二次函数知识点归纳总结
一、 课标解读
二、 知识清单
知识点1：二次函数定义
1、一般地，形如 （a 、b 、c 是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。
2、二次函数的三种形式：一般式： 顶点式： 交点式：
知识点2：二次函数的图象与性质
2、图像与a 、b 、c 的符号。
（1）a 的符号：开口向上a>0；开口向下a
（2）b 的符号：对称轴在y 轴的左侧b 与a 同号；对称轴在y 轴的右侧b 与a 异侧；对称轴是y
轴b=0。
（3）c 的符号：交点在y 轴的正半轴c>0；交点在y 轴的负半轴c0；有一个交点b ²-4ac=0；没有交点b ²-4ac0；当x=1时，y 的值在x 轴上a+b+c=0； 当x=1时，y 的值在x 轴的下方a+b+c0；当x= -1时，y 的值在x 轴上a-b+c=0； 当x= -1时，y 的值在x 轴的下方a-b+c
3、抛物线的平移
222
y =a (x -h ) +k y =ax y =ax 抛物线可以由经过平移得到，把抛物线向右或者向左平移|h|个单22y =a (x -h ) y =ax +k ，位，得到，规律是左加右减；把抛物线向上或者向下平移|k|个单位，得到抛物线2
y =ax 规律是上加下减；把抛物线先向右或者向左平移|h|个单位再向上或者向下平移|k|个单位，得2
y =a (x -h ) +k 。 到
知识点3：求二次函数的解析式
1、 待定系数法求二次函数的解析式。
已知三点坐标，选用 三点式 ；已知顶点坐标或者对称轴，选用 顶点式 ；已知与x 轴的交点，选用 两点式 。 2、设二次函数解析式的几种情形。
（1） 已知定点在原点，设y=ax²（a ≠0） （2） 已知对称轴是y 轴（或定点在y 轴上），设y=ax²+k（a ≠0）
（3） 已知定点在x 轴上，设y=a（x-h ）²（a ≠0） （4） 已知定点坐标，设y=a（x-h ）²+k （a ≠0） （5） 已知抛物线过原点，设y=ax²+bx（a ≠0）
（6） 已知抛物线和x 轴的交点为（x1，0）与（x2，0），设y=a（x-x1）(x-x2) （a ≠0） （7） 已知抛物线过三点，设y=ax²+bx+c（a ≠0）
知识点4：二次函数与一元二次方程之间的关系
22y =ax +bx +c (a ≠0) ax +bx +c =0有两1、 抛物线与x 轴有两个交点，b ²-4ac>0，则一元二次方程
2
y =ax +bx +c (a ≠0) 与x 轴有一个交点，b ²-4ac=0，则一元二次方程个实数根；抛物线
2
ax 2+bx +c =0有一个实数根；抛物线y =ax +bx +c (a ≠0) 与x 轴无交点，b ²-4ac
二次方程ax +bx +c =0 没有实数根；
2
y =ax +bx +c (a ≠0) 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是 一元二次方程 2、
的解。
知识点5：实际问题与二次函数
1、利用二次函数解决实际问题的常见类型。
利用二次函数解决实际问题的一般步骤。
建立二次函数模型解决问题。
（1） 审清题意，弄清题中涉及哪些量、已知量有几个、已知量和变量之间的基本关系，找出
函数关系。
（2） 设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 （3） 列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，抽象出二次函数。 （4） 按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 （5） 检验所得解是否符合实际情况。 （6） 回答相应问题。
已知二次函数模型解决问题。
（1） 恰当地建立平面直角坐标系。 （2） 将已知条件转化为点的坐标。 （3） 合理地设出所求二次函数解析式。 知识点六：抛物线y =ax 2+bx +c 与直线y =mx +n 的位置关系：
两式消掉y ，得ax 2+(b -m ) x +c -n =0，∆=(b -m ) 2-4a (c -n ) ，①∆＞0相交，两解析式组成
的方程组的解即为图象交点坐标；②∆＜0相离；③∆=0相切。 知识点七：二次函数与二次不等式：
若抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于（x 1,0）、（x 2,0），①a ＞0时，ax 2+bx +c >0解集为
x ＜x 1或x ＞x 2；ax 2+bx +c 0解集为x 1＜x ＜x 2；ax 2+bx +c
知识点八：二次函数与一次函数值的比较：
如图：x ＜x 1或x ＞x 2时，二次函数值大于一次函数值；；x 1＜x ＜x 2时， 二次函数小于一次函数值。
二次函数知识点归纳总结
一、 课标解读
二、 知识清单
知识点1：二次函数定义
1、一般地，形如 （a 、b 、c 是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。
2、二次函数的三种形式：一般式： 顶点式： 交点式：
知识点2：二次函数的图象与性质
2、图像与a 、b 、c 的符号。
（1）a 的符号：开口向上a>0；开口向下a
（2）b 的符号：对称轴在y 轴的左侧b 与a 同号；对称轴在y 轴的右侧b 与a 异侧；对称轴是y
轴b=0。
（3）c 的符号：交点在y 轴的正半轴c>0；交点在y 轴的负半轴c0；有一个交点b ²-4ac=0；没有交点b ²-4ac0；当x=1时，y 的值在x 轴上a+b+c=0； 当x=1时，y 的值在x 轴的下方a+b+c0；当x= -1时，y 的值在x 轴上a-b+c=0； 当x= -1时，y 的值在x 轴的下方a-b+c
3、抛物线的平移
222
y =a (x -h ) +k y =ax y =ax 抛物线可以由经过平移得到，把抛物线向右或者向左平移|h|个单22y =a (x -h ) y =ax +k ，位，得到，规律是左加右减；把抛物线向上或者向下平移|k|个单位，得到抛物线2
y =ax 规律是上加下减；把抛物线先向右或者向左平移|h|个单位再向上或者向下平移|k|个单位，得2
y =a (x -h ) +k 。 到
知识点3：求二次函数的解析式
1、 待定系数法求二次函数的解析式。
已知三点坐标，选用 三点式 ；已知顶点坐标或者对称轴，选用 顶点式 ；已知与x 轴的交点，选用 两点式 。 2、设二次函数解析式的几种情形。
（1） 已知定点在原点，设y=ax²（a ≠0） （2） 已知对称轴是y 轴（或定点在y 轴上），设y=ax²+k（a ≠0）
（3） 已知定点在x 轴上，设y=a（x-h ）²（a ≠0） （4） 已知定点坐标，设y=a（x-h ）²+k （a ≠0） （5） 已知抛物线过原点，设y=ax²+bx（a ≠0）
（6） 已知抛物线和x 轴的交点为（x1，0）与（x2，0），设y=a（x-x1）(x-x2) （a ≠0） （7） 已知抛物线过三点，设y=ax²+bx+c（a ≠0）
知识点4：二次函数与一元二次方程之间的关系
22y =ax +bx +c (a ≠0) ax +bx +c =0有两1、 抛物线与x 轴有两个交点，b ²-4ac>0，则一元二次方程
2
y =ax +bx +c (a ≠0) 与x 轴有一个交点，b ²-4ac=0，则一元二次方程个实数根；抛物线
2
ax 2+bx +c =0有一个实数根；抛物线y =ax +bx +c (a ≠0) 与x 轴无交点，b ²-4ac
二次方程ax +bx +c =0 没有实数根；
2
y =ax +bx +c (a ≠0) 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是 一元二次方程 2、
的解。
知识点5：实际问题与二次函数
1、利用二次函数解决实际问题的常见类型。
利用二次函数解决实际问题的一般步骤。
建立二次函数模型解决问题。
（1） 审清题意，弄清题中涉及哪些量、已知量有几个、已知量和变量之间的基本关系，找出
函数关系。
（2） 设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 （3） 列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，抽象出二次函数。 （4） 按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 （5） 检验所得解是否符合实际情况。 （6） 回答相应问题。
已知二次函数模型解决问题。
（1） 恰当地建立平面直角坐标系。 （2） 将已知条件转化为点的坐标。 （3） 合理地设出所求二次函数解析式。 知识点六：抛物线y =ax 2+bx +c 与直线y =mx +n 的位置关系：
两式消掉y ，得ax 2+(b -m ) x +c -n =0，∆=(b -m ) 2-4a (c -n ) ，①∆＞0相交，两解析式组成
的方程组的解即为图象交点坐标；②∆＜0相离；③∆=0相切。 知识点七：二次函数与二次不等式：
若抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于（x 1,0）、（x 2,0），①a ＞0时，ax 2+bx +c >0解集为
x ＜x 1或x ＞x 2；ax 2+bx +c 0解集为x 1＜x ＜x 2；ax 2+bx +c
知识点八：二次函数与一次函数值的比较：
如图：x ＜x 1或x ＞x 2时，二次函数值大于一次函数值；；x 1＜x ＜x 2时， 二次函数小于一次函数值。