2011年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）
数学试题答案解析
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足|z |
4 52（C ）
3
（A ）【答案】D 解：由|+
15
|=，则|z |= z 2
3（B ）
41（D ）
2
155
|=得|z |2+1=|z |，已经转化为一个实数的方程。解得|z| =2（舍去），z 22
1
。 2
2．在正四棱锥P-ABCD 中，M ，N 分别为PA ，PB 的中点，且侧面与地面所成二面角的正
DM 与AN 所成交角的余弦值为
1 31（C ）
8
（A ）
1 61（D ）
12
（B ）
【答案】B
[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。
解法一：如图，设底面边长为2
如图建立坐标系，则A (1，-1，0) ，B (1，1，0) ，C (-1，1，0) ，D (-1，-1，0) ，P (0，0
，
31 111113则M (, -
N (, ，DM =(, -AN =(-, 。设所成的
22222222 DM AN 1
角为θ，则cos θ==。
6DM AN
解法二：如图，设底面边长为2
平移DM 与AN 在一起。即M 移到N ，D 移到CD 的中点Q 。于是QN = DM = AN。而PA = PB = AB = 2，所以
QN = AN =
而
AQ = 容易算出等腰ΔAQN 的顶角cos ∠ANQ =1
。 6
解法三：也可以平移AN 与DM 在一起。即A 移到M ，N 移到PN 的中点Q 。以下略。
3．过点(-1,1) 的直线l 与曲线y =x 3-x 2-2x +1相切，且(-1,1) 不是切点，则直线l 的斜率是 （A ）2 （C ）-1 【答案】C
3
2
（B ）1 （D ）-2
32
解：显然(－1, 1)在y =x -x -2x +1的图象上. 设切点为(x 0, x 0-x 0-2x 0+1) ， 2y '=3x 2-2x -2，所以k =3x 0-2x 0-2. 另一方面，
32
(x 0-x 0-2x 0+1) -12
=x 0(x 0-2) =3x 0k =-2x 0-2. 所以x 0＝1, 所以k =-1. 选C.
x 0-(-1)
4．若A +B =
2π22
，则cos A +cos B 的最小值和最大值分别为 3
（B ）
（A
）13 213, 22
（C
）11+（D
）,1+ 2【答案】B
[分析]首先尽可能化简结论中的表达式cos A +cos B ，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。
2
2
解：cos A +cos B =
22
1+cos 2A 1+cos 2B 1
+=1+(cos2A +cos 2B ) 222
1
=1+cos(A +B )cos(A -B ) =1-cos(A -B ) ，可见答案是B
2
5．如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点C ，⊙O 1，⊙O 2又都和⊙O 内切，切点分别为A ，B 。
∠AOB =α, ∠ACB =β，则
（A ）cos β+sin （B ）sin β-cos
α
2
=0 =0
α
2
（C ）sin 2β+sin α=0 （D ）sin 2β-sin α=0
【答案】B
[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O1 O2边O 1 O2上一点C ，O O1、O O2延长线上分别一点A 、B ，使得O 1A = O 1C ，O 2B = O 2C 。
解法一：连接O 1O 2，C 在O 1O 2上，则∠OOO 12+∠OO 2O 1=π-α，
11
∠O 1AC =∠O 1CA =∠OO 1O 2，∠O 2BC =∠O 2CB =∠OO 2O 1，故
221π-α
∠O 1CA +∠O 2CB =(∠OO 1O 2+∠OO 2O 1) =，
22
π+αα
β=π-(∠O 1CA +∠O 2CB ) =，sin β=cos 。
22
解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则∠OO 1O 2=∠OO 2O 1=
π-α
2
，
∠O 1CA =∠O 2CB =
1π-α∠OO 1O 2=， 24
π+αα
β=π-(∠O 1CA +∠O 2CB ) =，sin β=cos
22
6．已知异面直线a , b 所成60°角，A 为空间中一点，则过A 与a , b 都成45°角的平面 （A ）有且只有一个 （B ）有且只有两个
（C ）有且只有三个 （D ）有且只有四个 【答案】D
[分析]已知平面过A ，再知道它的方向，就可以确定该平面了。因为涉及到平面的方向，我
们考虑它的法线，并且假设a ，b 为相交直线也没关系。于是原题简化为：已知两条相交直线a ，b 成60°角，求空间中过交点与a ，b 都成45°角的直线。答案是4个。
⎛⎛1⎫1⎫
7．已知向量a
=(0,1)，b
= - 2-2⎪⎪，c = 2, -2⎪⎪，x a +y b +z c =(1,1)。则
⎝⎭⎝⎭
x 2+y 2+z 2 的最小值为
（A ）1 （C ）
（B ）
4
3
3
2
（D ）2
【答案】B
解：由xa +yb +zc =(1,1) 得
⎧⎧y z =1⎪y -z ) =1⎪⎪⎪ ， ⎨⎨⎪x -y -z =1⎪x -y +z =1⎪⎪⎩22⎩2
(y +z ) 2+(y -z ) 2由于x +y +z =x +，可以用换元法的思想，看成关于x ，y
2
2
2
2
2
⎧
⎪y -z =+ z，y - z
三个变量，变形⎨，代入
⎪y +z =2(x -1) ⎩
(y +z ) 2+(y -z ) 2
x +y +z =x +
2
2
2
2
2
=x 2+2(x -1) 2+
2824
=3x 2-4x +=3(x -) 2+，答案B 3333
8．AB 过抛物线y =4x 焦点F 的弦，O 为坐标原点，且∠OFA =135，C 为抛物线准线与x 轴的交点，则∠ACB 的正切值为 （A
）（B
）
2
5
（C
）
3
（D
）
3
【答案】A
解法一：焦点F （1，0），C （-1，0），AB 方程y = x – 1，与抛物线方程y 2 = 4x
联立，解得
A (3+ ， B (3- ，于是
k CA =
k -k CB ，tan ∠ACB =CA =A k CB =
1+k k 22CA CB
解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD 中，∠B AD = 45°，
EF ∥DA ，EF = 2，AF = AD，BF = BC，求∠AEB 。
tan ∠AEF =tan ∠EAD =
DE GF ==
AD AF ，∠AEB =∠AEF +∠BEF =2∠AEF ， tan ∠BEF =tan ∠EBC =
tan ∠AEB =tan 2∠AEF =A
9．如图，已知△ABC 的面积为2，D ，E 分别为边AB ，边AC 上的点，F 为线段DE 上一
AD AE DF
=x , =y , =z ，且y +z -x =1，则△BDF 面积的最大值为 AB AC DE 810
（A ） （B ）
27271416（C ） （D ）
2727
点，设【答案】D
解：S ∆BDF =
S ∆ABE
DF BD
S ∆BDE =zS ∆BDE ，S ∆BDE =S ∆ABE =(1-x ) S ∆ABE ， DE AB AE =S ∆ABC =yS ∆ABC ，于是S ∆BDF =(1-x ) yzS ∆ABC =2(1-x ) yz 。将AC
y +z -x =1，变形为y +z =x +1，暂时将x 看成常数，欲使yz 取得最大值必须
1x +112
，于是S ∆BDF =(1-x )(x +1) ，解这个一元函数的极值问题，x =时取
322
16极大值。
27
y =z =
10．将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则
（A ）存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形 （B ）存在某种分法，所分出的三角形恰有2个是锐角三角形 （C ）存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形 （D ）任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形 【答案】D
解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。如图，假设ΔABC 是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF (不妨设在AC 的另一边) 的(其中的边EF 有可能与AC 重合) 的∠D 一定是钝角。事实上，∠D ≥ ∠ADC ，而四边形ABCD 是圆内接四边形，所以∠ADC = 180°-∠B ，所以∠D 为钝角。这样就排除了B ，C 。
下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。
假设ΔABC 中∠B 是钝角，在AC 的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC 的另一侧的相邻(指有公共边AC ) ΔACD ，则∠D = 180°-∠B 是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形。所以答案是D 。
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11．（本小题满分14分）
已知△ABC 不是直角三角形。
（I ）证明：tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ； （II ）
的值。
解：（I ）tan C =-tan(A +B ) =
1C -=
a n t B a n t +C
i s 2n i s , 2n i s , 2A ，且n
a n t A
B C 的倒数成等差数列，求cos
A -C
2
tan A +tan B
，整理得
tan A tan B -1
tan A tan B tan C =tan A +tan B +tan C
（II ）
A tan C =tan A +tan B +tan C ，与（I ）
比较知tan B =B =又
π
3
。
1122+===
sin 2A sin 2C sin 2B sin 23
，
sin 2A +sin 2C =
sin 2A sin 2C ，
sin(A +C )cos(A -C ) sin(A +C ) =sin B =， =
cos 2(A -C ) -cos 2(A +
C ) cos 2(A +C ) =cos 2B =-
1
，代入得2cos 2(A -C ) +1=3cos(A -C ) ， 2
1A -C ，cos =1 424
- 4cos 2(A -C ) -3cos(A -C ) -1=0，cos(A -C ) =1，
12．（本小题满分14分）
已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处。 （Ⅰ）若b =2a ，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （Ⅱ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？ 解：不妨设水杯高为1。
（I ）这时，水杯质量 ：水的质量 = 2 ：3。水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的
112+311=7 距离）为，水的重心位置为，所以装入半杯水的水杯的重心位置为242+320
(II) 当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上。设装x 克水。这时，水杯质量 ：水的质量 = a ：x 。水杯的重心位置为
1x x
，水的重心位置为，水面位置为，于是22b b
1x
a +x
=x ，解得x =a a +x b
13．（本小题满分14分）
已知函数f (x ) =
2x
，f (1)=1，ax +b 1⎛1⎫2
f ⎪=，令x 1=，x n +1=f (x n ) 。
2⎝2⎭3
（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式； （Ⅱ）证明：x 1x 2⋅⋅⋅x n >解：由f (1)=1，f () =
1
。 2e
1222x 得a =b =1，f (x ) = 3x +1
12482n -1
(I)方法一：先求出x 1=，x 2=，x 3=，x 4=，猜想x n =n -1。用数学归纳法
23592+1
证明，
2k -12x k 2k
当n = 1显然成立；假设n = k 显然成立，即x k =k -1，则x k +1=f (x k ) =，=k
2+1x k +12+1
得证。
方法二：x n +1=
2x n 111
取倒数后整理得-1=(-1) ，所以
x n +12x n x n +1
1111
-1=() n -1(-1) 所以x =1x n 2x 1
+1n -1
2
(II) 方法一：证明
11111
>2e 。事实上， =2(1+)(1+) (1+n ) 。
x 1x 2 x n +1x 1x 2 x n +1242
n
我们注意到1+2a
11n -11n 1n
x 1x 2 x n +1222
1
2
方法二：原不等式⇔(1+)(1+
11) (1+)
111
⇔ln[(1+)(1+2) (1+n )]
222111
⇔ln(1+) +ln(1+2) + +ln(1+n )
222
构造函数g (x ) =ln(1+x ) -x (x >0)
1-x
g '(x ) =-1=
1+x 1+x
所以ln(1+x ) 0)
111令x =n 则ln(1+n )
2221111111
ln(1+) +ln(1+2) + +ln(1+n )
2222222
14．（本小题满分14分）
x 2y 2
已知双曲线C :2-2=1（a >0, b >0），F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，P 为C 右
a b
支上一点，且使∠F 1PF 2=
π
3
，又△F 1PF 2
的面积为2。
（Ⅰ）求C 的离心率e ；
（Ⅱ）设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数λ(λ>0) ，
使得∠QF 2A =λ∠QAF 2恒成立。若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。 解：如图，利用双曲线的定义，将原题转化为： 在ΔP F1 F2
中，∠F 1PF 2=F 1 F2 = 2c ，求
π
3
，∆F 1PF 2的面积为2，E 为PF 1上一点，PE = PF2，E F1 =2a，
c
。 a
设PE = PF2 = EF2 = x ，F F2
=
x ，
S ∆F 1PF 2=
11PF 1 FF 2=(x +2a ) x =2 ，x 2+4ax -12a 2=0，x =2a 。 222
2πc
，于是2c =
，e ==。 3a
ΔE F1 F2为等腰三角形，∠EF 1F 2=
(II) λ=
1
2
15．（本小题满分14分）
将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以p n 表示未出现连续3次正面的概率。
（Ⅰ）求p 1, p 2, p 3和p 4；
（Ⅱ）探究数列{p n }的递推公式，并给出证明；
（Ⅲ）讨论数列{p n }的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。 解答：
17
=；又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正88
313=正正或正正正反或反正正正，故p 4=1-. 1616
1
(II)共分三种情况：①如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面的概率⨯P n -1；
2
(I)显然p 1＝p 2＝1，p 3=1-
②如果第n 次出现正面，第n －1次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －2次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是
1
⨯P n -2；③如果第n 次出现正面，第n －1次出现正面，第n －2次出现反面，那么前4
n 次不出现连续三次正面和前n －3次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是⨯P n -3. 综上，P n =
18
111
⨯P n -1+⨯P n -2+⨯P n -3. （n ≥4），④
824
111
⨯P n -2+⨯P n -3+⨯P n -4，（n ≥5）⑤，
824
11
⨯P n -4（n ≥5） ④－2P n =P n -1-16
所以n ≥5时，p n 的单调递减，又易见p 1＝p 2＞p 3＞p 4＞„.
(III)由(II)知P n -1=
n ≥3时，p n 的单调递减，且显然有下界0，所以p n 的极限存在. 对P n =P n -1-
边同时取极限可得lim p n =0.
n →-∞
1
⨯P n -4两16
其统计意义：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，两者比值趋近于零.
2011年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）
数学试题答案解析
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足|z |
4 52（C ）
3
（A ）【答案】D 解：由|+
15
|=，则|z |= z 2
3（B ）
41（D ）
2
155
|=得|z |2+1=|z |，已经转化为一个实数的方程。解得|z| =2（舍去），z 22
1
。 2
2．在正四棱锥P-ABCD 中，M ，N 分别为PA ，PB 的中点，且侧面与地面所成二面角的正
DM 与AN 所成交角的余弦值为
1 31（C ）
8
（A ）
1 61（D ）
12
（B ）
【答案】B
[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。
解法一：如图，设底面边长为2
如图建立坐标系，则A (1，-1，0) ，B (1，1，0) ，C (-1，1，0) ，D (-1，-1，0) ，P (0，0
，
31 111113则M (, -
N (, ，DM =(, -AN =(-, 。设所成的
22222222 DM AN 1
角为θ，则cos θ==。
6DM AN
解法二：如图，设底面边长为2
平移DM 与AN 在一起。即M 移到N ，D 移到CD 的中点Q 。于是QN = DM = AN。而PA = PB = AB = 2，所以
QN = AN =
而
AQ = 容易算出等腰ΔAQN 的顶角cos ∠ANQ =1
。 6
解法三：也可以平移AN 与DM 在一起。即A 移到M ，N 移到PN 的中点Q 。以下略。
3．过点(-1,1) 的直线l 与曲线y =x 3-x 2-2x +1相切，且(-1,1) 不是切点，则直线l 的斜率是 （A ）2 （C ）-1 【答案】C
3
2
（B ）1 （D ）-2
32
解：显然(－1, 1)在y =x -x -2x +1的图象上. 设切点为(x 0, x 0-x 0-2x 0+1) ， 2y '=3x 2-2x -2，所以k =3x 0-2x 0-2. 另一方面，
32
(x 0-x 0-2x 0+1) -12
=x 0(x 0-2) =3x 0k =-2x 0-2. 所以x 0＝1, 所以k =-1. 选C.
x 0-(-1)
4．若A +B =
2π22
，则cos A +cos B 的最小值和最大值分别为 3
（B ）
（A
）13 213, 22
（C
）11+（D
）,1+ 2【答案】B
[分析]首先尽可能化简结论中的表达式cos A +cos B ，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。
2
2
解：cos A +cos B =
22
1+cos 2A 1+cos 2B 1
+=1+(cos2A +cos 2B ) 222
1
=1+cos(A +B )cos(A -B ) =1-cos(A -B ) ，可见答案是B
2
5．如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点C ，⊙O 1，⊙O 2又都和⊙O 内切，切点分别为A ，B 。
∠AOB =α, ∠ACB =β，则
（A ）cos β+sin （B ）sin β-cos
α
2
=0 =0
α
2
（C ）sin 2β+sin α=0 （D ）sin 2β-sin α=0
【答案】B
[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O1 O2边O 1 O2上一点C ，O O1、O O2延长线上分别一点A 、B ，使得O 1A = O 1C ，O 2B = O 2C 。
解法一：连接O 1O 2，C 在O 1O 2上，则∠OOO 12+∠OO 2O 1=π-α，
11
∠O 1AC =∠O 1CA =∠OO 1O 2，∠O 2BC =∠O 2CB =∠OO 2O 1，故
221π-α
∠O 1CA +∠O 2CB =(∠OO 1O 2+∠OO 2O 1) =，
22
π+αα
β=π-(∠O 1CA +∠O 2CB ) =，sin β=cos 。
22
解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则∠OO 1O 2=∠OO 2O 1=
π-α
2
，
∠O 1CA =∠O 2CB =
1π-α∠OO 1O 2=， 24
π+αα
β=π-(∠O 1CA +∠O 2CB ) =，sin β=cos
22
6．已知异面直线a , b 所成60°角，A 为空间中一点，则过A 与a , b 都成45°角的平面 （A ）有且只有一个 （B ）有且只有两个
（C ）有且只有三个 （D ）有且只有四个 【答案】D
[分析]已知平面过A ，再知道它的方向，就可以确定该平面了。因为涉及到平面的方向，我
们考虑它的法线，并且假设a ，b 为相交直线也没关系。于是原题简化为：已知两条相交直线a ，b 成60°角，求空间中过交点与a ，b 都成45°角的直线。答案是4个。
⎛⎛1⎫1⎫
7．已知向量a
=(0,1)，b
= - 2-2⎪⎪，c = 2, -2⎪⎪，x a +y b +z c =(1,1)。则
⎝⎭⎝⎭
x 2+y 2+z 2 的最小值为
（A ）1 （C ）
（B ）
4
3
3
2
（D ）2
【答案】B
解：由xa +yb +zc =(1,1) 得
⎧⎧y z =1⎪y -z ) =1⎪⎪⎪ ， ⎨⎨⎪x -y -z =1⎪x -y +z =1⎪⎪⎩22⎩2
(y +z ) 2+(y -z ) 2由于x +y +z =x +，可以用换元法的思想，看成关于x ，y
2
2
2
2
2
⎧
⎪y -z =+ z，y - z
三个变量，变形⎨，代入
⎪y +z =2(x -1) ⎩
(y +z ) 2+(y -z ) 2
x +y +z =x +
2
2
2
2
2
=x 2+2(x -1) 2+
2824
=3x 2-4x +=3(x -) 2+，答案B 3333
8．AB 过抛物线y =4x 焦点F 的弦，O 为坐标原点，且∠OFA =135，C 为抛物线准线与x 轴的交点，则∠ACB 的正切值为 （A
）（B
）
2
5
（C
）
3
（D
）
3
【答案】A
解法一：焦点F （1，0），C （-1，0），AB 方程y = x – 1，与抛物线方程y 2 = 4x
联立，解得
A (3+ ， B (3- ，于是
k CA =
k -k CB ，tan ∠ACB =CA =A k CB =
1+k k 22CA CB
解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD 中，∠B AD = 45°，
EF ∥DA ，EF = 2，AF = AD，BF = BC，求∠AEB 。
tan ∠AEF =tan ∠EAD =
DE GF ==
AD AF ，∠AEB =∠AEF +∠BEF =2∠AEF ， tan ∠BEF =tan ∠EBC =
tan ∠AEB =tan 2∠AEF =A
9．如图，已知△ABC 的面积为2，D ，E 分别为边AB ，边AC 上的点，F 为线段DE 上一
AD AE DF
=x , =y , =z ，且y +z -x =1，则△BDF 面积的最大值为 AB AC DE 810
（A ） （B ）
27271416（C ） （D ）
2727
点，设【答案】D
解：S ∆BDF =
S ∆ABE
DF BD
S ∆BDE =zS ∆BDE ，S ∆BDE =S ∆ABE =(1-x ) S ∆ABE ， DE AB AE =S ∆ABC =yS ∆ABC ，于是S ∆BDF =(1-x ) yzS ∆ABC =2(1-x ) yz 。将AC
y +z -x =1，变形为y +z =x +1，暂时将x 看成常数，欲使yz 取得最大值必须
1x +112
，于是S ∆BDF =(1-x )(x +1) ，解这个一元函数的极值问题，x =时取
322
16极大值。
27
y =z =
10．将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则
（A ）存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形 （B ）存在某种分法，所分出的三角形恰有2个是锐角三角形 （C ）存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形 （D ）任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形 【答案】D
解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。如图，假设ΔABC 是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF (不妨设在AC 的另一边) 的(其中的边EF 有可能与AC 重合) 的∠D 一定是钝角。事实上，∠D ≥ ∠ADC ，而四边形ABCD 是圆内接四边形，所以∠ADC = 180°-∠B ，所以∠D 为钝角。这样就排除了B ，C 。
下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。
假设ΔABC 中∠B 是钝角，在AC 的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC 的另一侧的相邻(指有公共边AC ) ΔACD ，则∠D = 180°-∠B 是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形。所以答案是D 。
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11．（本小题满分14分）
已知△ABC 不是直角三角形。
（I ）证明：tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ； （II ）
的值。
解：（I ）tan C =-tan(A +B ) =
1C -=
a n t B a n t +C
i s 2n i s , 2n i s , 2A ，且n
a n t A
B C 的倒数成等差数列，求cos
A -C
2
tan A +tan B
，整理得
tan A tan B -1
tan A tan B tan C =tan A +tan B +tan C
（II ）
A tan C =tan A +tan B +tan C ，与（I ）
比较知tan B =B =又
π
3
。
1122+===
sin 2A sin 2C sin 2B sin 23
，
sin 2A +sin 2C =
sin 2A sin 2C ，
sin(A +C )cos(A -C ) sin(A +C ) =sin B =， =
cos 2(A -C ) -cos 2(A +
C ) cos 2(A +C ) =cos 2B =-
1
，代入得2cos 2(A -C ) +1=3cos(A -C ) ， 2
1A -C ，cos =1 424
- 4cos 2(A -C ) -3cos(A -C ) -1=0，cos(A -C ) =1，
12．（本小题满分14分）
已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处。 （Ⅰ）若b =2a ，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （Ⅱ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？ 解：不妨设水杯高为1。
（I ）这时，水杯质量 ：水的质量 = 2 ：3。水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的
112+311=7 距离）为，水的重心位置为，所以装入半杯水的水杯的重心位置为242+320
(II) 当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上。设装x 克水。这时，水杯质量 ：水的质量 = a ：x 。水杯的重心位置为
1x x
，水的重心位置为，水面位置为，于是22b b
1x
a +x
=x ，解得x =a a +x b
13．（本小题满分14分）
已知函数f (x ) =
2x
，f (1)=1，ax +b 1⎛1⎫2
f ⎪=，令x 1=，x n +1=f (x n ) 。
2⎝2⎭3
（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式； （Ⅱ）证明：x 1x 2⋅⋅⋅x n >解：由f (1)=1，f () =
1
。 2e
1222x 得a =b =1，f (x ) = 3x +1
12482n -1
(I)方法一：先求出x 1=，x 2=，x 3=，x 4=，猜想x n =n -1。用数学归纳法
23592+1
证明，
2k -12x k 2k
当n = 1显然成立；假设n = k 显然成立，即x k =k -1，则x k +1=f (x k ) =，=k
2+1x k +12+1
得证。
方法二：x n +1=
2x n 111
取倒数后整理得-1=(-1) ，所以
x n +12x n x n +1
1111
-1=() n -1(-1) 所以x =1x n 2x 1
+1n -1
2
(II) 方法一：证明
11111
>2e 。事实上， =2(1+)(1+) (1+n ) 。
x 1x 2 x n +1x 1x 2 x n +1242
n
我们注意到1+2a
11n -11n 1n
x 1x 2 x n +1222
1
2
方法二：原不等式⇔(1+)(1+
11) (1+)
111
⇔ln[(1+)(1+2) (1+n )]
222111
⇔ln(1+) +ln(1+2) + +ln(1+n )
222
构造函数g (x ) =ln(1+x ) -x (x >0)
1-x
g '(x ) =-1=
1+x 1+x
所以ln(1+x ) 0)
111令x =n 则ln(1+n )
2221111111
ln(1+) +ln(1+2) + +ln(1+n )
2222222
14．（本小题满分14分）
x 2y 2
已知双曲线C :2-2=1（a >0, b >0），F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，P 为C 右
a b
支上一点，且使∠F 1PF 2=
π
3
，又△F 1PF 2
的面积为2。
（Ⅰ）求C 的离心率e ；
（Ⅱ）设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数λ(λ>0) ，
使得∠QF 2A =λ∠QAF 2恒成立。若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。 解：如图，利用双曲线的定义，将原题转化为： 在ΔP F1 F2
中，∠F 1PF 2=F 1 F2 = 2c ，求
π
3
，∆F 1PF 2的面积为2，E 为PF 1上一点，PE = PF2，E F1 =2a，
c
。 a
设PE = PF2 = EF2 = x ，F F2
=
x ，
S ∆F 1PF 2=
11PF 1 FF 2=(x +2a ) x =2 ，x 2+4ax -12a 2=0，x =2a 。 222
2πc
，于是2c =
，e ==。 3a
ΔE F1 F2为等腰三角形，∠EF 1F 2=
(II) λ=
1
2
15．（本小题满分14分）
将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以p n 表示未出现连续3次正面的概率。
（Ⅰ）求p 1, p 2, p 3和p 4；
（Ⅱ）探究数列{p n }的递推公式，并给出证明；
（Ⅲ）讨论数列{p n }的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。 解答：
17
=；又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正88
313=正正或正正正反或反正正正，故p 4=1-. 1616
1
(II)共分三种情况：①如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面的概率⨯P n -1；
2
(I)显然p 1＝p 2＝1，p 3=1-
②如果第n 次出现正面，第n －1次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －2次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是
1
⨯P n -2；③如果第n 次出现正面，第n －1次出现正面，第n －2次出现反面，那么前4
n 次不出现连续三次正面和前n －3次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是⨯P n -3. 综上，P n =
18
111
⨯P n -1+⨯P n -2+⨯P n -3. （n ≥4），④
824
111
⨯P n -2+⨯P n -3+⨯P n -4，（n ≥5）⑤，
824
11
⨯P n -4（n ≥5） ④－2P n =P n -1-16
所以n ≥5时，p n 的单调递减，又易见p 1＝p 2＞p 3＞p 4＞„.
(III)由(II)知P n -1=
n ≥3时，p n 的单调递减，且显然有下界0，所以p n 的极限存在. 对P n =P n -1-
边同时取极限可得lim p n =0.
n →-∞
1
⨯P n -4两16
其统计意义：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，两者比值趋近于零.