复数与方程
江苏省华罗庚中学 谭瑞军
复数既可作代数运算，又具有几何意义. 复数沟通了代数、几何、三角、向量之间的联系。复数有3种表现形式，其代数表示为a +bi ，三角形式为z =r (cosθ+i sin θ) ，指数形式为z =re i θ
，这里
e i θ=cos θ+i sin θ。下面对复数及复数相关的方程问题作一介绍。
1．基本原理：
定理1 （1）z ⎛z
⎫1±z 2=z 1±z 2； （2）z 1z 2=z 1z 2； 1
⎪=z 1
； ⎝z 2⎭z 2
（3）z =z ⇔z ∈R ； （4）z =-z ⇔ z 为纯虚数或z =0； （5）Re z =
z +z 2；Im z =z -z
2
. 其中Re z ,Im z 分别表示复数z 的实部与虚部. 定理2 （1）z 2
=z z ； （2）z z 1
1z 2=z 1z 2； （3）
z =z 1(z 2≠0)； 2z 2
（4）z 1-z 2≤z 1±z 2≤z 1+z 2； （5）z ≥max {Re z , Im z }
.
定理3 设复数z 1与z 2对应的点分别为Z 1和Z 2，则 （1）点Z 1与Z 2的距离为z 1-z 2；
（2）z 1+z 2与z 1-z 2分别是以OZ 1与OZ 2为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（3）arg z ⎧arg z 1+arg z 2,
arg z 1+arg z 2
1+arg z 2≥2π, arg
z 1⎧arg z 1-arg z arg z 1-arg z 2≥0, z =⎨2,
⎩2π+arg z arg z 21-2, arg z 1-arg z 2
定理4 （1）arg z =θ(0≤θ0)表示以Z 0为圆心，半径为r 的圆，这里Z 0是z 所对应的点.
定理5 方程x n
-1=0(n ≥2, n ∈N )的n 个根分别为w 2k π2k π
k =cos n +i sin n
, k =0,1,2, , n -1，
并有如下结论成立：
（1）1+w 2n -1m
m
⎧n 当n |m 时,
1+w 1+ +w 1=0； （2）1+w m
1+w 2+ +w n -1=⎨
⎩0
当n /|m 时,
定理6 代数基本定理：
定理6.1 任何n(n>0)次多项式在复数域中至少有一个根。
定理6.2 任何n(n>0)次多项式在复数域中有n 个根（重根按重数计算）。 定理6.3 N 次多项式的根与系数的关系：
令：f(x)=xn +an -11x +…+an 是一个n(n>0)次多项式，那在复数域C 中f(x)有n 个根a,a,a, ……，
a, 因而在C[x]中f(x)完全分解成一次因式的乘积： f(x)=(x-α
1
)(x-α
2
) …(x-α
n
).
展开这一等式右端的括号，合并同次项，然后比较所得出的系数与（1）式右端的系数，我们得到根与系数的关系： an =(-1)n α
1
α
2
…α
n
,
定理6.4 若实系数多项式f(x)有一个非实的复数根α, 那么α的共轭数也是f(x)的根，并且α与
有同一重数。换句话说，实系数多项式的非实的复数根两两成对。
定理6.5 实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只有含非实共轭复数根的二次多项式。
定理6.6 每一个实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积。 2．方法解读：
解复数试题，应注意如下几个问题：（1）注意运用曲线的复数方程；（2）注意运用复数的几何意义；（3）注意运用复数运算的性质；（4）注意运用单位根及其运算性质；（5）注意运用方程的根与系数的关系；（6）注意函数思想，数形结合思想，方程思想以及三角方法、向量方法的合理使用，下面对这些方法举例说明.
例1、填空题：
（1）设z =1
1-bi
(b ∈R )，则复数所对应曲线是
（2）若关于x 的方程x 2+5x +m =0的两个根z 1, z 2满足：z 1-z 2=3，则实数m ＝（3）已知复数z 满足z =1，且z 5
+z =1，则复数z ＝（4）已知z =cos θ+i sin θ(0≤θ
2=7，则
z ＝ 2
（6）设复数z =3cos θ+2i sin θ，则函数y =θ-arg z ⎛
⎝
0
（7）使复数
6-2i )
n
是纯虚数的最小自然数n =
（8）设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点所对应的复数依次为z 1, z 2, z 20，则复数
z
19951
, z
19952
, z
1995
20所对应的不同点的个数为
（9）已知复数z 满足：2z +1
z
=1，设z 的辐角主值为θ，则cos θ的取值范围是（10）若z ∈C ,arg (z 2-4)
=
56π,arg (z 2+4)=π
3
，则z 的值是（11）设复数z 1, z
2满足z 1=z 1+z 2=3, z 1-z 2=log 3(z 1z 2)
2000
+(z 1z 2000
2
)
=.
（12）设w =cos
π
379
5
+i sin
π
5
，则以w , w , w , w 为根的方程是.
例2、设z =1-cos θ+i sin θ, z 2
12=a +ai (a ∈R )，若z 1z 2为纯虚数，问：在(0, 2π)内是否存在θ，使(z 2
1-z 2)为实数？
例3、设复数z 1, z 2满足：z 1z 2+A z 1+A z 2=0 （其中A ∈C ，且A ≠0），求证： （1）z 2
z 1+A 1+A z 2+A =A ；（2）=z 1+A
z +A
。
2+A z 2例4、设函数f (x ) =2
x -1
-2
-x -1
, x ∈R , 若当0≤θ≤
π
时, f (cos2
2
θ+2m sin θ) +f (-2m -2)
成立, 求实数m 的取值范围。
例5、关于x 的二次方程x 2
+z 2
1x +z 2+m =0中，z 1, z 2, m 均是复数，且z 1-4z 2=16+20i ，设这个方程的两个根α, β满足-β=2，求m 的最大值和最小值。 例6、设z 是1的7次方根(z ≠1) ，求z +z 2
+z 4
的值。
例7、考虑复平面上的正方形，它的四个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程
图I —1—8—3
x 4+px 3+qx 2
+rx +s =0的四个根，求这种正方形面积的最小值。
例8、设A , B , C 分别是z 0=ai , z 1
1=
2
+bi , z 2=1+ci 对应的不共线的三点（a , b , c 都是实数）
，证明：
曲线z =z 420cos t +2z 1cos 2t sin t +z 42sin t （t ∈R ）与∆ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，试求出此点。
例9、给定实数a , b , c ，已知复数z 1, z 2, z 3满足：z 1=z 2=z 3=1，z 1z +z 2+z 3
=1 2z 3z 1
求az 1+bz 2+cz 3的值。
例10、定义数列{a n }，a 1, a 2是方程z 2+iz -1=0的两根，且当n ≥2时，有
(a
n -1
a 2
n +1-a n )
+i (a a -1+a n +1-2a n )=0 ，求证：对一切正自然数n 有
a 2a 2+a 2
n +n +1n +2=a n a n +1+a n +1a n +2+a n +2a n 。
例11、设z 1, z 2, z n 为复数，满足z 1+z 2+ +z n =1， 求证：上述n 个复数中必有若干个复数，它们的和的模不小于
1
6
。 例12、设A 1, A 2, , A n 是圆心在点O ，半径为1的圆内接正n 边形的顶点，点M 是射线OA 1上且在圆n
外的一点，求证：
∑
1k =1
MA ≥n
。 k OM
例13、 求证：对任意实数a 843, a 4, , a 85，方程a 85x 85+a 84x + +a 3x 3+3x 2+2x +1=0 的根不全为实数。
例14、集合A={
z z
18
=1}
和B={ωω48=1}
都是1的复数根的集合，集合C=
{z ωz ∈A , ω∈B }也是一个1的复数根集合，集合C 中有多少个不同的元素。
例15、求一个有理系数方程，使它的根等于a 4+a 6+a 7+a 9，其中a 是方程x 13-1=0的根。
例16、设方程x n +a n -1
n -1x + +a 1x +a 0=0的系数都是实数，且适合条件：
0
例17、设n 为自然数，求证方程z n +1
-z n -1=0有模为1的复根的充要条件是n +2可被6整除。
复数与方程
江苏省华罗庚中学 谭瑞军
复数既可作代数运算，又具有几何意义. 复数沟通了代数、几何、三角、向量之间的联系。复数有3种表现形式，其代数表示为a +bi ，三角形式为z =r (cosθ+i sin θ) ，指数形式为z =re i θ
，这里
e i θ=cos θ+i sin θ。下面对复数及复数相关的方程问题作一介绍。
1．基本原理：
定理1 （1）z ⎛z
⎫1±z 2=z 1±z 2； （2）z 1z 2=z 1z 2； 1
⎪=z 1
； ⎝z 2⎭z 2
（3）z =z ⇔z ∈R ； （4）z =-z ⇔ z 为纯虚数或z =0； （5）Re z =
z +z 2；Im z =z -z
2
. 其中Re z ,Im z 分别表示复数z 的实部与虚部. 定理2 （1）z 2
=z z ； （2）z z 1
1z 2=z 1z 2； （3）
z =z 1(z 2≠0)； 2z 2
（4）z 1-z 2≤z 1±z 2≤z 1+z 2； （5）z ≥max {Re z , Im z }
.
定理3 设复数z 1与z 2对应的点分别为Z 1和Z 2，则 （1）点Z 1与Z 2的距离为z 1-z 2；
（2）z 1+z 2与z 1-z 2分别是以OZ 1与OZ 2为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（3）arg z ⎧arg z 1+arg z 2,
arg z 1+arg z 2
1+arg z 2≥2π, arg
z 1⎧arg z 1-arg z arg z 1-arg z 2≥0, z =⎨2,
⎩2π+arg z arg z 21-2, arg z 1-arg z 2
定理4 （1）arg z =θ(0≤θ0)表示以Z 0为圆心，半径为r 的圆，这里Z 0是z 所对应的点.
定理5 方程x n
-1=0(n ≥2, n ∈N )的n 个根分别为w 2k π2k π
k =cos n +i sin n
, k =0,1,2, , n -1，
并有如下结论成立：
（1）1+w 2n -1m
m
⎧n 当n |m 时,
1+w 1+ +w 1=0； （2）1+w m
1+w 2+ +w n -1=⎨
⎩0
当n /|m 时,
定理6 代数基本定理：
定理6.1 任何n(n>0)次多项式在复数域中至少有一个根。
定理6.2 任何n(n>0)次多项式在复数域中有n 个根（重根按重数计算）。 定理6.3 N 次多项式的根与系数的关系：
令：f(x)=xn +an -11x +…+an 是一个n(n>0)次多项式，那在复数域C 中f(x)有n 个根a,a,a, ……，
a, 因而在C[x]中f(x)完全分解成一次因式的乘积： f(x)=(x-α
1
)(x-α
2
) …(x-α
n
).
展开这一等式右端的括号，合并同次项，然后比较所得出的系数与（1）式右端的系数，我们得到根与系数的关系： an =(-1)n α
1
α
2
…α
n
,
定理6.4 若实系数多项式f(x)有一个非实的复数根α, 那么α的共轭数也是f(x)的根，并且α与
有同一重数。换句话说，实系数多项式的非实的复数根两两成对。
定理6.5 实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只有含非实共轭复数根的二次多项式。
定理6.6 每一个实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积。 2．方法解读：
解复数试题，应注意如下几个问题：（1）注意运用曲线的复数方程；（2）注意运用复数的几何意义；（3）注意运用复数运算的性质；（4）注意运用单位根及其运算性质；（5）注意运用方程的根与系数的关系；（6）注意函数思想，数形结合思想，方程思想以及三角方法、向量方法的合理使用，下面对这些方法举例说明.
例1、填空题：
（1）设z =1
1-bi
(b ∈R )，则复数所对应曲线是
（2）若关于x 的方程x 2+5x +m =0的两个根z 1, z 2满足：z 1-z 2=3，则实数m ＝（3）已知复数z 满足z =1，且z 5
+z =1，则复数z ＝（4）已知z =cos θ+i sin θ(0≤θ
2=7，则
z ＝ 2
（6）设复数z =3cos θ+2i sin θ，则函数y =θ-arg z ⎛
⎝
0
（7）使复数
6-2i )
n
是纯虚数的最小自然数n =
（8）设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点所对应的复数依次为z 1, z 2, z 20，则复数
z
19951
, z
19952
, z
1995
20所对应的不同点的个数为
（9）已知复数z 满足：2z +1
z
=1，设z 的辐角主值为θ，则cos θ的取值范围是（10）若z ∈C ,arg (z 2-4)
=
56π,arg (z 2+4)=π
3
，则z 的值是（11）设复数z 1, z
2满足z 1=z 1+z 2=3, z 1-z 2=log 3(z 1z 2)
2000
+(z 1z 2000
2
)
=.
（12）设w =cos
π
379
5
+i sin
π
5
，则以w , w , w , w 为根的方程是.
例2、设z =1-cos θ+i sin θ, z 2
12=a +ai (a ∈R )，若z 1z 2为纯虚数，问：在(0, 2π)内是否存在θ，使(z 2
1-z 2)为实数？
例3、设复数z 1, z 2满足：z 1z 2+A z 1+A z 2=0 （其中A ∈C ，且A ≠0），求证： （1）z 2
z 1+A 1+A z 2+A =A ；（2）=z 1+A
z +A
。
2+A z 2例4、设函数f (x ) =2
x -1
-2
-x -1
, x ∈R , 若当0≤θ≤
π
时, f (cos2
2
θ+2m sin θ) +f (-2m -2)
成立, 求实数m 的取值范围。
例5、关于x 的二次方程x 2
+z 2
1x +z 2+m =0中，z 1, z 2, m 均是复数，且z 1-4z 2=16+20i ，设这个方程的两个根α, β满足-β=2，求m 的最大值和最小值。 例6、设z 是1的7次方根(z ≠1) ，求z +z 2
+z 4
的值。
例7、考虑复平面上的正方形，它的四个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程
图I —1—8—3
x 4+px 3+qx 2
+rx +s =0的四个根，求这种正方形面积的最小值。
例8、设A , B , C 分别是z 0=ai , z 1
1=
2
+bi , z 2=1+ci 对应的不共线的三点（a , b , c 都是实数）
，证明：
曲线z =z 420cos t +2z 1cos 2t sin t +z 42sin t （t ∈R ）与∆ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，试求出此点。
例9、给定实数a , b , c ，已知复数z 1, z 2, z 3满足：z 1=z 2=z 3=1，z 1z +z 2+z 3
=1 2z 3z 1
求az 1+bz 2+cz 3的值。
例10、定义数列{a n }，a 1, a 2是方程z 2+iz -1=0的两根，且当n ≥2时，有
(a
n -1
a 2
n +1-a n )
+i (a a -1+a n +1-2a n )=0 ，求证：对一切正自然数n 有
a 2a 2+a 2
n +n +1n +2=a n a n +1+a n +1a n +2+a n +2a n 。
例11、设z 1, z 2, z n 为复数，满足z 1+z 2+ +z n =1， 求证：上述n 个复数中必有若干个复数，它们的和的模不小于
1
6
。 例12、设A 1, A 2, , A n 是圆心在点O ，半径为1的圆内接正n 边形的顶点，点M 是射线OA 1上且在圆n
外的一点，求证：
∑
1k =1
MA ≥n
。 k OM
例13、 求证：对任意实数a 843, a 4, , a 85，方程a 85x 85+a 84x + +a 3x 3+3x 2+2x +1=0 的根不全为实数。
例14、集合A={
z z
18
=1}
和B={ωω48=1}
都是1的复数根的集合，集合C=
{z ωz ∈A , ω∈B }也是一个1的复数根集合，集合C 中有多少个不同的元素。
例15、求一个有理系数方程，使它的根等于a 4+a 6+a 7+a 9，其中a 是方程x 13-1=0的根。
例16、设方程x n +a n -1
n -1x + +a 1x +a 0=0的系数都是实数，且适合条件：
0
例17、设n 为自然数，求证方程z n +1
-z n -1=0有模为1的复根的充要条件是n +2可被6整除。