教案
学生姓名：_________ 学生年级： 课 时： 授课教师： 课次： 上课时间： 所授科目：奥数
相遇问题
训练目标
相遇问题指两个物体以不同的点作为起点做相向运动的问题，它是行 程问题中反向运动的一种情况。 相遇问题的基本关系式是：速度和×相遇时间=全路程。在这三个量 中只要知道其中的任何两个量，就可以求出第三个量。 在解答这类题时，应注意以下几点： 1. 分析题意，弄清速度和、时间和路程三个量之间的关系，通过 推断解答。 2. 对比较复杂的相遇问题，可以借助画直观图来帮助理解题意， 分析条件之间的关系。 3. 善于从整体上把握不变量，通过关系式求变量。 4. 要注意运用假设，设数法等思考方法解题。
教 学 内 容
典型例题
例题 1 甲开汽车和乙开摩托车同时从Ａ、Ｂ两地相对开出，甲每小时行 80 千米， 乙每小时行 60 千米，两人在距Ａ、Ｂ两地中点 30 千米处相遇，求Ａ、Ｂ两地距离。 分析与解答 因为甲比乙快， 两人在距中点 30 千米处相遇， 相遇时， 甲比乙多行 30×2=60 （千
米）即汽车必须比摩托车多行两个 30 千米， ， 由甲比乙每小时多行 80-60=20 （千米）得 30×2÷20=3（小时） ，可以知道，从开始到相遇，两人共行 3 小时。由此可知（80+60）×3=420（千米） 。 解：30×2÷（80-60）=3（小时） （80+60）×3=420（千米）
=330 （米） 答：Ａ、Ｂ两地的距离是 420 千米。 例题 2：小军和小红两人从相距 30 千米的两地同时出发，相向而行，小军每小时 行 6 千米，小红每小时行 4 千米。问相遇时小军行了多少千米？ 分析与解答： 要求相遇时小军行了多少千米，就要先知道小军的速度和所行的时间，由题意知， 小军的速度是 6 千米每小时，所行时间也即相遇时间未知，相遇时间为：30÷（6+4）
=3（小时） ，6×3=18（千米） ，即小军在相遇时行了 18 千米。 解：相遇时间：30÷（6+4）=3（小时） 小军行的路程：6×3=18（千米） ， 答：小军在相遇时行了 18 千米。 例题 3 一辆轿车和一辆货车同时从甲、 乙两地相对开出， 已知两地相距 450 千米， 3 小时后两车在距中点 12 千米处相遇，轿车每小时比货车多行驶多少千米？ 分析与解答： 轿车和货车同时从两地对开，3 小时后在距中点 12 千米处相遇，由此可见轿车 3 小时比货车多行 12×2=24（千米） ，所以轿车比货车每小时多行 24÷3=8（千米） 。 解：轿车比货车多行的路程：12×2=24（千米） 轿车比货车每小时多驶：24÷3=8（千米） 答：轿车比货车每小时多驶 8 千米。 例题 4 甲、乙、丙三人中，甲每分钟走 50 米，乙每分钟走 60 米，丙每分钟走 70 米。甲、乙两人从Ａ地，丙从Ｂ地
同时相对出发，丙遇见乙后 2 分钟遇到甲，求Ａ、 Ｂ两地距离。 分析与解答： 乙、 丙相遇时， 乙比甲多走 （50+70） ×2=240 （米） 乙所走的时间是 240÷ ， （60-50） =24（分钟） 。乙、丙所行的路程就是Ａ、Ｂ两地相距的路程： （60+70）×24=3120 （米） 。 解：乙、丙相遇时，乙比甲多走： （50+70）×2=240（米） 乙所走的时间：240÷（60-50）=24（分钟） Ａ、Ｂ两地的距离： （60+70）×24=3120（米） 答：Ａ、Ｂ两地的距离为 3120 米。 例题 5 小军从甲向乙地走，小青同时从乙地向甲地走，当各自到达终点后，又立 刻返回，行走过程中，各自速度不变，两人第一次相遇在距甲地 40 米处，第二次相遇 在距乙地 15 米处，问甲、乙两地的距离是多少米？ 分析与解答： 根据相向行程问题的特点，小军与小青第一次相遇时，两人所行路程之和恰是甲、 乙之间的路程。从第一次相遇到第二次相遇时，两人又行了两个全程。因各自速度不 变，这时两人一共走了 3 个全程。根据第一次相遇点离甲地 40 米可知小军行了 40 米， 从第一次相遇到第二次相遇， 小军又行了 40×2=80 （米） 因此， ， 从出发到第二次相遇， 小军共行了 40+80=120（米） 。甲乙两地的距离为 120-15=105（米） 。
解：40×3-15=105（米） 答：甲、乙两地的距离是 105 米。
基础练习
1. 爸爸和儿子同时从甲、乙两地出发，爸爸开车每小时行 55 千米，儿子乘坐公交车 每小时行 45 千米， 相遇时， 爸爸超过中点 30 千米， 求甲、 乙两地之间有多少千米？
2. 甲、乙两人同时骑车从相距 130 千米的两地出发，相向而行，甲每小时行 16 千米， 乙每小时行 12 千米，中途甲的自行车出故障，用了 1 小时 30 分修车，求两人从出 发到相遇经过几小时？
3. 甲、 乙两地间的路程是 600 千米，上午 8 点客车以平均每小时 60 千米的速度从甲地 开往乙地，货车以平均每小时 50 千米的速度从乙地开往甲地。问要使两车在全程的中 点相遇，货车需在上午几点出发？
4. 列车通过 250 米长的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23 秒，又知列车的前方 有一辆与它行驶方向相同的货车，货车车身长 320 米，速度为每秒 17 米，问列车与货 车从相遇到离开需多少秒？
5. A、B 两地相距 950 米，妈妈和小红同时从 A 地出发往返锻炼，妈妈步行每分钟走 40 米，小红跑步每分钟行 150 米，20 分钟后停止运动，问妈妈和小红第几次迎面相遇
距 B 地最近，距 B 地多少米？ 6. 甲、乙两人同时从 A、B 两地出发，相向而行，6 分钟后相遇，相遇后甲继续走 4 分钟到达 B 地，乙每分钟行 40 米。问：A、B 两地相距多少米？
7. 两个城市相距 150 千米
，甲、乙两人骑自行车同时从两个城市出发，相向而行。甲 每小时行 14 千米，乙每小时行 11 千米，他们各自到达终点后立即返回。他们从出发 到再次相遇一共用了多少时间？
8. 一列客车每分钟行 1000 米，一列货车每分钟行 750 米，货车比客车长 135 米。两 车在平行的轨道上相向而行，从车头相遇到车尾离开一共用了 30 秒，求客车和货车的 长各是多少？
二、提高练习
1. 两地相距 477 千米，甲车以每小时 46 千米，乙车以每小时 38 千米的速度先后从两 地出发，相向而行，相遇时甲车行驶了 230 千米，问乙车比甲车早出发几小时？
2. 黑、白两车同时从相距 250 千米的两地相对开出，黑车每小时比白车多行 6 千米， 相遇时黑车比白车一共多行了 15 千米，问白车每小时行多少千米？
3. 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，甲车每小时行 56 千米，乙车每小时行 48
千米，两车在离中点 32 千米处相遇，求 A、B 两地相距多少米？
4. 小明每天下午 4 点放学，爸爸每天开车来接他。一天，小明 3 点就放学了，于是步 行回家，在路上遇见了接他的爸爸，结果比平时早了 12 分钟到家。汽车每小时行 48 千米。问小明每小时走多少千米？
5. 小华从学校出发步行 4 千米/时，到 20.4 千米外的夏令营报到，半小时后，营地老 师前往迎接，老师每小时比小华多走 1.2 千米，又过了 1.5 小时，小明从学校骑车 出发去营地，结果三人在途中相遇，问小明的速度是多少？
6. A、B 两地相距 259 千米，甲车从 A 地开往 B 地，每小时行 38 千米，半小时后， 乙车从 B 地开往 A 地，每小时行 42 千米，问乙车开出几小时后和甲车相遇？
7. 两城市相距 164 千米，甲、乙二人骑车同时从两地相对出发，甲每小时行 14 千米， 乙每小时行 11 千米，乙在中途休息 1 小时，然后继续行驶，两人相遇时，一共用 了几小时？
8. 甲、乙两车同时从 A、B 两地出发，3 小时后，两车还相距 120 千米，又行 3 小时 ， 两车相距 120 千米，问 A、B 两地相距多少千米？
9. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相对开出，经过 2 小时相遇。相遇后各自继续前 进，又经过 1.5 小时，甲车到达 B 地，这时乙车距 A 地还有 35 千米。求 A、B 两 地间的距离。
10. 客、货两车同时从甲、乙两站相对开出，客车每小时行 54 千米，货车每小时行 48 千米，两车相遇后又以原速前进，到达对方站后立即返回，两车再次相遇时客车比 货车多行 21.6 千米。甲、乙两站间的路程是多少千米？
教 学 目 标
1、通过对相遇问题的学习，使学生掌握灵活运用各种方法来解决行程问题； 2、通过对相遇问题的理解与掌握，提高学生解
决实际问题的能力； 3、通过学习，培养学生能进行多方位思考、会采用数形结合方式进行分析的方法
教 学 重 教学重点：使学生能够灵活运用多种方法解决相遇问题 难 教学难点：如何分析题意，采用合理的方法解决相遇问题 点 教 学 学生上课状态： 评 价
本次课是否完成教学目标：
教 学 反 思
教案
学生姓名：_________ 学生年级： 课 时： 授课教师： 课次： 上课时间： 所授科目：奥数
相遇问题
训练目标
相遇问题指两个物体以不同的点作为起点做相向运动的问题，它是行 程问题中反向运动的一种情况。 相遇问题的基本关系式是：速度和×相遇时间=全路程。在这三个量 中只要知道其中的任何两个量，就可以求出第三个量。 在解答这类题时，应注意以下几点： 1. 分析题意，弄清速度和、时间和路程三个量之间的关系，通过 推断解答。 2. 对比较复杂的相遇问题，可以借助画直观图来帮助理解题意， 分析条件之间的关系。 3. 善于从整体上把握不变量，通过关系式求变量。 4. 要注意运用假设，设数法等思考方法解题。
教 学 内 容
典型例题
例题 1 甲开汽车和乙开摩托车同时从Ａ、Ｂ两地相对开出，甲每小时行 80 千米， 乙每小时行 60 千米，两人在距Ａ、Ｂ两地中点 30 千米处相遇，求Ａ、Ｂ两地距离。 分析与解答 因为甲比乙快， 两人在距中点 30 千米处相遇， 相遇时， 甲比乙多行 30×2=60 （千
米）即汽车必须比摩托车多行两个 30 千米， ， 由甲比乙每小时多行 80-60=20 （千米）得 30×2÷20=3（小时） ，可以知道，从开始到相遇，两人共行 3 小时。由此可知（80+60）×3=420（千米） 。 解：30×2÷（80-60）=3（小时） （80+60）×3=420（千米）
=330 （米） 答：Ａ、Ｂ两地的距离是 420 千米。 例题 2：小军和小红两人从相距 30 千米的两地同时出发，相向而行，小军每小时 行 6 千米，小红每小时行 4 千米。问相遇时小军行了多少千米？ 分析与解答： 要求相遇时小军行了多少千米，就要先知道小军的速度和所行的时间，由题意知， 小军的速度是 6 千米每小时，所行时间也即相遇时间未知，相遇时间为：30÷（6+4）
=3（小时） ，6×3=18（千米） ，即小军在相遇时行了 18 千米。 解：相遇时间：30÷（6+4）=3（小时） 小军行的路程：6×3=18（千米） ， 答：小军在相遇时行了 18 千米。 例题 3 一辆轿车和一辆货车同时从甲、 乙两地相对开出， 已知两地相距 450 千米， 3 小时后两车在距中点 12 千米处相遇，轿车每小时比货车多行驶多少千米？ 分析与解答： 轿车和货车同时从两地对开，3 小时后在距中点 12 千米处相遇，由此可见轿车 3 小时比货车多行 12×2=24（千米） ，所以轿车比货车每小时多行 24÷3=8（千米） 。 解：轿车比货车多行的路程：12×2=24（千米） 轿车比货车每小时多驶：24÷3=8（千米） 答：轿车比货车每小时多驶 8 千米。 例题 4 甲、乙、丙三人中，甲每分钟走 50 米，乙每分钟走 60 米，丙每分钟走 70 米。甲、乙两人从Ａ地，丙从Ｂ地
同时相对出发，丙遇见乙后 2 分钟遇到甲，求Ａ、 Ｂ两地距离。 分析与解答： 乙、 丙相遇时， 乙比甲多走 （50+70） ×2=240 （米） 乙所走的时间是 240÷ ， （60-50） =24（分钟） 。乙、丙所行的路程就是Ａ、Ｂ两地相距的路程： （60+70）×24=3120 （米） 。 解：乙、丙相遇时，乙比甲多走： （50+70）×2=240（米） 乙所走的时间：240÷（60-50）=24（分钟） Ａ、Ｂ两地的距离： （60+70）×24=3120（米） 答：Ａ、Ｂ两地的距离为 3120 米。 例题 5 小军从甲向乙地走，小青同时从乙地向甲地走，当各自到达终点后，又立 刻返回，行走过程中，各自速度不变，两人第一次相遇在距甲地 40 米处，第二次相遇 在距乙地 15 米处，问甲、乙两地的距离是多少米？ 分析与解答： 根据相向行程问题的特点，小军与小青第一次相遇时，两人所行路程之和恰是甲、 乙之间的路程。从第一次相遇到第二次相遇时，两人又行了两个全程。因各自速度不 变，这时两人一共走了 3 个全程。根据第一次相遇点离甲地 40 米可知小军行了 40 米， 从第一次相遇到第二次相遇， 小军又行了 40×2=80 （米） 因此， ， 从出发到第二次相遇， 小军共行了 40+80=120（米） 。甲乙两地的距离为 120-15=105（米） 。
解：40×3-15=105（米） 答：甲、乙两地的距离是 105 米。
基础练习
1. 爸爸和儿子同时从甲、乙两地出发，爸爸开车每小时行 55 千米，儿子乘坐公交车 每小时行 45 千米， 相遇时， 爸爸超过中点 30 千米， 求甲、 乙两地之间有多少千米？
2. 甲、乙两人同时骑车从相距 130 千米的两地出发，相向而行，甲每小时行 16 千米， 乙每小时行 12 千米，中途甲的自行车出故障，用了 1 小时 30 分修车，求两人从出 发到相遇经过几小时？
3. 甲、 乙两地间的路程是 600 千米，上午 8 点客车以平均每小时 60 千米的速度从甲地 开往乙地，货车以平均每小时 50 千米的速度从乙地开往甲地。问要使两车在全程的中 点相遇，货车需在上午几点出发？
4. 列车通过 250 米长的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23 秒，又知列车的前方 有一辆与它行驶方向相同的货车，货车车身长 320 米，速度为每秒 17 米，问列车与货 车从相遇到离开需多少秒？
5. A、B 两地相距 950 米，妈妈和小红同时从 A 地出发往返锻炼，妈妈步行每分钟走 40 米，小红跑步每分钟行 150 米，20 分钟后停止运动，问妈妈和小红第几次迎面相遇
距 B 地最近，距 B 地多少米？ 6. 甲、乙两人同时从 A、B 两地出发，相向而行，6 分钟后相遇，相遇后甲继续走 4 分钟到达 B 地，乙每分钟行 40 米。问：A、B 两地相距多少米？
7. 两个城市相距 150 千米
，甲、乙两人骑自行车同时从两个城市出发，相向而行。甲 每小时行 14 千米，乙每小时行 11 千米，他们各自到达终点后立即返回。他们从出发 到再次相遇一共用了多少时间？
8. 一列客车每分钟行 1000 米，一列货车每分钟行 750 米，货车比客车长 135 米。两 车在平行的轨道上相向而行，从车头相遇到车尾离开一共用了 30 秒，求客车和货车的 长各是多少？
二、提高练习
1. 两地相距 477 千米，甲车以每小时 46 千米，乙车以每小时 38 千米的速度先后从两 地出发，相向而行，相遇时甲车行驶了 230 千米，问乙车比甲车早出发几小时？
2. 黑、白两车同时从相距 250 千米的两地相对开出，黑车每小时比白车多行 6 千米， 相遇时黑车比白车一共多行了 15 千米，问白车每小时行多少千米？
3. 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，甲车每小时行 56 千米，乙车每小时行 48
千米，两车在离中点 32 千米处相遇，求 A、B 两地相距多少米？
4. 小明每天下午 4 点放学，爸爸每天开车来接他。一天，小明 3 点就放学了，于是步 行回家，在路上遇见了接他的爸爸，结果比平时早了 12 分钟到家。汽车每小时行 48 千米。问小明每小时走多少千米？
5. 小华从学校出发步行 4 千米/时，到 20.4 千米外的夏令营报到，半小时后，营地老 师前往迎接，老师每小时比小华多走 1.2 千米，又过了 1.5 小时，小明从学校骑车 出发去营地，结果三人在途中相遇，问小明的速度是多少？
6. A、B 两地相距 259 千米，甲车从 A 地开往 B 地，每小时行 38 千米，半小时后， 乙车从 B 地开往 A 地，每小时行 42 千米，问乙车开出几小时后和甲车相遇？
7. 两城市相距 164 千米，甲、乙二人骑车同时从两地相对出发，甲每小时行 14 千米， 乙每小时行 11 千米，乙在中途休息 1 小时，然后继续行驶，两人相遇时，一共用 了几小时？
8. 甲、乙两车同时从 A、B 两地出发，3 小时后，两车还相距 120 千米，又行 3 小时 ， 两车相距 120 千米，问 A、B 两地相距多少千米？
9. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时相对开出，经过 2 小时相遇。相遇后各自继续前 进，又经过 1.5 小时，甲车到达 B 地，这时乙车距 A 地还有 35 千米。求 A、B 两 地间的距离。
10. 客、货两车同时从甲、乙两站相对开出，客车每小时行 54 千米，货车每小时行 48 千米，两车相遇后又以原速前进，到达对方站后立即返回，两车再次相遇时客车比 货车多行 21.6 千米。甲、乙两站间的路程是多少千米？
教 学 目 标
1、通过对相遇问题的学习，使学生掌握灵活运用各种方法来解决行程问题； 2、通过对相遇问题的理解与掌握，提高学生解
决实际问题的能力； 3、通过学习，培养学生能进行多方位思考、会采用数形结合方式进行分析的方法
教 学 重 教学重点：使学生能够灵活运用多种方法解决相遇问题 难 教学难点：如何分析题意，采用合理的方法解决相遇问题 点 教 学 学生上课状态： 评 价
本次课是否完成教学目标：
教 学 反 思