56 机械传动 2010年
文章编号:1004-2539(2010) 07-0056-04
齿轮啮合过程中接触应力的精确分析
杨 凡 孙首群 于建华 满微微
(上海理工大学机械工程学院, 上海 200093)
摘要 分析了齿轮啮合过程中影响接触应力的相关因数, 建立了计算齿轮接触应力的二维(2D) 及三维(3D) 有限元模型。得到了这两种模型下轮齿在啮合过程中接触应力的变化规律, 比较了二维和三维结果的差异, 获得了精确的齿面接触应力分布。计算结果表明接触应力沿齿宽方向分布并非是均匀的。
关键词 啮合过程 赫兹理论 有限元分析 接触应力
Exact A nalysis of Gear Contact S tress in Meshing Process
Yang Fan Sun Shouqun Yu Jianghua Man Weiwei
(College of Mechanical Engineering, Univers ity of Shanghai for Science and Technol ogy, Shanghai 20093, China)
Abstract The influence factors of contact stress in meshing process are researched. Two-dimensional (2D) and three-dimensional (3D) finite element model are established and the variety of c ontact stress is achieved respec -tively. The difference between the calculation results of 2D and 3D FE M are c ompared, the more reasonable and e xac t c ontact stress distributions on gear tooth are obtained. The numerical results indicate that the contact stress distribu -tions are not unifor m along the tooth width direction.
Key words Meshing process Hertz theory finite element analysis contact stress
0 引言
渐开线齿轮是工程应用最为广泛的机械零件之一, 国内外有很多研究者对齿轮啮合过程接触应力做过分析, 取得了丰硕的成果。Li Shuting 研究了轻质齿轮三维状态下的有限元接触分析, 但忽略了摩擦的影响; 邓效忠等研究了准双曲面齿轮整个啮合过程接触应力的变化情况, 为了计算方便也忽略了摩擦; 杨生华、张永栋、李杰、肖望强等是在平面状态下研究轮齿的接触应力, 和实际的三维状态有一定的差异; 严国平、杨汾爱虽然都是在三维状态下分析齿轮的接触应力, 但只是得到了齿面上最大的接触应力, 没有详细分析其在齿面上的分布。高创宽、周谋等采用试验的方法详细地研究了齿面摩擦力影响齿轮接触应力的相关因素, 为理论分析提供了相关的依据。我们针对齿轮的啮合过程中, 对影响接触应力的相关因数作了详细分析, 得到了轮齿在整个啮合过程中的接触应力的变化规律; 并分别对二维(2D) 和三维(3D) 状态下的接触应力进行了精细的分析与比较, 得到了更精确的齿面[1-10]
1 齿轮啮合过程接触应力分析
图1为齿轮啮合过程示意图, 为了保证齿轮能够连续传动, 其重合度必须大于1。齿轮在啮合过程中, 有时由两对以上的轮齿同时参与啮合, 有时仅有一对轮齿参与啮合, 因此, 啮合过程中轮齿承受的法向载荷随着齿轮的运转过程会改变。C 点是啮合线上任意一点, 随着齿轮的转动两齿轮的曲率半
图1 啮合过程
径是不断变化的, 从而导致综合曲率半径的不断变化。所以在轮齿啮合面上产生的接触压力也是随着运转过程而不断变化的。根据图1中的几何关系可得到
22d 1) -(d 1sin A ) ]22
N 2C =N 1N 2-N 1C =d 1sin A +d 2sin A -22N 2C =
R c -[(
2
第34卷 第7期 齿轮啮合过程中接触应力的精确分析 57
[(d 1) 2-(d 1sin A ) 2]22
式中, R c 是啮合线上该点与主动轮圆心间的距离。R 2c -我们研究的一对啮合齿轮的相关参数如表1所示。
表1 齿轮的相关参数
模数齿数齿数齿宽
3mm 482246mm
弹性模量泊松比
压力角重合度
206GPa 0. 320b 1. 664
{U B }、{P A }、{P B }4个未知量, 只有方程(1) 和方程(2) 两个方程无法解出, 所以要补充接触点对的接触连续条件。按接触面状态可分为分离、黏结接触和滑动接触3种, 其对应的接触面的位移和力的条件是各不相同的。假设取A 、B 上的一个接触点对, R A R B 1n 、2n 分别为接触点对的法向接触力, R A R B 1t 、2t 为接触点对的切向
A
接触力, U A U B U A 1n 、2n 为接触点对的法向位移, U 1t 、2t 为
接触点对的切向位移, 则以下方程便是接触点对的定解条件。
(1) 分离状态
R 1n =R 2n =R 1t =R 2t =0(2) 黏结接触状态R A 1n +R B 2n =0R A 1t +R B 2t =0
B A A
U A 1n =U 2n , U 1t =U 2t A
B
A
B
于是可得曲率半径在啮合过程中的变化规律(如图2所示) 。
(3) 滑动接触状态R A 1n +R B 2n =0R A 1t +R B 2t =0
B A U A R A 1n =U 2n , R 1n =L 1t
图2 曲率半径
可见对于一种特定的接触状态, 如果有m 个接触点对, 就可以找到4m 个定解条件作为补充方程, 那么方程(1) 和方程(2) 就可以求解了。
接触求解的过程是, 对于有限元模型中的一个接触点对, 首先给它一个假定的接触状态, 将其定解条件代入平衡方程(1) 和方程(2) , 求出节点位移和接触点对接触力向量。然后根据节点位移和接触点对向量检查计算得到的接触状况和假设的接触状况是否相符, 如不符即要重新假定接触状态, 再次选择定解条件, 重新进行迭代求解平衡方程, 直到计算前后接触状态完全符合。
因为本文中的模型是带有摩擦的接触, 所以选择不对称矩阵完全牛顿) 拉普森法(NROP T, UNSYM) 来改善收敛性。其中每一步的迭代计算公式为
(k) k)
K ep q (i k ) =$P (T (q i ) $l k) k ) k) $P (P (l +P (l =$1-$l
ep
式中, K T 为弹塑性切线刚度矩阵, 对应于弹塑性刚度
Q 1Q 2
) 1+Q 2
的值随着主动轮的齿廓径向尺寸的增加而减小。由赫兹公式
由图2可知, 在啮合线上, 综合曲率半径(?
n 12
R H =2
1-v 11-v 22
? E 1E 2
便可得到轮齿在整个啮合过程中齿面接触应力变化的, K 为双齿啮合区内载荷分r 1cos A
配系数, 本文中K 取0. 5[11]。解析解。其中, F n =
2 接触应力计算的有限元基础
假设主动轮为弹性体A , 从动轮为弹性体B 。A 和B 在相互接触的地方有许多接触点对, 在外载荷{P }和{P }的作用下, 产生了位移{U }和{U }。根据有限元基本理论可得到平衡方程
[K ]{U }={P }+{R }(1) [K B ]{U B }={P B }+{R B }(2)
A B
其中, [K A ]、[K B ]为A 、B 的整体刚度矩阵; {U }、{U }为A 、B 的节点位移向量; {P }、{P }为A 、B 的整体外载荷
A B
向量; {R }、{R }为A 、B 的接触力向量。当A 、B 材料、单元类型、外载荷条件确定后, 上式A B ]{A }B , A }A
B
A
A
A
A
A
B
A
B
矩阵K T , 其中的上标(k ) 表示第k 个载荷步, 下标i 表示该载荷步中的第i 次迭代, 知道满足收敛条件:+$q i
(k)
ep
+[E R , E R 是收敛误差。
3 二维模型接触应力分析
3. 1 有限元网格剖分
3
58 机械传动 2010年
分啮合处的轮齿, 原模型是整个齿轮啮合模型。接触
对的轮齿要相对细化。
较大, 这是由于此处的综合曲率半径较小(如图2所示) 所致。另外有限元解得到的数值解与赫兹理论得到的解析值的变化趋势基本一致, 只是有限元解得到的接触应力要比赫兹理论得到的应力稍大。这是因为
齿轮是渐开线轮齿接触, 所以采用赫兹理论得到的结果肯定是近似的, 而且赫兹理论还存在很多假设, 忽略了摩擦等因素。
4 三维模型接触应力分析
图3 2D 有限元网格剖分
4. 1 有限元网格剖分
划分网格后的结果如图5所示。
3. 2 边界条件的施加
有限元分析的主要目的是要得到齿轮在外加边界条件下的响应, 因此正确地施加约束、载荷也是有限元分析的关键技术之一。我们通过对主、从动轮的内孔施加相应的位移、等效转矩来模拟现实。
首先, 将主动轮内孔上的所有节点转换到柱坐标系下, 使其径向位移等于零。另外通过施加等效转矩(内孔上所有节点在圆周方向的切向力) 来代替负载转矩, 也就是在柱坐标系下施加F y 方向的力, 其中N @R
式中, N 为主动轮内孔的节点数; R 为主动轮内孔半径; T 为负载转矩, T =200N #m 。从动轮要在圆心处建
F y =
立局部坐标系(应为柱坐标系) , 使其内孔上所有节点的径向位移和周向位移都为零。
3. 3 结果分析
根据传动比将两齿轮沿着某一方向转动一定的角度, 即可得到齿轮在整个啮合过程中齿廓上不同位置的接触应力。得到的接触应力的变化情况如图4所
示。
图5 3D 有限元网格剖分
4. 2 计算结果分析
施加边界条件后同样可得到接触应力在齿面上的分布, 如图6所示。
图6 3D 接触应力
由图6可以看到接触应力沿轮齿宽度方向上的大致分布并非均匀的。如果简化成平面分析, 则忽略了齿宽对接触应力的影响。2D 分析得到的接触应力在齿面上的分布效果见图7所示。
图4 2D 啮合过程中接触应力的变化
由图4可知有限元解得到的最大值是627. 68MPa , 发生在单齿啮合时, 在主动轮径向73mm 左右的齿廓上。赫兹解析解得到的最大值是619. 25MPa , 所以有限元解能够保证计算的正确性。由图4中还可以明显
(图7 2D 接触应力在齿宽方向的分布
对比图6和图7可明显得出:接触应力在齿面上的分布并不是均匀的。而且在生产实际中, 齿轮啮合
第34卷 第7期 齿轮啮合过程中接触应力的精确分析 59
响, 其齿面接触应力不应该是均匀分布的。另外采用平面单元分析, 计算时至少忽略了某一方向上的主应力, 但是实际中齿轮受到的接触应力应该是空间应力, 所以3D 模型的有限元分析更符合实际, 得到的结果更精确。图6a 中在啮合处的最大接触应力沿齿宽方向上的大小分布如图8
所示。
5 摩擦因子与接触应力之间的关系
轮齿齿面的摩擦因子随转速和接触载荷的变化而改变, 并受轮齿啮合位置、齿面粗糙度、润滑油动力黏度和齿轮平均温度等因素的影响[12]24-29。上文中的应力分析取的摩擦因子是0. 02这一固定值, 没有讨论其变化对接触应力之间的影响。根据文献[12], 一般取L =0. 03~0. 09, 分别在不同的摩擦因子下计算便可得到接触应力与摩擦因子之间的变化关系, 具体结果见表2。
表2 摩擦因子与接触应力之间的关系
摩擦因子L 单齿啮合/MPa 双齿啮合/MPa
0. 03561. 33441. 30
0. 05561. 61441. 58
0. 07561. 75441. 86
0. 09562. 12442. 14
24-29
图8 接触应力值(图7a )
表2中是齿轮某一啮合处在不同的摩擦因子下得到的接触应力。从表中的数据可得到:当摩擦因子在0. 03~0. 09这一范围变化时, 接触应力总体上的变化趋势是增大的, 但变化比较平稳, 变化范围不大, 和文献[9]
642-645
从图8中的数值可得, 接触应力沿齿宽方向上的分布情况大致为:靠近两端部存在着较大的接触应力, 但是并不相等; 中间部分的接触应力过渡相对比较平稳。这是因为轮齿是弹性体, 在啮合过程中轮齿的接触区域会产生弹性变形, 而轮齿两端边缘处的承载能力相对较弱, 从而导致轮齿在齿宽方向上的弹性变形并非均匀的; 直接导致其接触应力沿齿宽方向上分布的不均匀性。这种不均匀性与齿宽密切相关, 不同的齿宽的齿轮其分布可能也存在差异。
同样根据传动比将两齿轮转动一定的角度即可得到啮合过程中接触应力在齿面上的变化规律, 具体数值如图9
所示。
中相关结论一致。
6 总结
(1) 分析了影响齿轮接触应力的相关因素, 对比赫兹公式验证了有限元法计算结果的正确性, 并获得了齿轮在整个啮合过程中精确的接触应力分布。
(2) 通过对2D 和3D 有限元模型的计算分析和比较, 得出齿轮的接触应力沿齿宽方向上的分布是不均匀的。
(3) 在有限元分析中, 如果模型以及边界条件允许, 可以简化成二维平面状态分析, 这样可以节省时间, 提高效率。不过我们通过对2D 和3D 有限元模型计算得到的接触应力的比较可以看出:有些看似可以简化成平面状态下分析的问题, 结果可能并不十分合理。因此, 在有限元分析中, 模型的简化一定要谨慎, 特别是一些高度非线性问题, 例如接触、断裂等等, 与文献[14]相关结论相符。
参
考
文
献
[13]
图9 3D 啮合过程中接触应力的变化
[1] LI Shuting. Gear Contact Model and Loaded Tooth Contact Analysis of a
Three-Dimensional, Thin -Rimmed Gear [J ]. J ournal of Mechanical Design, Trans of ASME, 2002, 124(3) :511-517.
[2] 邓效忠, 方宗德, 杨宏斌. 准双曲面齿轮齿面接触应力过程计算
[J]. 中国机械工程, 2001, 12(12):1362-1364.
[3] 杨生华. 齿轮接触有限元分析[J].计算力学学报, 2003, 20(2):189-194. [4] 张永栋, 谢小鹏, 廖钱生, 等. 基于有限元方法的齿轮接触仿真分
析[J]. 润滑与密封, 2009, 34(1):49-51.
从图9中可以得到接触应力在齿面上精确的分布情况:其最大应力值为600. 54MPa , 比二维平面下分析得到的最大应力值627. 68MPa 要小; 而且在齿面上靠
近两端的端部有较大的接触应力, 啮入啮出以及单齿和双齿啮合之间切换时都存在较大的冲击。其变化符合实际。
(页)
第34卷 第7期 新型铝锭堆垛机传动系统耦合振动计算 67
固有频率及相应的振型。
表5 传动系统弯扭耦合振动固有频率
阶 次固有频率/Hz
187. 4
2163. 8
3279
. 2
平稳现象提供了理论基础。
齿轮) 转子传动耦合系统前3阶振型描述如图3~图5所示。
图5 传动系统3阶振型图参
考
文
献
[1] 晏砺堂, 朱梓根, 李其汉, 等. 高速旋转机械振动[M]. 北京:国防
工业出版社, 1994:169-186.
图3 传动系统1阶振型图
[2] 哈托D J. 振动分析的矩阵计算方法[M]. 翁善惠, 译. 北京:机械
工业出版社, 1982:97-126.
[3] 黄太平. 转子动力学中传递矩阵阻抗耦合法[J]. 航空动力学报,
1988, 8(4):315-318.
[4] 蒋书运, 陈照波, 须根法, 等. 用整体传递矩阵法计算航空发动机
整机临界转速特性[J ]. 哈尔滨工业大学学报, 1998, 30(1) :32-35.
[5] 柴山, 刚宪约, 姚福生, 等. 计算多转子系统临界转速的整体传递
矩阵法[J]. 上海理工大学学报, 2002, 24(1) :8-12.
[6] 柴山, 刚宪约, 姚福生, 等. 整体传递矩阵法的Riccati 变换[J]. 上
海理工大学学报, 2002, 24(2) :98-103.
图4 传动系统2阶振型图
[7] 廖伯瑜, 周新民, 尹志宏. 现代机械动力学及其工程应用[M]. 北
京:机械工业出版社, 2004:412-498.
[8] 罗德春. 伺服驱动铝锭堆垛机翻转装置动态特性分析[D]. 兰州:
兰州理工大学, 2009:33-47.
[9] 崔怡. MATLAB5. 3实例详解[M]. 北京:航空工业出版社, 2000:
152-189. 收稿日期:20091116
基金项目:甘肃省自然科学基金(0809RJ ZA012)
作者简介:罗德春(1979-) , 男, 福建宁化县人, 讲师, 硕士研究生
利用整体传递矩阵) Riccati 法对翻转装置的传动系统分析计算后, 得到了系统动态特性分析的相关参数。分析可知, 在第1阶固有频率下, 系统第9、
10个节点元件振幅最大; 在第2、3阶固有频率下, 第9个节点元件振幅最大。因此, 为进一步对结构进行优化找到了对象, 明确了目标函数, 并为解决实际工况传动不
(上接第59页)
[5] 李杰, 孙青军, 王乐勤. 渐开线齿轮的接触分析[J]. 工程设计学
报, 2009, 16(1) :27-31.
[6] 肖望强, 李威, 韩建友, 等. 双压力角非对称齿轮传动接触分析
[J]. 北京科技大学学报, 2006, 28(12):1167-1173.
[7] 严国平, 刘正林, 朱汉华, 等. 大型船用斜齿轮参数化建模及其接
触有限元分析[J ]. 武汉理工大学学报(交通科学与工程版) , 2007, 31(2):198-200.
[8] 杨汾爱, 张志强, 龙小乐, 等. 基于精确模型的斜齿轮接触应力有
限元分析[J]. 机械科学与技术, 2003, 22(2) :206-208.
[9] 高创宽, 周谋, 亓秀梅. 齿面摩擦力对齿轮接触应力的影响[J ].
机械强度, 2003, 25(6) :642-645.
[10] 朱孝录, 鄂中凯. 齿轮承载能力分[M].北京高等教育出版社, 1992. [11] 包家汉, 张玉华, 薛家国. 齿轮啮合过程齿间载荷分配的有限元
分析[J]. 机械传动, 2004, 28(5) :14-17.
[12] 龙慧, 张广辉, 罗文军. 旋转轮齿瞬时接触应力和温度的模拟分
析[J]. 机械工程学报, 2004, 40(8) :24-29.
[13] Tong Wei, Wu Changhua. A Finite-Element-Based Study of the load
Di stri bution of a Heavily Loaded Spur Gear Sys tem Wi th Effects of Trans -mi ssion Shafts and Gear Blanks[J]. Journal of M echanical Design, Trans of ASM E, 2003, 125(3) :625-631.
[14] Wang J ian D, Ian M. Howard. Error Analysis on Fini te Element Mode-l
ing of Involute Spur Gears [J]. Journal of Mechanical Design, Trans of ASME, 2006, 128(1):90-96.
收稿日期:20091109 收修改稿日期:20091214基金项目:国家/8630计划资助项目(NO.2009A A11Z211)
国家自然科学基金资助项目(NO.50875174) 上海市教育委员会重点学科建设项目(No.J50503)
作者简介:杨凡(1984-) , 男, 湖北武汉人, 硕士研究生
56 机械传动 2010年
文章编号:1004-2539(2010) 07-0056-04
齿轮啮合过程中接触应力的精确分析
杨 凡 孙首群 于建华 满微微
(上海理工大学机械工程学院, 上海 200093)
摘要 分析了齿轮啮合过程中影响接触应力的相关因数, 建立了计算齿轮接触应力的二维(2D) 及三维(3D) 有限元模型。得到了这两种模型下轮齿在啮合过程中接触应力的变化规律, 比较了二维和三维结果的差异, 获得了精确的齿面接触应力分布。计算结果表明接触应力沿齿宽方向分布并非是均匀的。
关键词 啮合过程 赫兹理论 有限元分析 接触应力
Exact A nalysis of Gear Contact S tress in Meshing Process
Yang Fan Sun Shouqun Yu Jianghua Man Weiwei
(College of Mechanical Engineering, Univers ity of Shanghai for Science and Technol ogy, Shanghai 20093, China)
Abstract The influence factors of contact stress in meshing process are researched. Two-dimensional (2D) and three-dimensional (3D) finite element model are established and the variety of c ontact stress is achieved respec -tively. The difference between the calculation results of 2D and 3D FE M are c ompared, the more reasonable and e xac t c ontact stress distributions on gear tooth are obtained. The numerical results indicate that the contact stress distribu -tions are not unifor m along the tooth width direction.
Key words Meshing process Hertz theory finite element analysis contact stress
0 引言
渐开线齿轮是工程应用最为广泛的机械零件之一, 国内外有很多研究者对齿轮啮合过程接触应力做过分析, 取得了丰硕的成果。Li Shuting 研究了轻质齿轮三维状态下的有限元接触分析, 但忽略了摩擦的影响; 邓效忠等研究了准双曲面齿轮整个啮合过程接触应力的变化情况, 为了计算方便也忽略了摩擦; 杨生华、张永栋、李杰、肖望强等是在平面状态下研究轮齿的接触应力, 和实际的三维状态有一定的差异; 严国平、杨汾爱虽然都是在三维状态下分析齿轮的接触应力, 但只是得到了齿面上最大的接触应力, 没有详细分析其在齿面上的分布。高创宽、周谋等采用试验的方法详细地研究了齿面摩擦力影响齿轮接触应力的相关因素, 为理论分析提供了相关的依据。我们针对齿轮的啮合过程中, 对影响接触应力的相关因数作了详细分析, 得到了轮齿在整个啮合过程中的接触应力的变化规律; 并分别对二维(2D) 和三维(3D) 状态下的接触应力进行了精细的分析与比较, 得到了更精确的齿面[1-10]
1 齿轮啮合过程接触应力分析
图1为齿轮啮合过程示意图, 为了保证齿轮能够连续传动, 其重合度必须大于1。齿轮在啮合过程中, 有时由两对以上的轮齿同时参与啮合, 有时仅有一对轮齿参与啮合, 因此, 啮合过程中轮齿承受的法向载荷随着齿轮的运转过程会改变。C 点是啮合线上任意一点, 随着齿轮的转动两齿轮的曲率半
图1 啮合过程
径是不断变化的, 从而导致综合曲率半径的不断变化。所以在轮齿啮合面上产生的接触压力也是随着运转过程而不断变化的。根据图1中的几何关系可得到
22d 1) -(d 1sin A ) ]22
N 2C =N 1N 2-N 1C =d 1sin A +d 2sin A -22N 2C =
R c -[(
2
第34卷 第7期 齿轮啮合过程中接触应力的精确分析 57
[(d 1) 2-(d 1sin A ) 2]22
式中, R c 是啮合线上该点与主动轮圆心间的距离。R 2c -我们研究的一对啮合齿轮的相关参数如表1所示。
表1 齿轮的相关参数
模数齿数齿数齿宽
3mm 482246mm
弹性模量泊松比
压力角重合度
206GPa 0. 320b 1. 664
{U B }、{P A }、{P B }4个未知量, 只有方程(1) 和方程(2) 两个方程无法解出, 所以要补充接触点对的接触连续条件。按接触面状态可分为分离、黏结接触和滑动接触3种, 其对应的接触面的位移和力的条件是各不相同的。假设取A 、B 上的一个接触点对, R A R B 1n 、2n 分别为接触点对的法向接触力, R A R B 1t 、2t 为接触点对的切向
A
接触力, U A U B U A 1n 、2n 为接触点对的法向位移, U 1t 、2t 为
接触点对的切向位移, 则以下方程便是接触点对的定解条件。
(1) 分离状态
R 1n =R 2n =R 1t =R 2t =0(2) 黏结接触状态R A 1n +R B 2n =0R A 1t +R B 2t =0
B A A
U A 1n =U 2n , U 1t =U 2t A
B
A
B
于是可得曲率半径在啮合过程中的变化规律(如图2所示) 。
(3) 滑动接触状态R A 1n +R B 2n =0R A 1t +R B 2t =0
B A U A R A 1n =U 2n , R 1n =L 1t
图2 曲率半径
可见对于一种特定的接触状态, 如果有m 个接触点对, 就可以找到4m 个定解条件作为补充方程, 那么方程(1) 和方程(2) 就可以求解了。
接触求解的过程是, 对于有限元模型中的一个接触点对, 首先给它一个假定的接触状态, 将其定解条件代入平衡方程(1) 和方程(2) , 求出节点位移和接触点对接触力向量。然后根据节点位移和接触点对向量检查计算得到的接触状况和假设的接触状况是否相符, 如不符即要重新假定接触状态, 再次选择定解条件, 重新进行迭代求解平衡方程, 直到计算前后接触状态完全符合。
因为本文中的模型是带有摩擦的接触, 所以选择不对称矩阵完全牛顿) 拉普森法(NROP T, UNSYM) 来改善收敛性。其中每一步的迭代计算公式为
(k) k)
K ep q (i k ) =$P (T (q i ) $l k) k ) k) $P (P (l +P (l =$1-$l
ep
式中, K T 为弹塑性切线刚度矩阵, 对应于弹塑性刚度
Q 1Q 2
) 1+Q 2
的值随着主动轮的齿廓径向尺寸的增加而减小。由赫兹公式
由图2可知, 在啮合线上, 综合曲率半径(?
n 12
R H =2
1-v 11-v 22
? E 1E 2
便可得到轮齿在整个啮合过程中齿面接触应力变化的, K 为双齿啮合区内载荷分r 1cos A
配系数, 本文中K 取0. 5[11]。解析解。其中, F n =
2 接触应力计算的有限元基础
假设主动轮为弹性体A , 从动轮为弹性体B 。A 和B 在相互接触的地方有许多接触点对, 在外载荷{P }和{P }的作用下, 产生了位移{U }和{U }。根据有限元基本理论可得到平衡方程
[K ]{U }={P }+{R }(1) [K B ]{U B }={P B }+{R B }(2)
A B
其中, [K A ]、[K B ]为A 、B 的整体刚度矩阵; {U }、{U }为A 、B 的节点位移向量; {P }、{P }为A 、B 的整体外载荷
A B
向量; {R }、{R }为A 、B 的接触力向量。当A 、B 材料、单元类型、外载荷条件确定后, 上式A B ]{A }B , A }A
B
A
A
A
A
A
B
A
B
矩阵K T , 其中的上标(k ) 表示第k 个载荷步, 下标i 表示该载荷步中的第i 次迭代, 知道满足收敛条件:+$q i
(k)
ep
+[E R , E R 是收敛误差。
3 二维模型接触应力分析
3. 1 有限元网格剖分
3
58 机械传动 2010年
分啮合处的轮齿, 原模型是整个齿轮啮合模型。接触
对的轮齿要相对细化。
较大, 这是由于此处的综合曲率半径较小(如图2所示) 所致。另外有限元解得到的数值解与赫兹理论得到的解析值的变化趋势基本一致, 只是有限元解得到的接触应力要比赫兹理论得到的应力稍大。这是因为
齿轮是渐开线轮齿接触, 所以采用赫兹理论得到的结果肯定是近似的, 而且赫兹理论还存在很多假设, 忽略了摩擦等因素。
4 三维模型接触应力分析
图3 2D 有限元网格剖分
4. 1 有限元网格剖分
划分网格后的结果如图5所示。
3. 2 边界条件的施加
有限元分析的主要目的是要得到齿轮在外加边界条件下的响应, 因此正确地施加约束、载荷也是有限元分析的关键技术之一。我们通过对主、从动轮的内孔施加相应的位移、等效转矩来模拟现实。
首先, 将主动轮内孔上的所有节点转换到柱坐标系下, 使其径向位移等于零。另外通过施加等效转矩(内孔上所有节点在圆周方向的切向力) 来代替负载转矩, 也就是在柱坐标系下施加F y 方向的力, 其中N @R
式中, N 为主动轮内孔的节点数; R 为主动轮内孔半径; T 为负载转矩, T =200N #m 。从动轮要在圆心处建
F y =
立局部坐标系(应为柱坐标系) , 使其内孔上所有节点的径向位移和周向位移都为零。
3. 3 结果分析
根据传动比将两齿轮沿着某一方向转动一定的角度, 即可得到齿轮在整个啮合过程中齿廓上不同位置的接触应力。得到的接触应力的变化情况如图4所
示。
图5 3D 有限元网格剖分
4. 2 计算结果分析
施加边界条件后同样可得到接触应力在齿面上的分布, 如图6所示。
图6 3D 接触应力
由图6可以看到接触应力沿轮齿宽度方向上的大致分布并非均匀的。如果简化成平面分析, 则忽略了齿宽对接触应力的影响。2D 分析得到的接触应力在齿面上的分布效果见图7所示。
图4 2D 啮合过程中接触应力的变化
由图4可知有限元解得到的最大值是627. 68MPa , 发生在单齿啮合时, 在主动轮径向73mm 左右的齿廓上。赫兹解析解得到的最大值是619. 25MPa , 所以有限元解能够保证计算的正确性。由图4中还可以明显
(图7 2D 接触应力在齿宽方向的分布
对比图6和图7可明显得出:接触应力在齿面上的分布并不是均匀的。而且在生产实际中, 齿轮啮合
第34卷 第7期 齿轮啮合过程中接触应力的精确分析 59
响, 其齿面接触应力不应该是均匀分布的。另外采用平面单元分析, 计算时至少忽略了某一方向上的主应力, 但是实际中齿轮受到的接触应力应该是空间应力, 所以3D 模型的有限元分析更符合实际, 得到的结果更精确。图6a 中在啮合处的最大接触应力沿齿宽方向上的大小分布如图8
所示。
5 摩擦因子与接触应力之间的关系
轮齿齿面的摩擦因子随转速和接触载荷的变化而改变, 并受轮齿啮合位置、齿面粗糙度、润滑油动力黏度和齿轮平均温度等因素的影响[12]24-29。上文中的应力分析取的摩擦因子是0. 02这一固定值, 没有讨论其变化对接触应力之间的影响。根据文献[12], 一般取L =0. 03~0. 09, 分别在不同的摩擦因子下计算便可得到接触应力与摩擦因子之间的变化关系, 具体结果见表2。
表2 摩擦因子与接触应力之间的关系
摩擦因子L 单齿啮合/MPa 双齿啮合/MPa
0. 03561. 33441. 30
0. 05561. 61441. 58
0. 07561. 75441. 86
0. 09562. 12442. 14
24-29
图8 接触应力值(图7a )
表2中是齿轮某一啮合处在不同的摩擦因子下得到的接触应力。从表中的数据可得到:当摩擦因子在0. 03~0. 09这一范围变化时, 接触应力总体上的变化趋势是增大的, 但变化比较平稳, 变化范围不大, 和文献[9]
642-645
从图8中的数值可得, 接触应力沿齿宽方向上的分布情况大致为:靠近两端部存在着较大的接触应力, 但是并不相等; 中间部分的接触应力过渡相对比较平稳。这是因为轮齿是弹性体, 在啮合过程中轮齿的接触区域会产生弹性变形, 而轮齿两端边缘处的承载能力相对较弱, 从而导致轮齿在齿宽方向上的弹性变形并非均匀的; 直接导致其接触应力沿齿宽方向上分布的不均匀性。这种不均匀性与齿宽密切相关, 不同的齿宽的齿轮其分布可能也存在差异。
同样根据传动比将两齿轮转动一定的角度即可得到啮合过程中接触应力在齿面上的变化规律, 具体数值如图9
所示。
中相关结论一致。
6 总结
(1) 分析了影响齿轮接触应力的相关因素, 对比赫兹公式验证了有限元法计算结果的正确性, 并获得了齿轮在整个啮合过程中精确的接触应力分布。
(2) 通过对2D 和3D 有限元模型的计算分析和比较, 得出齿轮的接触应力沿齿宽方向上的分布是不均匀的。
(3) 在有限元分析中, 如果模型以及边界条件允许, 可以简化成二维平面状态分析, 这样可以节省时间, 提高效率。不过我们通过对2D 和3D 有限元模型计算得到的接触应力的比较可以看出:有些看似可以简化成平面状态下分析的问题, 结果可能并不十分合理。因此, 在有限元分析中, 模型的简化一定要谨慎, 特别是一些高度非线性问题, 例如接触、断裂等等, 与文献[14]相关结论相符。
参
考
文
献
[13]
图9 3D 啮合过程中接触应力的变化
[1] LI Shuting. Gear Contact Model and Loaded Tooth Contact Analysis of a
Three-Dimensional, Thin -Rimmed Gear [J ]. J ournal of Mechanical Design, Trans of ASME, 2002, 124(3) :511-517.
[2] 邓效忠, 方宗德, 杨宏斌. 准双曲面齿轮齿面接触应力过程计算
[J]. 中国机械工程, 2001, 12(12):1362-1364.
[3] 杨生华. 齿轮接触有限元分析[J].计算力学学报, 2003, 20(2):189-194. [4] 张永栋, 谢小鹏, 廖钱生, 等. 基于有限元方法的齿轮接触仿真分
析[J]. 润滑与密封, 2009, 34(1):49-51.
从图9中可以得到接触应力在齿面上精确的分布情况:其最大应力值为600. 54MPa , 比二维平面下分析得到的最大应力值627. 68MPa 要小; 而且在齿面上靠
近两端的端部有较大的接触应力, 啮入啮出以及单齿和双齿啮合之间切换时都存在较大的冲击。其变化符合实际。
(页)
第34卷 第7期 新型铝锭堆垛机传动系统耦合振动计算 67
固有频率及相应的振型。
表5 传动系统弯扭耦合振动固有频率
阶 次固有频率/Hz
187. 4
2163. 8
3279
. 2
平稳现象提供了理论基础。
齿轮) 转子传动耦合系统前3阶振型描述如图3~图5所示。
图5 传动系统3阶振型图参
考
文
献
[1] 晏砺堂, 朱梓根, 李其汉, 等. 高速旋转机械振动[M]. 北京:国防
工业出版社, 1994:169-186.
图3 传动系统1阶振型图
[2] 哈托D J. 振动分析的矩阵计算方法[M]. 翁善惠, 译. 北京:机械
工业出版社, 1982:97-126.
[3] 黄太平. 转子动力学中传递矩阵阻抗耦合法[J]. 航空动力学报,
1988, 8(4):315-318.
[4] 蒋书运, 陈照波, 须根法, 等. 用整体传递矩阵法计算航空发动机
整机临界转速特性[J ]. 哈尔滨工业大学学报, 1998, 30(1) :32-35.
[5] 柴山, 刚宪约, 姚福生, 等. 计算多转子系统临界转速的整体传递
矩阵法[J]. 上海理工大学学报, 2002, 24(1) :8-12.
[6] 柴山, 刚宪约, 姚福生, 等. 整体传递矩阵法的Riccati 变换[J]. 上
海理工大学学报, 2002, 24(2) :98-103.
图4 传动系统2阶振型图
[7] 廖伯瑜, 周新民, 尹志宏. 现代机械动力学及其工程应用[M]. 北
京:机械工业出版社, 2004:412-498.
[8] 罗德春. 伺服驱动铝锭堆垛机翻转装置动态特性分析[D]. 兰州:
兰州理工大学, 2009:33-47.
[9] 崔怡. MATLAB5. 3实例详解[M]. 北京:航空工业出版社, 2000:
152-189. 收稿日期:20091116
基金项目:甘肃省自然科学基金(0809RJ ZA012)
作者简介:罗德春(1979-) , 男, 福建宁化县人, 讲师, 硕士研究生
利用整体传递矩阵) Riccati 法对翻转装置的传动系统分析计算后, 得到了系统动态特性分析的相关参数。分析可知, 在第1阶固有频率下, 系统第9、
10个节点元件振幅最大; 在第2、3阶固有频率下, 第9个节点元件振幅最大。因此, 为进一步对结构进行优化找到了对象, 明确了目标函数, 并为解决实际工况传动不
(上接第59页)
[5] 李杰, 孙青军, 王乐勤. 渐开线齿轮的接触分析[J]. 工程设计学
报, 2009, 16(1) :27-31.
[6] 肖望强, 李威, 韩建友, 等. 双压力角非对称齿轮传动接触分析
[J]. 北京科技大学学报, 2006, 28(12):1167-1173.
[7] 严国平, 刘正林, 朱汉华, 等. 大型船用斜齿轮参数化建模及其接
触有限元分析[J ]. 武汉理工大学学报(交通科学与工程版) , 2007, 31(2):198-200.
[8] 杨汾爱, 张志强, 龙小乐, 等. 基于精确模型的斜齿轮接触应力有
限元分析[J]. 机械科学与技术, 2003, 22(2) :206-208.
[9] 高创宽, 周谋, 亓秀梅. 齿面摩擦力对齿轮接触应力的影响[J ].
机械强度, 2003, 25(6) :642-645.
[10] 朱孝录, 鄂中凯. 齿轮承载能力分[M].北京高等教育出版社, 1992. [11] 包家汉, 张玉华, 薛家国. 齿轮啮合过程齿间载荷分配的有限元
分析[J]. 机械传动, 2004, 28(5) :14-17.
[12] 龙慧, 张广辉, 罗文军. 旋转轮齿瞬时接触应力和温度的模拟分
析[J]. 机械工程学报, 2004, 40(8) :24-29.
[13] Tong Wei, Wu Changhua. A Finite-Element-Based Study of the load
Di stri bution of a Heavily Loaded Spur Gear Sys tem Wi th Effects of Trans -mi ssion Shafts and Gear Blanks[J]. Journal of M echanical Design, Trans of ASM E, 2003, 125(3) :625-631.
[14] Wang J ian D, Ian M. Howard. Error Analysis on Fini te Element Mode-l
ing of Involute Spur Gears [J]. Journal of Mechanical Design, Trans of ASME, 2006, 128(1):90-96.
收稿日期:20091109 收修改稿日期:20091214基金项目:国家/8630计划资助项目(NO.2009A A11Z211)
国家自然科学基金资助项目(NO.50875174) 上海市教育委员会重点学科建设项目(No.J50503)
作者简介:杨凡(1984-) , 男, 湖北武汉人, 硕士研究生