高中数学_圆锥曲线知识点小结

寿光中学2011级《圆锥曲线》知识点小结

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：2a|F1F2|表示椭圆；2a

|F1F2|表示线段

F1F2；2a|F1F2|没有轨迹；

（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

3．常用结论： （1）椭圆

xa

22



yb

22

1(ab0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交椭圆于A,B两点，则

ABF2的周长=

（2）设椭圆xa

22



yb

22

右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴的直线交椭圆于P,Q两点，1(ab0)左、

则P,Q的坐标分别是 |PQ| 二、双曲线：

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2|F1F2| 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：|PF1||PF2|2a与|PF2||PF1|2a（2a|F1F2|）表示双曲线的一支。

2a|F1F2|表示两条射线；2a|F1F2|没有轨迹；

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

（3）双曲线的渐近线：

2222

①求双曲线xy1的渐近线，可令其右边的1为0，即得xy0，因式分解得到xy0。

2222

aba

22

bab

②与双曲线

xa

22



yb

22

1共渐近线的双曲线系方程是

x22



y；

（4）常用结论：（1）双曲线

xa

22



yb

22

1(a0,b0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交双曲线的同一支于

A,B两点，则ABF2的周长=

（2）设双曲线

xa

22



yb

22

1(a0,b0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴的直线交双曲

线于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是 |PQ|

三、抛物线：

（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。 （2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：p0

四、弦长公式： |AB|

k

2

|x1x2|

k

2



(x1x2)4x1x2

2

k

2



|A|

其中,A,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程的判别式和x的系数

求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程

2

Ax

2

BxC0,设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韦达定理求出x1x2

（3）代入弦长公式计算。

法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程Ay

2

BA

，x1x2

CA

；

ByC0,则相应的弦长公式是：

12

()

k|A||A|

|AB|

12

()|y1y2|

k12

()

k

(y1y2)4y1y2

2

注意（1）上面用到了关系式|x1x2|(x1x2)4x1x2

2

和

y1y2(y1y2)4y1y2

2

|A|

注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被 过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法 五、弦的中点坐标的求法

法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程

Ax

2

BxC0,设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韦达定理求出x1x2

BA

；

（3）设中点M(x0,y0)，由中点坐标公式得x0

x1x2

2

；再把xx0代入直线方程求出yy0。

法（二）：用点差法，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点M(x0,y0)，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出x0,y0。

六、求离心率的常用方法： 法一，分别求出a,c，再代入公式

法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e (求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是e﹥1)

寿光中学2011级《圆锥曲线》知识点小结

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：2a|F1F2|表示椭圆；2a

|F1F2|表示线段

F1F2；2a|F1F2|没有轨迹；

（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

3．常用结论： （1）椭圆

xa

22



yb

22

1(ab0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交椭圆于A,B两点，则

ABF2的周长=

（2）设椭圆xa

22



yb

22

右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴的直线交椭圆于P,Q两点，1(ab0)左、

则P,Q的坐标分别是 |PQ| 二、双曲线：

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2|F1F2| 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：|PF1||PF2|2a与|PF2||PF1|2a（2a|F1F2|）表示双曲线的一支。

2a|F1F2|表示两条射线；2a|F1F2|没有轨迹；

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

（3）双曲线的渐近线：

2222

①求双曲线xy1的渐近线，可令其右边的1为0，即得xy0，因式分解得到xy0。

2222

aba

22

bab

②与双曲线

xa

22



yb

22

1共渐近线的双曲线系方程是

x22



y；

（4）常用结论：（1）双曲线

xa

22



yb

22

1(a0,b0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交双曲线的同一支于

A,B两点，则ABF2的周长=

（2）设双曲线

xa

22



yb

22

1(a0,b0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴的直线交双曲

线于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是 |PQ|

三、抛物线：

（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。 （2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：p0

四、弦长公式： |AB|

k

2

|x1x2|

k

2



(x1x2)4x1x2

2

k

2



|A|

其中,A,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程的判别式和x的系数

求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程

2

Ax

2

BxC0,设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韦达定理求出x1x2

（3）代入弦长公式计算。

法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程Ay

2

BA

，x1x2

CA

；

ByC0,则相应的弦长公式是：

12

()

k|A||A|

|AB|

12

()|y1y2|

k12

()

k

(y1y2)4y1y2

2

注意（1）上面用到了关系式|x1x2|(x1x2)4x1x2

2

和

y1y2(y1y2)4y1y2

2

|A|

注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被 过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法 五、弦的中点坐标的求法

法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程

Ax

2

BxC0,设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韦达定理求出x1x2

BA

；

（3）设中点M(x0,y0)，由中点坐标公式得x0

x1x2

2

；再把xx0代入直线方程求出yy0。

法（二）：用点差法，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点M(x0,y0)，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出x0,y0。

六、求离心率的常用方法： 法一，分别求出a,c，再代入公式

法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e (求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是e﹥1)