数学中的对称美
对称性是数学美的最重要的特征。 几何中的轴对称、中心对称，代数中的许多运用都能给人以美感。发掘学生对数学的审美能力，这对引发学生的数学兴趣和学习上都有很大的帮助。 许多数学教师在教学中关注怎样利用数学中的对称美, 提高学生学习数学的兴趣, 提高解题的能力。我认为, 数学教师在教学中, 更要注意引导学生利用对称美提出问题, 进行数学创新。这样做, 有利于学生跳出题海, 掌握学习的主动权。
一 ：代数中的对称美：
常出现在规律运算、数列运算、函数运算中
例如1： “回文数”是一种数字，也是一种对称数。如:98789，这个数字正读是98789，倒读也是98789，正读倒读一样，所以这个数字就是回文数。
计算111111111×111111111的值
解：我们最常见的一组算式：
1×1=1 11×11=121
11×111=12321 1111×1111=1234321
从上述计算中得出对称规律可得：
111111111×111111111=[**************]21
例如2、计算 ：1 + 2 + 3 +┅ + 100
引导学生利用数学对称美来解。
解：设 x = 1 + 2 + 3 + ┅ + 100 ①
倒过来x = 100 + 99 + ┅ + 1 ②
① + ② 得 2x = 101 × 100
∴ x = 5050
即：1 + 2 + 3 + ┅ + 100 = 5050
例如3、已知正比例函数 与反比例函数 的一个交点是（2，3），则另一个交点是（ ， ）. 分析：因为正比例函数 与反比例函数 都是关于原点中心对称图形，从而它们的交点也是关于原点中心对称。所以另一个交点是（ －2，－3 ）.
例如4、 如图，请写出△ABC中各顶点的坐标．在同一坐标系中画出直线m ：x=•-1，并作出△ABC关于直线m 对称的△A′B′C′．若P （a ，b ）是△ABC中AC 边上一点，•请表示其
1
在△A′B′C′中对应点的坐标．
分析：直线m ：x=-1表示直线m 上任意一点的横坐标都等于-1，因此过点（-1，0）•作y 轴的平行线即直线m ．画出直线m 后，再作点A 、C 关于直线m 的对称点A′、C′，•而点B 在直线m 上，则其关于直线m 对称的点B′就是点B 本身．
解：（1）△ABC中各顶点的坐标分别是A （1，4）、B （-1，1）、C （2，-1）
（2）如右图，过点（-1，0）作y 轴的平行线m ，即直线x=-1．
（3）如右图，分别作点A 、B 、C 关于直线m 对称的点A′（-3，4）、B′（-1，1）、C′（-4，-1），并对顺次连接A′、B′、C′三点，则△A′B′C′即为所求．
（4）观察发现三组对称点的纵坐标没有变化．而横坐标都可以表示为2×（-1）•减去对应点的横坐标．所以点P 的对应点的坐标为（-2-a ，b ）。
注意：2×（-1）中的-1即对称轴x=-1．若对称轴不是x=-1，而是y=2，相信聪明的你是一定能作出对称的三角形的，也一定能发现其中坐标变化的规律．
二、几何中的对称美：
“对称”在数学上的表现则是普遍的，几何上平面的情形有直线对称（轴对称）和点对称（中心对称），空间的情形除了直线和点对称外，还有平面对称。正偶边形既是中心对称图形又是轴对称， 正奇边形不是中心对称图形但是轴对称。比如正方形既是轴对称图形（以过对边中点的直线为轴），以是中心对称图形（对角线的交点为对称中心），圆也是。
例如1：在锐角∠AOB内有一定点P ，试在OA 、OB 上确定两点C 、D ，使△PCD的周长最短． 分析：△PCD的周长等于PC+CD+PD，要使△PCD的周长最短，•根据两点之间线段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P 关于直线OA•和OB 的对称点E 、F ，则△PCD的周长等于线段EF 的长．
作法：如图．①作点P 关于直线OA 的对称点E ；
②作点P 关于直线OB 的对称点F ；
③连接EF 分别交OA 、OB 于点C 、D ．则C 、D 就是所要求作的点．
证明：连接PC 、PD ，则PC=EC，PD=FD．
在OA 上任取异于点C 的一点H ，连接HE 、HP 、HD ，则HE=HP．
∵△PHD的周长
=HP+HD+PD=HE+HD+DF>ED+DF=EF
而△PCD的周长
2
=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EF
∴△PCD的周长最短．
例如2：作图设计，村庄A 、B 位于不平行的两条小河的两侧，若要在两条小河上各架设一座与河岸垂直的桥，并要使A 到B 的路程最近，问桥应架在何处？
解：此题看来很复杂，但利用对称的原理来稍做改变，问题就可以迎刃而解了．
设河岸为L1、L2、L3、L4，L1//L2，L3//L4，作AA1⊥L1，BB1⊥L3，使AA1的长为L1与L2之间的距离．连接A1B1交L2于A2，交L3于B2，则A2、B2就是加桥的地址，再从A2、B2出发作两座桥．
对称美在数学解题中有重要的应用, 在解题过程中注意到对称性, 则可以以简驭繁, 化难为易, 提高解题效率, 达到事半功倍的效果.
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数学中的对称美
对称性是数学美的最重要的特征。 几何中的轴对称、中心对称，代数中的许多运用都能给人以美感。发掘学生对数学的审美能力，这对引发学生的数学兴趣和学习上都有很大的帮助。 许多数学教师在教学中关注怎样利用数学中的对称美, 提高学生学习数学的兴趣, 提高解题的能力。我认为, 数学教师在教学中, 更要注意引导学生利用对称美提出问题, 进行数学创新。这样做, 有利于学生跳出题海, 掌握学习的主动权。
一 ：代数中的对称美：
常出现在规律运算、数列运算、函数运算中
例如1： “回文数”是一种数字，也是一种对称数。如:98789，这个数字正读是98789，倒读也是98789，正读倒读一样，所以这个数字就是回文数。
计算111111111×111111111的值
解：我们最常见的一组算式：
1×1=1 11×11=121
11×111=12321 1111×1111=1234321
从上述计算中得出对称规律可得：
111111111×111111111=[**************]21
例如2、计算 ：1 + 2 + 3 +┅ + 100
引导学生利用数学对称美来解。
解：设 x = 1 + 2 + 3 + ┅ + 100 ①
倒过来x = 100 + 99 + ┅ + 1 ②
① + ② 得 2x = 101 × 100
∴ x = 5050
即：1 + 2 + 3 + ┅ + 100 = 5050
例如3、已知正比例函数 与反比例函数 的一个交点是（2，3），则另一个交点是（ ， ）. 分析：因为正比例函数 与反比例函数 都是关于原点中心对称图形，从而它们的交点也是关于原点中心对称。所以另一个交点是（ －2，－3 ）.
例如4、 如图，请写出△ABC中各顶点的坐标．在同一坐标系中画出直线m ：x=•-1，并作出△ABC关于直线m 对称的△A′B′C′．若P （a ，b ）是△ABC中AC 边上一点，•请表示其
1
在△A′B′C′中对应点的坐标．
分析：直线m ：x=-1表示直线m 上任意一点的横坐标都等于-1，因此过点（-1，0）•作y 轴的平行线即直线m ．画出直线m 后，再作点A 、C 关于直线m 的对称点A′、C′，•而点B 在直线m 上，则其关于直线m 对称的点B′就是点B 本身．
解：（1）△ABC中各顶点的坐标分别是A （1，4）、B （-1，1）、C （2，-1）
（2）如右图，过点（-1，0）作y 轴的平行线m ，即直线x=-1．
（3）如右图，分别作点A 、B 、C 关于直线m 对称的点A′（-3，4）、B′（-1，1）、C′（-4，-1），并对顺次连接A′、B′、C′三点，则△A′B′C′即为所求．
（4）观察发现三组对称点的纵坐标没有变化．而横坐标都可以表示为2×（-1）•减去对应点的横坐标．所以点P 的对应点的坐标为（-2-a ，b ）。
注意：2×（-1）中的-1即对称轴x=-1．若对称轴不是x=-1，而是y=2，相信聪明的你是一定能作出对称的三角形的，也一定能发现其中坐标变化的规律．
二、几何中的对称美：
“对称”在数学上的表现则是普遍的，几何上平面的情形有直线对称（轴对称）和点对称（中心对称），空间的情形除了直线和点对称外，还有平面对称。正偶边形既是中心对称图形又是轴对称， 正奇边形不是中心对称图形但是轴对称。比如正方形既是轴对称图形（以过对边中点的直线为轴），以是中心对称图形（对角线的交点为对称中心），圆也是。
例如1：在锐角∠AOB内有一定点P ，试在OA 、OB 上确定两点C 、D ，使△PCD的周长最短． 分析：△PCD的周长等于PC+CD+PD，要使△PCD的周长最短，•根据两点之间线段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P 关于直线OA•和OB 的对称点E 、F ，则△PCD的周长等于线段EF 的长．
作法：如图．①作点P 关于直线OA 的对称点E ；
②作点P 关于直线OB 的对称点F ；
③连接EF 分别交OA 、OB 于点C 、D ．则C 、D 就是所要求作的点．
证明：连接PC 、PD ，则PC=EC，PD=FD．
在OA 上任取异于点C 的一点H ，连接HE 、HP 、HD ，则HE=HP．
∵△PHD的周长
=HP+HD+PD=HE+HD+DF>ED+DF=EF
而△PCD的周长
2
=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EF
∴△PCD的周长最短．
例如2：作图设计，村庄A 、B 位于不平行的两条小河的两侧，若要在两条小河上各架设一座与河岸垂直的桥，并要使A 到B 的路程最近，问桥应架在何处？
解：此题看来很复杂，但利用对称的原理来稍做改变，问题就可以迎刃而解了．
设河岸为L1、L2、L3、L4，L1//L2，L3//L4，作AA1⊥L1，BB1⊥L3，使AA1的长为L1与L2之间的距离．连接A1B1交L2于A2，交L3于B2，则A2、B2就是加桥的地址，再从A2、B2出发作两座桥．
对称美在数学解题中有重要的应用, 在解题过程中注意到对称性, 则可以以简驭繁, 化难为易, 提高解题效率, 达到事半功倍的效果.
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