的成本和不同设计的两个系统的维修记录的比较、生产批次或供应商这些条件下修复率是否随时间增加或减少。
这类估计MCF 和相关置信区间的方法是计算密集型的，需要特殊的软件。该方法在修复过程中并不假定任何基本结构。在参数化模型的修复过程中，需要进行大量复杂的工作，而这些工作需要进行更多的假设条件。例如，维修的过程有时是以非齐次泊
松方程建模的。SAS 软件的当前版本不包括这种类型的参数化建模，虽然它是为将来的发行版规划的。绘制MCF 图形可能会成为建立修复过程模型的第一步，但在许多情况下，它将会在没有进一步的分析的情况下提供所需的答案。Nelson 给出了一个车队里41台柴油发动机的维修记录。这些发动机的阀座磨损的很严重，不得不进行更换。图3显示了估计的MCF 和置信极限随着系统的运行天数的变化。维修记录的终点绘制在图中的最顶部。除了最后的几点，图像基本是一条直线，这表明它在不断的更换率。例如，图中显示，在第一个600天的运行期内，有大约1个元件需要进行维修。未来更换阀座的数量，可以通过这种情况下的直线预测。
图3. 维修次数的平均累计函数
Doganaksoy 和Nelson 展示了如何将来自两个抽样样本的MCFs 的差异用于比较这两个样本。他们举出了一个例子，这个例子所采用的两个样本是来自不同生产批次的机车制动系统。图4显示了制动电网数据的MCF 的差函数，以及差函数的置信界限。这两
个样本有明显的不同，因为某些时刻置信界限不包括0。由于在大多数的寿命范围内MCF 的差异是消极的，样本1的平均累计函数比样本2更小，这表明样本2有维修记录比样本1更差。可靠度工程师们就能够确定的维修记录更差的原因及解决问题的办法。
图4. 机车制动网络数据的平均累计函数的差异
参考文献
[1] Nelson,W.(1982),Applied Life Data
[5] Nelson,W.and Doganaksoy,N.(1989),“A
Analysis,New York:John Wiley&Sons.
[2]
Computer Program for an Estimate and Confidence Limits for the Mean Cumulative Function for Cost or Number of Repairs of Repairable &Development 89CRD239
[6] Doganaksoy,N.and Nelson,W.(1991),“A
Nelson,W.(1990),Accelerated
Tobias,P.A.and
Testing,New York:John Wiley&Sons.
[3]
Products,”GE Center
TIS
Research Report
Trindade,D.C.(1995),Applied
Reliabilify,2nd ed. New York: Van Nostrand Reinhold.
[4] Nelson,W.(1995),Confidence Limits for
Method and Computer Program MCFDIFF to Compare Two Samples of Repair Data”GE Research & Development Center TIS Report 91CRD172
Recurrence Data-Applied to Cost or Number of Product Repairs,Technometrics,V ol.37, No.2
[7]
Ascher,H.and
Systems
Reliabilify,Marcel Dekker,Inc.New York 147-157.
Feingold,H.(1984),Repairable 传记
Gordon Johnston是SAS 研究所的线性模型和统计质量提高R ＆D 组的研究员。他的专业领域包括广义线性模型，可靠性和生存分析。Gordon 获得了North Carolina大学的统计学博士学位，并获得Aubum 大学的电气工程的硕士学位。他已经在SAS 软件研发方面工作了五年。
PROCEEDINGS,Annual RELIABILITY and MAINTAINABILITY Symposium（1996）
可靠性数据分析的计算方法
Gordon Johnston, SAS Institute Inc., Cary
关键词：寿命数据分析 加速试验 修复数据分析 软件工具
摘要&结论
许多从事组件和系统可靠度研究的专业人员并没有意识到，通过廉价的台式电脑的普及使用，很多用于可靠度分析的功能强大的统计工具已经用于实践中。软件的计算功能还可以将复杂的计算统计和图形技术应用于可靠度分析问题。这大大的便利了工业统计学家和可靠性工程师，他们可以将这些灵活精确的方法应用于在可靠度分析时所遇到的许多不同类型的数据。
在本文中，我们在SAS@系统中将一些最有用的统计数据和图形技术应用到例子的当中，这些例子主要包涵了寿命数据，加速试验数据，以及可修复系统中的数据。随着越来越多的人意识到创新性软件在可靠性数据分析中解决问题的需要，毫无疑问，计算密集型技术在可靠性数据分析中的应用的趋势将会继续扩大。 1. 介绍
本文探讨了人们在可靠性数据分析普遍遇到的三个方面：
寿命数据分析 试验加速数据分析 可修复系统数据的分析 在上述各领域，图形和分析的统计方法已被开发用于探索性数据分析，可靠性预测，并用于比较不同的设计系统，供应商等的可靠性性能。
为了体现将现代统计方法用于结合使用高分辨率图形的使用价值，在下面的章节中图形和统计方法将被应用于含有上述三个方面的可靠性数据的例子中。
2. 寿命数据分析
概率统计图的寿命数据分析中使
用的最常见的图形工具之一。Weibull 图是最常见的使用可靠性的概率图的类型，但是当Weibull 概率分布并不符合实际数据的时候，类似于对数正态分布和指数分布这一类的概率图在寿命数据分析中也能够起到帮助。
在许多情况下，可用的数据不仅包含故障时间，但也包含在分析时没有发生故障的单位的运行时间。在某些情况下，只能够知道两次故障发生之间的时间间隔。例如，在测试大量的电子元件时，如果记录每一个发生故障的元件的故障时间，那么这可能不经济。相反，在固定的时间间隔内检查这些电子元件，并在每个时间间隔内记录下故障的数量。概率图，可以构建右删失，间隔删失这两种不完整数据的类型，在这两种类型中所有
的元件都有相同的检测时间间隔。
通常，这些概率图都是通过计算绘制位置来构造，并且将它们绘制在专业的可靠度论文上。这是一项繁琐而耗时的过程。Hazard 图含有类似的信息和更容易绘制，但手工绘制这些图仍然是耗时的。利用计算机程序绘制概率图可以更快速，更精准。而且它也更容易与不同的概率分布和模型，从而提高结果的准确性。
Nelson 在下文给出了柴油发动机风扇装置出现故障的例子。在观测的70个风扇单元中，在进行数据分析时有12个发生了故障。其他的能够正常工作，分析的目的是为了预测在8000
个小时的保修期内故障的发生率。图1显示了风扇数据的Weibull 概率分布图。
上图所标示的点代表一个风扇的寿命数据的概率分布函数的估计值。由于图像是呈Weibull 分布，所以当所标示的点大致呈直线分布的时候，那么Weibull 概率分布就能与观测数据大致吻合。在这种情况下，Weibull 分布比较适用。顶端的点代表没有发生故障的风扇的检查时间和运行时间
在图中的位置。
图1发动机风扇数据的Weibull 概率分布图
确定了Weibull 概率分布与数据完全拟合之后，下一步就是进行分布参数的估计。许多统计学家和工程师更倾向于用最大似然法来估计参数。
最大似然法涉及数似然函数的最大化。
这是一个计算密集型程序，并且在没有计算机程序时难以执行，除非
在某些特殊情况下。这个软件还可进行分布参数、可靠度函数以及分布百分比的最大似然估计。 最大似然方法有以下几个优点：
1. 它提供了具有良好的统计特性的客观估计值（参考文献1）
2. 它提供常见性的错误，这有利于评估参数估计和相关的概率分布百分比和可靠性函数估计的精确性。
3. 它适用于任何数据类型的组合。
4. 它适用于任何概率分布 对于发动机风扇的数据，最大似然Weibull 的规模和形状参数估计如图1的插图所示。实直线代表拟合的Weibull 分布，实曲线代表拟合的Weibull 分布的95%置信区间。由于分析的目的是预测未来在8000小时的保修期内会失效的部件的概率，所以在8000小时的时间范围内绘制了一条参考线。这使得预测在8000小时内发生失效的概率更容易在Y 轴上读取约25%。相同的信息可以用表格的形式表达，但是通过拟合线将用于报告或演示的所需的信息和结果表示在图上是显示数据的一种简便方法。
3. 加速寿命试验模型
产品在设计的温度，荷载，电压，或其他应力的水平上操作时，可能有很长的寿命。加速试验主要是对产品进行过度加载，让产品快速产生故障，然后收集可靠度信息。统计模型已应用于许多类型的产品加速寿命试验分析，并用来显示产品可靠度和应力之间的关系。最大似然法通常用于拟合结合了加速试验的统计模型因为这类方法可用于多种模型和数据类型。除了分析方法，利用图形的方法也可用于显示数据，评估模型拟合程度，显示拟合的模型。这些都是计算密集型的程序，并且需要专业软件来完成它们。
在下面改编自Nelson 的例子中，在电力变压器绝缘液体中做加速寿命试验来显示电压和时间之间的关系。在图2中并列的显示了两张图，用于显示加速寿命试验的数据和分析结果。
图2. 绝缘液体数据的Weibull 分布图和关系图
数据的Weibull 概率图绘制在左侧，不同的电压等级对应不同的标准。每条对电压的拟合线代表拟合的统计模型。对于所有电压等级，模型都有相等的Weibull 形状参数，在这种情况下，它是拟合的。这表现为在Weibull 图上的平行拟合线。相同形状的模型的拟合度可以直观的从图2的绘图中进行评估。尽管没有显示出来，但结合利用计算机程序的最大似然拟合可以让你轻松的完成平行线假设的统计检验。
关于数据和拟合关系的曲线图绘制在图2右侧。在这种情况下，寿命与电源能量有关。当在日志记录表上绘制时，关系图是一条直线。例如，在中间的直线代表拟合关系的中位数（第五十百分位）。你可以利用这张图去推断在任何所需压力值下的寿命中点。为了保证关系图的完整性，还绘
制了第10位和第90位的百分比。
其他的相关曲线可以很容易的绘制出来，例如Arrhenius 这类寿命与绝对温度呈倒数的关系。像温度和电压这类模型，因为它们的寿命不仅仅只与某一个应力向量有关，所以这类模型也比较容易绘制。同时，上述这些模型也可以很容易与最大似然法拟合。
4. 可修复系统
可修复系统就是在故障发生的状态下能还原和修复的系统。在可修复系统中，发生故障之间的时间不一定都具有相同的统计特性。例如，平均故障间隔时间可能会随时间变化。作为一个可修系统应用广泛的时代，它累计需要维修的次数和修理费用。修复数据分析不同于平常的数据分析，在修复数据分析中元件只能发生一次故障。
Nelson （注释4）和Doganoksoy
（注释5）提出了一个为维修或可修复系统的样本维修记录的维修成本估算平均累计函数（MCF ）的方法。他们还给出了为平均累计函数计算置信区间的方法。MCF M(t)定义为t 时每个维修系统的累积数的总体均值。MCF 对系统样本的估计可以帮助可靠度工作者确定在某一时期的修复率，在预测数量或未来维修的成本和不同设计的两个系统的维修记录的比较、生产批次或供应商这些条件下修复率是否随时间增加或减少。
这类估计MCF 和相关置信区间的方法是计算密集型的，需要特殊的软件。该方法在修复过程中并不假定任何基本结构。在参数化模型的修复过程中，需要进行大量复杂的工作，而这些工作需要进行更多的假设条件。例如，维修的过程有时是以非齐次泊
松方程建模的。SAS 软件的当前版本不包括这种类型的参数化建模，虽然它是为将来的发行版规划的。绘制MCF 图形可能会成为建立修复过程模型的第一步，但在许多情况下，它将会在没有进一步的分析的情况下提供所需的答案。Nelson 给出了一个车队里41台柴油发动机的维修记录。这些发动机的阀座磨损的很严重，不得不进行更换。图3显示了估计的MCF 和置信极限随着系统的运行天数的变化。维修记录的终点绘制在图中的最顶部。除了最后的几点，图像基本是一条直线，这表明它在不断的更换率。例如，图中显示，在第一个600天的运行期内，有大约1个元件需要进行维修。未来更换阀座的数量，可以通过这种情况下的直线预测。
图3. 维修次数的平均累计函数
Doganaksoy 和Nelson 展示了如何将来自两个抽样样本的MCFs 的差异用于比较这两个样本。他们举出了一个例子，这个例子所采用的两个样本是来自不同生产批次的机车制动系统。图4显示了制动电网数据的MCF 的差函数，以及差函数的置信界限。这两
个样本有明显的不同，因为某些时刻置信界限不包括0。由于在大多数的寿命范围内MCF 的差异是消极的，样本1的平均累计函数比样本2更小，这表明样本2有维修记录比样本1更差。可靠度工程师们就能够确定的维修记录更差的原因及解决问题的办法。
图4. 机车制动网络数据的平均累计函数的差异
参考文献
[1] Nelson,W.(1982),Applied Life Data
[5] Nelson,W.and Doganaksoy,N.(1989),“A
Analysis,New York:John Wiley&Sons.
[2]
Computer Program for an Estimate and Confidence Limits for the Mean Cumulative Function for Cost or Number of Repairs of Repairable &Development 89CRD239
[6] Doganaksoy,N.and Nelson,W.(1991),“A
Nelson,W.(1990),Accelerated
Tobias,P.A.and
Testing,New York:John Wiley&Sons.
[3]
Products,”GE Center
TIS
Research Report
Trindade,D.C.(1995),Applied
Reliabilify,2nd ed. New York: Van Nostrand Reinhold.
[4] Nelson,W.(1995),Confidence Limits for
Method and Computer Program MCFDIFF to Compare Two Samples of Repair Data”GE Research & Development Center TIS Report 91CRD172
Recurrence Data-Applied to Cost or Number of Product Repairs,Technometrics,V ol.37, No.2
[7]
Ascher,H.and
Systems
Reliabilify,Marcel Dekker,Inc.New York 147-157.
Feingold,H.(1984),Repairable 传记
Gordon Johnston是SAS 研究所的线性模型和统计质量提高R ＆D 组的研究员。他的专业领域包括广义线性模型，可靠性和生存分析。Gordon 获得了North Carolina大学的统计学博士学位，并获得Aubum 大学的电气工程的硕士学位。他已经在SAS 软件研发方面工作了五年。