科技信息
高校理科研究
弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程
乐山职业技术学院机电系
杨丽媛
［摘要］薄板振动属于弹性体振动，本文主要介绍弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程，介绍薄板小挠度理论，给出弹性薄板横向振动的振动方程和不同边界条件的数学模型。［关键词］弹性薄板横向振动基本理论
振动方程
弹性体振动理论分析质量和刚度都是连续分布的结构，本质上认
为结构由无穷多质量点组成，并用空间连续函数来反映结构的运动状态，所以又称为无限多自由度体系，比有限自由度体振动理论更为严
其在工程密。其研究也更加复杂和困难。弹性薄板就是典型的弹性体，
中的应用非常广泛，薄板类零件的振动会对整体结构产生很大影响，甚至会破坏结构的稳定性和完整性。要研究弹性薄板的横向振动性能就必须掌握其基本理论和基本的振动方程。
一、基础理论
中面为一平面的扁平连续体称为平板。当厚度远小于中面尺寸时
平板重要承受垂直中面的横向载荷，将外载荷传递到支撑则称为薄板。
处，此时板件发生垂直中面的横向挠曲，相应动力学问题是薄板的横向振动。
平板振动也是一种弹性体振动，是一种三维问题。但对于厚度尺寸远小于平面上另两个尺寸的薄板来说，可以采用一系列反映薄板力学特性的简化，是原始三维问题简化为二维问题来分析，这些假设是：
（ａ）变形前垂直于中面的直线在变形后仍为一直线，并保持与中面垂直。
（ｂ）忽略沿中面垂直方向的法向应力。（ｃ）只记入质量的移动惯性力，而略去其转动惯性力矩。（ｄ）无沿中面内方向的变形。假定（ａ）即所谓“直法线”假定，这一假定的实质是使板件内整个变形状态只取决于中面挠曲面形状，从而使求解三维变形体问题变为确定二维挠曲面问题，并使问题大为简化。从力学角度看，假定（ａ）认为直法线永远与中面垂直，即横向剪切变形为零，也即横向剪应力比平面方向弯曲应力要小很多；假定（ｂ）则认为垂直方向法应力也比弯曲应力小得多。
在假定（ａ）、（ｂ）、（ｃ）下建立的平板理论一般称为泊松—克希霍夫（Ｐａｓｓｉｏｎ－Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ）平板理论即薄板理论。目前工程上一般认为板厚ｈ与板的最小平面跨度ｂ之比ｈ≤１就可看成薄板。
ｂ６
假定（ｄ）认为中面内不产生拉压、剪切，从而也没有中面内变形，即认为中面内薄膜力远小于横向载荷产生的弯曲应力，这只有在板的挠
ｄ）的平板理论一般称为小曲ｗ远小于板的厚度ｈ时才成立。采用假定（
挠度理论。目前工程上一般认为ｗ≤１就可按小挠度问题处理，否则
必须考虑几何非线性的大挠度问题。这里也采用的薄板小挠度理论。
二、薄板横向振动基本方程１、薄板横向自由振动的基本微分方程
考虑一具有任意边界形状的各向同性匀质等厚度薄板，如下图所示。
其中：Ｅ为材料的弹性模量，ρ为材料密度，μ为材料泊松比。式（１）是关于挠曲面函数ｗ（ｘ，ｙ，ｔ）的四阶偏微分方程，薄板小挠度自
。由振动的基本问题归结为在给定初始条件下定解方程（１）
２、边界条件
薄板振动所应满足的边界条件和薄板静力问题一样，一般有固支、简支、自由、弹性支承、弹性嵌固等几种。这里列出平行于ｘ轴的直线边
（平行ｙ轴边界也类似）。ｙ＝ｙ０的边界条件
（１）固定边若平板边界是完全固定边或平夹边（沿平面方向可自由滑动），其边缘上各点挠度为零并且沿该边垂直方向的挠度斜率为零，即：
鄣ｗ
（ｗ）＝０（２ａ）ｙ＝ｙ＝０，ｙ＝ｙ
０
鄣
０
（２）简支边若平板边界是铰接支承（无论水平方向可以或不可以滑动），其边缘上各点挠度以及弯矩为零，即：
２鄣ｗ
（ｗ）＝０（２ｂ）ｙ＝ｙ＝０，ｙ＝ｙ
０
鄣
０
扭矩、（３）自由边若平板边界完全不受力，应该有边缘上各点弯矩、剪力为零，即：
２
鄣ｗ＋μ鄣２ｗ鄣３ｗ２－μ鄣３ｗ
＝０，＋（＝０（２ｃ）ｙ＝ｙｙ＝ｙ
鄣０
鄣
０
（４）弹性支承若平板边界铰接支承在可用垂直线弹簧（弹簧常数）表示的结构或地基上，其边缘上各点弯矩保持为零，而合剪力由弹簧支承力产生，即：
２
鄣ｗ＋μ鄣２ｗ鄣３ｗ－（鄣３ｗｗ－Ｄ２－μ）Ｄｋ＝０，＝０（２ｄ）ｗｙ＝ｙｙ＝ｙ
鄣鄣
０
鄣
０
（５）弹性嵌固边若平板边界连接在垂直方向不可移动，但在垂直边界平面内可转动（可用弹簧常数为ｋΦ的螺旋弹簧表示）的结构上，其边缘上各点挠度为零，而弯矩由弹簧支承力矩产生，即：
２２
＋μＤ鄣ｗｋ鄣ｗ＋Ｄ鄣ｗ（ｗ）＝０（２ｅ）ｙ＝ｙ＝０，Φ
ｙ＝ｙ
０
鄣鄣
０
矩形薄板自由振动的解３、
设方程（１）的解为：ｗ（ｘ，ｙ，ｔ）＝Ｗ（ｘ，ｙ）ｓｉｎ（ωｔ＋φ）（３）式中Ｗ（ｘ，ｙ）为主振动，将式（３）代入式（１）中，可得：４４４
鄣Ｗ＋2鄣Ｗ＋鄣Ｗ－α４Ｗ＝０（４）鄣ｘ４鄣ｘ２鄣ｙ２鄣ｙ４式中：α４＝ω２ρh
Ｗ（ｘ，ｙ）为ｘ，ｙ的函数，具体表达式和边界条件有关，根据各种不同的边界条件写出Ｗ（ｘ，ｙ）的形式，带入方程（４）和其相应的边界条件，可求出Ｗ（ｘ，ｙ）的表达式。
三、总结
本文介绍了基于泊松—克希霍夫（Ｐａｓｓｉｏｎ－Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ）平板理论的小挠度平板理论。建立了弹性薄板振动的基本方程，并列出各种边界条件的数学模型，介绍了求解弹性薄板振动方程的求解思路，为不同边界条件，不同尺寸的弹性薄板振动方程的求解提供了理论支持和思路指导。参考文献
［1］黄炎. 弹性薄板理论［M ］. 北京：国防科学技术大学出版社，1992［2］曹志远. 板壳振动理论［M ］. 北京：中国铁道出版社，1989［3］张英世，刘宗德. 矩形薄板的横向振动［J ］. 工程力学，1997增刊:515-518
中面挠曲函取板件的中面为ｘｏｙ平面。板厚为ｈ，ｚ＝－ｈ为受载面，
数为ｗ（ｘ，ｙ，ｔ）。则薄板横向自由振动的基本微分方程为：
４
鄣ｗ＋２鄣４ｗ＋鄣４ｗ＋ρh 鄣２ｗ＝０（１）式中：Ｄ＝Eh
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弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程
乐山职业技术学院机电系
杨丽媛
［摘要］薄板振动属于弹性体振动，本文主要介绍弹性薄板横向振动的基本理论和基本方程，介绍薄板小挠度理论，给出弹性薄板横向振动的振动方程和不同边界条件的数学模型。［关键词］弹性薄板横向振动基本理论
振动方程
弹性体振动理论分析质量和刚度都是连续分布的结构，本质上认
为结构由无穷多质量点组成，并用空间连续函数来反映结构的运动状态，所以又称为无限多自由度体系，比有限自由度体振动理论更为严
其在工程密。其研究也更加复杂和困难。弹性薄板就是典型的弹性体，
中的应用非常广泛，薄板类零件的振动会对整体结构产生很大影响，甚至会破坏结构的稳定性和完整性。要研究弹性薄板的横向振动性能就必须掌握其基本理论和基本的振动方程。
一、基础理论
中面为一平面的扁平连续体称为平板。当厚度远小于中面尺寸时
平板重要承受垂直中面的横向载荷，将外载荷传递到支撑则称为薄板。
处，此时板件发生垂直中面的横向挠曲，相应动力学问题是薄板的横向振动。
平板振动也是一种弹性体振动，是一种三维问题。但对于厚度尺寸远小于平面上另两个尺寸的薄板来说，可以采用一系列反映薄板力学特性的简化，是原始三维问题简化为二维问题来分析，这些假设是：
（ａ）变形前垂直于中面的直线在变形后仍为一直线，并保持与中面垂直。
（ｂ）忽略沿中面垂直方向的法向应力。（ｃ）只记入质量的移动惯性力，而略去其转动惯性力矩。（ｄ）无沿中面内方向的变形。假定（ａ）即所谓“直法线”假定，这一假定的实质是使板件内整个变形状态只取决于中面挠曲面形状，从而使求解三维变形体问题变为确定二维挠曲面问题，并使问题大为简化。从力学角度看，假定（ａ）认为直法线永远与中面垂直，即横向剪切变形为零，也即横向剪应力比平面方向弯曲应力要小很多；假定（ｂ）则认为垂直方向法应力也比弯曲应力小得多。
在假定（ａ）、（ｂ）、（ｃ）下建立的平板理论一般称为泊松—克希霍夫（Ｐａｓｓｉｏｎ－Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ）平板理论即薄板理论。目前工程上一般认为板厚ｈ与板的最小平面跨度ｂ之比ｈ≤１就可看成薄板。
ｂ６
假定（ｄ）认为中面内不产生拉压、剪切，从而也没有中面内变形，即认为中面内薄膜力远小于横向载荷产生的弯曲应力，这只有在板的挠
ｄ）的平板理论一般称为小曲ｗ远小于板的厚度ｈ时才成立。采用假定（
挠度理论。目前工程上一般认为ｗ≤１就可按小挠度问题处理，否则
必须考虑几何非线性的大挠度问题。这里也采用的薄板小挠度理论。
二、薄板横向振动基本方程１、薄板横向自由振动的基本微分方程
考虑一具有任意边界形状的各向同性匀质等厚度薄板，如下图所示。
其中：Ｅ为材料的弹性模量，ρ为材料密度，μ为材料泊松比。式（１）是关于挠曲面函数ｗ（ｘ，ｙ，ｔ）的四阶偏微分方程，薄板小挠度自
。由振动的基本问题归结为在给定初始条件下定解方程（１）
２、边界条件
薄板振动所应满足的边界条件和薄板静力问题一样，一般有固支、简支、自由、弹性支承、弹性嵌固等几种。这里列出平行于ｘ轴的直线边
（平行ｙ轴边界也类似）。ｙ＝ｙ０的边界条件
（１）固定边若平板边界是完全固定边或平夹边（沿平面方向可自由滑动），其边缘上各点挠度为零并且沿该边垂直方向的挠度斜率为零，即：
鄣ｗ
（ｗ）＝０（２ａ）ｙ＝ｙ＝０，ｙ＝ｙ
０
鄣
０
（２）简支边若平板边界是铰接支承（无论水平方向可以或不可以滑动），其边缘上各点挠度以及弯矩为零，即：
２鄣ｗ
（ｗ）＝０（２ｂ）ｙ＝ｙ＝０，ｙ＝ｙ
０
鄣
０
扭矩、（３）自由边若平板边界完全不受力，应该有边缘上各点弯矩、剪力为零，即：
２
鄣ｗ＋μ鄣２ｗ鄣３ｗ２－μ鄣３ｗ
＝０，＋（＝０（２ｃ）ｙ＝ｙｙ＝ｙ
鄣０
鄣
０
（４）弹性支承若平板边界铰接支承在可用垂直线弹簧（弹簧常数）表示的结构或地基上，其边缘上各点弯矩保持为零，而合剪力由弹簧支承力产生，即：
２
鄣ｗ＋μ鄣２ｗ鄣３ｗ－（鄣３ｗｗ－Ｄ２－μ）Ｄｋ＝０，＝０（２ｄ）ｗｙ＝ｙｙ＝ｙ
鄣鄣
０
鄣
０
（５）弹性嵌固边若平板边界连接在垂直方向不可移动，但在垂直边界平面内可转动（可用弹簧常数为ｋΦ的螺旋弹簧表示）的结构上，其边缘上各点挠度为零，而弯矩由弹簧支承力矩产生，即：
２２
＋μＤ鄣ｗｋ鄣ｗ＋Ｄ鄣ｗ（ｗ）＝０（２ｅ）ｙ＝ｙ＝０，Φ
ｙ＝ｙ
０
鄣鄣
０
矩形薄板自由振动的解３、
设方程（１）的解为：ｗ（ｘ，ｙ，ｔ）＝Ｗ（ｘ，ｙ）ｓｉｎ（ωｔ＋φ）（３）式中Ｗ（ｘ，ｙ）为主振动，将式（３）代入式（１）中，可得：４４４
鄣Ｗ＋2鄣Ｗ＋鄣Ｗ－α４Ｗ＝０（４）鄣ｘ４鄣ｘ２鄣ｙ２鄣ｙ４式中：α４＝ω２ρh
Ｗ（ｘ，ｙ）为ｘ，ｙ的函数，具体表达式和边界条件有关，根据各种不同的边界条件写出Ｗ（ｘ，ｙ）的形式，带入方程（４）和其相应的边界条件，可求出Ｗ（ｘ，ｙ）的表达式。
三、总结
本文介绍了基于泊松—克希霍夫（Ｐａｓｓｉｏｎ－Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ）平板理论的小挠度平板理论。建立了弹性薄板振动的基本方程，并列出各种边界条件的数学模型，介绍了求解弹性薄板振动方程的求解思路，为不同边界条件，不同尺寸的弹性薄板振动方程的求解提供了理论支持和思路指导。参考文献
［1］黄炎. 弹性薄板理论［M ］. 北京：国防科学技术大学出版社，1992［2］曹志远. 板壳振动理论［M ］. 北京：中国铁道出版社，1989［3］张英世，刘宗德. 矩形薄板的横向振动［J ］. 工程力学，1997增刊:515-518
中面挠曲函取板件的中面为ｘｏｙ平面。板厚为ｈ，ｚ＝－ｈ为受载面，
数为ｗ（ｘ，ｙ，ｔ）。则薄板横向自由振动的基本微分方程为：
４
鄣ｗ＋２鄣４ｗ＋鄣４ｗ＋ρh 鄣２ｗ＝０（１）式中：Ｄ＝Eh