等差数列典型例题
类型一：直接利用等差数列的定义、公式求解
例1. （1）求等差数列3，7，11，„„的第11项.
（2）100是不是等差数列2，9，16，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，
说明理由.
思路点拨:（1）根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项；（2）题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数n 值，使得a n 等于这一数.
总结升华：
1. 根据所给数列的前2项求得首项a 1和公差d ，写出通项公式a n . 2. 要注意解题步骤的规范性与准确性.
举一反三：
【变式1】求等差数列8，5，2„的第21项 【变式2】－20是不是等差数列0，-是，说明理由.
【变式3】求集合M ={m |m =7n , n ∈N , m
例2．已知等差数列{a n }中，a 15=33，a 45=153，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。
思路点拨:由于在条件中已知两项的值（两个等式），所以在求解方法上，可以考虑运用方程思想求解基本量首项a 1和公差d ，也可以利用性质求d ，再就是考虑运用等差数列的几何意义。 总结升华：
1. 等差数列的关键是首项a 1与公差d ；五个基本量a 1、n 、d 、a n 、S n 中，已知三个基本量便可求出其余两个量；
2. 列方程（组）求等差数列的首项a 1和公差d ，再求出a n 、S n ，是数列中的基本方法. 举一反三：
【变式1】等差数列-10，-6，-2，2，„前多少项的和是54？ 【变式2】等差数列{a n }中, d =4, a n =18, S n =48, 求a 1的值. 【变式3】已知等差数列{a n }，a 3=类型三：等差数列的判断与证明
例3. 已知数列{a n }的前n 项和为S n =4n +3n ，求证：数列{a n }为等差数列.
2
7
，－7，„„的项？如果是，是第几项？如果不2
*
53
，a 7=-，则a 15 。 44
思路点拨:由等差数列的定义，要判定{a n }是不是等差数列，只要看a n -a n -1（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数。
总结升华：
1. 定义法和等差中项法是证明等差数列的常用方法.
2. 一般地，如果一个数列{a n }的前n 项和为S n =pn +qn +r ，其中p 、q 、r 为常数，且p ≠0，那么当常数项r =0时，这个数列一定是等差数列；当常数项r ≠0时，这个数列不是等差数列，但从第二项开始的新数列是等差数列.
举一反三：
【变式1】已知数列{a n }的通项公式a n =pn +q ，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
【变式2】已知数列{a n }中，a 1=1，a n +1=列。
类型四：利用等差数列的性质
例4. 已知等差数列{a n }中，若a 3+a 8+a 13=12, a 3a 8a 13=28, 求{a n }的通项公式。 思路点拨:可以直接列方程组求解a 1和d ；同时留意到脚标3+13=8⨯2，可以用性质：当m +n =2p 时a m +a n =2a p 解题.
总结升华：利用等差数列的性质解题，往往比较简捷. 举一反三：
【变式1】在等差数列{a n }中，a 2+a 8=18，则a 5【变式2】在等差数列{a n }中，a 2+a 5+a 8+a 11=20，则a 6+a 7【变式3】在等差数列{a n }中，若a 1+a 6=9, a 4=7, 则a 3= , a 9= 例5．等差数列{a n }前m 项和为30，前2m 项和为100，求它的前3m 项和. 思路点拨:利用等差数列的前n 项和公式S n =na 1+
2
2a n 1*
（n ∈N ），求证：{是等差数a n +2a n
n (n -1)
“等d 求解；或利用性质：
2
差数列的连续10项和构成一个新的等差数列”和等差中项求解；或利用相关的函数（S n =An +Bn ）等知识求解。
解析：
方法一：利用等差数列的前n 项和公式S n =na 1+
2
n (n -1)
d 求解。 2
方法二：利用等差数列前n 项和公式S n =
n (a 1+a n )
及性质m +n =p +q , 则2
a m +a n =a p +a q 求解。
方法三：根据性质：“已知{an }成等差数列，则S n ,S 2n -S n , S3n -S 2n , „„,S kn -S (k-1)n, „„(k≥2) 成等差数列”解题。
方法四：由S n =na 1+
S n (n -1) d
d 的变形式解题，由上式知，n =a 1+(n -1)
n 22
2
方法五：∵{an }为等差数列， ∴设S n =An +Bn ∴S m =am+bm=30,S2m =4ma+2mb=100, 得A =
22
2
2010
， B =m 2m
∴S 3m =9ma+3mb=210.
举一反三：
【变式1】等差数列{an }中，若a 1+a2+a3+a4+a5=30, a 6+a7+a8+a9+a10=80, 则a 11+a12+a13+a14+a15=___________.
【变式2】等差数列{an }中，S m =Sn 且m ≠n, 则S m+n=_________.
【变式3】等差数列{a n }前10项和为100，前20项和为10，求它的前30项和. 例6．已知两等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且
S n 7n +1=，试求T n 4n +27
a 11
. b 11
思路点拨:利用前n 项和公式与性质m +n =2p ⇒a m +a n =2a p 解题，或利用
S 2n -1=(2n -1) a n 解决，或利用等差数列前n 项和S n =An 2+Bn =(An +B ) n 形式解题.
总结升华：依据等差数列的性质a 1+a 2n -1=2a n 可以得到
S 2n -1=
(2n -1)(a 1+a 2n -1)
=(2n -1) a n ，当已知两等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为
2
a n S 2n -1a m 2n -1S 2m -1
=⋅=，. b n 2m -1T 2n -1b n T 2n -1
S n 、T n 时，有
举一反三：
【变式1】等差数列{a n }中，若a 4=9, 则S 7【变式2】已知两等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且
S n 4n +3
=，则T n 5n -2
a 10
= . b 10
例7．已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数。 总结升华：
1. 三个数成等差数列时，可设其分别为x -d , x , x +d ；若四个数成等差数列，可设其分别为x -3d , x -d , x +d , x +3d .
2．注意：3，5，7与7，5，3是两个不同的等差数列，因此都满足题目要求，不能舍掉其中一个的。
举一反三：
【变式】已知四个数成等差数列，且其平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四个数。
类型五：等差数列前n 项和的最值问题
例8．已知数列{a n }是等差数列，a 1>0, S 9=S 17，试问n 为何值时，数列的前n 项和最大？为什么？
思路点拨:：要研究一个等差数列的前n 项和的最值问题，有两个基本途径：其一是利用S n 是n 的二次函数关系来考虑；其二是通过考察数列的单调性来解决。
总结升华：
对等差数列前项和的最值问题有两种方法: 1. 利用a n :
当a n >0，d 0时，前n 项和有最小值。可由a n ≤0，且a n +1≥0，求得n 的值. 2. 利用S n ：由S n =举一反三：
【变式】设等差数列{a n }的前n 项和为S n , 已知a 3=12, S 12>0, S 13
（2）指出S 1，S 2，„，S 12中哪一个值最大，并说明理由.
d 2d
n +(a 1-) n 利用二次函数配方法求得最值时n 的值 22
等差数列典型例题
类型一：直接利用等差数列的定义、公式求解
例1. （1）求等差数列3，7，11，„„的第11项.
（2）100是不是等差数列2，9，16，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，
说明理由.
思路点拨:（1）根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项；（2）题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数n 值，使得a n 等于这一数.
总结升华：
1. 根据所给数列的前2项求得首项a 1和公差d ，写出通项公式a n . 2. 要注意解题步骤的规范性与准确性.
举一反三：
【变式1】求等差数列8，5，2„的第21项 【变式2】－20是不是等差数列0，-是，说明理由.
【变式3】求集合M ={m |m =7n , n ∈N , m
例2．已知等差数列{a n }中，a 15=33，a 45=153，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。
思路点拨:由于在条件中已知两项的值（两个等式），所以在求解方法上，可以考虑运用方程思想求解基本量首项a 1和公差d ，也可以利用性质求d ，再就是考虑运用等差数列的几何意义。 总结升华：
1. 等差数列的关键是首项a 1与公差d ；五个基本量a 1、n 、d 、a n 、S n 中，已知三个基本量便可求出其余两个量；
2. 列方程（组）求等差数列的首项a 1和公差d ，再求出a n 、S n ，是数列中的基本方法. 举一反三：
【变式1】等差数列-10，-6，-2，2，„前多少项的和是54？ 【变式2】等差数列{a n }中, d =4, a n =18, S n =48, 求a 1的值. 【变式3】已知等差数列{a n }，a 3=类型三：等差数列的判断与证明
例3. 已知数列{a n }的前n 项和为S n =4n +3n ，求证：数列{a n }为等差数列.
2
7
，－7，„„的项？如果是，是第几项？如果不2
*
53
，a 7=-，则a 15 。 44
思路点拨:由等差数列的定义，要判定{a n }是不是等差数列，只要看a n -a n -1（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数。
总结升华：
1. 定义法和等差中项法是证明等差数列的常用方法.
2. 一般地，如果一个数列{a n }的前n 项和为S n =pn +qn +r ，其中p 、q 、r 为常数，且p ≠0，那么当常数项r =0时，这个数列一定是等差数列；当常数项r ≠0时，这个数列不是等差数列，但从第二项开始的新数列是等差数列.
举一反三：
【变式1】已知数列{a n }的通项公式a n =pn +q ，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
【变式2】已知数列{a n }中，a 1=1，a n +1=列。
类型四：利用等差数列的性质
例4. 已知等差数列{a n }中，若a 3+a 8+a 13=12, a 3a 8a 13=28, 求{a n }的通项公式。 思路点拨:可以直接列方程组求解a 1和d ；同时留意到脚标3+13=8⨯2，可以用性质：当m +n =2p 时a m +a n =2a p 解题.
总结升华：利用等差数列的性质解题，往往比较简捷. 举一反三：
【变式1】在等差数列{a n }中，a 2+a 8=18，则a 5【变式2】在等差数列{a n }中，a 2+a 5+a 8+a 11=20，则a 6+a 7【变式3】在等差数列{a n }中，若a 1+a 6=9, a 4=7, 则a 3= , a 9= 例5．等差数列{a n }前m 项和为30，前2m 项和为100，求它的前3m 项和. 思路点拨:利用等差数列的前n 项和公式S n =na 1+
2
2a n 1*
（n ∈N ），求证：{是等差数a n +2a n
n (n -1)
“等d 求解；或利用性质：
2
差数列的连续10项和构成一个新的等差数列”和等差中项求解；或利用相关的函数（S n =An +Bn ）等知识求解。
解析：
方法一：利用等差数列的前n 项和公式S n =na 1+
2
n (n -1)
d 求解。 2
方法二：利用等差数列前n 项和公式S n =
n (a 1+a n )
及性质m +n =p +q , 则2
a m +a n =a p +a q 求解。
方法三：根据性质：“已知{an }成等差数列，则S n ,S 2n -S n , S3n -S 2n , „„,S kn -S (k-1)n, „„(k≥2) 成等差数列”解题。
方法四：由S n =na 1+
S n (n -1) d
d 的变形式解题，由上式知，n =a 1+(n -1)
n 22
2
方法五：∵{an }为等差数列， ∴设S n =An +Bn ∴S m =am+bm=30,S2m =4ma+2mb=100, 得A =
22
2
2010
， B =m 2m
∴S 3m =9ma+3mb=210.
举一反三：
【变式1】等差数列{an }中，若a 1+a2+a3+a4+a5=30, a 6+a7+a8+a9+a10=80, 则a 11+a12+a13+a14+a15=___________.
【变式2】等差数列{an }中，S m =Sn 且m ≠n, 则S m+n=_________.
【变式3】等差数列{a n }前10项和为100，前20项和为10，求它的前30项和. 例6．已知两等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且
S n 7n +1=，试求T n 4n +27
a 11
. b 11
思路点拨:利用前n 项和公式与性质m +n =2p ⇒a m +a n =2a p 解题，或利用
S 2n -1=(2n -1) a n 解决，或利用等差数列前n 项和S n =An 2+Bn =(An +B ) n 形式解题.
总结升华：依据等差数列的性质a 1+a 2n -1=2a n 可以得到
S 2n -1=
(2n -1)(a 1+a 2n -1)
=(2n -1) a n ，当已知两等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为
2
a n S 2n -1a m 2n -1S 2m -1
=⋅=，. b n 2m -1T 2n -1b n T 2n -1
S n 、T n 时，有
举一反三：
【变式1】等差数列{a n }中，若a 4=9, 则S 7【变式2】已知两等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且
S n 4n +3
=，则T n 5n -2
a 10
= . b 10
例7．已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数。 总结升华：
1. 三个数成等差数列时，可设其分别为x -d , x , x +d ；若四个数成等差数列，可设其分别为x -3d , x -d , x +d , x +3d .
2．注意：3，5，7与7，5，3是两个不同的等差数列，因此都满足题目要求，不能舍掉其中一个的。
举一反三：
【变式】已知四个数成等差数列，且其平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四个数。
类型五：等差数列前n 项和的最值问题
例8．已知数列{a n }是等差数列，a 1>0, S 9=S 17，试问n 为何值时，数列的前n 项和最大？为什么？
思路点拨:：要研究一个等差数列的前n 项和的最值问题，有两个基本途径：其一是利用S n 是n 的二次函数关系来考虑；其二是通过考察数列的单调性来解决。
总结升华：
对等差数列前项和的最值问题有两种方法: 1. 利用a n :
当a n >0，d 0时，前n 项和有最小值。可由a n ≤0，且a n +1≥0，求得n 的值. 2. 利用S n ：由S n =举一反三：
【变式】设等差数列{a n }的前n 项和为S n , 已知a 3=12, S 12>0, S 13
（2）指出S 1，S 2，„，S 12中哪一个值最大，并说明理由.
d 2d
n +(a 1-) n 利用二次函数配方法求得最值时n 的值 22