·短论荟萃·
55
正五边形的几个性质
241300
安徽省南陵县春谷中学
邹守文
本文立足于初中数学知识，给出正五边形的几个性质．性质1
AC⊥DE，正五边形ADEFG的中心为O，边
=AB
．AC∴=0，
∴
ab+1=，ba
b－aaba
=∴－－1abab
图2
即
AC－CFABAC－BC
=，即ABACAB
15
心距为OB，则AB+AC=OB．
22
证明
OE，如图1，连接OD，
OF，OG，OA，AE，AF，则△OEF≌△OGA≌△OAD≌△ODE，设AD=DE=EF=FG=GA=a，OB=d，因为
S五边形ADEFG=S△OEF+S△OFG+S△OGA+S△OAD+S△ODE，
而
5S△OEF=5×
15
EF·OB=ad，22
图1
ab
两边同时除以得，
ba∴故
()
2
+
a
－1=0．b
a－1=（负值已舍去），b2a－1=．b2
－1
sin18°=．
4
如图2，过A作AM⊥CD，垂足为M，则∠CAM
又S五边形ADEFG=S△AEF+S△ADE+S△AFG，△ADE≌△AFG，
∴S五边形ADEFG=S△AEF+2S△ADE=
111
EF·AB+2×DE·AC=a·AB+a·AC222
推论1证明=18°，
1
=a（AB+2AC），2∴
51
ad=a（AB+2AC），22
1
CD
CM2a－1
∴sin18°====．
ACAC2b4性质3
O为外心，AO交CD正五边形ABCDE中，
∴AB+2AC=5d，∴∴
15
AB+AC=d．2215AB+AC=OB．22
设正五边形的边长为a，对角线长为b，
于点G，则
AG=证明
如图3，过A作AN⊥
BC，垂足为N，连接AC，则∠BAN=∠CAG，∠ANB=∠AGC．
∴△ABN∽△ACG．∴
ANAG
=，ABAC
性质2则
a－1=．b2证明
如图2，易知正五边形每个内角为108°，
图3
∴AN=
AB－1
·AG，AG．又由性质2知AN=
AC2
15
AG=OG，22
∴∠BCA=∠ABF=36°，∠AFB=∠ABC=108°，∠CBF=∠CFB=72°．∴AF=BF，CF=BC，AFAB
∴△ABF∽△ACB=
．
ABAC
又由性质1知AN+
－1AG5
AG+=OG．有222∴=5OG，∴AG=
56
推论2证明
+1
cos36°=．
4
如图3，连接OC，则OA=OC，∠OAC=
（1）当A，B中有一点位于P点时，知另一点位于R1或者R2时有最大值为PR1；
当有一点位于O点时AB=|OP|＜|PR1|；
（2）当A，B均不在y轴上时（如B必在y轴的异侧方可图6），知A，能取到最大值（否则取A点关于y
图5
max
∠OCA=18°，∠COG=36°．
∵cos36°=∴cos36°=推论3证明
OGOG
=，OCOA
OG+1
=．
4（－1）OG
cos36°=1－2sin218°．－1∵1－2sin218°=1－2·4
()
2
+1=，
4
轴的对称点A'，
有|AB|＜|A'B|）．
不妨设A位于线段OR2上（由这样的正五边形的中心对称性知，假设是合理的），
图6
∴cos36°=1－2sin218°．推论4+1
．为4证明
设正五边形的内切圆半径r，外接圆半径为正五边形的内切圆半径与外接圆半径之比
则使|AB|最大的B点必位于线段PQ上．且当B从P向Q移动时AB先减小后增大，于是|AB|max=|AP|或|AQ|；
对于线段PQ上任意一点B，都有BR2≥BA．于是AB
max
rOG+1
R，=．则=
ROA4
推论5
设正五边形的边长为a，五条对角线组成
b3－=
．a2
=R2P=R2Q，
max
的正五边形边长为b，则
证明
（2）知AB由（1），=R2P．
如图4，由性质2知
不妨设为x．下面研究正五边形对角线的长．如图7，作∠EFG的角平分线FH交EG于H．
易知∠EFH=∠HFG=∠GFI=∠IGF=∠FGH=
图4
BM－1AB－1
==，AB2BE2
－1
a，所以BM=2BE=
a2a
=－1－12
+1）（+1）a2a（=．42
π
．5
图7
于是四边形HGIF为平行四边形．
∴
HG=1．
1EFxEH==．=
FG1x－1HG
=
所以MN=BE－BM－NE
（+1）a－1（3－a
=－2×a=．
222
即b=性质4
（3－ab3－，∴=．2a2
A，B是边长为1的正五边形边上的点，则
由角平分线定理知解得x=注
1+．2
性质4为2010年北京大学自主招生试题，其中
的对角线长又为2008年北京大学自主招生试题：求证：+
1
．边长为1的正五边形对角线长为2
（收稿日期：20101102）
+1
AB最长为．
2
证明
以正五边形一条边上的中点为原点，此边所
在的直线为x轴，建立如图5所示的平面直角坐标系．
·短论荟萃·
55
正五边形的几个性质
241300
安徽省南陵县春谷中学
邹守文
本文立足于初中数学知识，给出正五边形的几个性质．性质1
AC⊥DE，正五边形ADEFG的中心为O，边
=AB
．AC∴=0，
∴
ab+1=，ba
b－aaba
=∴－－1abab
图2
即
AC－CFABAC－BC
=，即ABACAB
15
心距为OB，则AB+AC=OB．
22
证明
OE，如图1，连接OD，
OF，OG，OA，AE，AF，则△OEF≌△OGA≌△OAD≌△ODE，设AD=DE=EF=FG=GA=a，OB=d，因为
S五边形ADEFG=S△OEF+S△OFG+S△OGA+S△OAD+S△ODE，
而
5S△OEF=5×
15
EF·OB=ad，22
图1
ab
两边同时除以得，
ba∴故
()
2
+
a
－1=0．b
a－1=（负值已舍去），b2a－1=．b2
－1
sin18°=．
4
如图2，过A作AM⊥CD，垂足为M，则∠CAM
又S五边形ADEFG=S△AEF+S△ADE+S△AFG，△ADE≌△AFG，
∴S五边形ADEFG=S△AEF+2S△ADE=
111
EF·AB+2×DE·AC=a·AB+a·AC222
推论1证明=18°，
1
=a（AB+2AC），2∴
51
ad=a（AB+2AC），22
1
CD
CM2a－1
∴sin18°====．
ACAC2b4性质3
O为外心，AO交CD正五边形ABCDE中，
∴AB+2AC=5d，∴∴
15
AB+AC=d．2215AB+AC=OB．22
设正五边形的边长为a，对角线长为b，
于点G，则
AG=证明
如图3，过A作AN⊥
BC，垂足为N，连接AC，则∠BAN=∠CAG，∠ANB=∠AGC．
∴△ABN∽△ACG．∴
ANAG
=，ABAC
性质2则
a－1=．b2证明
如图2，易知正五边形每个内角为108°，
图3
∴AN=
AB－1
·AG，AG．又由性质2知AN=
AC2
15
AG=OG，22
∴∠BCA=∠ABF=36°，∠AFB=∠ABC=108°，∠CBF=∠CFB=72°．∴AF=BF，CF=BC，AFAB
∴△ABF∽△ACB=
．
ABAC
又由性质1知AN+
－1AG5
AG+=OG．有222∴=5OG，∴AG=
56
推论2证明
+1
cos36°=．
4
如图3，连接OC，则OA=OC，∠OAC=
（1）当A，B中有一点位于P点时，知另一点位于R1或者R2时有最大值为PR1；
当有一点位于O点时AB=|OP|＜|PR1|；
（2）当A，B均不在y轴上时（如B必在y轴的异侧方可图6），知A，能取到最大值（否则取A点关于y
图5
max
∠OCA=18°，∠COG=36°．
∵cos36°=∴cos36°=推论3证明
OGOG
=，OCOA
OG+1
=．
4（－1）OG
cos36°=1－2sin218°．－1∵1－2sin218°=1－2·4
()
2
+1=，
4
轴的对称点A'，
有|AB|＜|A'B|）．
不妨设A位于线段OR2上（由这样的正五边形的中心对称性知，假设是合理的），
图6
∴cos36°=1－2sin218°．推论4+1
．为4证明
设正五边形的内切圆半径r，外接圆半径为正五边形的内切圆半径与外接圆半径之比
则使|AB|最大的B点必位于线段PQ上．且当B从P向Q移动时AB先减小后增大，于是|AB|max=|AP|或|AQ|；
对于线段PQ上任意一点B，都有BR2≥BA．于是AB
max
rOG+1
R，=．则=
ROA4
推论5
设正五边形的边长为a，五条对角线组成
b3－=
．a2
=R2P=R2Q，
max
的正五边形边长为b，则
证明
（2）知AB由（1），=R2P．
如图4，由性质2知
不妨设为x．下面研究正五边形对角线的长．如图7，作∠EFG的角平分线FH交EG于H．
易知∠EFH=∠HFG=∠GFI=∠IGF=∠FGH=
图4
BM－1AB－1
==，AB2BE2
－1
a，所以BM=2BE=
a2a
=－1－12
+1）（+1）a2a（=．42
π
．5
图7
于是四边形HGIF为平行四边形．
∴
HG=1．
1EFxEH==．=
FG1x－1HG
=
所以MN=BE－BM－NE
（+1）a－1（3－a
=－2×a=．
222
即b=性质4
（3－ab3－，∴=．2a2
A，B是边长为1的正五边形边上的点，则
由角平分线定理知解得x=注
1+．2
性质4为2010年北京大学自主招生试题，其中
的对角线长又为2008年北京大学自主招生试题：求证：+
1
．边长为1的正五边形对角线长为2
（收稿日期：20101102）
+1
AB最长为．
2
证明
以正五边形一条边上的中点为原点，此边所
在的直线为x轴，建立如图5所示的平面直角坐标系．