空间平面的性质空间直线与直线之间的位置关系

一、平面及其表示法

（一）平面：平的，没有厚度的，在空间无限延伸的图形叫做平面.

数学中的平面的概念是现实中平面形象抽象的结果. 比如平静的湖面、桌面等.

平面的表示方法：（1）用大写的英文字母表示：平面M ，平面N 等；（2）用小写的希腊字母表示：平面α，平面（3）用平面上的三个（或三个以上）点的字母表示：（如图14-1）平面ABCD 等.

β等；

平面的直观图画法：正视图垂直放置的平面M 水平放置的平面M 注意：看得见的线用实线，看不见的线用虚线. （二）空间点、线、面的位置关系的集合语言表示法

在空间，我们把点看作元素，直线和平面看作是由元素点所组成的集合，建立了如下点、线、面的集合语言表示法.

1. 点与线： 2. 点与平面：

点A 在直线L 上：A ∈l （直线L 经过点A ）；点A 在平面α内：A ∈α（平面α经过点A ）；点Q 不在直线L 上：Q ∉l 点B

不在平面α内：B ∉α；

3. 直线与平面：

1直线L 在平面α上： ○2直线L 在平面α外：

○

直线L 上所有的点都在平面α上，当直线L 与平面α只有一个公共点A 时，即直线L 在平面α上，或平面α 称直线L 与平面α相交于点A ，经过直线L ，记作l ⊂α. 记作l α=A ；

≠

3直线与平面平行 ○4直线与直线相交：

○

当直线L 与平面α没有公共点时，称直直线a 与直线b 相交于点A ，记作a b =A . 线L 与平面α平行，记作l α=∅或l //α.

5平面与平面： ○

两平面重合：当平面α上所有的点都在平面β上时，称平面α与平面β重合；

两平面相交：当不同的两个平面α与β有公共点时，将它们的公共点的集合记为L ，称平面α与平面β相交于L ，记作α β=l .

两平面平行：当两个平面α与β没有公共点时，称平面α与平面β平行，记作α β=∅或α//β.

（三）例题解析

例1观察下面图形，说明它们的摆放位置不同．

解：我们看到了这个几何体的前后两个面. [说明]培养学生的空间想象能力.

例2 （口答）正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面AC 11, A 1B , B 1C ，分别记作α, β, χ，试用适当的符号填空.

(1) A 1_______α, B 1_______α

(2) B 1_______γ, C 1_______γ

(3) A 1_______β, D _______β

(4) α_______β=A 1B 1, β_______γ=BB 1

(5) A 1B 1________α, BB 1________β, A 1B 1________γ

解：(1)∈, ∈;(2)∈, ∈;(3)∈, ∉;(4)⋂, ⋂;(5)⊂, ⊂, ⊄

≠≠

[说明]能够熟练运用集合符号来说明点、线、面间的位置关系.

练习、根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形.

(1)A ∈α, B ∉α； (2l ) ⊂) ⋂β=l ； (4)P ∈l , P ∉α, Q ∈l , Q ∈α. , ⊄α； (3α≠αm

解：（1）点A 在平面α内，点B 不在平面α内；（2）直线L 在平面α上，直线m 在平面α外；

（3）平面α交平面β与直线L ；

（4）点P 在直线L 上，不在平面α上；点Q 在直线L 上，也在平面α上.

二、三个公理三个推论

（一）公理1：如果直线l 上有两个点在平面α上，那么直线l 在平面α上. （直线在平面上）。用集合语言表述：A ∈l , B ∈l , A ∈α, B ∈α⇒l ⊂≠α

（二）公理2：如果不同的两个平面α、β有一个公共点A ，那么α、β的交集是过点A 的直线l . （平面与平面相交）。用集合语言表述：A ∈α⋂β⇒α⋂β=l 且A ∈l .

（三）公理3:不在同一直线上的三点确定一个平面. （确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”. 用集合语言表述：A ，B ，C 不共线=>A，B ，C 确定一个平面

推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面. 证明：设A 是直线l 外的一点，在直线l 上任取两点B 和C ，由公理3可知A ，B 和C 三点能

确定平面α. 又因为点B , C ∈α，所以由公理1可知B ，C 所在直线l ⊂α，即平面α是由直线l 和点 A

≠

确

定的平面.

用集合语言表述：A ∉l ⇒A , l 确定平面α

推论2：两条相交的直线确定一个平面. 用集合语言表述：a ⋂b =A ⇒a , b 确定平面α 推论3：两条平行的直线确定一个平面. 用集合语言表述：a //b

⇒a , b 确定平面α

（四）例题解析

例1如图，正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，E ，F 分别是B 1C 1, BB 1的中点，问：直线EF 和BC 是否相交？如果相交，交点在那个平面内？解：

E ∈B 1C 1⇒E ∈平面B 1C ⎫

平面B 1C ⎬⇒EF ⊂≠F ∈B 1B ⇒F ∈平面B 1C ⎭

又BC ⊂平面B 1C ，则直线EF 和BC 共面；

≠

EF 与BC 共面⎫

⎪

BC //B 1C 1⎬⇒EF 与BC 相交 EF ⋂B 1C 1=E ⎪⎭

设直线EF 和BC 相交于点p ，则p 在直线BC 上，即点P 在平面ABCD 上. [说明]利用公理1确定直线在平面内.

例2、若α⋂β=a , α⋂χ=b , β⋂χ=c , a ⋂b =P ，求证：直线c 必过点P.

α⋂β=a ⎫⎫

P ∈β⎧⎪⎪

α⋂χ=b ⎬⇒⎨⇒P ∈β⋂χ⎪

⎬⇒P ∈c ⎩P ∈χ解：β⋂χ=c ⎪ ⎭⎪

β⋂χ=c ⎪⎭

[结论]三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点.

例3 (1)空间三个点能确定几个平面？(2)空间四个点能确定几个平面？

解：(1)三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面. 所以三点可以确定一个或无数个平面.

(2)四点共线有无数个平面；有三点共线可确定一个平面；任意三点不共线能确定1个或3个平面. 所以四点可以确定1个或3个或无数个平面. [说明]公理3的简单应用.

练习、(1)空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？(2)空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？解：(1)三条直线相交于一点可以确定1个或3个平面；

(2)四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面.

[说明]推论2的简单应用.

例5 如图，AB//CD，AB ⋂α=E , CD ⋂α=F ，求作BC 与平面α的交点.

解：连接EF 和BC ，交点即为所求BC 与平面α的交点. （公理3和公理2） [说明]推论3的简单应用.

（五）课内练习：

1）若A ∈平面α，B ∈平面α, C ∈直线AB ，则（ A ） A、C ∈α B、C ∉α C、AB ⊄α D、AB ⋂α=C 2）判断

①若直线a 与平面α有公共点，则称a ⊄α. （×） ②两个平面可能只有一个公共点. （×）

αB

③四条边都相等的四边形是菱形. （×） ④若A 、B 、C ∈α，A 、B 、C ∈β，则α, β重合. （×）

⑤若4点不共面，则它们任意三点都不共线. （√） ⑥两两相交的三条直线必定共面. （×） 3）下列命题正确的是（ D ） A 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形； B、四条线段顺次首尾连接所构成的图形一定是平面图形. C 、三条互相平行的直线一定共面. D、梯形是平面图形. 4）不在同一直线上的5点，最多能确定平面（ C ） A 、8个 B、9个 C、10个 D、12个

5）两个平面可把空间分成 3或4 部分；三个平面可把空间分成 4、6、7或8 部分. 解析：两个平面将空间分成3、或4部分。三个平面将空间分成4、6、7、8部分（图81-12）。

图14.1-12

（六）应用与证明 1、共面问题

例1 已知直线l 1, l 2, l 3两两相交，且三线不共点. 求证：直线l 1, l 2和l 3在同一平面上. 证明：设l 1⋂l 3

=A , l 2⋂l 3=B , l 1⋂l 2=C , l 1⋂l 3=A ,

l 1

⇒（推论2）l l 2

1, l 3可确定平面α⎫

⎫C =l ⎬⇒C ∈平面α⎪

1⋂l 2⇒C ∈l 1⎭⎬

同理B ∈平面α⎪

⎭1）⇒BC ⊂平面α即l 3∈平面α

⇒直线l 1, l 2, l 3, 在同一平面上

【说明】证明共面问题的基本方法是归一法和同一法. 归一法：先根据公理3或其推论确定一个平面，然后再利用公理1证明其它的点或直线在这个平面内.

练习、已知：l 1, l 2, l 3, l 4两两相交且无三线共点，求证：l 1, l 2, l 3, l 4在同一平面上.

E l 1

l 2l 4

（公理

证：设l 1⋂l 3=A , l 2⋂l 3=B , l 1⋂l 2=C , l 3⋂l 4=D , l 2⋂l 4=E l 1⋂l 2=C ⇒l 1与l 2确定平面α

⎫⎧A ∈α

⇒AB ⊂α⎬⇒⎨

又 l 1⋂l 3=A ，l 2⋂l 3=B ⎭⎩B ∈α⇒l 3⊂α⎫

⎪

l 4⋂l 3=D ⎬⇒DE ⊂平面α⇒l 4⊂α⇒四线共面l 4⋂l 2=E ⎪⎭⇒l 1, l 2⊂平面α

例2、已知直线l 与三条平行直线a,b,c 都相交，求证：l 与a 、b 、c 共面. 解题策略：同一法证明：如图设a ⋂d a ||b ,

=A , b ⋂d =B , c ⋂d =C

∴a 、b 可确定一个平面α

A ∈a , B ∈b , ∴A ∈α, B ∈α，∴AB ⊂α, 即d ⊂α b ||c , ∴b 、c 可确定一个平面β；同理可证d ⊂β. α、β均过相交直线b 、d ，∴α、β重合，a 、b 、c 、d 共面

【说明】同一法：可先由已知条件分别确定平面，然后再证它们是重合的 2、三点共线

例3在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别在棱AB , BB 1, CC 1上，且DP , QR 相交于O 。求证：O 、B 、C 三点共线

证： DP ⋂QR =O ⇒O ∈直线DP ⎫

⎬⇒O ∈平面ABCD

又 DP ⊂平面ABCD ⎭

又 O ∈QR , 直线QR ⊂平面BB 1C 1C ⇒O ∈平面BB 1C 1C ⇒O ∈BC

⇒O 、B 、C 三点共线

⎫ ⎬

又平面ABCD ⋂平面BB 1C 1C =BC ⎭

图（例3）【说明】要证明空间三点共线的方法：将线看做两平面的交线，

只需证明这三点都是两个平面的公共点，则公共点必定在两平面的交线上，因此三点共线. A 练习、已知∆ABC 在平面α外，AB ⋂α=P , AC ⋂α=Q , BC ⋂α=R . 求证：P 、Q 、R 三点共线 .

直线AB ⋂直线AC =A

⇒直线AB 、AC 确定平面β⎫证： ⎪

AB ⋂α=P ⎬

⇒α⋂β=PQ

⎪AC ⋂α=Q ⎭

⎫

BC ⊂β⎫R ∈β⎫⎪⎧B ∈β

⇒⇒⇒ C ∈直线AC ⎬⎨⎬⎬

R ∈直线BC ⎭BC ⋂α=R ⎭⎩C ∈βAB ⊂β，AC ⊂β⎪⎭

B ∈直线AB

⇒

R ∈α⋂β⎫

⎬⇒R ∈PQ ⇒P 、Q 、R 三点共线

α⋂β=PQ ⎭

A H

3、三线共点

例4、空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB,BC,CD,DA 上的点，

已知EF 与HG 相交于Q 点. 求证：EF 、HG 、AC 三点共线

⇒EF ⊂平面ABC ⎫

E ∈AB ⎫⎪⎧Q ∈平面ABC Q ∈平面ABC

⋂平面ACD ⎫证：同理HG ⊂平面ACD ⇒⎬⎬⇒⎨⎬ F ∈BC ⎭Q ∈平面ACD 平面ABC ⋂平面ACD =AC ⎭⎪⎩EF ⋂HG =Q ⎭⇒Q ∈AC 即EF 、HG 、AC 三线共点

【说明】先确定2条直线的交点，再证另一直线也过该交点

练习、已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、DC 的三等分点（如下图），求证：直线EF 和HG 必交于一点，且交点在AC 上.

证明：连结GE 、HF ，

∵E 、G 分别为BC 、AB 的中点， ∴GE ∥AC .

又∵DF ∶FC =2∶3，DH ∶HA =2∶3， ∴HF ∥AC . ∴GE ∥HF . 故G 、E 、F 、H 四点共面. 又∵EF 与GH 不能平行，

∴EF 与GH 相交，设交点为O .

则O ∈面ABC ，O ∈面ACD ，而平面ABC ∩平面A CD =AC . ∴EF 、GH 、BD 交于一点.

评述：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线.

三、截面的画法

例1 已知：α⋂β=l ，画出过A 、B 、C 三点的平面γ与α, β的交线

解：分析：

A 、B ∈α，A 、B ∈γ，∴AB =α⋂γ， AB ⊂α，l ⊂α, AB 与l 不平行

≠≠

∴AB 与l 相交，设交点为D

∴D ∈l , l ⊂β，∴D ∈β，又 D ∈AB,AB ⊂γ，∴D ∈γ，∴D ∈β⋂γ

≠≠

又 C ∈β⋂γ，∴CD =β⋂γ

练习1：(1)画出过画出过A 、B 、C 三点的平面γ与α, β的交线;(2)画出过画出过A 、B 、C 三点的平面M 与α, β, γ的交线

A α αA β

练习2、下列表示相交平面的图14.1—13中，哪几个是对的，哪几个是错的? 错的应如何改正?

图14.1-13 说明：本题旨在让学生懂得应从同一视角去观察哪些部分已被一个或一个以上的平面所遮住，从而学习正确识别空间图形，掌握相交平面的正确画法．

例2 如图，P 、Q 、R 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 、BC 上的点，且PQ 与BD 不平行，画出平面PQR 与平面BCD 的交线.

Q O

练习、在长方体ABCD -A 画出:(1)平面AC 1BC 11D 1中，11D 与平面B 1D 1D 的交线;(2)平面AC 11B 与平面A B 1D 1的交线。

C 1

C D 1 A A 1B 1

分析：

A B O ∈面A 1C 1D ⋂面B 1D 1D

1） D∈面A 1C 1D ⋂面B 1D 1D ∴OD 即为平面AC 11D 与平面B 1D 1D 的交线

∴面A 1C 1D ⋂面B 1D 1D=OD

E ∈面A 1C 1B ⋂面AB 1D 1

2） F∈面A 1C 1B ⋂面AB 1D 1 ∴EF 即为平面AC 11B 与平面A B 1D 1的交线 ∴面A 1C 1B ⋂面AB 1D 1=EF

例3、在正方体ABCD —A’B’C’D’中的棱A’B’，BB’，D’C’分别有三点. 1） M 、P 、N 过三点作截面，确定其与各平面的交线; 2）正方体中，画出过其中三条棱的重点P 、Q 、R 的平面截正方体的截面

练习、已知M 、N 、P 分别为C’D，AD ，CC’的中点.(1)画出过MNP 三点的正方体的截面;(2)计算截面的周长

解析：1）∴截面为MGNFE 即为所求

MD a 1=D 1H =EC=CK=2

∆HGD 1

∆HND

2）

∴GD

1ND =HD 1HN =13

∴GD 1

1=CF =6

在Rt ∆MD 1G 中，

GM =

∴EF =

ME =

, 又

∆HND ≅∆KDN ∴GN=NF HN =

HG HD 12a ∴HN =HD =13

，

∴HG =∴GN =-=周长=2⋅

3a +26+2a =2

a （二）小结

作图主要是利用是公理2，①确定两个平面的交线，即先找两个平面的两个公共点，再作连线. ②判定两个平面相交，即两平面只要有一个公共点即可. ③判定点在直线上，即点是某两平面的公共点，线是这两平面的公共直线，则这个点在这条直线上. 练习

1、画出过已知三点M 、N 、P 的截面.

A A C C C

2、如图所示过，正方体ABCD -A AB 上的中点. （1）求作正方体的对角线AC 1BC 11D 1,E,F 为AD 、1与截面EFB 1D 1的交点; （2）能分析这个截面的有关性质、结论吗？

四、水平放置的平面图的直观图的画法-----斜二侧画法

要画空间图形直观图，首先要学会画水平放置的平面图的直观图的画法，下举例说明一种常用画法：例1、水平放置的正六边形的直观图(如图81—20) ．

图81-20 图14.1-21 图81-22

画法：(1)在已知正六边形ABCDEF 中，取对角线AD 所在的直线为x 轴，取对称轴GH 为y 轴，画对应的x 轴，y 轴，使x O y =45(如图81—21) ．

////

(2)以点O 为中点，在x 轴上取A D =AD ，在y /轴上取G H =

////0

GH 以点H 为中点画F /E /平行于x 2

轴，并等于FE ；再以G /为中点画B'C 平行于x ，轴，并等于BC ，

////////

(3) 联结A B , C D , D E , F A 所得的六边形A B C D E F 就是正六边形ABCDEF 的直观图。（图

图81-22，要擦去辅助线．)

上面画直观图的方法叫做斜二测画法，这种画法的规则是：

(1)在已知图形中取互相垂直的轴Ox ，Oy ．画直观图时，把它画成对应的轴O'x /，O /y /，使x O y =45 (或者135*)．它们确定的平面表示水平平面。

(2)已知图形中平行于x 轴或) y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x 轴或y 轴的线段．

(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半。例2、水平放置的正五边形的直观图(如图81—23) ．

///0

图14.1-23 图14.1-24 图14.1-25

解：(1)在已知正五边形ABCDE 中，取对角线BE 所在的直线为x 轴，取对称轴AF 为y 轴．分别过点c ，D 作CG//Oy，DH//oy，与x 轴分别交于G ，H ，画对应的x 轴、y 轴，使之x O y =135如图81—24) ．

（2）以点O /为中点，在x 轴上截取G /H /=GH．在x 轴的同一侧画线段C /G ///，O /y /，D /H ///O/y /，并使

/////0

C /G /=

111

CG , D /H /=DH ，在x 轴的另一侧的y /轴上取一点A /，使O /A /=OA ，以O /为中点，在x /上222

取B E =BE 。

（3）连接A /B /, B /C /, C /D /, D /E /, E /A /即得五边形A B C D E 。就是正五边形ABCDE 的直观图。

五、空间中两条直线的平行

a b ⎫

⎬⇒a c . (1)公理4:平行于同一直线的两条直线相互平行.

c b ⎭

公理分析：要证明空间两条直线平行，要找到中间桥梁. (2)等角定理

平面等角定理：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组相交直线所成角相等或互补. 空间等角定理：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组相交直线所成的锐角（或直角）相等. 注意表述上区别：平面几何合立体几何中某些理论上的不一致应引起学生掌握理论时的重视. （3）例题分析

例1：在长方体ABCD -A 1BC 11D 1中，E 、F 分别为B 1C 1，AD 的中点，求证：A 1F EC 证明：取BC 中点G ，连结B 1G ，

E 为B 1C 1中点⎫

⎬

G 为BC 中点⎭⇒ EB 1GC ⇒B 1G EC ，

FG AB 且FG =AB AB A 1B 1且AB =A1B 1

，∴A A 1B 1 FG 且A 1B 1=FG ⇒ A 1B 1FG ⇒A 1F BG 11F EC

[例题解析]：学会在空间中借助平行四边形，寻找起到桥梁作用的直线. 例2、在长方体ABCD -A 1BC 11D 1中，求证：∠D 1AC =∠AC 11B . 证明：AA 1 CC 1且AA 1=CC 1⇒ AAC 11C ⇒AC 11 AC , AB C 1D 1且AB =C 1D 1⇒ ABC 1D 1⇒AD 1 BC 1,

∠D 1AC , ∠AC 11B 是锐角，∴∠D 1AC =∠AC 11B .

[说明]：掌握在空间中利用直线的平行来证明角相等.

（四）、问题拓展

例3、已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边中点. （1）判断四边形EFGH 形状；（答：平行四边形. 通过公理4）（2）若空间四边形中对角线AC=BD，判断四边形EFGH 形状；（答：菱形. 平行四边形对角线相互垂直） A

（3）四边形EFGH 什么情况下为矩形？（答：对角线相互垂直，即AC ⊥BD ）（4）结合（2）、（3），可得正方形EFGH （5）第（2）、（3）、（4）题的逆命题是否成立？该如何求证？如（2）若四边形EFGH 中，EG ⊥HF ，则AC=BD （6）若E 、H 分别为AB 、AD 中点，F 、G 为CB 、CD 三等分点，且CF =状. （梯形EFGH ）

CB , CG =CD ，判断四边形EFGH 形33

证明：E 、H 分别为AB 、AD 中点⇒EH

BC 且EH =BC 22

CF CG 111

==⇒FG BC 且FG =BC ⇒EH FG ，EH >FG ⇒梯形EFGH BC CD 333

[说明] 这是空间两条直线平行——公理4的典型应用，加以推测、证明的重要应用.

2、对于平面图形的结论:有些可推广到立几图形并有完全相同的结论; 有些在立几图形中有相似的结论, 但不完全相同; 有些在立几中则有完全不同的结论. 课后作业：

1．在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中, 点E 、F 分别是AA 1, CC 1 中点，判断四边形BED 1F 的形状并加以证明. 答案：平行四边形但不是矩形。

2. 在正方体中，点E 、F 分别在AB 、AD 上，点G ，H 分别在C 1D 1, C 1B 1 上，且满足AE =C 1G , AF =C 1H ，联结A 1F , A 1E , CH , CG ，求证：∠EA 1F =∠GCH

3. 空间四边形ABCD 的各边中点依次为E 、F 、G 、H ，连结EG 、FH. （1）求证：EG 与HF 互相平分；（2）若BD=2，AC=4，求EG +HF 的值. 答案：EG +HF =10。

5. 如图,A 是ΔBCD 所在平面外一点,M,N 分别是ΔABC 和ΔACD 的重心, 若BD=6,求MN 的长.

答案：MN=2 六、异面直线

（1）异面直线：把不能置于同一平面的两条直线，称为异面直线. 说明：与平行直线、相交直线的区别：

相交直线：在同一平面内，有且只有一个交点. 平行直线：在同一平面内，没有公共点.

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. （2）异面直线的画法：

说明：注意分别在两个平面内的直线二条直线，不一定是异面直线.

(3)异面直线的判定：不平行、不相交的两条直线. (4)证明异面直线

例题：l 上有且只有一点A ∈α，求证：l ⊄α.

证明：假设l ⊂α⇒l 上所有的点都属于α，与已知：l 上有且只有一点A ∈α矛盾. ∴l 通过例题学习如何证明异面直线. 七、异面直线所成角

反证法：假设否定的结论，从假设出发，引出矛盾——与条件矛盾，或者与已知的公理、定理矛盾.

⊄α

1、异面直线a 与b 所成的角：在空间内任取一点P ，过P 分别作a 和b 的平行线a 和b , 则a 和b 所成的锐角(或直角) 叫做异面直线a 与b 所成的角.

问题1: 理论依据—等角定理.

问题2：为什么规定异面直线所成角只是锐角或直角？

答：因为两条相交直线交出四个角，只要知道其中一个，就可以知道其它所有的角，因此我们只研究其中较简单的锐角或直角.

2、异面直线所成角范围 0, 例题分析

例1 两条异面直线指的是（ D ）

（A ）空间不相交的两条直线；（B ）分别位于两个不同平面上的两条直线；（C ）某平面上的一条直线和这个平面外的一条直线；（D ）不能同在一个平面上的直线。例2．判断下列命题的真伪：

①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线）

③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）

④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内） ⑤平行于同一个平面的两直线平行. （×）（两直线可能相交或者异面） ⑥直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β. （×）（α、β可能相交）

练习1、若a 、b 是两条异面直线，且分别在平面α、β内，若α⋂β=l ，则直线l 必定（ B ）

A ．分别与a 、b 相交； B. 至少与a 、b 之一相交； C. 与a 、b 都不相交； D. 至多与a 、b 之一相交.

练习2．如果a,b 是异面直线，b,c 分别与a,b 都相交，则b,c 的位置关系是（ D ）. A ．异面； B.相交或平行； C.异面或平行； D.不平行.

例3、直线l 与平面α相交于点A ，直线m 在平面α上，且不经过点A ，求证：直线l 与m 是异面直线.

' ' '

⎛⎝

π⎤

⎥2⎦

证明：书第10页

[例题解析]学习用反证法证明异面直线.

例4、（1）正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，哪些棱所在直线与直线BC 1成异面直线？

答：共有6条棱.

（2）如图所示，空间四边形ABCD 中，H 、F 是AD 边上的点，G 、E 是BC 边上的点. 那么与AB 成异面直线的直线有哪几条？那么与CD 成异面直线的直线有哪几条？那么与EF 成异面直线的直线有哪几条？解析：与AB 成异面直线的线段有：HG 、EF 、CD ；与CD 成异面直线的线段有：AB 、HG 、EF ；与EF 成异面直线的线段有：HG 、AB 、EF 、CD 。

3. 问题拓展

(1)空间内两直线所成角范围：⎢⎡⎣0,

π⎤

2⎥⎦

. 当空间两直线l 1、l 2所成角为直角时，l 1⊥l 2；当空间两直线l 1、l 2所成角为零角时，若l 1⋂l 2=∅，则l 1 l 2；若l 1⋂l 2≠∅，则l 1=l 2 (2)异面垂直:如果两条异面直线所成的角是直角, 则这两条异面直线互相垂直.

记法:异面直线a,b 互相垂直, 记为a ⊥b; 分类:两直线垂直⎧⎨

共面垂直（相交） ⎩

异面垂直(3)异面直线所成角例题

例5、在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=5，BC=4，CC 1=3. （1）B 1C 和DD 1所成角大小. （2）BC 和A 1C 1所成角大小；（3）B 1C 和AD 1所成角大小.

解：（1） C 1C D 1D ，∴∠B 1CC 1为异面直线 B 1C 和DD 1所成角，在RT B 1C 1C 中，B 1C 1=BC =4, C 1C =3，∴tan ∠B 4

1CC 1=3

∠B 41CC 1=arctan

3，∴异面直线B arctan 41C 和DD 1所成角大小为3

. （2） BC B 1C 1，∴∠AC 11B 1为异面直线BC 和A 1C 1所成角，在RT B 1C 1C 中，A 1B 1=AB =5, B 1C 1=BC =4，∴tan ∠AC

511B 1=4, ∠A arctan 5

1C 1B 1=4

， ∴异面直线BC 和A 1C 1

所成角大小为arctan 54

（3） AD 1 BC 1，设B 1C 和BC 1 相交于O ，∴∠C 1OB 1为异面直线B 1C 和A D 1所成角（或其补角）在 BOC 5

11中，B 1C 1=4，B 1O =

=C 1O ,

77⇒∠B 1OC 1=π-arccos 2525

异面直线B 1C 和A D 1所成角大小为arccos

利用余弦定理，cos ∠B 1OC 1=-

例6、在空间四边形ABCD 中，AB=CD=6，M 、N 分别是对角线AC 、BD 的中点且MN=5，求异面直线AB 、CD 所成角大小.

解：取AD 中点，在 ABD 中，NE =在 ADC 中，ME =

11AB , NE AB 22

CD , ME CD ，∠NEM 为异面直线AB 、CD 所成角（或其补角） 22

在 NEM 中，MN =5，NE =ME =3，利用余弦定理，

777

cos ∠NEM =-⇒∠NEM =π-arccos ，异面直线AB 和CD 所成角大小为arccos

181818

[说明]在空间四边形中，求解异面直线所成角是一种典型问题.

例7．如图，三棱锥P-ABC 三条棱PC 、AC 、BC 两两垂直，E 为线段AB

的中点，AC =BC =变化时，求异面直线PB 与CE 所成角的取值范围. 解析：作AP 中点D ，连DE 、CD ，

PC =t ，当t

t ∈(0,+∞

) ，ED =， CD =

AB =2，CE =1，

cos ∠CED =

CE +DE -CD π

⇒∠CED ∈（2CE ⋅DE 42

222

练习．如图，三棱锥

P-ABC 三条棱PC 、PA 、PB 两两垂直，E 为线段AB 的中点，AC =BC =t 变化时，求异面直线PB 与CE 所成角的取值范围. 解析：作AP 中点D ，连DE 、CD ，

PC =t ，当

, t ∈，ED = CD =

，CD =， AB =，CE =

CE 2+DE 2-CD 2ππ

cos ∠CED =(0,⇒∠CED ∈（）2CE ⋅DE 2424、课后作业

1．如果a,b 是异面直线，b,c 也是异面直线，则a,c 的位置关系是（ D ）. A ．异面； B.相交或平行； C.异面或平行； D.相交，平行，异面都有可能. 2．若直线a,b 都垂直于直线c ，则a,b 的位置关系是（ D ）

A ．平行； B.相交或平行； C.异面或平行； D.相交，平行，异面都有可能. 3．长方体ABCD -A 1BC 11D 1中，AB=2AD=3AA 1. 求异面直线AC 和BC 1所成角大小.

4．长方体ABCD -A 1BC 11D 1中，AB=4，AD=3，AA 1=2，求异面直线AC 1和BD 所成角大小

5．在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点.AB=CD=2，

EF =AB 与CD 所成角的大小.

6．如图，三棱锥P-ABC 三条棱PC 、PA 、PB 两两垂直，E 为线段AB

的中点，AC =BC =化时，求异面直线PB 与CE 所成角的取值范围. 解析：作AP 中点D ，连DE 、CD ，

PC =t ，当t 变

, t ∈

，ED =

CD =

22，CD =，

AB =

，CE =

CE 2+DE 2-CD 2ππ

cos ∠CED =(0,⇒∠CED ∈（）2CE ⋅DE 2426．如图，三棱锥P-ABC 三条棱PC 、AC 、BC 两两垂直，E 为线段AB

的中点，AC =BC =化时，求异面直线PB 与CE 所成角的取值范围. 解析：作AP 中点D ，连DE 、CD ，

PC =t ，当t 变

t ∈

，ED = CD =

AB =2，CE =1，

CE 2+DE 2-CD 2ππ

cos ∠CED =(0,⇒∠CED ∈（）

2CE ⋅DE 242

空间平面的性质空间直线与直线之间的位置关系

一、平面及其表示法

（一）平面：平的，没有厚度的，在空间无限延伸的图形叫做平面.

数学中的平面的概念是现实中平面形象抽象的结果. 比如平静的湖面、桌面等.

β等；

在空间，我们把点看作元素，直线和平面看作是由元素点所组成的集合，建立了如下点、线、面的集合语言表示法.

1. 点与线： 2. 点与平面：

点A 在直线L 上：A ∈l （直线L 经过点A ）；点A 在平面α内：A ∈α（平面α经过点A ）；点Q 不在直线L 上：Q ∉l 点B

不在平面α内：B ∉α；

3. 直线与平面：

1直线L 在平面α上： ○2直线L 在平面α外：

○

≠

3直线与平面平行 ○4直线与直线相交：

○

当直线L 与平面α没有公共点时，称直直线a 与直线b 相交于点A ，记作a b =A . 线L 与平面α平行，记作l α=∅或l //α.

5平面与平面： ○

两平面重合：当平面α上所有的点都在平面β上时，称平面α与平面β重合；

两平面相交：当不同的两个平面α与β有公共点时，将它们的公共点的集合记为L ，称平面α与平面β相交于L ，记作α β=l .

两平面平行：当两个平面α与β没有公共点时，称平面α与平面β平行，记作α β=∅或α//β.

（三）例题解析

例1观察下面图形，说明它们的摆放位置不同．

解：我们看到了这个几何体的前后两个面. [说明]培养学生的空间想象能力.

例2 （口答）正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面AC 11, A 1B , B 1C ，分别记作α, β, χ，试用适当的符号填空.

(1) A 1_______α, B 1_______α

(2) B 1_______γ, C 1_______γ

(3) A 1_______β, D _______β

(4) α_______β=A 1B 1, β_______γ=BB 1

(5) A 1B 1________α, BB 1________β, A 1B 1________γ

解：(1)∈, ∈;(2)∈, ∈;(3)∈, ∉;(4)⋂, ⋂;(5)⊂, ⊂, ⊄

≠≠

[说明]能够熟练运用集合符号来说明点、线、面间的位置关系.

练习、根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形.

(1)A ∈α, B ∉α； (2l ) ⊂) ⋂β=l ； (4)P ∈l , P ∉α, Q ∈l , Q ∈α. , ⊄α； (3α≠αm

解：（1）点A 在平面α内，点B 不在平面α内；（2）直线L 在平面α上，直线m 在平面α外；

（3）平面α交平面β与直线L ；

（4）点P 在直线L 上，不在平面α上；点Q 在直线L 上，也在平面α上.

二、三个公理三个推论

（一）公理1：如果直线l 上有两个点在平面α上，那么直线l 在平面α上. （直线在平面上）。用集合语言表述：A ∈l , B ∈l , A ∈α, B ∈α⇒l ⊂≠α

推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面. 证明：设A 是直线l 外的一点，在直线l 上任取两点B 和C ，由公理3可知A ，B 和C 三点能

确定平面α. 又因为点B , C ∈α，所以由公理1可知B ，C 所在直线l ⊂α，即平面α是由直线l 和点 A

≠

确

定的平面.

用集合语言表述：A ∉l ⇒A , l 确定平面α

推论2：两条相交的直线确定一个平面. 用集合语言表述：a ⋂b =A ⇒a , b 确定平面α 推论3：两条平行的直线确定一个平面. 用集合语言表述：a //b

⇒a , b 确定平面α

（四）例题解析

例1如图，正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，E ，F 分别是B 1C 1, BB 1的中点，问：直线EF 和BC 是否相交？如果相交，交点在那个平面内？解：

E ∈B 1C 1⇒E ∈平面B 1C ⎫

平面B 1C ⎬⇒EF ⊂≠F ∈B 1B ⇒F ∈平面B 1C ⎭

又BC ⊂平面B 1C ，则直线EF 和BC 共面；

≠

EF 与BC 共面⎫

⎪

BC //B 1C 1⎬⇒EF 与BC 相交 EF ⋂B 1C 1=E ⎪⎭

设直线EF 和BC 相交于点p ，则p 在直线BC 上，即点P 在平面ABCD 上. [说明]利用公理1确定直线在平面内.

例2、若α⋂β=a , α⋂χ=b , β⋂χ=c , a ⋂b =P ，求证：直线c 必过点P.

α⋂β=a ⎫⎫

P ∈β⎧⎪⎪

α⋂χ=b ⎬⇒⎨⇒P ∈β⋂χ⎪

⎬⇒P ∈c ⎩P ∈χ解：β⋂χ=c ⎪ ⎭⎪

β⋂χ=c ⎪⎭

[结论]三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点.

例3 (1)空间三个点能确定几个平面？(2)空间四个点能确定几个平面？

解：(1)三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面. 所以三点可以确定一个或无数个平面.

(2)四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面.

[说明]推论2的简单应用.

例5 如图，AB//CD，AB ⋂α=E , CD ⋂α=F ，求作BC 与平面α的交点.

解：连接EF 和BC ，交点即为所求BC 与平面α的交点. （公理3和公理2） [说明]推论3的简单应用.

（五）课内练习：

1）若A ∈平面α，B ∈平面α, C ∈直线AB ，则（ A ） A、C ∈α B、C ∉α C、AB ⊄α D、AB ⋂α=C 2）判断

①若直线a 与平面α有公共点，则称a ⊄α. （×） ②两个平面可能只有一个公共点. （×）

αB

③四条边都相等的四边形是菱形. （×） ④若A 、B 、C ∈α，A 、B 、C ∈β，则α, β重合. （×）

图14.1-12

（六）应用与证明 1、共面问题

例1 已知直线l 1, l 2, l 3两两相交，且三线不共点. 求证：直线l 1, l 2和l 3在同一平面上. 证明：设l 1⋂l 3

=A , l 2⋂l 3=B , l 1⋂l 2=C , l 1⋂l 3=A ,

l 1

⇒（推论2）l l 2

1, l 3可确定平面α⎫

⎫C =l ⎬⇒C ∈平面α⎪

1⋂l 2⇒C ∈l 1⎭⎬

同理B ∈平面α⎪

⎭1）⇒BC ⊂平面α即l 3∈平面α

⇒直线l 1, l 2, l 3, 在同一平面上

练习、已知：l 1, l 2, l 3, l 4两两相交且无三线共点，求证：l 1, l 2, l 3, l 4在同一平面上.

E l 1

l 2l 4

（公理

证：设l 1⋂l 3=A , l 2⋂l 3=B , l 1⋂l 2=C , l 3⋂l 4=D , l 2⋂l 4=E l 1⋂l 2=C ⇒l 1与l 2确定平面α

⎫⎧A ∈α

⇒AB ⊂α⎬⇒⎨

又 l 1⋂l 3=A ，l 2⋂l 3=B ⎭⎩B ∈α⇒l 3⊂α⎫

⎪

l 4⋂l 3=D ⎬⇒DE ⊂平面α⇒l 4⊂α⇒四线共面l 4⋂l 2=E ⎪⎭⇒l 1, l 2⊂平面α

例2、已知直线l 与三条平行直线a,b,c 都相交，求证：l 与a 、b 、c 共面. 解题策略：同一法证明：如图设a ⋂d a ||b ,

=A , b ⋂d =B , c ⋂d =C

∴a 、b 可确定一个平面α

【说明】同一法：可先由已知条件分别确定平面，然后再证它们是重合的 2、三点共线

例3在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别在棱AB , BB 1, CC 1上，且DP , QR 相交于O 。求证：O 、B 、C 三点共线

证： DP ⋂QR =O ⇒O ∈直线DP ⎫

⎬⇒O ∈平面ABCD

又 DP ⊂平面ABCD ⎭

又 O ∈QR , 直线QR ⊂平面BB 1C 1C ⇒O ∈平面BB 1C 1C ⇒O ∈BC

⇒O 、B 、C 三点共线

⎫ ⎬

又平面ABCD ⋂平面BB 1C 1C =BC ⎭

图（例3）【说明】要证明空间三点共线的方法：将线看做两平面的交线，

直线AB ⋂直线AC =A

⇒直线AB 、AC 确定平面β⎫证： ⎪

AB ⋂α=P ⎬

⇒α⋂β=PQ

⎪AC ⋂α=Q ⎭

⎫

BC ⊂β⎫R ∈β⎫⎪⎧B ∈β

⇒⇒⇒ C ∈直线AC ⎬⎨⎬⎬

R ∈直线BC ⎭BC ⋂α=R ⎭⎩C ∈βAB ⊂β，AC ⊂β⎪⎭

B ∈直线AB

⇒

R ∈α⋂β⎫

⎬⇒R ∈PQ ⇒P 、Q 、R 三点共线

α⋂β=PQ ⎭

A H

3、三线共点

例4、空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB,BC,CD,DA 上的点，

已知EF 与HG 相交于Q 点. 求证：EF 、HG 、AC 三点共线

⇒EF ⊂平面ABC ⎫

E ∈AB ⎫⎪⎧Q ∈平面ABC Q ∈平面ABC

⋂平面ACD ⎫证：同理HG ⊂平面ACD ⇒⎬⎬⇒⎨⎬ F ∈BC ⎭Q ∈平面ACD 平面ABC ⋂平面ACD =AC ⎭⎪⎩EF ⋂HG =Q ⎭⇒Q ∈AC 即EF 、HG 、AC 三线共点

【说明】先确定2条直线的交点，再证另一直线也过该交点

练习、已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、DC 的三等分点（如下图），求证：直线EF 和HG 必交于一点，且交点在AC 上.

证明：连结GE 、HF ，

∵E 、G 分别为BC 、AB 的中点， ∴GE ∥AC .

又∵DF ∶FC =2∶3，DH ∶HA =2∶3， ∴HF ∥AC . ∴GE ∥HF . 故G 、E 、F 、H 四点共面. 又∵EF 与GH 不能平行，

∴EF 与GH 相交，设交点为O .

则O ∈面ABC ，O ∈面ACD ，而平面ABC ∩平面A CD =AC . ∴EF 、GH 、BD 交于一点.

评述：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线.

三、截面的画法

例1 已知：α⋂β=l ，画出过A 、B 、C 三点的平面γ与α, β的交线

解：分析：

A 、B ∈α，A 、B ∈γ，∴AB =α⋂γ， AB ⊂α，l ⊂α, AB 与l 不平行

≠≠

∴AB 与l 相交，设交点为D

∴D ∈l , l ⊂β，∴D ∈β，又 D ∈AB,AB ⊂γ，∴D ∈γ，∴D ∈β⋂γ

≠≠

又 C ∈β⋂γ，∴CD =β⋂γ

练习1：(1)画出过画出过A 、B 、C 三点的平面γ与α, β的交线;(2)画出过画出过A 、B 、C 三点的平面M 与α, β, γ的交线

A α αA β

练习2、下列表示相交平面的图14.1—13中，哪几个是对的，哪几个是错的? 错的应如何改正?

例2 如图，P 、Q 、R 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 、BC 上的点，且PQ 与BD 不平行，画出平面PQR 与平面BCD 的交线.

Q O

练习、在长方体ABCD -A 画出:(1)平面AC 1BC 11D 1中，11D 与平面B 1D 1D 的交线;(2)平面AC 11B 与平面A B 1D 1的交线。

C 1

C D 1 A A 1B 1

分析：

A B O ∈面A 1C 1D ⋂面B 1D 1D

1） D∈面A 1C 1D ⋂面B 1D 1D ∴OD 即为平面AC 11D 与平面B 1D 1D 的交线

∴面A 1C 1D ⋂面B 1D 1D=OD

E ∈面A 1C 1B ⋂面AB 1D 1

2） F∈面A 1C 1B ⋂面AB 1D 1 ∴EF 即为平面AC 11B 与平面A B 1D 1的交线 ∴面A 1C 1B ⋂面AB 1D 1=EF

练习、已知M 、N 、P 分别为C’D，AD ，CC’的中点.(1)画出过MNP 三点的正方体的截面;(2)计算截面的周长

解析：1）∴截面为MGNFE 即为所求

MD a 1=D 1H =EC=CK=2

∆HGD 1

∆HND

2）

∴GD

1ND =HD 1HN =13

∴GD 1

1=CF =6

在Rt ∆MD 1G 中，

GM =

∴EF =

ME =

, 又

∆HND ≅∆KDN ∴GN=NF HN =

HG HD 12a ∴HN =HD =13

，

∴HG =∴GN =-=周长=2⋅

3a +26+2a =2

a （二）小结

1、画出过已知三点M 、N 、P 的截面.

A A C C C

四、水平放置的平面图的直观图的画法-----斜二侧画法

要画空间图形直观图，首先要学会画水平放置的平面图的直观图的画法，下举例说明一种常用画法：例1、水平放置的正六边形的直观图(如图81—20) ．

图81-20 图14.1-21 图81-22

画法：(1)在已知正六边形ABCDEF 中，取对角线AD 所在的直线为x 轴，取对称轴GH 为y 轴，画对应的x 轴，y 轴，使x O y =45(如图81—21) ．

////

(2)以点O 为中点，在x 轴上取A D =AD ，在y /轴上取G H =

////0

GH 以点H 为中点画F /E /平行于x 2

轴，并等于FE ；再以G /为中点画B'C 平行于x ，轴，并等于BC ，

////////

(3) 联结A B , C D , D E , F A 所得的六边形A B C D E F 就是正六边形ABCDEF 的直观图。（图

图81-22，要擦去辅助线．)

上面画直观图的方法叫做斜二测画法，这种画法的规则是：

(1)在已知图形中取互相垂直的轴Ox ，Oy ．画直观图时，把它画成对应的轴O'x /，O /y /，使x O y =45 (或者135*)．它们确定的平面表示水平平面。

(2)已知图形中平行于x 轴或) y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x 轴或y 轴的线段．

///0

图14.1-23 图14.1-24 图14.1-25

（2）以点O /为中点，在x 轴上截取G /H /=GH．在x 轴的同一侧画线段C /G ///，O /y /，D /H ///O/y /，并使

/////0

C /G /=

111

CG , D /H /=DH ，在x 轴的另一侧的y /轴上取一点A /，使O /A /=OA ，以O /为中点，在x /上222

取B E =BE 。

（3）连接A /B /, B /C /, C /D /, D /E /, E /A /即得五边形A B C D E 。就是正五边形ABCDE 的直观图。

五、空间中两条直线的平行

a b ⎫

⎬⇒a c . (1)公理4:平行于同一直线的两条直线相互平行.

c b ⎭

公理分析：要证明空间两条直线平行，要找到中间桥梁. (2)等角定理

例1：在长方体ABCD -A 1BC 11D 1中，E 、F 分别为B 1C 1，AD 的中点，求证：A 1F EC 证明：取BC 中点G ，连结B 1G ，

E 为B 1C 1中点⎫

⎬

G 为BC 中点⎭⇒ EB 1GC ⇒B 1G EC ，

FG AB 且FG =AB AB A 1B 1且AB =A1B 1

，∴A A 1B 1 FG 且A 1B 1=FG ⇒ A 1B 1FG ⇒A 1F BG 11F EC

∠D 1AC , ∠AC 11B 是锐角，∴∠D 1AC =∠AC 11B .

[说明]：掌握在空间中利用直线的平行来证明角相等.

（四）、问题拓展

CB , CG =CD ，判断四边形EFGH 形33

证明：E 、H 分别为AB 、AD 中点⇒EH

BC 且EH =BC 22

CF CG 111

==⇒FG BC 且FG =BC ⇒EH FG ，EH >FG ⇒梯形EFGH BC CD 333

[说明] 这是空间两条直线平行——公理4的典型应用，加以推测、证明的重要应用.

1．在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中, 点E 、F 分别是AA 1, CC 1 中点，判断四边形BED 1F 的形状并加以证明. 答案：平行四边形但不是矩形。

2. 在正方体中，点E 、F 分别在AB 、AD 上，点G ，H 分别在C 1D 1, C 1B 1 上，且满足AE =C 1G , AF =C 1H ，联结A 1F , A 1E , CH , CG ，求证：∠EA 1F =∠GCH

3. 空间四边形ABCD 的各边中点依次为E 、F 、G 、H ，连结EG 、FH. （1）求证：EG 与HF 互相平分；（2）若BD=2，AC=4，求EG +HF 的值. 答案：EG +HF =10。

5. 如图,A 是ΔBCD 所在平面外一点,M,N 分别是ΔABC 和ΔACD 的重心, 若BD=6,求MN 的长.

答案：MN=2 六、异面直线

（1）异面直线：把不能置于同一平面的两条直线，称为异面直线. 说明：与平行直线、相交直线的区别：

相交直线：在同一平面内，有且只有一个交点. 平行直线：在同一平面内，没有公共点.

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. （2）异面直线的画法：

说明：注意分别在两个平面内的直线二条直线，不一定是异面直线.

(3)异面直线的判定：不平行、不相交的两条直线. (4)证明异面直线

例题：l 上有且只有一点A ∈α，求证：l ⊄α.

证明：假设l ⊂α⇒l 上所有的点都属于α，与已知：l 上有且只有一点A ∈α矛盾. ∴l 通过例题学习如何证明异面直线. 七、异面直线所成角

反证法：假设否定的结论，从假设出发，引出矛盾——与条件矛盾，或者与已知的公理、定理矛盾.

⊄α

1、异面直线a 与b 所成的角：在空间内任取一点P ，过P 分别作a 和b 的平行线a 和b , 则a 和b 所成的锐角(或直角) 叫做异面直线a 与b 所成的角.

问题1: 理论依据—等角定理.

问题2：为什么规定异面直线所成角只是锐角或直角？

答：因为两条相交直线交出四个角，只要知道其中一个，就可以知道其它所有的角，因此我们只研究其中较简单的锐角或直角.

2、异面直线所成角范围 0, 例题分析

例1 两条异面直线指的是（ D ）

①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线）

③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）

练习1、若a 、b 是两条异面直线，且分别在平面α、β内，若α⋂β=l ，则直线l 必定（ B ）

A ．分别与a 、b 相交； B. 至少与a 、b 之一相交； C. 与a 、b 都不相交； D. 至多与a 、b 之一相交.

练习2．如果a,b 是异面直线，b,c 分别与a,b 都相交，则b,c 的位置关系是（ D ）. A ．异面； B.相交或平行； C.异面或平行； D.不平行.

例3、直线l 与平面α相交于点A ，直线m 在平面α上，且不经过点A ，求证：直线l 与m 是异面直线.

' ' '

⎛⎝

π⎤

⎥2⎦

证明：书第10页

[例题解析]学习用反证法证明异面直线.

例4、（1）正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，哪些棱所在直线与直线BC 1成异面直线？

答：共有6条棱.

3. 问题拓展

(1)空间内两直线所成角范围：⎢⎡⎣0,

π⎤

2⎥⎦

记法:异面直线a,b 互相垂直, 记为a ⊥b; 分类:两直线垂直⎧⎨

共面垂直（相交） ⎩

异面垂直(3)异面直线所成角例题

例5、在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=5，BC=4，CC 1=3. （1）B 1C 和DD 1所成角大小. （2）BC 和A 1C 1所成角大小；（3）B 1C 和AD 1所成角大小.

解：（1） C 1C D 1D ，∴∠B 1CC 1为异面直线 B 1C 和DD 1所成角，在RT B 1C 1C 中，B 1C 1=BC =4, C 1C =3，∴tan ∠B 4

1CC 1=3

∠B 41CC 1=arctan

3，∴异面直线B arctan 41C 和DD 1所成角大小为3

. （2） BC B 1C 1，∴∠AC 11B 1为异面直线BC 和A 1C 1所成角，在RT B 1C 1C 中，A 1B 1=AB =5, B 1C 1=BC =4，∴tan ∠AC

511B 1=4, ∠A arctan 5

1C 1B 1=4

， ∴异面直线BC 和A 1C 1

所成角大小为arctan 54

（3） AD 1 BC 1，设B 1C 和BC 1 相交于O ，∴∠C 1OB 1为异面直线B 1C 和A D 1所成角（或其补角）在 BOC 5

11中，B 1C 1=4，B 1O =

=C 1O ,

77⇒∠B 1OC 1=π-arccos 2525

异面直线B 1C 和A D 1所成角大小为arccos

利用余弦定理，cos ∠B 1OC 1=-

例6、在空间四边形ABCD 中，AB=CD=6，M 、N 分别是对角线AC 、BD 的中点且MN=5，求异面直线AB 、CD 所成角大小.

解：取AD 中点，在 ABD 中，NE =在 ADC 中，ME =

11AB , NE AB 22

CD , ME CD ，∠NEM 为异面直线AB 、CD 所成角（或其补角） 22

在 NEM 中，MN =5，NE =ME =3，利用余弦定理，

777

cos ∠NEM =-⇒∠NEM =π-arccos ，异面直线AB 和CD 所成角大小为arccos

181818

[说明]在空间四边形中，求解异面直线所成角是一种典型问题.

例7．如图，三棱锥P-ABC 三条棱PC 、AC 、BC 两两垂直，E 为线段AB

的中点，AC =BC =变化时，求异面直线PB 与CE 所成角的取值范围. 解析：作AP 中点D ，连DE 、CD ，

PC =t ，当t

t ∈(0,+∞

) ，ED =， CD =

AB =2，CE =1，

cos ∠CED =

CE +DE -CD π

⇒∠CED ∈（2CE ⋅DE 42

222

练习．如图，三棱锥

P-ABC 三条棱PC 、PA 、PB 两两垂直，E 为线段AB 的中点，AC =BC =t 变化时，求异面直线PB 与CE 所成角的取值范围. 解析：作AP 中点D ，连DE 、CD ，

PC =t ，当

, t ∈，ED = CD =

，CD =， AB =，CE =

CE 2+DE 2-CD 2ππ

cos ∠CED =(0,⇒∠CED ∈（）2CE ⋅DE 2424、课后作业

A ．平行； B.相交或平行； C.异面或平行； D.相交，平行，异面都有可能. 3．长方体ABCD -A 1BC 11D 1中，AB=2AD=3AA 1. 求异面直线AC 和BC 1所成角大小.

4．长方体ABCD -A 1BC 11D 1中，AB=4，AD=3，AA 1=2，求异面直线AC 1和BD 所成角大小

5．在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点.AB=CD=2，

EF =AB 与CD 所成角的大小.

6．如图，三棱锥P-ABC 三条棱PC 、PA 、PB 两两垂直，E 为线段AB

的中点，AC =BC =化时，求异面直线PB 与CE 所成角的取值范围. 解析：作AP 中点D ，连DE 、CD ，

PC =t ，当t 变

, t ∈

，ED =

CD =

22，CD =，

AB =

，CE =

CE 2+DE 2-CD 2ππ

cos ∠CED =(0,⇒∠CED ∈（）2CE ⋅DE 2426．如图，三棱锥P-ABC 三条棱PC 、AC 、BC 两两垂直，E 为线段AB

的中点，AC =BC =化时，求异面直线PB 与CE 所成角的取值范围. 解析：作AP 中点D ，连DE 、CD ，

PC =t ，当t 变

t ∈

，ED = CD =

AB =2，CE =1，

CE 2+DE 2-CD 2ππ

cos ∠CED =(0,⇒∠CED ∈（）

2CE ⋅DE 242

空间平面的性质空间直线与直线之间的位置关系

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