无理不等式
目的：通过分析典型类型例题，讨论它们的解法，要求学生能正确
地解答无理不等式。 过程：
一、提出课题：无理不等式 — 关键是把它同解变形为有理不等式
组 二、
⎧f (x ) ≥0⎫⎪⇒定义域
g (x ) 型⇔⎨g (x ) ≥0⎬
⎭
⎪f (x ) >g (x ) ⎩
f (x ) >
例一 解不等式3x -4-x -3>0
解：∵根式有意义 ∴必须有：⎨
⎧3x -4≥0⎩x -3≥0
⇒x ≥3
又有 ∵ 原不等式可化为3x -4>
x -3
12
两边平方得：3x -4>x -3 解之：x >∴{x |x >3}⋂{x |x >={x |x >3}
21
三、
⎧f (x ) ≥0
⎧f (x ) ≥0⎪
f (x ) >g (x ) 型⇔⎨g (x ) ≥0或⎨
⎪f (x ) >[g (x )]2⎩g (x )
例二 解不等式-x 2+3x -2>4-3x
解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：
⎧4-3x ≥0
⎧-x 2-3x -2≥0⎪2
Ⅰ：⎨-x +3x -2≥0 Ⅱ：⎨
⎩4-3x (4-3x ) 2
⎩
4⎧x ≤⎪364⎪
解Ⅰ：⎨1≤x
533⎪6
解Ⅱ：
43
∴原不等式的解集为{x |
65
四、
⎧f (x ) ≥0⎪
f (x ) 0
⎪f (x )
例三 解不等式2x 2-6x +4
⎧2x 2-6x +4≥0⎪
解：原不等式等价于⎨x +2>0
⎪2x 2-6x +4
⎧x ≥2或x ≤1⎪
⇒{x |2≤x -2
⎪0
特别提醒注意：取等号的情况 五、例四 解不等式2x +1>
x +1-1
解 ：要使不等式有意义必须：
1⎧
⎧2x +1≥01⎪x ≥-
⇒⎨⇒x ≥-⎨2
2⎩x +1≥0⎪⎩x ≥-1
原不等式可变形为 2x +1+1>
非负
x +1
因为两边均为
∴(2x +1+1) 2>(x +1) 2 即22x +1>-(x +1) ∵x +1≥0 ∴不等式的解为2x +1≥0 即 x ≥-
例五 解不等式9-x 2+6x -x 2>3 解：要使不等式有意义必须：
⎧9-x 2≥0⎧-3≤x ≤3
⇒⇒0≤x ≤3 ⎨⎨2
0≤x ≤6⎩⎩6x -x ≥0
12
在0≤x ≤3内 0≤9-x 2≤3 0≤6x -x 2≤3 ∴9-x 2>3-6x -x 2 因为不等式两边均为非负 两边平方得：9-x 2>9+6x -x 2-66x -x 2 即
6x -x
2
>x
因为两边非负，再次平方：6x -x 2>x 2 解之0
x -1>1
解：定义域 x -1≥0 x ≥1 原不等式可化为：x -1-1>
3
x -2
两边立方并整理得：(x +2) x -1>4(x -1)
在此条件下两边再平方, 整理得：(x -1)(x -2)(x -10) >0 解之并联系定义域得原不等式的解为
{x |110}
六、小结
七、作业：P24 练习 1、2、3 P25 习题 6.4 5
补充：解下列不等式
1．2x -3+3x -5>5x -6 (x >2) 2．3x -3+
x +3
x +3
(x ≥-3)
-5+
2
3．4--x >
2-x
(
4．(x -1) x 2-x -2≥0 (x ≥2或x =-1) 5．2-x -x +1>1 (-1≤x ≤
1-25)
无理不等式
目的：通过分析典型类型例题，讨论它们的解法，要求学生能正确
地解答无理不等式。 过程：
一、提出课题：无理不等式 — 关键是把它同解变形为有理不等式
组 二、
⎧f (x ) ≥0⎫⎪⇒定义域
g (x ) 型⇔⎨g (x ) ≥0⎬
⎭
⎪f (x ) >g (x ) ⎩
f (x ) >
例一 解不等式3x -4-x -3>0
解：∵根式有意义 ∴必须有：⎨
⎧3x -4≥0⎩x -3≥0
⇒x ≥3
又有 ∵ 原不等式可化为3x -4>
x -3
12
两边平方得：3x -4>x -3 解之：x >∴{x |x >3}⋂{x |x >={x |x >3}
21
三、
⎧f (x ) ≥0
⎧f (x ) ≥0⎪
f (x ) >g (x ) 型⇔⎨g (x ) ≥0或⎨
⎪f (x ) >[g (x )]2⎩g (x )
例二 解不等式-x 2+3x -2>4-3x
解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：
⎧4-3x ≥0
⎧-x 2-3x -2≥0⎪2
Ⅰ：⎨-x +3x -2≥0 Ⅱ：⎨
⎩4-3x (4-3x ) 2
⎩
4⎧x ≤⎪364⎪
解Ⅰ：⎨1≤x
533⎪6
解Ⅱ：
43
∴原不等式的解集为{x |
65
四、
⎧f (x ) ≥0⎪
f (x ) 0
⎪f (x )
例三 解不等式2x 2-6x +4
⎧2x 2-6x +4≥0⎪
解：原不等式等价于⎨x +2>0
⎪2x 2-6x +4
⎧x ≥2或x ≤1⎪
⇒{x |2≤x -2
⎪0
特别提醒注意：取等号的情况 五、例四 解不等式2x +1>
x +1-1
解 ：要使不等式有意义必须：
1⎧
⎧2x +1≥01⎪x ≥-
⇒⎨⇒x ≥-⎨2
2⎩x +1≥0⎪⎩x ≥-1
原不等式可变形为 2x +1+1>
非负
x +1
因为两边均为
∴(2x +1+1) 2>(x +1) 2 即22x +1>-(x +1) ∵x +1≥0 ∴不等式的解为2x +1≥0 即 x ≥-
例五 解不等式9-x 2+6x -x 2>3 解：要使不等式有意义必须：
⎧9-x 2≥0⎧-3≤x ≤3
⇒⇒0≤x ≤3 ⎨⎨2
0≤x ≤6⎩⎩6x -x ≥0
12
在0≤x ≤3内 0≤9-x 2≤3 0≤6x -x 2≤3 ∴9-x 2>3-6x -x 2 因为不等式两边均为非负 两边平方得：9-x 2>9+6x -x 2-66x -x 2 即
6x -x
2
>x
因为两边非负，再次平方：6x -x 2>x 2 解之0
x -1>1
解：定义域 x -1≥0 x ≥1 原不等式可化为：x -1-1>
3
x -2
两边立方并整理得：(x +2) x -1>4(x -1)
在此条件下两边再平方, 整理得：(x -1)(x -2)(x -10) >0 解之并联系定义域得原不等式的解为
{x |110}
六、小结
七、作业：P24 练习 1、2、3 P25 习题 6.4 5
补充：解下列不等式
1．2x -3+3x -5>5x -6 (x >2) 2．3x -3+
x +3
x +3
(x ≥-3)
-5+
2
3．4--x >
2-x
(
4．(x -1) x 2-x -2≥0 (x ≥2或x =-1) 5．2-x -x +1>1 (-1≤x ≤
1-25)